Luận văn tốt nghiệp vật lý hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ    ĐỀ TÀI: GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa SVTH: Võ Mạnh Hùng Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn, em nhận nhiều quan tâm, động viên, giúp đở quý thầy cô, gia đình bạn bè Xin cho phép em bày tỏ lòng biết ơn đến: TS Nguyễn Văn Hoa, người thầy định hướng, tận tình bảo tạo cho em lòng tự tin thời gian thực luận văn Người thầy truyền cho em say mê nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực bước đắn tiến trình làm luận văn Quý thầy, cô khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp HCM truyền đạt cho em kiến thức, kỹ phương pháp sư phạm tạo tảng cho tương lai nghề nghiệp Đặc biệt TS Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn Các bạn lớp lý K30, đặc biệt bạn Đỗ Thùy Linh sát cánh, động viên giúp đỡ giai đoạn khó khăn việc thực luận văn Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ gia đình ủng hộ, tạo điều kiện tốt cho hoàn thành luận văn Tp HCM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008 Võ Mạnh Hùng PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Một hệ lượng đặc trưng Halmitonien H Đòi hỏi xác định hàm riêng trị riêng toán tử Hamilton H Thực toán tìm trị riêng hàm riêng toán tử vô phức tạp giải xác với số trường hợp đơn giản “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử Hidro” “ion tượng tự hidro”… Nhưng bên cạnh đó, học lượng tử có nhiều hệ lượng tử phức tạp mà ta giải xác cách hoàn toàn Chính vậy, phương pháp gần đưa vào sử dụng nhằm giải vấn đề Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần thực tế giới hạn chương trình hai phương pháp gần sử dụng phổ biến áp dụng nhiều cho nhiều dạng toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân Đối tượng phương pháp nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần học lượng tử: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân Mỗi phương pháp bao gồm hệ thống tập phân loại, xếp theo mức độ giải cách chi tiết Phương pháp nghiên cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân); Thực hành giải tập phân loại tập Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở lý thuyết Chương II: Hệ thống tập Kết luận_Hướng phát triển Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT [2],[8] I.1 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN I.1.1 Công thức tổng quát lý thuyết nhiễu loạn dừng Hamiltonien: H H0 V Với: H0 : Toán tử Hamilton nhiễu loạn V : Toán tử nhiễu loạn Phương trình Schrodinger: HE : Khi nhiễu loạn H n(0) En(0) n(0) : Khi không nhiễu loạn (0) n Khai triển: ( x) theo ( x)C n (1) (2) ( x) n (0) (3) ( x) n Thay (3) vào (1): H Cn n (0) (x) E Cn n (0) ( x) (4) n n (0)* Nhân vào bên trái (4) với HH C mn ( x) lấy tích phân theo x: n EC n (5) m n Trong Hmn phần tử ma trận trận toán tử H “ E ”_biểu diễn H mnm0* H 0* m H mn E0 m dxm0* H V H0 mn n m V dxm0* V m m dx dx En0 Vmn mn (6) mn Trong Vmn phần tử ma trận lượng nhiễu loạn “ E ” biểu diễn Vmn m 0* V m dx (7) Thay (6) vào (5) ta được: En0 H mn Vmn C n ECm n E m V mn EC V m mn C n (8) m n Để biểu thị độ nhỏ V ta đặt: Vw tham số đặc trưng cho độ nhỏ lượng nhiễu loạn (9) [2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số Thay (9) vào (8): Ew m EC mn VC m mn (10) n m n Phương trình (10) phương trình tổng quát lý thuyết nhiễu loạn dừng I.1.2 Nhiễu loạn suy biến