Phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử

Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4.Đối tượng nghiên cứu 5.Phương pháp nghiên cứu Nội dung Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng 1.1.Cơ sở lý thuyết 1.2.Bài tập Chương 2: Tìm hàm riêng trị riêng toán tử 11 2.1.Cơ sở lý thuyết 11 2.2.Bài tập 11 Chương 3: Tìm xác suất 19 3.1.Cơ sở lý thuyết 19 3.2.Bài tập 20 Chương 4: Tính giá trị trung bình 26 4.1.Cơ sở lý thuyết 26 4.2.Bài tập 26 Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho số chuyển động 34 5.1.Cơ sở lý thuyết 34 5.1.1.Phương trình Schrodinger 34 5.1.2.Các toán chiều đơn giản 35 5.2.Bài tập 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 - - Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tổ Vật lý lý thuyết, đặc biệt thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa tận tình hướng dẫn bảo cho em suốt trình nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Một lần em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên thực Trương Thu Liên - - Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Lời cam đoan Khoá luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Thái Hoa Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài: “Phương pháp giải số dạng tập học lượng tử” trùng lặp với kết đề tài khác Sinh viên thực hiện: Trương Thu Liên - - Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Mở đầu 1.Lý chọn đề tài Trong trình học tập lĩnh hội phần kiến thức lý thuyết nói chung lý thuyết Vật lý nói riêng việc giải tập giữ vai trò quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững hiểu sâu sắc phần lý thuyết học Một học phần chuyên ngành Vật lý học Đại học môn học lượng tử, môn hình thành vào đầu năm 30 kỷ XX Với số lượng tập tương đối nhiều đa dạng, nhiên phần kiến thức toán học dùng để giải tập chúng lại phức tạp Chính việc tìm hiểu, phân loại tập phạm vi kiến thức học cần thiết có tính chất tích cực Từ đặc điểm nêu chọn đề tài “Phương pháp giải số dạng tập học lượng tử” để làm luận văn tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số dạng tập học lượng tử 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại giải số tập thuộc dạng tập học lượng tử 4.Đối tượng nghiên cứu Bài tập học lượng tử 5.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lý lý thuyết phương pháp toán học - - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Nội dung Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng 1.1.Cơ sở lý thuyết Xét không gian F  q  hàm số liên tục biến q Các hàm   q  chuẩn hoá đơn vị mà tích phân sau hội tụ:    q  dq  N (hữu hạn) hàm  '  q   (1)   q  chuẩn hoá đơn vị Việc nhân hàm  với N gọi phép chuẩn hoá hàm  đơn vị Hàm chuẩn hoá N theo (1) sai khác thừa số có modul đơn vị Trường hợp:    q  dq   hàm không gian không đánh số số tự nhiên mà đánh số cho số f : f  F  q  f trải từ f0   cách liên tục Ta gọi hàm f  F  q  hàm ứng với phổ liên tục Và f chuẩn hoá hàm delta:  Với hàm delta biến định nghĩa sau: 0  x     x  x0     x dx   Hàm  có nhiều biểu diễn tường minh Một biểu diễn  viết dạng:   x    expiqx dq  điều kiện chuẩn hoá hàm f 2  hàm  sau:  *f '  q  f  q  dq    f  f ' - - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý 1.2.Bài tập Bài 1.1: Chuẩn hoá hàm số sau: (a) Ae ax  a  0;   x    (b) A n sin nx  n  1,2,3, ;0  x  a  a i  (c) px  x   Aexp  p x x     p     - hàm với p   Và    i  trường hợp tổng quát: p  Aexp  pr    Lời giải (a)Đặt   x   Ae ax  a  0;   x    Hàm   x  ứng với phổ rời rạc ta chuẩn hoá hàm   x  đơn vị: Tức    x    x  dx    2ax  A e dx  đặt 2a   *    