Hệ thống hóa bài tập spin và hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài: SVTH : Đỗ Thùy Linh GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Khóa: 2004 – 2008 Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2008 LỜI CẢM ƠN Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, được sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trường, đã giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết. Công lao to lớn của quý thầy cô em không thể nào quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn. Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2004 – 2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình gi úp đỡ . Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này. Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp giáo dục. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton, nơtron… còn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với một m ômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của nó. Mômen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với những luận điểm cơ bản của t huyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi chuyển sang cơ học cổ điển 0 spin sẽ bằng không. Do đó spin không có sự tương tự cổ điển. Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất. Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học. 2. Mục tiêu đề tài Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử. 3. Phương pháp nghiên cứu Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :  Phương pháp thực hành giải bài tập.  Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.  Phương pháp phân loại bài tập. 4. Cấu trúc luận văn  Mở đầu.  Chương 1: Cơ sở lý thuyết.  Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất.  Kết luận. Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Spin [1] Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong không gian có thể có hai giá trị 2   . Các trạng thái của spin là các ket véctơ z S   ( trạng thái spin lên) và z S (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một hệ trực chuẩn: 1 0         Và tính đủ của không gian: , 1        . Trạng thái z S  gọi là trạng thái phân cực vì spin có hướng đặc biệt. Trạng thái ban đầu không phân cực được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính : ab     Trong đó : 2 2 a   là xác suất để hạt có spin hướng lên. 2 2 b   là xác suất để hạt có spin hướng xuống. Từ điều kiện chuẩn hóa ta có 22 1 1ab    . Hình chiếu spin lên trục z có giá trị 2   nên ta biểu diễn thông qua hai trạng thái của spin như sau: ˆ = 2 z S    và ˆ =- 2 z S   Ma trận của toán tử ˆ z S được viết như sau: 0 2 0 2          Các toán tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ thức giao hoán: ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ x yyx z yz zy x zx xz y SS SS iS SS SS iS SS SS iS       Đặt 11 1 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 22 2 x xyy zz SS S      Trong đó ˆˆˆ ,, x yz   gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuông cấp hai và ˆ z  có dạng: 10 ˆ 01 z       Các hệ thức giao hoán đối với ma trận Pauli được viết lại: ˆˆ ˆˆ ˆ 2 ˆˆ ˆˆ ˆ 2 ˆˆ ˆˆ ˆ 2 x yyx z yz zy x zx xz y i i i              Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán: ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 xy yx yz zy zx xz   . Vì trị riêng của các toán tử Pauli ˆˆˆ ,, x yz   tương ứng bằng 1 , suy ra 222 10 ˆˆˆ 01 xyz I      Trong z S biểu diễn các ma trận Pauli có dạng : 10 01 0 ˆˆˆ , , 01 10 0 zxy i i        V 2222 3 xyz I Vy toỏn t bỡnh phng momen spin: 22 2 2 2 222 10 33 01 44 4 xyz SSSS I Tr riờng ca toỏn t 2 S l : 2 22 31 (1) ( 42 Sss vụựi s = soỏ lửụùng tửỷ spin). Tr riờng v vect riờng ca toỏn t ,, x yz SSS . Xột trong c s , zz SS , biu din ma trn ca c s z S l : 10 , 1 0 , 0 1 01 10 1 0 =1 0 1 1 01 vaứ vaứ Vy 10 , 01 l cỏc spin riờng ca z S ng vi cỏc tr riờng 2 . Phng trỡnh tr riờng ca x S vi ma trn tr riờng cú dng a b . Thay vo phng trỡnh tr riờng ca toỏn t x S , gii phng trỡnh ta thu c hai vector riờng 1 1 1 2 v 1 1 1 2 ng vi hai tr riờng 2 . Vy hai spinn riờng ca toỏn t x S l 1 1 1 2 v 1 1 1 2 . Tr riờng ca toỏn t y S vi ma trn tr riờng cú dng c d . Thay vo phng trỡnh tr riờng ca toỏn t y S , gii phng trỡnh ta thu c hai vector riờng 1 1 2 i v 1 1 2 i ng vi hai tr riờng 2 . Vậy hai spinnơ riêng của toán tử ˆ y S là 1 1 2 i    và 1 1 2 i     . Ta đang xét trong ˆ z S biểu diễn, để chuyển từ ˆ z S biểu diễn sang ˆ x S hay ˆ y S biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong ˆ z S biểu diễn các spinnơ của ˆ x S có dạng 1 1 1 2    và 1 1 1 2     , trong ˆ x S biểu biễn các spinnơ của ˆ x S phải có dạng 1 0    và 0 1    tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử ˆ x S trong các biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn: 1 1 2 10 2 U           và 1 0 2 11 2 U            Ma trận U có dạng 11 22 11 22 U         Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất lượng tử. 1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất [2] 1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất Các hạt có cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin, mômen từ… không có thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta có thể phân biệt các hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có bao nhiêu hạt thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta không thể phân biệt được các hạt dù có đánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc không phân biệt được các hạt đồng nhất có liên quan đến nguyên lí bất định. Nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất đòi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng không thay đổi khi hoán vị hai hạt bất kì. 1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn: 12 ,ab a b Trong đó 12 ,ab là trạng thái của hai hạt 1 và 2. Toán tử 12 ˆ P được coi là toán tử hoán vị, khi tác dụng lên trạng thái của hệ hai hạt ,ab cho một trạng thái mới trong đó tọa độ hai hạt hoán vị cho nhau. 12 ˆ ,, Pab ba Theo nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt bất kỳ ta được : 12 ˆ P    . Khi hoán vị lần nữa : 22 12 ˆ P     2 1 = 1    . Trong cơ sở ,,,ab ba trực chuẩn ta có dạng ma trận của toán tử 12 ˆ P như sau: 12 12 12 12 ˆˆ ,, ,, 01 ˆˆ 10 ,, ,, abP ab abP ba baP ab baP ba        Phương trình trị riêng của toán tử 12 ˆ P . 