Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS Phạm Ngọc Thƣ SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin cảm ơn Ths Phạm Ngọc Thư tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình tham gia học tập thực khóa luận Em xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin, thầy cô Bộ môn Vật lý, khoa Tốn - Lý - Tin, trung tâm Thơng Tin - Thư viện, trường Đại học Tây Bắc quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô trường truyền đạt kiến thức cho em khóa học 2014 - 2018 Sau em xin kính chúc q thầy ln mạnh khỏe thành công nghiệp giáo dục Sơn La, tháng năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Lan Hƣơng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học, đời trình nghiên cứu giới vi mô Cơ học lượng tử phần mở rộng bổ sung học Newton (còn gọi học cổ điển), sở nhiều chuyên ngành vật lý hóa học vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt Việc nghiên cứu vấn đề đặt học lượng tử dựa vào hai phương pháp chính: Phương pháp Schrodinger phương pháp Heisenberg Phương trình Schrodinger phương trình học lượng tử - học sóng Về bản, từ phương trình ta giải thích hầu hết tượng lượng tử xảy phạm vi tương đối tính Những dấu hiệu thành cơng mang đến giải thích hài hòa lý thuyết thực nghiệm liên quan đến hàng loạt toán hạt chuyển động từ trường điện trường ngoài, tượng phát xạ lạnh kim loại, hiệu ứng đường ngầm số hiệu ứng quan trọng khác Với vị trí quan trọng phương trình Schrodinger, em chọn đề tài “Bài toán chuyển động chiều học lượng tử I” để xem xét ứng dụng phương trình sở giải thích số tượng lượng tử quan trọng số tốn tiêu biểu Mục đích khóa luận: - Hệ thống lại lý thuyết phương trình Schrodinger - Đưa cách giải số toán điển hình giải thích tượng quan trọng Nhiệm vụ nghiên cứu: Nhằm xây dựng phân loại tập chuyển động chiều hạt vi mô Đối tƣợng nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu dạng tập liên quan đến chuyển động chiều hạt vi mô Phạm vi nghiên cứu: Tập trung phân loại hướng dẫn tập chương “Nghiệm phương trình Schrodinger chiều” Phƣơng pháp nghiên cứu: Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết kết hợp với giải tập Cấu trúc luận văn: - Mở đầu - Chương I: Tổng quan phương trình Schrodinger chuyển động chiều - Chương II: Tổng quan chuyển động chiều - Chương III: Phân loại hướng dẫn giải tập - Kết luận CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 1.1 Phƣơng trình Schrodinger [1] Ta biết sóng phẳng de Broglie mô tả chuyển động hạt tự Để mô tả chuyển động hạt trường lực, cần tìm hàm sóng mơ tả chuyển động hạt trường cho Hàm sóng phải xác định hoàn toàn trạng thái hệ vật lý Điều có nghĩa là, việc cho hàm sóng thời điểm khơng mơ tả tính chất hệ, mà xác định trạng thái hệ thời điểm sau Yêu cầu biểu diễn nguyên lí nhân học lượng tử Trong trường hợp đặc biệt khơng có trường, nghiệm