x  A e dx  (1)   Xét tích phân: I e  x  dx   e  I  I.I   e Đặt x x dx   ey dy  dx.2  e x  r cos    dxdy  rddr y  r sin     0    Vì x, y   0,    x, y    0  r   - -  y   dy   e 0   x  y2 dxdy Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý   0  I  4 d  e   r e   r  rdr  2  e r  rdr  2  r e d  r  2     2a     I   e2ax dx  2a 2a   Từ điều kiện chuẩn hoá (1)  x  A e dx  A   2a 1 A  2a  Hàm   x  sau chuẩn hoá có dạng: x  (b)Đặt   x   A n sin 2a  ax e  a  0;   x     nx  n  1,2,3, ;0  x  a  a Vì ứng với giá trị n ta có hàm  n nên phổ  n rời rạc Vì ta chuẩn hoá hàm  n đơn vị dạng: a 2    x  n  x  dx    A n sin * n nx dx  (2) a nx 2nx  1 dx  A 2n    cos Ta có:  A sin  dx a 2 a   0 a a n a  a 2nx    A n  x  sin    Ana  2n a   Từ điều kiện chuẩn hoá (2)  An  a Vậy hàm n  x  sau chuẩn hoá là: n  x   nx sin  n  1,2,3, ;0  x  a  a a - - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý i  (c) px  x   Aexp  p x x     p     - hàm   Do p x thực    p    nên p ứng với phổ liên tục ta    x    x  dx    p  p' chuẩn hoá  - hàm Tức là: * p' p      x    x  dx   A * p' Xét tích phân p   (3) i  exp   p  p'  x dx    x  x    A   exp i  p  p'   d    A 2  p  p'        Từ điều kiện chuẩn hoá (3) ta có: A2 2  px  p'x     p x  p'x  A 2 Vậy hàm px  x  sau chuẩn hoá  - hàm có dạng p x  x   i  exp  p x x     p    2   (*)Trường hợp tổng quát   i  p r  Aexp  pr     p     - hàm           i  p  Aexp  p x i  p y j  p z k xi  y j  zk        i   Aexp   xp x  yp y  zpz  với r  x, y,z   Do p thực    p    nên p tương ứng với phổ liên tục, chuẩn hoá  - hàm có dạng:      *  r  r dr   p  p'   p' p    Xét   (*)      i     r  r dr  A exp  p  p'   p    *  p'    - -    r  dr Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý    i  i  i   A  exp   p x  p x ' x  dx  exp   p y  p y '  y  dy  exp   p z  p z '  z  dz             A2 2  px  px '.2  p y  p y ' .2  pz  pz '     A2  2   p  p'   Kết hợp với điều kiện (*)      A2  2   p  p'   p  p'  A       2  Vậy hàm p sau chuẩn hoá  - hàm có dạng:  p r    i  exp  pr     p       2  Bài 1.2.Trạng thái electron nguyên tử Hidro mô tả  r a hàm sóng:   r   Ae Trong a bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất, A: hệ số chuẩn hoá Hãy chuẩn hoá hàm sóng Lời giải   r  ứng với phổ rời rạc, ta chuẩn hoá   r  đơn vị dạng:    r  dV  Ta có:  r   2 0 dV     r  r dr  sin d  d 2   4A  e  2r a r 2dr  Tính tích phân: I   e  2r a r 2dr u  r  u '  2r  2r đặt:   a  2ra a  v'  e  v   e  - - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý a  2r  I   r 2e a    ae 0  2r a  rdr  a  e  2r a rdr u  r  u '   2r đặt   a  2ra a  v'  e  v   e   a  2r  I  a   re a     a  2ra  a  2ra a  2ra   e dr    e dr   e 20     r  dV   a A   A  a Vậy hàm  sau chuẩn hoá có dạng:   r   - 10 - a e  r a  a3  Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Và: e 2 H    H n 1     e * n  2 H    e * n  2 *n     n 1    H n 1     An A n 1   *n     n 1    *n     n 1      Vậy:  x  An n  d  An  d m A A 2m  A A n n 1 n n 1      An  An  n  *n     n 1    d  *n     n 1    d  m A n 1  2m A n 1    *n     n k   d  n,n k  m  Với tính chất:   *  n    nk   d   n,n k  m (*) (2)Tính x  ?    2 * x     x  x  n  x  dx  n   n    d  m  m     * n 2     2 *   A n  e H n     H n    d  m   Tính: 1   2 H n       H n        nH n 1     H n 1      nH n 1     H n 1    2   1   1   n  n  1 H n 2     H n       n  1 H n     H n 2    2   2  1   n  n  1 H n 2      n   H n     H n 2    2    1     2 2 *   x2   A e H  n n  H   n  H   H            n n 2 n 2  n   n   2  m      - 30 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý    2  2 *   A n  n  n  1  e H n    H n 2    d   m        2 *    n    e H n    H n    d   e  H*n    H n 2    d       Làm tương tự tính x , ta có  An     x  *n     n 2    d   n  n  1  A n 2   m      1 An  * *   n     n     n    d      d       n 2  n   4A n 2    Kết hợp với (*) 1   2   x2   n     2  m     1  n    m  2  m (3)Tính p x  ?  