Khóa luận tốt nghiệp vật lý hệ thống hóa bài tập spin và hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài: SVTH : Đỗ Thùy Linh GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Khóa: 2004 – 2008 Thành phố Hồ Chí Minh tháng năm 2008 LỜI CẢM ƠN Trong suốt năm học mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, quan tâm dạy dỗ thầy nhà trường, giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao hiểu biết Cơng lao to lớn q thầy em khơng thể qn, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ban chủ nhiệm khoa Vật lý tạo điều kiện thuận lợi cho em làm luận văn Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ em suốt thời gian làm luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy trường truyền đạt kiến thức cho em khóa học 2004 – 2008 em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, tạo điều kiện thuận lợi để em thực tốt luận văn Sau em xin kính chúc q thầy ln mạnh khỏe thành cơng nghiệp giáo dục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài – giới hạn đề tài Chúng ta quan niệm trạng thái vi hạt xác định biết ba tọa độ hay ba hình chiếu xung lượng Nhưng loạt kiện thực nghiệm chứng tỏ vi hạt electron, proton, nơtron… có bậc tự nội đặc thù Bậc tự gắn liền với mơmen quay riêng hạt, khơng liên quan đến chuyển động quay Mơmen riêng gọi spin ký hiệu S Sự tồn spin electron xác nhận trước học lượng tử đời Người ta tìm cách minh họa spin đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay hạt quanh trục riêng Nhưng giải thích mâu thuẫn với luận điểm thuyết tương đối Như thấy sau này, bậc tự nội spin liên quan đến có đặc tính lượng tử đặc thù Khi chuyển sang học cổ điển spin khơng Do spin khơng có tương tự cổ điển Các tập phần spin hệ hạt đồng khó, đòi hỏi việc phân loại phải đầy đủ, rõ ràng Em chọn đề tài nhằm giúp sinh viên ngành vật lý Đại học Sư Phạm có hệ thống tập rõ ràng hơn, qua nắm chất phần spin hệ hạt đồng Hệ thống tập áp dụng cho chương trình đại học cao học Mục tiêu đề tài Nhằm xây dựng phân loại tập cho phần spin hệ hạt đồng chương trình học phần học lượng tử Phương pháp nghiên cứu Có phương pháp sử dụng nghiên cứu đề tài : Phương pháp thực hành giải tập Phương pháp phân tích nội dung chương trình học lượng tử Phương pháp phân loại tập Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Hệ thống tập phần spin hệ hạt đồng Kết luận Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Spin [1] Spin momen xung lượng riêng hạt, độ lớn spin đặc trưng số lượng tử spin S nhận giá trị ngun dương hay bán ngun Cũng giống mơmen khác, định hướng mơmen spin bị lượng tử hóa, nghĩa hình chiếu spin lên trục tùy ý khơng gian có hai giá trị Các trạng thái spin ket véctơ Sz ( trạng thái spin lên) Sz (trạng thái spin xuống) Hai trạng thái lập thành hệ trực chuẩn: Và tính đủ khơng gian: , Trạng thái Sz gọi trạng thái phân cực spin có hướng đặc biệt Trạng thái ban đầu khơng phân cực mơ tả tổ hợp tuyến tính : a Trong : 2 b a xác suất để hạt có spin hướng lên b xác suất để hạt có spin hướng xuống