Từ công thức (10) ta khai triển Cm E dạng chuổi: C m C m(0) (0) Các số hạng C m , C m C m(1) Cm(2) (11) EE (0) E (1)2 E(2) (0) (1) ; E , E tương ứng với bổ hàm sóng và (1) lượng gần bậc 1, bậc 2… Thay (11) vào (10) tập hợp số hạng bậc lũy thừa , ta có: E E (0) C m wmn m (1) E (0) C E m E (1) C m m (0) w mn C n m n (1)(1) E w C mn (2) E (0) E m Cm m E (2) C (1) w m (12) C mn n m n (1) (2) wmn C E (3) E (0) C m (2) E (1) Cm m (3) (1) C w C m mn n Em E m n Phép gần bậc không: Với , phương trình (12): 0 E E m E0 (0) C E0 m 0, m = 1,2,3, k, m , C(0) (13) mk m Ta quan tâm đến mức lượng Ek0 hàm sóng E E0 , C(0) k k (14) k Nghiệm (14) gọi nghiệm gần bậc không (không nhiễu loạn) Phép gần bậc nhất: Thay (13) vào (12) bỏ qua số hạng có chứa bậc cao w mn E mk k (1) E m E C w m mn nk 0 0(1) : (15) m n Lấy phương trình thứ m = k phương trình (15), ta tìm bổ bậc cho lượng: w kk (1) E (1) E k w kk k V k: (16) k Lấy phương trình thứ m k phương trình (15) ta tìm số hạng bổ bậc hàm sóng 0(1) E E m C w mk m Từ ta tìm bổ bậc cho hàm sóng: w C(1) mk E m (17) E0 k m Phép gần bậc 2: Thay (16) (17) vào phương trình (12) bỏ qua số hạng chứa bậc w nk wmn wkk (0) E nk Ek nk Em E E m C w m trở lên: w 0(2) (2) (0) (0) mn (18) (0) Ek m n n k Em Lấy phương trình thứ m = k (18): w nk Ek(2)w kn (0) (0) Ek n k En Ta tìm bổ bậc cho lượng: w w (2) kn Ek (0) Ek n k nk (19) E n(0) Lấy phương trình m k (18) giá trị E(2) vào: k w w mn w kk (2) (0) Em k w Bây ta gộp số hạng mm (0) w mk (0) Em E k Em E (2) C E m nk E mn n k (0) En k nk mn m E n n k m E w (2) C w kk m (0) (0) Em k m E E (2) Cm (0) Ek Em Em Ek (0) k E w w kk Ek (0) Em (0) (0) k E w w m w (0) nk mn n n k (0) nk mn (0) n n k (0) Ek Em n n k nk w kk nk mn w 0 (20) (22) w w nk (2) Cm (0) En (21) (0) Từ suy Cm(2) : E k w w nk (0) E w mn (0) Ek Phương trình (20) trở thành: w (0) (0) m mm Em nk mn m vào tổng, đó: mk w w (0) k C E m w w m n n k nk w kk (2) E(0) k E E nk w w mn E (0) E (0) n n k nk E w Ek E (0) k w nk (0) Em Từ ta tìm số hạng bổ bậc hai cho hàm sóng: E Em E (0) m w w Cm kk (2) 00 nk w nk Em0 Ek0 mn Ek w ; m k, n k (23) nk En E k Em n Một cách hoàn toàn tương tự, ta tính bổ bậc ba bậc cao I.1.3 Nhiễu loạn có suy biến Đa số toán lý thuyết nhiễu loạn trường hợp suy biến, tức ứng với mức lượng có nhiều trạng thái Phương trình (3) đặt lại: ( x) Cn n (0) ( x) n, Phương trình (8) viết lại: (24) E V m EC V m,n m C0 m,n n mn Trong đó: Vm ,n m 0* V n (25) dx Là phần tử ma trận lượng nhiễu loạn Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k C k Ck C ( 0),1,2, , f (n k) (26) n Thay (22) vào (20) lấy phương trình thứ m = k (0) E k V EC k ,k E k k (0) 0 V C fk (27) V C V EC Phương trình (23) tương đương với hệ phương trình bâc Ek0 V21C10 V11 E C10 V12 C 2(0) V1 fk Ek0 V22 E C 2(0) V2 fk C(0) : (28) V f k 1C10 V f k C 2(0) Ek0 Vfkfk Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường khi: E C(0)fk Ek0 V11 E V12 V V Ek0 V V11 E fk k 2f 21 V fk Ek0 V11 (29) E Đây phương trình đại số bậc k E Người ta thường gọi phương trình kỉ giải phương trình ta tìm nghiệm: E Ek , Ek , Ek , E , Ekfk Với giá trị E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm nghiệm Ck Nhận xét Khi có nhiễu loạn mức lượng suy biến Ek0 tách thành fk mức sát Suy biến bị khử hoàn toàn Nếu có nghiệm (29) trùng suy biến bị khử phần Nhiễu loạn có suy biến toán phức tạp, ta giới hạn xét đến nghiệm