phương trình hàm sóng phải mô tả chuyển động hạt tự Do phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng de Broglie chồng chất tùy ý sóng phẳng Về mặt tốn học, kiện nêu đòi hỏi giá trị đạo hàm  hàm sóng theo thới t gian thời điểm cho phải xác định giá trị hàm sóng  thời điểm Thêm vào theo ngun lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải tuyến tính Ta viết được:  ( x, t ) ˆ  L( x, t ) ( x, t ) t (1.1) Trong Lˆ tốn tử tuyến tính Để tìm dạng Lˆ , ta xét trường hợp hạt chuyển động tự Khi  hàm sóng phẳng de Broglie  i  ( Et  px x  p y y  pz z )     ( x, y, z, t )  N exp  E  px  p y  pz 2m , N số chuẩn hóa Phép tính trực tiếp cho ta:  i   2 t 2m (1.2) Phương trình viết lại dạng:   Hˆ  t i (1.3) Trong Hˆ Hamiltonian cho chuyển động tự hạt: Hˆ  Tˆ   2m 2   2m  (1.4) Từ suy rằng, chuyển động tự hạt: Lˆ  Hˆ i (1.5) Trong học lượng tử, người ta tổng quát hóa kết riêng biệt sang trường hợp khác, coi tiên đề, nghĩa tốn tử Lˆ ln ln bằng: Lˆ  Hˆ i (1.6) Trong Hˆ Hamiltonian Hàm sóng  viết lại: i   Hˆ  t (1.7) Đây phương trình Schrodinger dạng tổng quát Nó tiên đề học lượng tử Sự đắn thực nghiệm xác nhận Đặc điểm quan trọng phương trình Schrodinger thể chỗ, phương trình cấp thời gian có chứa đơn vị ảo trước đạo hàm Do hàm sóng phải phức phương trình phải có nghiệm tuần hồn Tất nhiên chọn hàm sóng biểu diễn hàm thực làm hàm sóng cho hạt tự Tuy nhiên đó, ta khơng thể xây dựng phương trình bậc theo thời gian, mà nghiệm chồng chất tùy ý trạng thái Sự kiện phương trình Schrodinger chứa đạo hàm bậc theo thời gian  có liên quan t mật thiết đến ngun lí học lượng tử Thực vậy, phương tình Schrodinger chứa  2 để xác định  thời điểm t đó, biết hàm thời điểm ban t đầu chưa đủ, mà cần phải biết hàm   thời điểm ban đầu t Biểu thức Hˆ xét chuyển động hạt chuyển động tự có dạng: Hˆ  ( pˆ x  pˆ y  pˆ z )    2m 2m (1.8) Đối với hệ hạt không tương tác, Hˆ hệ tổng Hamiltonian hạt thành phần: Hˆ  a m a (1.9) a Ở số a đánh số hạt,  a tốn tử Laplace, việc lấy vi phân thực cho hạt thứ a Đới với hệ hạt có tương tác với nhau: Hˆ  a m a  U (r1 , r2 , ) (1.10) a Số hạng thứ tốn tử động năng, số hạng thứ hai toán tử Đặc biệt hạt nằm trường ngoài: pˆ Hˆ   U (r1 , r2 , )     U ( x, y , z ) 2m (1.11) Thay biểu thức vừa nêu Hˆ phương trình sóng cho hệ tương ứng cụ thể xét trường hợp hạt nằm trường ngồi khơng đổi, phương trình sóng có dạng: i     U ( x, y, z ) t 2m (1.12) 1.2 Một số tính chất tổng quát phƣơng trình Schrodinger [1] Các điều kiện mà nghiệm phương trình Schrodinger phải thỏa mãn có đặc tính tổng quát +) Trước hết hàm sóng  phải liên tục đơn trị tồn khơng gian Ngay thân trường U ( x, y, z) có mặt gián đoạn, hàm  phải liên tục Trên mặt gián đoạn, hàm  , mà đạo hàm  phải liên tục Tuy nhiên, sau mặt đó, U vơ cùng, tính liên tục đại lượng không xảy Hạt thâm nhập vào miền