px  d      x   i dx    x  dx chuyển sang biến số   x * n n   m   m  2 * d   2  A n  e H n     i  e H n    d  d    2    m d  2 *  An  i   e Hn    e Hn    d  d  2 d  2 Tính e Hn     ? d Sử dụng tính chất: dHn     2nHn 1    d  2     dH n    d  de  e Hn    Hn   e  e  2nH n 1     H n     d d d - 31 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý e  2    2  2nHn 1     nHn 1     Hn 1      e      nHn 1     Hn 1       Thay vào p x ta có:    m  2 * e Hn    e    2    nH n 1     Hn 1     d   px   i  A n   i  A    m  2 * 2 * n e H  H  d   e H  H  d             n n 1 n n 1       n  px  (4)Tính p2x  ?  p  x  d2  m * chuyển sang biến số  x    x dx   x       n n    dx     d   2 m  2 p  A n  e H n      e H n    d   d     2 x    m  2 d  2 An  e Hn    e Hn    d  d  2 Ta có:  d   d  2 d  d  2 e Hn     e Hn       e  d  d2 d  d    ne  2 2   nH   H      n 1  n 1      1   2   n  H   H   e n  H   H              n  n n n      2   p   x 2 m   A n n  e H*n     n  1 H n 2     H n     d        m 2 *   A n  e H n     n  1 H n     H n 2    d     Tích phân có chứa Hn2 , Hn2 Chỉ lại tích phân chứa H n - 32 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý  n 2  p  m A e H*n    H n    d    x n  A2  m n  n  1  e H*n    H n    d   2n  2 *  m  A n  e H n    H n    d  m3  n    m 2    1   p 2x  m  n   2  (5)Tính T  ? p2x m  1 n 1 T   n       2m 2m  2  4 n 1  T       4 (6)Tính u  ? 1      1 n 1 u  m2 x  m2 n     n       2 m  2  2  4 n 1  u      4 (7)Tính E  ? 1 n 1 n 1  E  T  u           n   2  4  4  - 33 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Chương 5: Giải phương trình Schrodinger cho số chuyển động 5.1.Cơ sở lý thuyết 5.1.1.Phương trình Schrodinger Cho hạt chuyển động trường không phụ thuộc rõ vào thời gian:  p       H r, t    u r   r, t  2m          i  Đặt  r, t   r exp  Et         r  E r H       Trong E trị riêng hàm tử H  2m    2 r   E  u r   r        (1) (2) Phương trình (2) gọi phương trình Schrodinger dừng cho hạt  chuyển động trường u r với lượng E không đổi theo thời  gian  Còn u r  u  x  (2) viết cho trường hợp chiều:  d 2  x  2m   E  u  x     x   dx     Đối với hệ n hạt chuyển động trường u  q   u r1,r2 , ,rn  phương trình Schrodinger có dừng có dạng n    k 1 k  2mk   E  u  q      q      - 34 -  Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý 5.1.2.Các toán chiều đơn giản (a)Hạt chuyển động giếng sâu vô hạn Nếu  x  a 0 u  Nếu x  0; x  a n 2  ;n  1,2 Năng lượng hạt ứng với số lượng tử n : E  2ma Hàm sóng hạt ứng với số lượng tử n : n  x   nx sin ;n  1,2 a a (b)Hạt truyền qua hàng rào Nếu  x; x  a 0 u u Nếu  x  a Đặt k  2m  u  E  2mE ; k   Hệ số phản xạ hàng rào thế: R  A 2   2m  u  E  a  Hệ số truyền qua hàng rào Q  D  Q0 exp      x  Với Qo  u  u  x   Q  Q0 exp   2m  u  x   E dx   k ko    x1      ko k  16 (c)Dao động tử điều hoà Lực đàn hồi Fx  kx ; Đặt   x m 2E ; hệ thức truy toán: ;   a k 2  2k    a  k  2 k  1 k n  2n     2E n 1   E n    n   ;  n  1,2,   2  - 35 - Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học d n 2 Hn      1 e e dn n     n!2 2  n 1  2  exp   H n     2 Đổi tử biến  biến x :  m  x        m    m   exp  x  H n x  n    2   n!   5.2.Bài tập Bài 5.1.Tìm lượng hàm sóng hạt chuyển động trường ba chiều (Giả thiết chiều độc lập