các bài tập hệ thống hóa phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

luận văn tốt nghiệp các bài tập hệ thống hóa phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ    ĐỀ TÀI: GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa SVTH: Võ Mạnh Hùng Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đở của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến: TS. Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo và tạo cho em lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn. Người thầy đã truyền cho em sự say mê trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực hiện những bước đi đúng đắn trong tiến trình làm luận văn. Quý t hầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp. HCM đã truyền đạt cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nền tảng cho tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt TS. Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn. Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn. Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn. Tp. H CM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008. Võ Mạnh Hùng PHẦN MỞ ĐẦU: 1. Lý do chọn đề tài: Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien  H . Đòi hỏi xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton  H đó. Thực ra bài toán tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một số trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”… Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn. Chính vì vậy, phương pháp gần đúng được đưa v ào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên. Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Mỗi phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức độ và giải một cách chi tiết. Phương pháp nghiê n cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân); Thực hành giải bài tập và phân loại bài tập. 3. Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở lý thuyết. Chương II: Hệ thống bài tập. Kết luận_Hướng phát triển. Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT [2],[8] I.1. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN I.1.1. Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. Hamiltonien:    0 HH V   Với:  0 H : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn.  V : Toán tử nhiễu loạn. Phương trình Schrodinger:  HE    : Khi nhiễu loạn. (1)  (0) (0) (0) 0 nnn HE   : Khi không nhiễu loạn. (2) Khai triển: () x  theo (0) () n x  (0) () () nn n x Cx     (3) Thay (3) vào (1):  (0) (0) () () nn nn nn HC xEC x    (4) Nhân vào bên trái của (4) với * (0) () n x  và lấy tích phân theo x:  mn n m n HHCEC  (5) Trong đó H mn là phần tử ma trận trận của toán tử  H trong “ E 0 ”_biểu diễn.        ** ** 00 0 0 0 00 00 0 0 mn m m m m mm mm nmnmn H H dx H V dx Hdx VdxE V           0 mn n mn mn HE V    (6) Trong đó V mn là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ 0 E ” biểu diễn.  * 00 mn m m VVdx    (7) Thay (6) vào (5) ta được:   0 nmn mn n m n HE VCEC    0 0 mmn m mnn mn EV EC VC        (8) Để biểu thị độ nhỏ của  V ta đặt:  Vw   (9)  là một tham số đặc trưng cho độ nhỏ của năng lượng nhiễu loạn. [2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số 8 Thay (9) vào (8): 0 0 mmn m mnn mn EwEC VC         (10) Phương trình (10) chính là phương trình tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. I.1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến. Từ công thức (10) ta khai triển C m và E dưới dạng chuổi: (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) mm m m CC C C EE E E         (11) Các số hạng (0) (1) (0) (1) , ; , mm CC EE tương ứng với các bổ chính của hàm sóng và và năng lượng trong gần đúng bậc 1, bậc 2… Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa  , ta có: 0 0 (0) (1) (0) 0 0 (1) (0) 2(1)(1)(2)(0)00(2) (1) 3 (1)(2)(3)(0)(2)(1) w w w w w mm mn mmmmnn mn mn m m m m mn n mn mn m m m EEC EC EEC C EC EC EEC C EC EC EC E                                00(3) (1) w 0 mm mnn mn EC C          (12)  Phép gần đúng bậc không: Với 0   , phương trình (12): 00(0) 0, m = 1,2,3, k, mm EEC    00(0) , C mm mk EE    (13) Ta quan tâm đến mức năng lượng 0 k E và hàm sóng 0 k  00(0) , C 1 kk EE (14) Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gần đúng bậc không. (không nhiễu loạn)  Phép gần đúng bậc nhất: Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn 2  : (1) 0 0 (1) ww0 mn k mk m m mn nk mn EEEC        (15) Lấy phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bổ chính bậc nhất cho năng lượng:  (1) (1) w0w kk k k kk EE kVk : (16) Lấy phương trình thứ mk trong các phương trình (15) ta sẽ tìm được số hạng bổ chính bậc nhất đối với hàm sóng. 00(1) w0 mmmk EEC     Từ đây ta tìm được bổ chính bậc nhất cho hàm sóng: (1) 00 w mk m km C EE   (17)  Phép gần đúng bậc 2: Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hạng chứa bậc 3  trở lên:  2(2)00(2) (0) (0) (0) (0) ww ww w 0 nk nk mn kk nk m m mn mn km km nk EEEC EE EE               (18) Lấy phương trình thứ m = k trong (18): (2) (0) (0) w w0 nk kkn nk kn E EE      Ta tìm được bổ chính bậc 2 cho năng lượng: (2) (0) (0) ww 0 kn nk k nk kn E EE     (19) Lấy phương trình mk trong (18) và thế giá trị của (2) k E vào:  (2) 0 0 (2) (0) (0) (0) (0) ww ww w 0 nk nk mn kk nk m m mn mn km kn nk EEEC EE EE          (20) Bây giờ ta gộp số hạng (0) (0) ww mm mk km EE vào trong tổng, khi đó: (0)(0) (0)(0) (0)(0) www w ww0 nk mm mk nk mn mn nmn km km kn nk nk EE EE EE        (21) Phương trình (20) trở thành: 00(2) (0) (0) (0) (0) ww ww0 nk nk kk m m mn n km km nk EEC EE EE        (22) Từ đây suy ra (2) m C :    00(2) (0) (0) (0) (0) (2) (0) (0) (0) (0) 00 (2) (0) (0) (0) (0) 00 00 ww ww ww 1 ww ww w w 11 nk nk mmkk mn n km km nk nk nk mkk mn n km km mk nk kk nk mn nk m n km km mk m nk EEC EE EE C EE EE EE C EE EE EE EE                         Từ đây ta tìm được số hạng bổ chính bậc hai cho hàm sóng:   (2) 2 00 00 00 ww ww 1 kk nk mn nk m n kn km mk nk C EE EE EE       ; ,mknk   (23) Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn. I.1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến. Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái. Phương trình (3) được đặt lại: (0) , () () nn n x Cx       Phương trình (8) được viết lại: 0 ,, 0 mmn m mnn mn EV EC V C            (24) Trong đó:  * 00 ,mn m n VVdx       (25) Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn. Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k. 0 ( 0), 1,2, , 0 ( ) k k n CC f Cnk             (26) Thay (22) vào (20) và lấy phương trình thứ m = k. 0(0)0 , 0 kkk k EV EC VC             0(0)0 0 k f k EV EC VC              (27) Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bâc nhất đối với (0) C  :     00(0) 11 1 12 2 1 00 (0) 21 1 22 2 2 0(0) 0 (0) 11 22 0 0 . . 0 k k kk kkk kf kf ff kfff EV ECVC V VC E V EC V VC VC E V EC                   (28) Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường khi:    0 12 1 11 0 11 2 21 0 1 11 . 0 . k k k f k k f f k V V EV E EV E V V V EV E     (29) Đây là một phương trình đại số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình thế kỉ. giải phương trình này ta tìm ra các nghiệm: 123 , , , , . k kk k kf E EEE EE  Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm C k Nhận xét. Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biến 0 k E được tách thành f k mức sát nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy biến bị khử mất một phần. Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới hạn xét đến nghiệm gần đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm sóng. I.1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Toán tử Halmiton:   0 (,) H HWxt Với:  0 H : Toán tử Hamilton khi không nhiễu loạn.  (,)Wxt: Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:  0 (,) (,) (.) xt iHWxtxt t         (30) Khi không nhiễu loạn:  0 0 (,) (.) xt iHxt t       (31) Nghiệm riêng của (31) có dạng: 0 1 0 2 0 (0) (0) 11 (0) (0) 22 (0) (0) (,) () (,) () (,) () n Et i Et i Et i nn xt xe xt xe xt xe                Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng: (0) 1 (0) (0) (0) (0) (0) (,) (,) () Et i nn nn nn xt C xt C xe       (32) Ta tìm nghiệm của (31) dưới dạng: (0) (,) () (,) nn n x tCtxt     (33) Tìm () n Ct: Thay (33) vào (30):  (0) (0) 0 () (,) (,) () (,) nn nn nn i CtxtHWxtCtxt t         (0) (0) (,) () () (,) nnnn nn ixtCtCtixt tt         (0) (0) 0 () ( ,) () ( ,) ( ,) nn n n nn CtH xt CtWxt xt    (34) Từ (34) và (31) ta thu được phương trình sau:  (0) (0) (,) () () (,) (,) nnn n nn i xt C t C tW xt xt t       (35) Nhân vào 2 vế của (35) với * (0) m  và lấy tích phân theo x, ta được: () ( ,) () mn mn it it m mn n n nn dC i WeCt mWxtneCt dt     (36) Trong đó:   * (0) (0) ,(,)() ()(,) mn it mn m m mn n n Wxt Wxt xdx eCt mWxtn      (37) Là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn trong “E 0 ” biễu diễn và: (0) (0) mn mn EE     (38) Gọi là sự chuyển dời lượng tử. Phép gần đúng bậc không: Giả sử khi t = 0,  (,)Wxt =0: khi đó phương trình (37) trở thành: 0 0 () 0 ( ) onst m m dC t iCtc dt    Chọn hàm sóng ở trạng thái dừng thứ k (0) . (0) (). n i Et k xe    là hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn. Do đó: (0) (0) (0) (0) (0) ( , ) ( ) ( , ) knn mn nn CxtCtxt        1, () (0) 0, mnmk mk Ct C mk        (39) Phép gần đúng bậc nhất: Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36): (1) (1) () () w mn mk it it mm mn nk mk n dC t dC t iWei e dt dt      (1) (1) 0 () (,) (0) mk