khơng gian, U   nghĩa miền này, hàm sóng phải khơng điểm Để cho hàm  liên tục, biên miền   , trường hợp đạo hàm  nói chung có bước nhảy +) Nếu trường U ( x, y, z) khơng vơ cùng, hàm sóng phải hữu hạn tồn miền khơng gian Giả sử U giá trị cực tiểu hàm U ( x, y, z) Vì Hamiltonian tổng toán tử động Tˆ , nên giá trị trung bình lượng trạng thái tùy ý E  T  U Nhưng tất trị riêng toán tử lượng Tˆ (trùng với Hamiltonian hạt tự do) dương, tất trị trung bình T  Hiển nhiên ta có U  U , E  U Vì bất đẳng thức với trạng thái bất kỳ, nên rõ ràng với trị riêng lượng E  U (1.13) Bây ta xét hạt chuyển động trường có U ( x, y, z) không vô cực Dễ dàng nhận thấy, phổ trị riêng âm lượng gián đoạn, nghĩa tất trạng thái với trạng thái liên kết trường không vô cực Thực trạng thái dừng có phổ liên tục, tương ứng với chuyển động vô hạn, hạt nằm vô cực Nhưng khoảng cách đủ lớn bỏ qua có mặt trường, chuyển động hạt coi tự do, mà chuyển động tự lượng hạt dương Ngược lại trị riêng dương lập thành phố liên tục tương ứng với chuyển động vô hạn, với E  phương trình Schrodinger (trong trường lực xét) nói chung khơng có nghiệm tích phân   dV hội tụ Chú ý rằng, học lượng tử, chuyển động hữu hạn, hạt miền khơng gian, E  U , xác suất tìm thấy hạt tiến nhanh đến sâu vào miền thế, tất khoảng cách hữu hạn, xác suất khác Về mặt có khác biệt so với học cổ điển, hạt thâm nhập vào miền E  U Lí vì, E  U động hạt âm, vận tốc hạt ảo học lượng tử, trị riêng động dương, nhiên không gặp mâu thuẫn, trình đo hạt định xứ điểm xác định khơng gian, kết trình đo này, trạng thái hạt bị phá hủy cho hạt khơng động xác định +) Nếu tồn không gian U ( x, y, z)  (và vơ cực U  ), bất dẳng thức (1.9), ta có En  Mặt khác En  phổ lượng phải liên tục, nên kết luận trường hợp xét hồn tồn khơng có phổ gián đoạn, nghĩa hạt chuyển động vơ hạn  i   Cn (t )  Cn (0) exp  En t    Khi đó:  i     ( x, t )   Cn (0) exp  En t   n ( x) n Tìm Cn (0) : Tại t  :  ( x,0)   Cn (0)  n ( x) n l Cn (0)   n ( x)  ( x, 0)   n* ( x) ( x, 0)dx Theo ra:  ( x, 0)   x x x 2 x (1  cos )sin  sin  sin 5a a a 5a a 5a a n x Cn (0)sin   a n a C1 (0)  C2 (0) a Đồng hai vế, lấy n  n         C1 (0)    2 C (0)  C2 (0)   a 5a C1 (0)  a 5a 5 Hàm sóng thời điểm t  t0  ( x, t )  2  Cn (0)e x  sin e  n ( x)  5a a i  En t0 n 1,2 i E1t0 2 x   sin e 5a a 4 2 Với E1  E2  2ma 2ma 2  ( x, 0)  i 2 x 3i   x exp( )sin  exp(  ) cos  2  5a a  a 2ma 2ma  b Năng lượng trung bình hệ: E   ( x, t ) Hˆ  ( x, t )   ( x, t )   Cn (t )  n ( x)  n Có:  *   ( x, t )   Cn (t )  ( x) n  29 i E2t0 E   Cn* (t )Cn (t )  ( x) Hˆ  ( x) n   Cn (t )  ( x) En  ( x)   Cn (t ) En  ( x)  ( x) 2 Chỉ lấy n  n   2   C ( t )  C (0)  C ( t )  n n n i En t Cn* (t )  Cn* (0)e   Cn (t )  Cn (0)e i  En t  E   Cn (0) En  C1 (0) E1  C2 (0) E2 2 n ( 2 )2 ( 2ma )2 4 2 4 2  2ma 5ma c Xác suất tìm thấy hạt miền  x  a W a a