nhau): mi2 u  x1, x , x    x i ;  x i  x, y,z  i 1 Tìm bội suy biến mức lượng trường hợp 1  2  3   Lời giải m1x m2 y m3z   Ta có: u  x1 , x , x   u  x, y,z   2 với 1, 2 , 3 số Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà chiều có dạng:    2  2 2  m 2 2 2 H  x, y,z           1 x  2 y  3 z     x, y,z  y z   2m  x   E  x, y,z  Vì chuyển động theo chiều độc lập với nhau, đặt   x, y,z     x    y    z  E  E1  E2  E3 vào phương trình Schrodinger ta được: - 36 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý  2    2 2  m 2 2 2      x   y   z       x   y z  2 2  2m  x  y  z      E  x    y    z  Chia hai vế cho   x   y   z  ta được: 2    2    x  1  2    y  2 2  m  x  x    m  y  y         2   x   2m x 2    y   2m y    2    z  2    m  z  z      E  E1  E  E3   z   2m z 2  Từ ta suy ra: 2    x    m12 x 2  x   E1  x  2m x (1) 2    y    m22 y 2  y   E 2  y  2m y (2) 2    z    m32 z 2  z   E3  z  2m z (3) Với cách đặt: x  x m1 2E ;  x  (1) có nghiệm là:  1  2x     x   A n1 exp   H n1   x  ;  2 1  E n1  1  n1   ;  n1  0,1,2,3,  2  Tương tự ta đặt:  y  y m2 2E ;  y  (2) có nghiệm là:  2 1   y      y   A n exp   H n   y  ; E n  2  n   ;  n  0,1,2,3,  2    Tương tự ta đặt: z  z m3 2E ; z  (3) có nghiệm là:  3 - 37 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý  2z  1     Z   A n exp   H n3  z  ; E n3  3  n   ;  n  0,1,2,3,  2   2 Với hệ số chuẩn hoá: A n1  1 ; A  ; A  n n 2n1 n1 ! 2n n ! 2n3 n !  m1   m1  exp  x1  H n  x     2   2n1 n1 !  m2   m2  exp  x  Hn  x     2   2n n !  m3   m3  exp  x3  Hn  x     2   2n n !  m1   x        m2    y        m3  z       1 1 1 1    Còn E  E1  E  E3  1  n1    2  n    3  n   2 2 2       1n1  2n  3n    Và 1  2  3  n1n 2n3  x, y,z    n1  x   n  y   n3  z  ;  n  0,1,2,  (*)Khi 1  2  3   ta có: 3 3   E n1n 2n3  E n1  E n  E n3   n1  n  n     n    E n 2 2   (Với n  n1  n  n3 ) ứng với giá trị n có g n hàm sóng  n1n 2n3  x, y,z  phân biệt hệ n1,n ,n3 khác Cố định n1,n cho n2 thay đổi từ đến  n  n1  n thay đổi từ  n  n1   Các giá trị có n 0,1,2,3, ,  n  n1  tất có  n  n1  1 giá trị Số giá trị n ứng với giá trị khác n1 từ giá trị n1  đến giá trị n1  n cho ta bội suy biến g n : - 38 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý n g n    n  n1  1  n1 0  n   n  1 Mức không suy biến ứng với n  Bài 5.2.Tìm mức lượng hàm sóng hạt khối lượng m, điện  tích q dao động chiều tác dụng điện trường cường độ  không đổi đặt dọc theo phương dao động 0x Lời giải Khi hạt điện tích chuyển động điện trường không đổi   m2 x , có thêm F  q    Ta có F  gradu  u   Fdx  q  x Phương trình Schrodinger dao động tử chiều tác dụng điện trường không đổi  2   x    x      d  m2 x  xq     x   E  x  H  2m dx 2    2  2q   q  x   q    2 d   x  2   m  x         x   E  x  2m dx 2 m2  m2   m2     2  q  q   2 d   x  2    x  (1)   m  x  x   E     2m dx 2 m  2m      q  q   (1) trở thành: Đặt X  x  ; E '  E  m2 2m2 2 2 d   X    m2X 2  X   E'   X  2m dX d 2  X  2m  m2     E' X  X  dX    - 39 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Đặt   X m 2E' ; 1    "     1  2         Thì phương trình (2) có nghiệm là:  n     A n e 2 (2) Hn    Sau chuẩn hoá hàm    đơn vị ta có: A n  2n n!  1  E 'n   n   ;  n  0,1,2,  2  q2  1 q    En  E    n    ;  n  0,1,2,  2m2  2m2  2 ' n  X2   m  exp Và hàm  n  X      H n  X      2n n!     m   n  x          q    x    m     H  x  q   ; n  0,1,2, exp     n   m    2n n!        