11 1 1 22 2 2 01 01 0 10 10 0                              Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức các hệ số bằng không: 2 1 0 1 = 1 1         Ta có các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên :   1 , , =1 2 1 , , =-1 2 s a ab ba ab ba     Trạng thái s  đối xứng với phép hoán vị hai hạt và trạng thái a  phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt. 12 12 ˆ ˆ ss aa P P      Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên , 0,1,2 ss Sm m   gọi là các hạt bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên 13 , , 22 s m  gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac. 1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 có phương trình Schrodinger: ˆ (1, 2) (1, 2) HE   Trong trường hợp (1, 2)  chứ có tính đối xứng ta phải đối xứng hóa hàm sóng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái (1, 2), (2,1)   . 12 (1, 2) (2,1)CC     [...]... nhất và hệ hạt khơng đồng nhất Đây cũng là một bài tốn cơ bản của cơ học lượng tử được giảng dạy trong chương trình cơ học lượng tử của Đại học Sư Phạm Kiến thức Ở đây ta chú ý rằng chỉ có hệ hạt đồng nhất mới có sự đối xứng hóa hàm sóng do đó khơng phải nghiệm nào cũng được chấp nhận là nghiệm vật lý Còn đối với hệ hạt khơng đồng nhất hàm sóng khơng đối xứng hóa Bài 8 Hai hạt fermion spin V(x) 1 chuyển... độ và hàm spin phải cùng đối xứng Khi hốn vị hai hạt hàm tọa độ được nhân với hệ số (1) S trong đó S là spin tổng cộng của hệ :        (r1 , r2 )  (1) S  (r2 , r1 )   (r2 , r1 ) Do đó S = 0,2    Có J  S  L mà l  0  j  S  0, 2 Vậy đối với hệ hạt đồng nhất thì j khơng có giá trị 1 như hệ hạt khơng đồng nhất Nhận xét Bài tốn này cho thấy sự khác nhau giữa hệ hạt đồng nhất và hệ hạt. .. kiện chuẩn hóa ta tìm được C  1 1 , C' 2 2 Tổng qt cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt N  2  s (1, 2, , N )  C N  i 1, j  i  a (1, 2, , N )  C ' ˆ Pij (1, 2, , N ) đối với hệ hạt boson N  i 1, j  i ˆ (1)i  j Pij (1, 2, , N ) đối với hệ hạt fermion Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0 (hệ hạt boson) hoặc 1  (hệ hạt fermion) chuyển động trong trường... chỗ cho nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái Năng lượng trao đổi ˆ thu được cả trong trường hợp tốn tử V có xét đến tương tác giữa các ˆ mơmen từ spin, tức là tốn tử V có tác động lên các phần spinnơ của hàm sóng 1.3 Kết luận Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với nhiều mức độ khác... năng lượng của hai hạt có spin 1 gồm hai phần Phần 2 thứ nhất khơng liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự cổ điển Dấu  phụ thuộc vào spin tồn phần của hệ mặc dù tương tác giữa ˆ các spin khơng được tốn tử V (r12 ) xét đến Phần năng lượng A gọi là tương ˆ tác trao đổi Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước tốn tử V dưới dấu ˆ tích phân và trong các hàm đứng sau tốn tử V các hạt. .. thống bài tập với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng u cầu trên Chương 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Bài 1 Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương bất kỳ Lời giải Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có     S = Sx i  Sy j  Sz k Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ  S.n = Sx n x  Sy n y  Sz n z   S.n ... được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của tương tác trao đổi giữa các hạt Ta xét hệ gồm hai hạt có spin 1 , giữa chúng 2 có một tương tác khơng liên quan đến spin của các hạt Giả sử tương tác này đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt khơng tương tác Ký hiệu ˆ nhiễu loạn đó là tốn tử V (r12 ) trong đó r12 là khoảng cách giữa các hạt ˆ V (r12 ) khơng tác dụng lên spin của hệ Năng lượng. .. Pauli, trạng thái cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose 1.2.d Tương tác trao đổi  Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ r1 và spin  1 ,  hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ r2 , spin  2 … Hamiltonian của các hạt tương tác điện ( khơng có từ trường) khơng chứa các tốn tử spin, do đó khi tác động lên hàm sóng nó khơng tác động lên biến spin Hàm sóng của hệ có thể viết... vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ   tọa độ Do phép nghịch đảo hàm sóng  (r1 , r2 ) phải nhân với  1 trong đó l l là mơmen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt Vì hàm sóng của hệ là đối xứng nên:  s (1)l   's   s Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng khơng có mơmen quỹ đạo chẵn Xét hệ hạt fermion (electron) có spin 1 khi đó hàm sóng tồn phần 2 của hệ là phản... cos  Nhận xét Đây là bài tốn cơ bản của cơ học lượng tử Khi spin bị lượng tử hóa hình chiếu spin có hai giá trị : Sz        , Sz      2 2 2 2 Như vậy một trạng thái bất kỳ có thể được biểu diễn thơng qua hai véctơ trực chuẩn S z     , Sz       a  b  Chỉ cần sử dụng phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hóa ta có thể xác định được hai hằng số a,b Bài tập này giúp sinh viên