t  t0 2 *   ( x, t0 ) dx    ( x, t ) ( x, t0 )dx 0 i 2 x 3i   x Với  ( x, 0)  exp( )sin  exp( ) cos  2  5a a  a 2ma 2ma  i 2 x 3i   x exp( )sin  exp( ) cos  2  5a a  a 2ma 2ma  Và  * ( x, 0)  a  5a sin W x  x x i  i  cos  ( e  e ) cos dx a  a a  3i  (  ) 2ma  2  x W sin dx  5a  0 a  a a  sin x a cos x a a i dx  (e  e  i x  cos a )dx  a  sin(  x ) a +) I1   sin ( )dx   ( a 2 a 2 0 a a +) I   sin ( a a x x a 2 ) cos ( x a a )dx   sin ( a 30 a 2 x a 2 x ) d( ) a 2 a 4 x a 2 x a 4 x a   (1  cos ) d( )  a 16 a 32 a 16 2 )  sin 2  a x a cos  x  a dx   a x a x a x a x a x a +) I   sin ( ) cos( )dx   sin ( ) d (sin )  sin ( )  a a a  a 3 a 3 0 2 +) (ei  ei )  2cos  W  a a 2a 3i   16 3i    cos( )   cos( )  5a  16 3 2ma  15 2ma 3.2.1.4 Bài tập vận dụng: Bài 1: Một hạt khối lượng m chuyển động hố chiều: V ( x)   x  L V ( x)   x  , x  L Tại thời điểm t  , trạng thái hạt mô tả hàm sóng:  ( x)  x   1 i 2 x sin  L L 2 x  x  L sin L L  ( x)  x   x  , x  L a Xác định hàm sóng thời điểm t b Tìm lượng trung bình E hạt trạng thái  ( x, t ) Đáp án: n 2 2 a En  2mL2 Hàm riêng n ( x)  n x sin L L Hàm sóng thời điểm t  i     ( x, t )   Cn (0) exp  En t   n ( x) với C1 (0)  n 1 i   ( x, t )  i  2  x mL2 t sin e  L L 2 x sin e L L 1 i C2 (0)  2 4 i  2 mL2 b E   Cn (0) En n Theo câu a: Lấy n  n   (1  i)2  n 2 2 2  E  C1 (0) E1  C2 (0) E2    1   2mL Bài 2: Một hạt chuyển động trường thế: V ( x)   x  L 31 t V ( x)   x  , x  L có trạng thái mơ tả hàm sóng:  ( x)  x   Nx( x  L)  x  L  ( x)  x   x  , x  L a Chuẩn hóa hàm sóng  ( x) b Tìm xác suất đo lượng trạng thái c Tìm lượng trung bình E trạng thái  ( x) Đáp án: a Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: L n ( x) n ( x)    A2 sin n x dx   A  L L Chuấn hóa hàm sóng, với  ( x)  x   Nx( x  L) : L  ( x)  ( x)    N x ( x  L) dx   N  2 30 L5 b Xác suất đo lượng trạng thái bản: L L     ( x, t ) dx   * ( x, t ) ( x, t )dx  64.60 6 c Năng lượng trung bình E trạng thái  ( x) : E  15 n mL2 3.2.2 Chuyển động qua hàng rào - Hiệu ứng đường ngầm: 3.2.2.1 Kiến thức liên quan: Hệ số phản xạ R : R  Jr Ji Hệ số truyền qua T : T  x Jt Ji x R T 1 J x thành phần trục x vec tơ mật độ dòng xác suất Jx  i  d * ( x) d ( x)   ( x )   * ( x)  2m  dx dx  3.2.2.2 Phương pháp giải: 32 Bước 1: Viết phương trình Schrodinger miền Bước 2: Áp dụng cơng thức, tính đại lượng 3.2.2.3 Bài tập minh họa: Bài 1: Electron có lượng E  1eV chuyển động tới hàng rào vng góc với chiều cao V0  2eV Độ rộng hàng rào để xác suất truyền qua T  103 ? V ( x) V0 d E O x Hướng dẫn giải: Dạng giải tích năng: V ( x)  x  x0 x  x0  d V ( x) V ( x)  V0 x0  x  x0  d Xét vi hạt có lượng E  V0 chuyển động chiều trường V ( x) Bước 1: Viết phương trình Schrodinger miền Miền (I):   d 2 I  E I 2m dx 2  d2  V0   II  E II  2m dx  Miền (II):   d 2 III  E III Miền (III):  2m dx 2 Viết lại dạng: 33 