Từ a b điều kiện chuẩn hóa ta có Hình chiếu spin lên trục z có giá trị nên ta biểu diễn thơng qua hai trạng thái spin sau: ˆ Sz = ˆ Sz =- ˆ Ma trận tốn tử viết sau: Sz 2 Các tốn tử hình chiếu spin hạt lên trục tọa độ tn theo hệ thức giao hốn: ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ S x S y S y S x i Sz S y S z S z S y i Sx Đặt ˆ Sx ˆ ˆ ˆˆ ˆ S z S x S x S z i Sy ˆ ˆy Sy 1ˆ x ˆ Sz ˆz Trong ˆx , ˆ y , ˆz gọi ma trận Pauli Ma trận Pauli ma trận vng cấp hai ˆz có dạng: ˆz Các hệ thức giao hốn ma trận Pauli viết lại: ˆx ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆz ˆ x ˆ x ˆ z 2i ˆ y Các ma trận Pauli tn theo hệ thức phản giao hốn: ˆx ˆ y ˆ y ˆ x ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y ˆ z ˆ x ˆ x ˆz Vì trị riêng tốn tử Pauli ˆx , ˆ y , ˆz tương ứng 1, suy ˆ x2 ˆ y2 ˆz2 0 I Trong Sz biểu diễn ma trận Pauli có dạng : ˆz 0 , ˆx 1 , ˆy 0 i i Và ˆ ˆ x2 ˆ y2 ˆz2 3I Vậy tốn tử bình phương momen spin: ˆ2 S ˆ2 ˆ2 Sx ˆ2 Sy ˆ2 Sz 32 I 32 0 Trị riêng tốn tử ˆ : S 32 s ( s 1) ˆ2 S với s =1 (số lượng tử spin) Trị riêng vectơ riêng tốn tử ˆ ˆ ˆ S x , S y , Sz Sz , Xét sở Sz :1 , biểu diễn ma trận sở Sz 0, , 1 =1 0 Vậy 01 1 ˆ , spinơ riêng Sz ứng với trị riêng Phương trình trị riêng ˆ với ma trận trị riêng có dạng ˆ vào phương trình trị riêng tốn tử vector riêng 11 21 Sx , giải phương trình ta thu hai ứng với hai trị riêng ˆ Sx Vậy hai spinnơ riêng tốn tử 1 Trị riêng tốn tử ˆ với ma trận trị riêng có dạng phương trình trị riêng tốn tử 11 2i i c Thay vào d Sy vector riêng a Thay b Sx ˆ Sy , giải phương trình ta thu hai ứng với hai trị riêng ˆ Vậy hai spinnơ riêng tốn tử Sy ˆ S 2i 1 i ˆ ˆ ˆ hay Ta xét Sz biểu diễn, để chuyển từ Sz biểu diễn sang Sx biểu diễn ta tìm ma trận biến đổi Trong ˆ biểu diễn spinnơ Sz y ˆ có dạng 1 1 , ˆ biểu biễn spinnơ ˆ phải có Sx 2 dạng 0 phương trục x Mối liên hệ spinnơ riêng tốn tử Sx Sx tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống theo ˆ Sx biểu diễn khác xác định ma trận biến đổi U thỏa mãn: U 1 2 U 2 Ma trận U có dạng U 2 2 Các tốn tử ma trận chuyển biểu diễn từ sở sang sở khác khơng làm thay đổi chuẩn véctơ trạng thái bảo tồn xác suất lượng tử 1.2 Lý thuyết hệ hạt đồng [2] 1.2.a Ngun lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng Các hạt có đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin, mơmen từ… khơng có thêm đặc điểm để phân biệt hạt, hệ hạt gọi hệ hạt đồng Theo vật lý cổ điển ta phân biệt hạt đồng cách phân biệt theo trạng thái chúng Trong học lượng tử, ta biết mật độ xác suất để vị trí cho có hạt thuộc hệ hạt đồng Ta khơng thể phân biệt hạt dù có đánh dấu chúng hệ hạt đồng Việc khơng phân biệt hạt đồng có liên quan đến ngun lí bất định Ngun lí khơng phân biệt hạt đồng đòi hỏi tồn trạng thái mà chúng khơng thay đổi hốn vị hai hạt a 1,b2 12 1.2.b Các trạng thái đối xứng phản xứng Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái hệ biểu diễn: a,b Trong Tốn tử a b trạng thái hai hạt coi tốn tử hốn vị, tác dụng lên trạng thái hệ hai hạt a , b cho trạng thái tọa độ hai hạt hốn vị cho ˆ P12 a , b b, a Theo ngun lí khơng phân biệt hạt đồng nhất, hốn vị hai hạt ta : P ˆ 12 Khi hốn vị lần : ˆ2 P 12 2 = Hai hạt fermion đồng spin nằm hố vơ hạn chiều độ rộng L, chúng tương tác V ( x1 x2 ) xem nhiễu loạn a Hãy viết hàm sóng hệ tương ứng với mức lượng thấp thơng qua hàm sóng hạt, bỏ qua tương tác hạt Spin trạng thái ? b Hãy tính lượng trạng thái kích thích thứ thứ hai khn khổ bậc lí thuyết nhiễu loạn Viết kết dạng tích phân Lời giải a) Hạt chuyển động hố sâu vơ hạn bề rộng L hàm sóng lượng hạt có dạng: (x) n x , E sin 2 n2 n k a (x) a n a 2ma2 2 k 2ma2 Ek , sin k x a Vì hệ hai fermion nên hàm sóng tồn phần phản đối xứng phép hốn vị hai hạt, có dạng: a (1,2) a (x1 , x2 ) s (1, 2) a (1,2) s (x1 , x2 ) a (1, 2) Trạng thái có n = k = 1, E a a (1, 2) (x , x ) a (1, 2) s 2 s (x1 , x2 ) a x sin 2L (1,2) 2L sin x sin L 2 2mL2 2mL2 x2 L sin x sin L 2 2mL2 s x2 (1, 2) L (1, 2) x x sin L 2 L x sin L sin S1 z L S2z S1 z S2 z x1 = L sin L x2 sin L S1 z S2z S1 z S2 z Ở trạng thái lượng hệ khơng bị suy biến Spin tồn phần hệ Trạng thái kích thích đầu tiên: n = 1, k = ( n = 2, k = 1) 22 2 Năng lượng: E2 2 50 2ma 2ma 2ma2 Hàm sóng tồn phần có trường hợp sau: (1,2) a a a (x1 (1,2) s a (1, 2) a (x1 , x2 ) 2a = s (1, 2) 2x x sin sin sin , x2 ) s (1, 2) (x1 , x2 ) a (1, 2) 2x a a sin x sin S1 z S2 z a a sin x 2x sin 2x S x2 sin S 2z a a (1, 2) a a (x1 , x2 ) s (1, 2) x1 x2 a sin sin sin a x 2a a a x 2x 2 = sin sin sin 2a x = a sin 1 a sin sin a a sin x sin 1 a a sin x2 a S 1z 2z S 2z S S z S1 z 1z S1 z S 1z a x sin S a a a x sin x a 2x a a a a (1, 2) a (x1 , x2 ) s (1, 2) x x x a x2 sin sin 1z S2z S S2 z S2 z 1z a Spin tồn phần hệ trường hợp hàm spin đối xứng ( x1 , x2 ) a (1, 2) x x x x S 1z sin sin sin sin 2a a a a a x x sin x x S1 z S2z sin sin = sin a (1, 2) s 2 2 S2z S S2 z 1z S1 z S2 z a a a a a Spin tồn phần hệ Vậy: mức lượng trạng thái kích thích suy biến bậc Trạng thái kích thích thứ hai có n = 2, k = ( n = 3, k = 2) Năng lượng: E3 2 2ma 2 2ma 13 2 13 2ma2 Hàm sóng tồn phần hệ phản đối xứng, có trường hợp sau: a (1, 2) (x1 , x2 ) s (1, 2) a 2a = sin 2x sin a 2x sin sin a (1,2) a (x1 , x2 ) s (1, 2) a (1,2) s (x1 , x2 ) a (1, 2) 3x 3x a sin x a a a (1, 2) (x , x ) (1, 2) a a s x 3x 2 2a = sin sin sin a 2x sin a 3x sin sin a 1 a x2 a a 3x 1 sin x2 sin 2z S 2z 1z S S2 z 1z a x 2z S S sin x2 a x S 1z a S 1z a sin 3x S sin x2 S1 z S2z S1 z S2 z a a x sin x2 S1 z a a a 3x a a a x sin x sin =1 a sin sin sin a a a a (1, 2) a (x1 , x2 ) s (1, 2) 2 x x sin 2a sin S2z S1 z S2 z Spin tồn phần hệ trường hợp hàm spin đối xứng a (1, 2) s ( x1 , x2 ) = a 2a sin a x sin x sin x sin 1 S x sin a a x sin x x sin sin a a a a x a (1, 2) a 1z S2z S S2 z 1z S1 z S2z S1 z S2 z Spin tồn phần hệ Vậy: mức lượng trạng thái kích thích thứ hai suy biến bậc b) Khi tương tác V ( x1 x2 ) hai hạt xem nhiễu loạn, bổ lượng hệ tính: ˆ a V s a a ˆa s V V ˆs a E ˆ V V aEs Vs E ˆ ˆ a s V A sin x1 sin ˆˆˆˆ a a ˆ ˆ s ˆ ˆ Ea s V a