gần bậc lượng bậc không hàm sóng I.1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Toán tử Halmiton: H H W ( x , t) Với: H : Toán tử Hamilton không nhiễu loạn W ( x , t) : Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: i ( x , t) H t (30) W ( x , t ) ( x.t ) (31) Khi không nhiễu loạn: i ( x , t) t H 0 ( x.t ) Nghiệm riêng (31) có dạng: E t (0) (x,t) (0) ( x )e i E 0t (0) (x,t) (0) ( x )e i E t n (0) (x,t) n (0) ( x )e i n Giải phương trình vi phân (5) ta thu nghiệm: () Vì exp( 2) hàm sóng phải hữu hạn nên ta chọn nghiệm: ( ) exp(- 2 )H( ) ; H( ) : đa thức Hermit Thay nghiệm vào phương trình (4): H '' H ' ( 2E 1) H (6) Khai triển H( ) dạng chuỗi: H( )= ak k k=0 Thay vào phương trình (6): k ( k 1) ak kkak k k k 2E 1) ak ( k k Thay k’ = k - đồng k’ k ( k 1)( k 2) ak k 2k ( k 2E 1) a k Từ ta suy hệ số truy hồi: k ( 2E 1) a ( k 1)( k 2) k ak Công thức cho phép ta biểu thị số hạng chuổi qua số hạng Để hàm sóng hữu hạn ta ngắt chuỗi đến giá trị kmax = n đó: E 2n ( 1) E n Vậy lượng dao động tử điều hòa bị lượng tử hóa ; n = 0,1,2 E n Phụ lục TOÁN TỬ SINH, HỦY HẠT Đặt: X ˆ a m P , x 1X m iP , Xét: X,P x,p i ˆ a p X iP aˆ aˆ P2 1 X P i X , P 12 X 2 X aaˆˆ P i X , P 12 2 P X Dao động tử điều hòa: 2 d2 2 m dx H Xét: ˆ ˆ H a n ˆˆ aa ˆˆ ˆˆ a a n 2 1 aa n aa aa aa a ˆˆ x E n a H n a n n Ea Kết thu cho thấy rằng: a n C biến hàm Toán tử a ; n1 n E n En thành hàm n , sinh thêm (tăng thêm) gọi toán tử sinh hạt (toán tử sinh) lượng lượngdo a Một cách hoàn toàn tương tự cho toán tử a , ta kết luận a ˆ ˆ toán tử hủy hạt (toán tử hấp thụ) Kết ta có công thức sau toán tử sinh hủy tác dụng lên hàm sóng: n n n a a n n n Phụ lục TÍNH TOÁN MỘT VÀI BIỂU THỨC BẰNG MAPLE: Một số tích phân > #bai 1_cau a_bo chinh bac 1: restart: A:=Int(x*(sin(n*Pi*x/a))^2,x=0 a/2): B:=Int((a-x)*(sin(n*Pi*x/a))^2,x=a/2 a): I1:=2*(A+B); kq:=simplify(value(I1)); a a I1 := n x x sin a 2 dx ( a x ) sin a n x a dx 2 a kq := 2 n cos cos ( n )2 n n2 > #bai 1_cau a_bo chinh bac 2: restart: A:=Int(x*sin(k*Pi*x/a)*sin(n*Pi*x/a),x=0 a/2): B:=Int((ax)*sin(k*Pi*x/a)*sin(n*Pi*x/a),x=a/2 a ): I2:=A+B; sin(n*Pi):=0: sin(k*Pi):=0: cos(n*Pi):=(-1)^n: cos(k*Pi):=(-1)^k: kq:=simplify(value(I2)); a a k x I2 := x sin n x sin a k x dx a ( a x ) sin n x sin a dx a a kq := a kn k k n cos k 2 k sin n sin n cos n k n sin (k n) ( -1 ) sin kn ( (k cos n b a 2k 2 n n )) > #bai 1_cau b_bo chinh bac 1: restart: I1:=Int((sin(n*Pi*x/a))^2, x=b a-b ); sin(n*Pi):=0: sin(k*Pi):=0: cos(n*Pi):=(-1)^n: cos(k*Pi):=(-1)^k: kq:=simplify(value(I1)); a b n x sin I1 := dx a b n b kq := cos a (2n) n b sin a a n b ( -1 ) n a sin n b a n a > #bai 1_cau b_bo chinh bac 2: restart: I2:=Int(sin(n*Pi*x/a)*sin(k*Pi*x/a), x=b a-b ); sin(n*Pi):=0: sin(k*Pi):=0: cos(n*Pi):=(-1)^n: cos(k*Pi):=(-1)^k: kq:=simplify(value(I2)); a b n x I2 := kq := sin n sin (n k)b a bn ( -1 ) n cos a sin (1 n k) ( -1 ) dx a (n k)b n sin (n k) sin a b a k x a bk a bn k sin a sin (n k)b a bk cos (n k)bk k sin ( (n k a a )) > #bai 1_cau c_bo chinh bac 1: restart: I1:=Int((sin(n*Pi*x/a))^2*(cos(Pi*x/a))^2, x=0 a ); sin(n*Pi):=0: sin(k*Pi):=0: cos(n*Pi):=(-1)^n: cos(k*Pi):=(-1)^k: kq:=simplify(value(I1)); a n x2 I1 := sin a cos x a dx kq := a > #bai 1_cau c_Nhieu Loan Bac 2: restart: #n:=k: n:=k2: sin(n*Pi):=0: sin(k*Pi):=0: I2:=Int(sin(n*Pi*x/a)*sin(k*Pi*x/a)*(cos(Pi*x/a))^2, x=0 a); kq:=simplify(value(I2)); a (k 2) x k x x I2 := sin sin a cos a dx a kq := a Một số tích phân: > #TICH PHAN (2.7): restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int((sin(Pi*y/L))^2, y=0 L ): I1:=X*Y; v11:=(4/L^2)*lambda*value(I1); x 2L L y I1 := x sin L dy L dx sin v11 := L > #TICH PHAN (3.7): restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(y*(sin(Pi*y/L))^2, y=0 L ): I1:=X*Y; kq:=(4/L^2)*lambda*value(I1); x 2L L y I1 := x sin L d x y sin 0 kq := L Phương trình kỉ (2.12): > #CAC YEU TO MA TRAN TRONG 2.12: restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): I1:=X*Y; L dy v11:=(4/L^2)*lambda*value(I1); L L x I1 := x sin y L dx sin dy L v11 := L U:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(2*Pi*x/L), x=0 L ): V:=Int(sin(Pi*y/L)*sin(2*Pi*y/L), y=0 L ): I2:=U*V; v12:=(4/L^2)*lambda*value(I2); L x I2 := x sin L L x sin y dx sin L L y sin L dy v12 := > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (2.12): > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > C:= matrix(2,2, [v11-t,v12,v12,v11-t]); L t L C := t > solve(det(C)=0,t); t:=Delta*E; L L , t := Phương trình kỉ (3.10): > #CAC YEU TO MA TRAN TRONG 3.10: restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(y*(sin(Pi*y/L))^2, y=0 L ): I1:=X*Y; v11:=(4/L^2)*lambda*value(I1); E L x 2L y I1 := x sin L d x y sin dy L v11 := L2 U:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(2*Pi*x/L), x=0 L ): V:=Int(y*sin(Pi*y/L)*sin(2*Pi*y/L), ): y=0 L I2:=U*V; v12:=(4/L^2)*lambda*value(I2); L x I2 := x sin sin L L x y dx L y sin L y sin L dy 256 L2 81 v12 := > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (3.10): > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > C:= matrix(2,2, [v11-t,v12,v12,v11-t]); 2 t L 256 L 256 L C := 81 L 81 t > solve(det(C)=0,t); t:=Delta*E; L2 ( 1024 81 324 ) , L2 ( 1024 81 324 t := E Phương trình kỉ (4.10): > #CAC YEU TO MA TRAN TRONG 4.10: restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): Z:=Int(sin(Pi*z*2/L)^2, z=0 L ): I1:=X*Y*Z; v11:=(2/L)^3*lambda*value(I1); 4 ) L L y L x I1 := x sin z L L dx sin dy sin dz L v11 := L > U:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): V:=Int(sin(Pi*y/L)*sin(Pi*y*2/L), y=0 L ): T:=Int(sin(Pi*z/L)^2, z=0 L ): I2:=U*V*T; v12:=(2/L)^3*lambda*value(I2); L L y L y z dz x I2 := x sin dx sin L sin L L dy sin 0 L v12 := > A:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): B:=Int(sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): C:=Int(sin(Pi*z/L)*sin(Pi*z*2/L), z=0 L ): I3:=A*B*C; v13:=(2/L)^3*lambda*value(I3); L I3 := x sin L L x L z z y sin dy L d x sin L sin dz L 0 v13 := > H:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(Pi*2*x/L), x=0 L ): T:=Int(sin(Pi*y/L)*sin(Pi*2*y/L), y=0 L ): K:=Int(sin(Pi*z/L)^2, z=0 L ): I4:=H*T*K; v23:=(2/L)^3*lambda*value(I4); L x x L y y L z I4 := x sin L sin dx sin L L v23 := Phương trình kỉ (4.12): > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (4.12): sin L dy sin L dz with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > v21:=v12: v31:=v13: v22:=v11: v33:=v11: v32:=v23: > M:= matrix(3,3, [v11-t,v12,v13,v21,v22-t,v23,v31,v32,v33-t]); L t 0 M := L t 0 L t > solve(det(M)=0,t); t:=Delta*E; L , L , L 2 t := E Phương trình kỉ (4.16): > #CAC YEU TO MA TRAN TRONG 4.16: restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(y*sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): Z:=Int(sin(Pi*z*2/L)^2, z=0 