I   k 2I  II   q 2II  III   k 2III  với k  2mE q  2m(V0  E ) Nghiệm dạng:  I  A1eikx  B1e ikx  t   px  II  A2 eqx  B2 e  qx  III  Ceikx  tq Điều kiện liên tục:  A1eikx0  B1eikx0  A2 e qx0  B2 e  qx0  ( x )   ( x )  I II     ikx  q  ikx qx  qx  I  ( x0 )   II  ( x0 )  A1e  B1e  ( A2 e  B2 e )  ik   A2 eqx0 eqd  B2 e qx0 e qd  Ceikx0 eikd  II ( x0  d )   III ( x0  d )    qx0 qd ik ikx0 ikd   qx0  qd  II  ( x0  d )   III  ( x0  d )  A2 e e  B2 e e  q Ce e  Tính được: C  2  k  q2  1   sh qa  2kq  A Bước 2: Áp dụng công thức, tính tốn đại lượng Từ tính hệ số truyền qua:   k q    4kq  2 qa 1   sh qa   T     e  2kq  2 2 qd k  q2     k  q e  1  e x  e x ex   shx    2kq   2 T 2 34 Thay k  T 2mE q  2m(V0  E ) , ta được: 16 E (V0  E )  2d   2d  exp  2m(V0  E )   4exp  2m(V0  E )  V0     T c d    8,1.108 (cm) 2 2m(V0  E ) 2m(V0  E ) ln T ln V0  2E  2eV 3.2.2.4 Bài tập vận dụng: Bài 1: Hạt có khối lượng m xung lượng p chuyển động từ trái sang phải trường có dạng: V ( x)  V0 x  x0 V ( x)  x  x0 V ( x) V0 x x0 Tìm hệ số phản xạ hạt nếu: a p2  V0 2m b p2  V0 2m 3.3 Tính trị trung bình nghiệm lại hệ thức bất định Heisenberg [2, 3] 3.3.1 Kiến thức liên quan: Với đại lượng A bất kỳ, ta có cơng thức tính:  Trị trung bình A : A   ( x) A  ( x)    * ( x) A ( x)dx  35  Trị trung bình bình phương: A   ( x) A  ( x)    * ( x) A2 ( x)dx 2  Độ lệch bình phương trung bình: A  A2  A 2 Một số tích phân thường gặp:  e    x dx   x x dx    x xdx    e   e       e  x dx    3.3.2 Phương pháp giải: Bước 1: Viết cơng thức tính trị trung bình: Bước 2: Áp dụng kết tính tích phân có vào tính tốn 3.3.3 Bài tập minh họa: Bài 1: Trạng thái hạt mô tả hàm sóng  ( x)  Ae  x2 a2 ikx a, k số A  a  Tính trị trung bình x , px , x , px nghiệm lại hệ thức bất định Giải: Bước 1: Viết cơng thức tính trị trung bình: x   ( x) x  ( x)      ( x) x ( x)dx  A e *  x   ( x) x  ( x)     ( x) x ( x)dx  A * pˆ x   ( x) pˆ x  ( x)    * ( x) pˆ x ( x)dx  x2 x2   a2 ikx   a2 ikx  Ai e e dx  x  x       A2 i e  x ikx ( x2 a2  xdx  A      x  ik )e  x ikx dx 36  x  e xdx   e   x2 a2  x dx  A2 e   x x dx   A i   e  x   xdx A i k  e  x dx 2      pˆ x   ( x) pˆ x  ( x) =   * ( x) pˆ x 2 ( x)dx  A2 (i )2    A2 e   x  ikx     A2 e   x ikx  với    e   x  ikx    x2  kx e dx x   x  kx     (  x  ik ) e   dx x      x  kx  x  kx   2 (   x  ik )(   x  ik ) e   e   dx   2a Bước 2: Áp dụng kết tính tích phân có, tính được: x 0 x2  x a2  x  x a2 a2  0  2 pˆ x  k pˆ x  2a  k2 px  pˆ x  pˆ x 2  2a Nghiệm lại hệ thức bất định: xˆ pˆ x  a2   2a Bài 2: Trạng thái hạt mơ tả hàm sóng n ( x)  n x sin d d Dùng hệ thức bất định ước tính mức lượng thấp có hạt Giải: Phương trình trị riêng toán tử Hamiltonian: Hˆ n ( x)  E n ( x) Hay: pˆ x n ( x)  E n ( x) 2m 37 E pˆ x 2m  E  pˆ x 2m pˆ x  pˆ x  pˆ x  pˆ x  E   2m   E  8m xˆ  2 ˆ ˆ  x px   Emin  8m xˆ x  x  x  