s V s ˆ ˆ s V a a V a a sin sin x1 a sin a x2 ˆ a x1 a x2 ˆ a x1 a x2 ˆ a x1 a x2 ˆ a x1 a V sin sin x2 a sin x1 a sin x2 a dx1 dx2 A BV dx dx AVA AVB BVA BVB dx1 dx2 ˆ V s sin ˆˆˆˆ * ˆ ss V s dx1 dx2 x1 x2 a a ˆ A B sin A BV sin x1 a sin V sin sin x2 a sin x1 a sin x2 a dx1 dx2 dx dx AVA AVB BVA BVB dx1 dx2 ˆ *ˆ V as V a dx1 dx2 x1 x2 a a ˆ A B s sin ˆˆˆˆ sin sin x1 a sin V sin sin x2 a sin x1 a sin x2 a dx1 dx2 A BV dx dx AVA AVB BVA BVB dx1 dx2 a ˆ *ˆ V saV s dx1 dx2 x1 x2 x1 a a a ˆ A B A BV dx dx ˆ ˆ ˆ ˆ AVA AVB BVA BVB dx dx sin sin sin sin V sin sin x2 a sin x1 a sin ˆs V , B sin x1 sin x2 ˆ *ˆ V aaV a dx1 dx2 x1 x2 a a ˆ A B sin V V 2x a a s ˆ a E E s x2 a dx1 dx2 a V ˆ a ˆ V s ˆ ˆ s ˆ ˆ ˆ ˆ AVA AVB BVA BVB dx dx ˆˆ ˆ ˆ AVA AVB BVA BVB dx dx AVA 2BVB dx1 dx2 a ˆ V a s ˆs V ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVA AVB BVA BVB dx dx AVA AVB BVA BVB dx dx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 AVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2 BVAdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 - AVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVBdx1dx2 BVAdx1 dx2 ˆ BVAdx1 dx2 ˆ ˆ AVBdx1 dx2 ˆ + BVBdx1 dx2 AVBdx1 dx2 BVBdx1 dx2 - BVAdx1 dx2 ˆ BVAdx1 dx2 ˆ ˆ BVAdx1 dx2 ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ V a ˆ AVAdx1 dx2 ˆ ˆ BVBdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ ˆ AVBdx1 dx2 BVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 ˆ a V s 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVA AVB BVA BVB dx dx AVA AVB BVA BVB dx dx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 AVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2 BVAdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 AVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2AVBdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 BVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 AVAdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 BVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BVBdx1 dx2 ˆ AVAdx1 dx2 ˆ AVAdx1 dx2 E a 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 -2 AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 s ˆ V AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 AVBdx1 dx2 ˆ AVBdx1 dx2 ˆ BVBdx1 dx2 AVBdx1 dx2 as ˆ V s Ea ˆ BVAdx1 dx2 ˆ ˆ BVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 2 ˆ BVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 ˆ V as ˆ V ss ˆ V a a ˆ V s 2 E 2ˆ ˆ BVBdx1 dx2 ˆ AVBdx1 dx2 ˆ AVBdx1 dx2 E 2 21 1 ˆ E AVA BVB dx dx 22 ˆ BVAdx1 dx2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx dx BVBdx dx AVBdx dx BVAdx dx 2 ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ ˆ ˆ 4ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ AVA BVB dx dx AVBdx dx BVAdx dx 2 ˆ ˆ 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVA BVB dx dx b '' a E x1 a sin sin a sin AVBdx dx AVA BVB dx dx x1 x2 ˆ x1 x2 a a a a ˆ x1 x2 x1 x2 AVA BVB dx dx x1 x2 x2 ˆ a a a ˆ x2 x1 x2 V sin x1 sin 2 ˆ ˆ AVAdx dx BVBdx dx AVBdx1 dx2 ˆ BVAdx1 dx2 2ˆ ˆ ' ˆ ˆ ˆ ˆ AVA BVB dx dx E AVAdx dx AVBdx dx BVAdx dx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 -2 AVBdx1 dx2 BVAdx1 dx2 AVAdx1 dx2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ BVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 AVAdx1 dx2 BVBdx1 dx2 ˆ sin a sin V sin a sin sin a sin sin a V sin sin a sin V sin 2 ˆ BVAdx dx dx1 dx2 sin dx dx a a x1 x2 ˆ x1 x2 dx1 dx2 sin x1 x2 ˆ x1 x2 sin V sin sin sin V sin sin a a a a a a a a dx1 dx2 Nhận xét Đối với tốn nhiễu loạn có suy biến việc tính bổ lượng phức tạp nhiều Ta phải giải hệ n phương trình trường hợp lượng suy biến bội n V V11 E 12 V V22 E V1n V 21 V n1 Với E bổ lượng Bài 21 V n2 2n Vnn E Hình chiếu spin electron lên trục z Tìm xác suất hình 1 chiếu spin lên trục z’ (lập góc với trục z) (hoặc ) Tìm giá trị trung bình hình chiếu spin lên trục z’ Lời giải ˆ S ˆ Hình chiếu spin phương r đặc trưng ma trận: ˆ r x ˆ x y x y y i z z 0z i 0z x iy iy 1x Thực phép biến đổi unita ˆ S hàm chuyển thành hàm ' S ma trận ˆ z sóng hai thành phần chuyển thành ma trận ˆ ˆ ˆˆ ˆ ' S ˆ S với SS ˆ ˆ I (I ma trận đơn vị) Phép biến đổi unita khơng SS ˆ thực làm thay đổi trị riêng phần tử ma trận Ta tìm ma trận S phép quay hệ tọa độ khơng gian quanh gốc O để chuyển ˆ ˆ ' chuyển '1 ' ' Nếu quay hệ tọa độ Oxyz xung quanh trục Oz góc x ' x cos y sin y ' x sin y cos z ' z ˆ z' x ' iy ' z' ' x ' iy ' i i e i z e x iy (x iy ) e i z z ( x iy ) e i x iy e z ˆ i S( ) ˆ S ˆ ( ) ta có : e2 Trong i ˆ S ( ) i e2 i, e ˆ S e ( ) i e Nếu quay hệ tọa độ Oxyz xung quanh trục Ox góc ta có : x' x y ' y cos z sin z ' y sin z cos ˆ ' z' x ' iy ' z' x ' iy ' cos i sin i sin 2 y sin x iy cos iz sin y sin z cos x iy cos iz sin z x iy cos z i sin x iy cos z cos i sin 2 cos ˆ ˆ () S ()ˆS Trong đó: ˆ S cos () i sin i sin 2 ˆ ,S cos cos () i sin 2 i sin cos 2 Để chuyển hệ tọa độ xyz x’y’z’ thực phép quay: Quay quanh trục Oz góc chuyển Ox ON Quay quanh trục ON góc chuyển Oz Oz’ Quay quanh Oz’ góc chuyển ON Ox’ Khi đó: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S ( )S ( ) S ( ) ˆ S ( )S ( ) S( ) ˆ ˆ ˆ '1 ' S ( )S ( ) S( ) Trong đó: ' i i sin ˆ cos S() i sin cos ˆ ,S( ) e2 e2 ˆ , S( ) i e Ma trận chuyển đổi i thành hàm ˆ S( , , ) ˆ ˆ cos i sin e S ( )S ( ) S( ) cos i sin với a = cos () i 2e b = sin e i2 () ˆ '1 a ib S( , , ) a1 * ib '2 a e ib 1 )( a * ib * ib* * ) 1 a ib i a : * a là: 2 '2 ( a e Xác suất hình chiếu spin lên trục z’ P ib * a ˆ lên hàm S * ib e e i * i Hàm ' có cách tác dụng tốn tử ' i ' là: i ˆ 22 b iab * * ia *b * 1 P ' (a* ib * )( a * ib * a ) b iab * * ia *b * 2 Giá trị trung bình hình chiếu spin lên trục z’ : S 1 P1 2 '1 a1 b 21 a 2 iab* * ia *b * z' S z '1 2 2 1P 1 '2 2 2 b1 iab * * ia*b * 2 Phân tích Nhận xét Đây tốn khó học lượng tử Để tính xác suất hình chiếu spin lên phương z’ ta phải sử dụng phép quay làm biến đổi hệ trục tọa độ Oxyz thành hệ trục Ox’y’z’ Bằng phép quay hàm sóng hệ * Oxyz trở thành hàm ' hệ Ox’y’z’ Khi ta tính xác suất để hình chiếu 1 spin lên trục z’ (hoặc ) Phương pháp giải Trước hết ta cần xác định ma trận đặc trưng hình chiếu spin lên phương r Sau tìm ma trận làm biến đổi hàm sóng thành ' thơng qua phép quay: Thứ nhất, quay quanh trục Oz góc chuyển Ox ON Bằng phép quay hàm sóng trở thành hàm thơng qua ma trận biến đổi ˆ S( ) Thứ hai, quay quanh trục ON góc chuyển Oz Oz’ Bằng phép quay hàm sóng trở thành hàm thơng qua ma trận biến đổi ˆ S(.) Cuối cùng, quay quanh trục Oz’ góc chuyển ON Ox’ Bằng phép quay hàm sóng trở thành hàm ' thơng qua ma trận biến đổi ˆ thành Như ma trận làm biến đổi S( ) ' xác định sau: ' ˆ ˆ ˆ S ( ) S ( ) S( ) ˆ ˆ ˆ S ( )S ( ) S( ) Hàm ' Kết luận Hệ thống tập luận văn gồm 21 tốn với mức độ từ dễ đến khó Qua phân tích ta xếp nhóm tập dễ (bài bản): gồm tập từ đến 13 Nhóm tập giảng dạy cho sinh viên đại học nhằm giúp sinh viên nắm lý thuyết vận dụng giải tập Nhóm khó : gồm tập từ 14 đến 18 Những tập nhằm giúp sinh viên hiểu kỹ phần spin hệ hạt đồng Nhóm tập nâng cao : gồm tập từ 19 đến 21 Những tập thuộc nhóm đưa vào chương trình cao học KẾT LUẬN Hệ thống tập luận văn giúp sinh viên vận dụng kiến thức từ dễ đến khó, hệ thống kiến thức học từ nắm chất phần spin hệ hạt đồng Luận văn đạt số kết sau : Giải phân tích hệ thống tập trên, có giảng dạy chương trình cao học phần spin hệ hạt đồng Hệ thống xếp tập theo dạng theo mức độ Rèn luyện kỹ giải tốn, phương pháp giải cho dạng tốn Trong có số tốn nhằm hiểu sâu lí thuyết spin hệ hạt đồng Tài liệu tham khảo Cơ học lượng tử - Vũ Văn Hùng Đại học Sư Phạm TPHCM Cơ học lượng tử - Đặng Quang Khang Nhà xuất khoa học kỹ thuật Cơ học lượng tử - Nguyễn Khắc Nhạp Đại học Sư Phạm TPHCM Bài tập học lượng tử - Vũ Văn Hùng Đại học Sư Phạm TPHCM Cơ học lượng tử - Phạm Qúy Tư – Đỗ Đình Thanh Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Bài tập vật lí lí thuyết – Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên) Nhà xuất giáo dục [...]... CPij (1, 2, , N ) i 1, j i N a đối với hệ hạt boson i j (1, 2, , N ) C '( 1) ˆ đối với hệ hạt fermion Pij (1, 2, , N ) i 1, j i Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0 1 (hệ hạt boson) hoặc 2 (hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế V ( r ) Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ N ˆ H0 H N ˆ i 2 m i i1 i1... cho V V nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái Năng lượng trao đổi ˆ thu được cả trong trường hợp tốn tử mơmen từ spin, tức là tốn tử ˆ V có xét đến tương tác giữa các có tác động lên các phần spinnơ của hàm V sóng 1.3 Kết luận Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với nhiều mức độ khác... năng lượng của hai hạt có spin 2 gồm hai phần Phần thứ nhất khơng liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự cổ điển Dấu phụ thuộc vào spin tồn phần của hệ mặc dù tương tác giữa các spin khơng được tốn tử ˆ xét đến Phần năng lượng A gọi là tương V ( r12 ) ˆ tác trao đổi Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước tốn tử dưới dấu tích phân và trong các hàm đứng sau tốn tử ˆ các hạt trao... biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng nhất khơng thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái Hệ các boson khơng bị chi phối bởi ngun lí loại trừ Pauli, trạng thái cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose 1.2.d Tương tác trao đổi Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ r1 và spin 1 , hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ r2 , spin 2 … Hamiltonian của các hạt tương tác... hệ thống bài tập với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng u cầu trên Chương 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Bài 1 Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương bất kỳ Lời giải Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có S=Si S y j Sk x z Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ S.n = Sx n x 2 S.n = Syny S n x Sxnx 2 x Syny z 2 Sz... hai hạt và trạng thái a phản đối xứng với phép hốn vị hai hạt ˆ P 12 ˆ P 12 s a s a Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc vào các loại hạt Các hạt có spin ngun S ms , ms 0,1, 2 gọi là các hạt bozon, 1 3 tn theo thống kê Bose-Einstein Các hạt có spin bán ngun ms 2 , 2 , gọi là các hạt fermion, tn theo thống kê Fermi- Dirac 1.2.c Ngun lý loại trừ Pauli Xét hệ hai hạt đồng nhất. .. được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của 1 tương tác trao đổi giữa các hạt Ta xét hệ gồm hai hạt có spin 2 , giữa chúng Vˆ( r12 ) có một tương tác khơng liên quan đến spin của các hạt Giả sử tương tác này đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt khơng tương tác Ký hiệu nhiễu loạn đó là tốn tử ˆ r12 là khoảng cách giữa các hạt V ( r12 ) trong đó ˆ khơng tác dụng lên spin của hệ V ( r12... những mức năng lượng ứng với hàm sóng (r1 , r2 ) đối xứng được chấp nhận Việc hốn vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ tọa độ Do phép nghịch đảo hàm sóng (r1 , r2 ) phải nhân với 1 l trong đó l là mơmen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt Vì hàm sóng của hệ là đối xứng nên: s ( 1)l 's s Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng khơng có mơmen quỹ đạo chẵn 1 Xét hệ hạt fermion... tốn tử spin, do đó khi tác động lên hàm sóng nó khơng tác động lên biến spin Hàm sóng của hệ có thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin: (1, 2, , N ) Với (r1 , r2 , , rN ) ( 1 , 2 , , N ) là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt Xét hệ hạt boson có spin bằng 0, khi đó hàm sóng chỉ còn là hàm tọa độ (r1 , r2 ) , hàm này phải là hàm đối xứng Như vậy khơng phải tất cả các mức năng lượng. .. xét Kết quả bài tốn cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một phương bất kỳ đều bằng nhau Tức là hình chiếu spin lên một phương có thể có hai giá trị là 2 Do vậy mà ta rất khó xác định được trạng thái của spin ˆ S Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin tồn phần của hệ rất khó khăn Bài 2 Giả sử , là các véctơ trực giao và chuẩn hóa trong khơng gian hai chiều Định nghĩa các tốn tử: ˆ Sx =2