L ): I1:=X*Y*Z; v11:=(2/L)^3*lambda*value(I1); x 2L L y L 2 z I1 := x sin L L dx y sin dy sin v11 := L2 > U:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): V:=Int(sin(Pi*y/L)*sin(Pi*y*2/L), y=0 L ): T:=Int(sin(Pi*z/L)^2, z=0 L ): L dz I2:=U*V*T; v12:=(2/L)^3*lambda*value(I2); L x 2L L y y z dx sin L I2 := x sin sin L L dy sin L dz v12 := > A:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): B:=Int(sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): C:=Int(sin(Pi*z/L)*sin(Pi*z*2/L), z=0 L ): I3:=A*B*C; v13:=(2/L)^3*lambda*value(I3); L y 2L x 2L I3 := x sin L d x sin 0 z2 z dy sin L sin L dz L v13 := > H:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(Pi*2*x/L), x=0 L ): T:=Int(y*sin(Pi*y/L)*sin(Pi*2*y/L), y=0 L ): K:=Int(sin(Pi*z/L)^2, z=0 L ): I4:=H*T*K; v23:=(2/L)^3*lambda*value(I4); L x x L y y L z I4 := x sin L sin dx y sin L L sin L dy sin L dz v23 := 256 L2 81 > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (4.16): with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > v21:=v12: v31:=v13: v22:=v11: v33:=v11: v32:=v23: > M:= matrix(3,3, [v11-t,v12,v13,v21,v22-t,v23,v31,v32,v33-t]); L t 0 L M := t 256 L 256 L 81 L 81 t > solve(det(M)=0,t); t:=Delta*E; L2 , L2 ( 1024 81 324 ) , L2 ( 1024 81 324 t := ) E Phương trình kỉ (4.22): > #CAC YEU TO MA TRAN TRONG 4.22: restart: X:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): Y:=Int(y*sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): Z:=Int(z*sin(Pi*z*2/L)^2, z=0 L ): I1:=X*Y*Z; v11:=(2/L)^3*lambda*value(I1); x 2L L y 2L 2 z I1 := x sin L d x y sin L dy z sin L dz v11 := L3 > U:=Int(x*(sin(Pi*x/L))^2, x=0 L ): V:=Int(y*sin(Pi*y/L)*sin(Pi*y*2/L), y=0 L ): T:=Int(z*sin(Pi*z/L)*sin(Pi*2*z/L), z=0 L ): I2:=U*V*T; v12:=(2/L)^3*lambda*value(I2); L x 2L I2 := x sin L L y2 y dx y sin L sin L dy z sin z2 z L v12 := 128 L3 81 > A:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(Pi*x*2/L), x=0 L ): B:=Int(y*sin(Pi*y/L)^2, y=0 L ): sin L dz C:=Int(z*sin(Pi*z/L)*sin(Pi*z*2/L), z=0 L ): I3:=A*B*C; v13:=(2/L)^3*lambda*value(I3); L I3 := x sin sin L L x x L y L z2 z dy z sin L 0 L sin dz L v13 := 128 L3 81 > H:=Int(x*sin(Pi*x/L)*sin(Pi*2*x/L), x=0 L ): T:=Int(y*sin(Pi*y/L)*sin(Pi*2*y/L), y=0 L ): K:=Int(z*sin(Pi*z/L)^2, z=0 L ): I4:=H*T*K; v23:=(2/L)^3*lambda*value(I4); L L x2 x y L y z I4 := x sin L sin dx y sin L sin L L L dz v23 := 128 L3 81 > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (4.22): with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > v21:=v12: v31:=v13: v22:=v11: v33:=v11: v32:=v23: > M:= matrix(3,3, [v11-t,v12,v13,v21,v22-t,v23,v31,v32,v33-t]); 3 t L 128 L 128 L 128 L3 M := 81 128 L 81 > solve(det(M)=0,t); t:=Delta*E; 4 81 L3 128 L 81 4 t 81 128 L3 81 L t L ( 81 648 2048) , L ( 81 648 t := 1024) E Phương trình kỉ (13.8): > #GIAI PHUONG TRINH THE KI (13.8): restart: with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > M:= matrix(4,4, [-t,3*e*epsilon*a,0,0,3*e*epsilon*a,t,0,0,0,0,-t,0,0,0,0,-t]); t 3e a t 0 0 t 0 0 3e a M := > solve(det(M)=0,t); t:=Delta*E; 0, 0, e a, e a t := E t [...]... thái cơ bản của hệ (1, 2 , ) Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình: H 0 i Cho phép xác định được các thông số i Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của năng lượng: E ( 01 , 02 ( 01 , , ) H 02 , ) ( 01 , ( 01 , 02 02 , ) , ) Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E0 của hệ Chương II LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP II.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ Bài 1... mức năng lượng độc lập Câu c, bài 4 khi nhiễu loạn có dạng tích của 3 tọa độ nhưng tính suy biến chỉ bị khử đi một phần (2 mức năng lượng nhưng có 3 hàm sóng) Về mặt mức độ, bài 2 và câu a của bài 4 nên sử dụng làm bài tập nâng cao cho sinh viên đại học, còn bài 3 và câu b,c của bài 4 nên sử dụng trong chương trình giảng dạy cơ lượng tử ở cao học Bài 5 Xét hạt khối lượng m trong hố thế vô hạn một chiều:... đến năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời giữa 2 trạng thái Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k 2 Pmk ( ) (1) Cm () 1 2 m là Pmk: 2 0 m W ( x , t ) k dt (42) I.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến... giải các bài toán này, cần chú ý ở nhiễu loạn có suy biến, khi giải phương trình thế kỉ ta thu được các bổ chính E , từ các bổ chính này ta thu được các mức năng lượng cho từng trạng thái khi có nhiễu loạn và có kết luận cho tính khử suy biến Công việc tính toán phức tạp nhất trong các bài toán này là lập và giải phương trình thế kỉ, đặc biệt là các yếu tố ma trận trong phương trình này Nhưng các tích... phân Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông số Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ. .. Nhận xét chung Bài toán hạt trong hố thế có thành cao vô hạn trường hợp 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều trong cơ học lượng tử đều có lời giải chính xác về năng lượng và hàm sóng Nhưng khi có nhiễu loạn, dẫn đến việc làm thay đổi toán tử Hamilton từ đó làm thay đổi nghiệm của phương trình Schrodinger, tức là cả hàm sóng và năng lượng đều bị thay đổi Mục đích của ba bài toán: Bài 2, bài 3 và bài 4 là khảo... x 0,a Hạt chịu tác dụng của nhiễu loạn: Trong đó, ˆ o (x a) V 2 là hằng số thực có thứ nguyên năng lượng a) Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn b) Hãy giải bài toán một cách chính xác Chứng tỏ rằng các mức năng lượng khã dĩ được xác định một trong các phương trình sau: sin Trong đó, k đối và dấu của a Lời giải 2mE ka 2 0 k 2 m 2 0 Các kết quả này phụ thuộc thế nào vào giá... lượng trạng thái cơ bản của hệ Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử theo các vector riêng toán tử Halmitonian H : Cn n của (43) n n Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng: H 2 H C n En (44) n Cn 2 n Gọi E0 là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có: 2 E C E n 0 Cn 0 2 H (45) n n Nếu chọn vector trạng thái là một hàm của các thông số chưa biết nào... 1 Nhận xét Bài toán nhằm mục đích tính toán, kiểm tra lại các công thức đã học về bổ chính năng lượng bậc 1, bậc 2 2 Kiến thức Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1) Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin Công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết... Kỹ năng và phương pháp giải Cả 3 bài toàn về trình tự các bước giải là hoàn toàn giống nhau Đầu tiên ta xác định năng lượng và hàm sóng chính xác của bài toán không nhiễu loạn Dựa vào các biểu thức về năng lượng ở (2.5), (3.5) và (4.5) ta xác định được tính suy biến của từng trạng thái Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn loạn cho từng trạng thái ta đi tìm bổ chính năng lượng bậc 1 đối với năng lượng và bậc