d  x  (x)max  (d  x )2 n x x   ( x) xˆ  ( x)    ( x) x ( x)dx   x sin ( )dx d0 d d * d  x d0 2n x d dx  d  E  2  cos  (x)max  Emin  2 8m d2  2md d d2  (d  )   d2 8m 2md 3.3.4 Bài tập vận dụng: Bài 1: Trạng thái cân electron ngun tử Hidro mơ tả hàm sóng:  (r )  r a a e Tính r r Đáp án: r  3a ; r  3a 2 Bài 2: Trạng thái hạt mơ tả hàm sóng: n ( x)  Tính x , x x 38 n x sin d d Đáp án: d2 d2 d2 d 2  2 ; x  (1  2 ) x  ; x  2 n 12  n 39 KẾT LUẬN CHƢƠNG III: Trong chương III ta nêu số dạng toán chuyển động chiều: Xác định đại lượng hệ lượng tử, tốn hố thế, tính trị trung bình Đưa kiến thức liên quan, phương pháp giải số tập minh họa cho dạng Nhưng số vấn đề chưa thực được, nhiên việc tổng hợp, phân loại hướng dẫn giải tập ngày mở vai trò tập vật lý học 40 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Kết luận: Với nỗ lực cố gắng cao, giúp đỡ tận tình thầy giáo tổ Vật lý, trường Đại học Tây Bắc bạn sinh viên lớp, đáp ứng yêu cầu nhiệm vụ khóa luận Từ phạm vi nghiên cứu xây dựng mục tiêu, nhiệm vụ khóa luận Dựa sở tơi tiến hành nghiên cứu hành thành khóa luận với kết thu sau: Hệ thống lại lý thuyết phương trình Schrodinger (cách xây dựng, tính chất bản) để thấy ứng dụng quan trọng việc giải thích tượng lượng tử xảy phạm vi tương đối tính tốn chuyển động hạt, điển hình số tốn chuyển động chiều Tìm hiểu tính chất chung chuyển động chiều, chuyển động hạt tự đại lượng hệ lượng tử chuyển động chiều, mật độ dòng xác suất, trạng thái dừng,… Từ áp dụng lý thuyết nghiên cứu nội dung khóa luận toán chuyển động chiều học lượng tử Sắp xếp tập theo dạng cụ thể Xác định đại lượng hệ lượng tử, tốn hố thế, tính trị trung bình Đưa kiến thức liên quan, phương pháp giải số tập minh họa cho dạng Đề nghị: - Thư viện tăng thêm số đầu sách tham khảo để việc thực đề tài thuận lợi - Các cấp lãnh đạo, đoàn thể thầy cô giáo tạo điều kiện để số sinh viên tham gia nghiên cứu đề tài tăng số lượng chất lượng 41 42 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Khắc Hướng - Vũ Thanh Khiết, 1976, “Bài giảng Cơ học lượng tử”, Tủ sách đại học sư phạm Hà Nội 1, (tài liệu lưu hành nội bộ) [2] Nguyễn Hữu Mình (chủ biên), 2002, “Bài tập vật lý lý thuyết - Tập II”, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [3] Vũ Văn Hùng, 2004, “Bài tập Cơ học lượng tử”, Nhà xuất đại học sư phạm 43 ... trưng hệ lượng tử chuyển động chiều CHƢƠNG II CÁC TÍNH CHẤT CHUNG VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG CƠ BẢN CỦA HỆ LƢỢNG TỬ TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 2.1 Các tính chất chung chuyển động chiều [1] 2.1.1... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS Phạm... hệ) nằm vô cực 16 KẾT LUẬN CHƢƠNG II: Trong chương II, tìm hiểu tính chất chung chuyển động chiều, chuyển động hạt tự đại lượng hệ lượng tử chuyển động chiều, mật độ dòng xác suất, trạng thái