Bài 5.3.Tìm lượng hàm sóng hạt khối lượng m chuyển động “hộp chữ nhật” 0  x  a  u  0  y  a , 0  z  a  u   hộp Lời giải Phương trình Schrodinger hạt giếng có dạng: 2   2 2         x, y,z   E  x, y,z  2m  x y z  Vì E  const nên ta viết E  E1  E2  E3 Và đặt:   x, y,z     x    y    z  (1) ta - 40 - (1) Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý 2   2 2         x    y    z    E1  E  E3    x    y    z  2m  x y z  Chia hai vế phương trình cho   x    y    z  , ta được: 2 2     x     y   z        E1  E  E3 2m    x  x   y  y   z  z   d 2  x  2m 2    x    E1   E1  x   2m   x  x dx  (2) d 2  y  2m 2    y    E2   E 2  y   2m   y  y dy2  (3) d 2  z  2m 2    z    E3   E3  z   2m   z  z dz  (4) Ta giải phương trình (2), phương trình (3) (4) cho nghiệm hoàn toàn tương tự Phương trình (2) có phương trình đặc trưng: q   q  i 2mE1  ik; 2 2m E1  2  2mE1  k   2   Vậy nghiệm tổng quát phương trình (2) là:   x   C1 sin kx  C2 coskx Do C1,C2 số tích phân tuỳ ý, không tính tổng quát ta đặt: C1  Acos ; C2  Asin     x   Asin  kx   Dùng điều kiện biên  x  0, y,z  ;  x, y  0,z ;  x, y,z  0 Ta có:   0, y,z     x,0,z     x, y,0   x       Asin   Tại x  a    a   Asin ka   ka  n1  k  - 41 - n1 a Trương Thu Liên K29B - Vật lý    x   Asin Khoá luận tốt nghiệp đại học n1k  n12 2 ; E1  ;  n  0, 1, 2,  a 2m a áp dụng điều kiện chuẩn hoá  A  a Các giá trị n1  dẫn đến   , xác suất tìm thấy hạt điểm giếng Điều mâu thuẫn với toán cho hạt giếng thế: Vậy n1  bị loại trừ Các giá trị ứng với n  1, 2, Thì hàm sóng đổi dấu so với hàm sóng ứng với n = 1, Như hai hàm sóng khác dấu mô tả trạng thái hạt Vì cần lấy giá trị dương nguyên n Vậy nghiệm (2): n1x 2 n122 với n  1,2,3, x  sin ; E1  a a 2m a Một cách tương tự với (3) (4) ta có: n 2y 2 n 222 với n  1,2,3,   y  sin ; E2  a a 2m a 2 n 3z 2 n 322 với n  1,2,3, z  sin ; E3  a a 2m a - 42 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Kết luận Trong trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp thu số kết sau: Phân loại giải số dạng tập học lượng tử giáo trình học lượng tử [1, 3] mà học trường đại học Qua giúp cho rèn luyện kỹ giải tập, hiểu sâu sắc ý nghĩa vật lý lý thuyết trình bày giáo trình học lượng tử Tuy nhiên thời gian hạn hẹp nên số tập đưa chưa nhiều chưa đưa tất dạng tập trình bày giáo trình Đây lần bắt tay vào nghiên cứu môn vật lý lý thuyết trình viết trình in ấn không tránh khỏi sai sót Kính mong thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khoá luận cách tốt - 43 - Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Tài liệu tham khảo Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên), Bài tập vật lý lý thuyết,tập 2, Nxb Giáo dục Hà Nội,1977 Phạm quý Tư, Cơ học lượng tử, Nxb giáo dục Hà Nội,1986 - 44 - [...]... đoạn, tỉ lệ với bình phương số lượng tử n Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:  n  x   Asin nx ,  n  1,2,3 ;0  x  a  a - 15 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng: n  x   2 nx sin ,  n  1,2,3 ;0  x  a  a a Bài 2.4.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 2:  0 i  A  i 0 Lời giải Ta có phương trình đặc trưng... nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Vậy xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng một hạt lượng tử ở trạng thái n  x  là w  px  : 2 n 2a3  n  i  w  p x   Cpx  1   1 exp  pa  2      n 2   ap       Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá trị p xác định của xung lượng của một  hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng  r xác định nào đó 2  Lời giải. ..   0,40915 a a a 2 a a 4 Bài 3.2.Tìm xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng (tương ứng với d toán tử px  i ) một hạt lượng tử ở trạng thái: dx n  x   2 nx sin ,  0  x  a  , cho biết hàm  px  x  a a Lời giải Phương trình hàm  px  x   1 i  exp  p x x  ,    p x    2   d Khai triển hàm n  x  theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng: px  i dx là: n... tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Nếu  được chuẩn hoá   Cn  1  Cn 2 2 là xác suất để hệ lượng n tử  chuyển về nằm ở trạng thái  n 3.2 .Bài tập Bài 3.1.Chuyển động của một hạt có thể được mô tả bởi các hàm sóng:  n  x   A n sin nx  0  x  a; n  1,2,  a (a)Tính mật độ xác xuất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm ở trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n  3 ? (b)Tính...  phương trình Schrodinger có dừng có dạng n    k 1 2 k  2mk   E  u  q      q   0 2    - 34 -  Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý 5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản (a)Hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn Nếu 0  x  a 0 u  Nếu x  0; x  a n 2 2  2 ;n  1,2 Năng lượng của hạt ứng với số lượng tử n : E  2ma 2 Hàm sóng của hạt ứng với số. ..  1 5.2 .Bài tập Bài 5.1.Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một trường thế ba chiều (Giả thiết các chiều độc lập nhau): mi2 u  x1, x 2 , x 3    x i ;  x i  x, y,z  2 i 1 3 Tìm bội suy biến của các mức năng lượng trong trường hợp 1  2  3   Lời giải m1x 2 m2 y 2 m3z 2   Ta có: u  x1 , x 2 , x 3   u  x, y,z   2 2 2 với 1, 2 , 3 là những hằng số Phương. .. nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử 2.1 .Cơ sở lý thuyết   fx (*) không thoả mãn với x  X và f  T mà Phương trình Fx chỉ với f nào đó và một lớp x nào đó (*) gọi là phương trình cho giá trị  riêng (hoặc trị riêng) và vectơ riêng của toán tử F Với: f là giá trị riêng; x là vectơ riêng Phương trình cho trị riêng và vectơ riêng của một ma... bởi số lượng tử n  1 trong a a  đoạn x   ;  ? 4 2 Lời giải Hàm sóng  n  x   A n sin chuẩn hoá: An  n  x   nx , đã được chuẩn hoá ở bài 1.1.b có hệ số a 2 và hàm sóng sau khi đã chuẩn hoá: a 2 nx sin ,( 0  x  a,n  1,2, ) a a (a)ứng với n  3 ta có:  3  x   2 3x sin a a Mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm trong trạng thái được mô tả bởi số lượng tử. .. tiến hành giải phương trình đặc trưng: det  A  If   0 (2) Trong trường  , phương trình (2) có p nghiệm: f1,f 2 , ,f k , ,f p , thay f k vào (1) ta sẽ tìm được vectơ riêng  x f ứng với trị riêng f k k 2.2 .Bài tập d Bài 2.1.Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử p x  i trong lớp hàm dx biến thực x , liên tục, đơn trị và hữu hạn trong toàn không gian - 11 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương... (7)Tính E  ? 1 n 1 n 1  E  T  u           n   2  2 4  2 4  - 33 - Khoá luận tốt nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Chương 5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyển động 5.1 .Cơ sở lý thuyết 5.1.1 .Phương trình Schrodinger Cho một hạt chuyển động trong trường có thế năng không phụ thuộc rõ vào thời gian:  p 2       H r, t    u r   r, t ... Nghiên cứu số dạng tập học lượng tử 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại giải số tập thuộc dạng tập học lượng tử 4.Đối tượng nghiên cứu Bài tập học lượng tử 5 .Phương pháp nghiên cứu Phương pháp Vật lý... nghiệp đại học Trương Thu Liên K29B - Vật lý Kết luận Trong trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp thu số kết sau: Phân loại giải số dạng tập học lượng tử giáo trình học lượng tử [1, 3] mà học trường... chuyên ngành Vật lý học Đại học môn học lượng tử, môn hình thành vào đầu năm 30 kỷ XX Với số lượng tập tương đối nhiều đa dạng, nhiên phần kiến thức toán học dùng để giải tập chúng lại phức tạp