it mm CmWxtnedtC       (40) Vì các hệ số C m (0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng mk  nên (1) 0 m C  Nghiệm gần đúng bậc nhất: (1) 0 () (,) mk it m CmWxtnedt       Phép gần đúng bậc 2: Nghiệm gần đúng chính xác đến bậc 1: (1) () () nnkn Ct C t   Thay giá trị của C n (t) vào phương trình (36): (1) (1) () (,) (,) () mn mn it it m n n dC t imWxtnemWxtneCt dt     (2) (1) 0 () 1 (,) (,) () mk mn t it it m n n dC t i mWxt ne mWxt ne nWkC t dt i        (41) Giải phương trình (41) ta được:  (2) 2 0 0 11 () ( ,) ( ,) mk mn mk t it it it m n C t mW xt ne dt mW xt n e nW ke dt i i                    Và cứ theo quy trình này, ta có thể tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc bốn vv. Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chỉ cần quan tâm đến nghiệm gần đúng bậc nhất. I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử. Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời giữa 2 trạng thái. Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng t hái km là P mk : 2 2 (1) 2 0 1 () () (,) mk m PC mWxtkdt      (42) [...]...I.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn... thu được 3 mức năng lượng độc lập Câu c, bài 4 khi nhiễu loạn có dạng tích của 3 tọa độ nhưng tính suy biến chỉ bị khử đi một phần (2 mức năng lượng nhưng có 3 hàm sóng) Về mặt mức độ, bài 2 và câu a của bài 4 nên sử dụng làm bài tập nâng cao cho sinh viên đại học, còn bài 3 và câu b,c của bài 4 nên sử dụng trong chương trình giảng dạy cơ lượng tử ở cao học Bài 5 Xét hạt khối lượng m trong hố thế vô hạn... lại cho đáp án đúng Tác giả vẫn mong quý thầy cô hay các bạn đọc đóng góp ý kiến Bài toán này nên sử dụng làm bài tập tham khảo cho lớp đại học và nên sử dụng để giảng dạy cho cho các lớp ở cao học II.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHIỄU LOẠN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Bài 6 Dao động tử điều hòa một chiều chịu tác dụng của nhiễu loạn: V  bx Trong đó b là hằng số thực a Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 2... của nhiễu loạn: a ˆ V  o ( x  ) 2 Trong đó,  là hằng số thực có thứ nguyên năng lượng a) Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn b) Hãy giải bài toán một cách chính xác Chứng tỏ rằng các mức năng lượng khã dĩ được xác định một trong các phương trình sau: 2  ka  sin   0 hoặc tg ka    k    2   2  m0 Trong đó, k  2mE Các kết quả này phụ thuộc thế nào vào... bổ chính năng lượng bậc 1 đối với năng lượng và bậc không cho hàm sóng Khi giải các bài toán này, cần chú ý ở nhiễu loạn có suy biến, khi giải phương trình thế kỉ ta thu được các bổ chính E , từ các bổ chính này ta thu được các mức năng lượng cho từng trạng thái khi có nhiễu loạn và có kết luận cho tính khử suy biến Công việc tính toán phức tạp nhất trong các bài toán này là lập và giải phương trình... cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông số Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của hệ Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử  theo các vector riêng  n của toán tử Halmitonian H :    Cn n (43) n Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có... năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có: H  E0  Cn 2 n  Cn 2  E0 (45) n Nếu chọn vector trạng thái  là một hàm của các thông số chưa biết nào đó 1 , 2 ,…, sao cho trùng với vector trạng thái cơ bản của hệ    (1 , 2 , ) Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình:  H i 0 Cho phép xác định được các thông số i Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của năng lượng: ... E  (01 , 02 , ) H  (01 , 02 , )  (01 , 02 , )  (01 , 02 , ) Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E0 của hệ Chương II LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP II.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ Bài 1 Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a Hãy tính các bổ chính bậc 1 và bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn V0  a  2x  a  a V , b < x < a - b b...  V ( x, y, z ) , mức năng lượng cơ bản được dịch lên một lượng E  (1) 111  L3 8 , mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất bị tách thành 2 mức, ứng với 3 hàm sóng, tính suy biến bị khử một phần Phân tích 1 Nhận xét chung Bài toán hạt trong hố thế có thành cao vô hạn trường hợp 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều trong cơ học lượng tử đều có lời giải chính xác về năng lượng và hàm sóng Nhưng khi... tích 1 Nhận xét Bài toán nhằm mục đích tính toán, kiểm tra lại các công thức đã học về bổ chính năng lượng bậc 1, bậc 2 2 Kiến thức Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1) Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin Công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết