Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử

Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học cổ điển nghiên cứu tính chất, tương tác dịch chuyển hệ vĩ mô không gian Trái lại, học lượng tử lại dựa tính chất sóng hạt vật chất để nghiên cứu giải thích tính chất tượng xảy không gian có kích thước dài cỡ 10-6 cm đến 10-13 cm Song song với việc thay đổi cách nhìn nhận đối tượng mới, công cụ toán dùng học lượng tử có thay đổi Cơ học lượng tử chủ yếu dùng công cụ toán học toán tử tác động không gian Hilbert Ngoài để nghiên cứu học lượng tử sử dụng phương pháp giải phương trình vi phân cấp hai, chuẩn hóa hàm sóng,… Khi cần tính đại lượng trị trung bình, xác suất trạng thái,… Chúng ta cần có hàm sóng chuẩn hóa Hay muốn tính lượng tìm dạng hàm sóng hạt chuyển động, cần giải phương trình Schrodinger cho chuyển động hạt Ở đây, cần chọn phương pháp giải cho kết nhanh chóng xác Đặc biệt, giải toán học lượng tử hệ tọa độ khác cần biết dạng toán tử (toán tử xung lượng, toán tử lượng, toán tử momen xung lượng,…) hệ tọa độ Để giải vần đề nêu đến việc chọn đề tài “Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử” Mục đích nghiên cứu Sử dụng số công cụ toán để học tập nghiên cứu học lượng tử Áp dụng công cụ toán nêu để giải số toán quan trọng học lượng tử Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Đối tƣợng nghiên cứu Các toán tử học lượng tử Phương trình Schrodinger, nghiệm chuỗi lũy thừa Lý thuyết chuẩn hóa hàm sóng Một số toán quan trọng xung quanh việc sử dụng công cụ Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng dạng toán tử quan trọng số hệ tọa độ Giải phương trình Schrodinger phương pháp sử dụng nghiệm chuỗi lũy thừa Vận dụng tìm lượng hàm sóng hạt dao động tử điều hòa hạt mang điện trường Coulomb Đưa lý thuyết chuẩn hóa hàm sóng Áp dụng chuẩn hóa số hàm sóng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp đọc tra cứu tài liệu Sử dụng phương pháp toán cho vật lý lý thuyết Sử dụng phương pháp giải tích toán học Dàn ý nội dung A Dạng toán tử quan trọng hệ tọa độ thông dụng Dạng toán tử hệ tọa độ Descartes Dạng toán tử hệ tọa độ cầu Dạng toán tử hệ tọa độ trụ B Phương pháp giải phương trình Schrodinger cách sử dụng nghiệm chuỗi lũy thừa Các nghiệm chuỗi lũy thừa Các ví dụ 2.1 Dao động tử điều hòa 2.2 Chuyển động hạt mang điện trường Coulomb Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử C Chuẩn hóa số hàm sóng Lý thuyết chuẩn hóa hàm sóng 1.1 Hàm sóng có phổ rời rạc 1.2 Hàm sóng có phổ liên tục 1.3 Chuẩn hóa vectơ không gian Hilbert Chuẩn hóa hàm sóng hệ hạt đồng 2.1 Chuẩn hóa hàm sóng hạt Fermion 2.2 Chuẩn hóa hàm sóng hệ Bosson Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử NỘI DUNG A DẠNG CỦA CÁC TOÁN TỬ QUAN TRỌNG TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ THÔNG DỤNG Dạng toán tử hệ tọa độ Descartes 1.1 Toán tử tọa độ Trong hệ tọa độ Descartes, không gian cấu hình hạt không gian ba chiều thông thường: q1 = x, q2 = y, q3 = z Theo hệ tiên đề thứ hai  y,  z lập thành toán tử vectơ bán kính học lượng tử, toán tử x,    r  xi   y j  zk  Kết việc tác dụng toán tử tọa độ lên hàm tọa độ thời gian việc nhân đơn tọa độ độ với hàm    r r, t  r r, t     (1) Như hàm toán tử r toán tử:   r U r  U      r  r, t  U r  r, t U      (2)    Có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt:          U r1, ,rn  r1, ,rn , t  U r1, ,rn , t  r1, ,rn , t         (3) 1.2 Toán tử xung lƣợng Cũng theo hệ tiên đề thứ hai học lượng tử hệ tọa độ Descartes toán tử hình chiếu xung lượng hạt    p x  i ,p y  i ,p z  i x y z Các toán tử (4) lập thành toán tử vectơ xung lượng (4) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử       p  p i  p j  p k  i  i   j   k    i x y z  x y z   (5)       i  j  k , toán tử Nabla hệ tọa độ Descartes x y z Ta mở rộng cho hệ nhiều hạt, lúc toán tử xung lượng hệ n hạt n  p   p k  i  k  i  k=1 k k r k (6) 1.3 Toán tử Hamilton Toán tử Hamilton toán tử quan trọng học lượng tử Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton hạt gồm toán tử động hàm lực  T  U  H 2    U(r,  t)   p     Còn hàm lực U Ở toán tử động T 2m 2m  phụ thuộc vào tọa độ r thời gian tọa độ        U(r,  t) H 2m (7)    U(r)  Nếu U không phụ thuộc vào tọa độ, gọi Trong trường hợp ấy:        U(r)  H 2m (8) Trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc …, thì: 2   H  W 2m (9) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử  thành phần mô tả chuyển động hạt trường lực Ở W tổng quát Đối với hệ n hạt dạng tổng quát toán tử Hamilton là: n      2W  ' H  k 2m k k=1 (10)  ' thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương Trong W tác hạt hệ hàm vận tốc hạt thời gian… 1.4 Toán tử momen xung lƣợng  Theo học cổ điển, hạt chuyển động với xung lượng p , bán kính     vectơ r có momen xung lượng L  r  p Như toán tử momen xung   r  p  i(r  ) lượng hạt là: L  i   i x L  x  j y  y  k z   z              ii  y  z   i j z  x   ik  x  y  y  x  x   x  z  y (11) Các toán tử hình chiếu momen xung lượng hạt có dạng:  x  i  y   z    L   z y      y  i  z   x    L   z    x   z  i  x   y    L  y x    (12) Còn toán tử bình phương momen xung lượng Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử   L.L   L  2X  L  2Y  L  2Z L Dạng toán tử hệ tọa độ cầu Hình 1: Hệ tọa độ cầu Hệ tọa độ cầu sử dụng đặc biệt tiện lợi toán đối xứng xuyên tâm     Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ r  xi  y j  zk Mối liên hệ  thành phần vectơ r hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cầu: x  r cos  sin  ,0  r     y  r sin  sin  ,0    2  z  r cos ,0      (14) Trong r, , tọa độ hệ tọa độ cầu Mối liên hệ ngược   r x y z   y   arctan  x  z    arccos 2  x y z  2 (15) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử   Cơ sở hệ tọa độ Descartes (i, j, k) , sở hệ tọa độ cầu    (e r ,e ,e ) Trong giải tích vectơ cho ta:   dr dr    e dS rd    dr dr   e dS r sin  d (16) Như vậy:   r    er   cos sin  i  sin  sin  j  cos k r   dr    e   cos  cos i  sin  cos j  sin  k rd      dr e    sin  i  cos j  0.k r sin  d   Như ma trận phép biến đổi từ sở (i, j, k) sang sở    (e r ,e ,e ) là:    er  i   cos  sin  sin  sin  cos         (17)  e   A  j  ,A   cos  cos sin  cos  sin   ,         sin  cos    k  e         Các đạo hàm ei   er  r   e  r   e  r Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử      er  icos.cos  jsin cos  k sin        e  icos sin   jsin  sin   kcos    e  r     er  isin  sin   jcos sin       e  isin cos  jcoscos      e  icos  jsin   (18) 2.1 Toán tử Nabla               e r  e  e  er  e  e r S S r r r sin       , ,   r r r sin   (19) 2.2 Toán tử momen xung lƣợng    i(r  ) Trong hệ tọa độ cầu, dạng  Theo định nghĩa L   (19), toán tử r  re r  {r,0,0} , vậy:  er    ir e    ir L r  r    e  r        ir  e  e r sin    r         i  e  e     sin   e  r sin  (20) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử 2.3 Các toán tử hình chiếu momen xung lƣợng      x  i e L  i  e   x sin  x   x  icoscos   i( sin )  L sin        x  i  sin    costg   L             y  i  e L  e    y sin  y      y  i sin cos   cos   L  sin          y  i cos   sin  cot g   L             z  i  e L  e    z sin  z          z  i ( sin )     L  sin      z  i   L   L  x  iL  y , Nếu định nghĩa toán tử L    i  sin    costg    i   cos   sin  cot g   L              i  sin    costg      cos   sin  cot g   L                e i    icot g (24)     10 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Suy ra: a 2k 1  Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử a1 k! Chuỗi (38) có dáng điệu giống hàm a1 exp  Lúc đó, lân cận điểm    hàm sóng    cho (36) có dạng:  2 exp  a            yexp        exp   a    1   Điều kiện     triệt tiêu bắt buộc y phải trở thành đa thức, nghĩa chuỗi (38) phải ngắt kmax = n Nghĩa là: a0 (hoặc a1),…, ak,…, akmax = an  0, an+2, an+4,…  Từ (40) suy an+2 = và:   2n    n  2E n  Từ rút biểu thức lượng: 1  E n    n  (n  0,1,2, ) 2  (41) Như lượng dao động tử bị lượng tử hóa, phụ thuộc vào số lượng tử n (n = 0, 1, 2,…) Trạng thái ứng với n = gọi trạng thái dao động tử lượng tử Khi thay    2n vào (37), phương trình trở thành y'' 2 y' 2ny  (42) Phương trình (42) gọi phương trình vi phân Hermite, nghiệm phương trình đa thức Hecmite bậc n: d n  y  Hn     1 e e d n n 2 Nếu gọi [n/2] phần nguyên không n/2 thì: 30 (43) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử n    H n      1 k k=0 n! n  2k  2  k! n  2k ! Sau số đa thức Hecmite đầu tiên: H    1;H1    2 ;H    4  2;H3    8  12 Nghiệm (34) có kể đến (36) (43) là:  2      A n exp   H n    2 (44) Nếu đổi biến từ  biến x hàm sóng dao động từ điều hòa hàm:  m   m   m  x   exp  x  Hn  x        2n n!  2   (45) Hàm chẵn lẻ với n, hệ số chuẩn hóa tìm từ điều kiện:   | x | dx   2.2 Chuyển động hạt mang điện trƣờng Coulomb Xét chuyển động electron mang điện tích (-e) trường hút tĩnh điện hạt nhân với Ze2 Ur   (hệ CGSE); e = 4,802.10-10 CGSE r (46) Bài toán có ý nghĩa quan trọng lý thuyết nguyên tử, thí dụ nguyên tử Hiđrô (Z = 1) hay nguyên tử ion hóa nhiều lần khác  He ,Li   ,  Trong toán ta giả thiết bỏ qua hiệu ứng tương đối tính, bỏ qua dao động hạt nhân kích thước chúng, bỏ qua spin electron,… 31 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Các trạng thái dừng electron chuyển động trường Coulomb với giá trị xác định bình phương momen xung lượng L2  l  l +1  , tìm phương trình cho hàm xuyên tâm R(r): 2m  Ze2 l  l +1   R ''  r    E    Rr     r 2mr  (47) Thế hiệu dụng: Ze2 l  l +1  Ul  r     r 2mr (48) l  l +1 2 Với r nhỏ, U l  r    0.hir  0,U l  r    2mr Ze2  0.hir  ,U l  r    Với r lớn, U l  r    r Như thấy: - Nếu E > toán thuộc loại hàng rào Hạt đị từ  chuyển động tâm Sau gặp rào thế, hạt phản xạ trở lại  Hạt chuyển động không tuần hoàn, lượng có phổ liên tục, quỹ đạo hạt Hypebol Trường hợp ứng với tán xạ electron trường Coulomb, ta không xét - Nếu E < 0, toán thuộc loại hố (hình dưới) Hạt chuyển động tuần hoàn với lượng bị lượng tử hóa, quỹ đạo (chuẩn cổ điển) elip tròn Ta quan tâm chủ yếu đến trường hợp 32 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Ul(r) Hình 3: Sự phụ thuộc hiệu dụng vào bán kính Để thuận tiện ta chuyển phương trình (47) sang biến không thứ nguyên Muốn ta đưa vào đơn vị độ dài nguyên tử (bán kính Bohr) 2 a  5,292.108 cm me (49) Và đơn vị lượng nguyên tử: E0  e2 me   27,21eV  a  (50) Chuyển sang biến số không thứ nguyên r a   ,   2E  0(vìE 0) E0 (51) Với biến (51) phương trình (47) có dạng:  2Z l  l +1  R ''         R       (52) Chúng ta nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình (52) lân cận   0và   33 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Với   , ta biết dáng điệu hàm R      l+1 Với    , ta bỏ qua thành phần thứ ba thứ tư vế trái (52) R ''  2R  Nghiệm phương trình R  exp   Để thỏa mãn điều kiện hữu hạn hàm sóng, ta bỏ nghiệm tương ứng với dấu dương Như nghiệm (52) thỏa mãn yêu cầu ý nghĩa vật lý      tìm dạng: R     el  y    (53) Thế (53) vào (52) ta phương trình vi phân cho y    y''  l    y'  Z  l    y  (54) Chúng ta tìm nghiệm (54) dạng chuỗi nguyên:   k=0     y'   ka k k-1   k  1 a k 1k  k=0 k=0    y''    k  1 ka k 1k  k=0   y      a k k (55) Thay y    đạo hàm y'   ,y''   vào (54) rút hệ thức truy toán để xác định hệ số ak (k = 1,2,…) (55) qua giá trị a0_xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng   k  l  1  Z a k 1   a (k  0,1,2, )  k  1 k  2l  2 k Ta thấy chuỗi (55) có dáng điệu hàm a exp  2  Từ (53) ta thấy lân cận ,R (  ) có dáng điệu hàm a exp     l+1   34 (56) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Bởi vậy, chuỗi (55) phải biến thành đa thức, nghĩa phải ngắt kmax = nr a ,a1, ,a nr  , a nr 1,a nr 2 ,  Từ (56), đặt k = nr, ak+1 = 0, rút  Z nr +l+1  Với nr = 1,2, gọi số lượng tử xuyên tâm Nếu đặt n  n r  l  1,n  1,2, gọi số lượng tử chính, thì:  Z ,(n  1,2, ) n Khi thay  (51), ta thu biểu thức cho lượng electron Z2me4 E n   2 ,(n  1,2, ) 2n  (57) Năng lượng electron bị lượng tử hóa, phụ thuộc vào số lượng tử n Công thức (57) trùng với công thức N.Bohr thu năm 1913 Mức lượng ứng với n = mức lượng thấp nhất, trạng thái ứng với mức gọi trạng thái Trạng thái ứng với n > gọi trạng thái kích thích Nghiệm (54) với   Z đa thức Lagrange suy rộng n  Z  y     L2nll1     n  Ở dm dm x dn x n L  x   m Ln  m e  e x  , n  m  dx dx dx n m n Còn dn x n Ln  x   e e x  dx n x (58) (59) đa thức Lagrange bậc n 35 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Như vậy, nghiệm (52) kể đến (53) (57) Rnl (  )  Anl e Z  n  Z   l +1L2nll1     n  (60) phụ thuộc vào hai số lượng tử n l Hệ số chuẩn hóa Anl xác định từ điều kiện chuẩn hóa   R  r  dr  nl Trở biến r, hàm bán kính  n  l 1!Z l  Zr  2Zr  2l 1  2Zr  f nl  r   exp     Lnl   (61) 3 na na na      a n  n  l ! Sau vài hàm bán kính Z3  Zr  f10  r   exp    a  a  Z3  Zr  Zr  f 20  r   exp   1   2a  2a  2a  Z3 Zr  Zr  f 21  r   exp   24a a  2a  (62) Ghép hàm cầu Ynlm  ,  với hàm bán kinh f nl  r   Rnl  r  ta r hàm sóng  nlm  r , ,   Rnl  r Ylm  ,   r diễn tả chuyển động electron trường Coulomb hạt có điện tích -Ze 36 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử C CHUẨN HÓA MỘT SỐ HÀM SÓNG Lý thuyết chuẩn hóa hàm sóng 1.1 Hàm sóng có phổ rời rạc Lý thuyết không gian F(q) hàm số liên tục biến q Các hàm   q  chuẩn hóa đơn vị mà tích phân sau hội tụ:  |  q  | Thì  '  q   dq  N (hữu hạn) (1)   q  chuẩn hóa đơn vị N Việc nhân hàm   q  với gọi phép chuẩn hóa hàm  N đơn vị Hàm chuẩn hóa theo (1) sai khác thừa số có modul đơn vị Để (1) thực q   phải có  q    Người ta chứng minh (1) hội tụ phần tử, hàm số không gian F (q) đánh số số tự nhiên: {n }=1, 2 , , n , Ta gọi hàm i  F  q  thỏa mãn (1) hàm ứng với phổ rời rạc (i = 1,2,…) 1.2 Hàm sóng có phổ liên tục Trường hợp  |   q  | dq  N   hàm không gian không đánh số số tự nhiên mà đánh số cho số f: f  F  q  , f phải trải từ f0   cách liên tục Ta gọi hàm f  F  q  hàm ứng với phổ liên tục Đối với trường hợp phổ liên tục ta chuẩn hóa f hàm Delta  Hàm  _ Delta định nghĩa: 37 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử 0,x  với  x    x       x  dx   Và số tính chất 1.  x      x  2.x  x    3.  f  x    x  a  dx  f  a   4.  ax    x  |a| 5.   x     i   x  xi   d     dx  x  xi (với xi nghiệm phương trình  x   ) Hàm  có nhiều biểu diễn tường minh Một biểu diễn hàm  là:   x    exp{i.q.x}dx 2  (2) Điều kiện chuẩn hóa f hàm Delta  sau:    q .  q  dq    f  f ' * f' f (3) 1.3 Chuẩn hóa vectơ không gian Hilbert Trong không gian Hilbert vectơ khai triển theo hệ đủ vectơ riêng trực chuẩn toán tử tuyến tính Hecmite Như vậy:  Hermite :Fx   f x (n  1,2, ) Trong x  X _không + Nếu F_ n n n n gian Hilbert 38 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Một vectơ tùy ý x  X : x   a n x n phổ F rời rạc n x   a f x f df phổ F liên tục Các {xn} hệ trực chuẩn đủ, an = (xn, x) Còn {x p } X hệ trực giao đủ chuẩn hóa  _ hàm Do đó:  x , x    x ,  a x d     x , x a     f  p  a df  a p p f f f p f f f p Thành thử: a f   x f ,x  trường hợp phổ rời rạc + Ta có: | a n |2   a n  x n , x    a n  x, x n  * n n n     x,  a n x n    x, x    n  Tương tự:  | a f |2 df  Như | a n |2 | a f |2 có tính chất hàm phân bố xác suất Khi x chuẩn hóa, ta nói | a n |2 xác suất fn F ( | a f |2 xác suất f F ) + Nếu X_ không gian Hilbert hàm số thỏa mãn số đòi hỏi rộng rãi đó, toán tử F _Hermite   f  ( n rời rạc liên tục) F n n n Cũng lấy {n } làm hệ sở X, hàm tùy ý   X chuẩn hóa khai triển qua hệ sở này:    a n n n   a  df  f f Ta tính hệ số khai triển an: a n   *n dq a f   *f dq 39 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử + Vì   q  q' vectơ không gian X hàm số, đưa khai triển  _hàm theo hệ hàm riêng {n  q } trực chuẩn đủ toán tử Hermite F   q  q'   a n n  q  n Nhân hai vế đẳng thức với *m  q  lấy tích phân kết vừa có theo biến q:    q   a   q  dq  a    q    q  dq * m n n n * m n n n   a n mn  a m n     q  q ' *m  q  dq  *m  q '  Nghĩa a n  *n  q '(n  1,2, ) Từ ta thu hệ thức:    q '   q      q '   q df    q  q ' * n * f n f n Chuẩn hóa hàm sóng hệ hạt đồng 2.1 Chuẩn hóa hàm sóng hạt Fermion Hàm sóng hạt Fermion viết dạng: N!   A   1 P p1 1 pN  N   P 1 Các số pi (i = 1, …, N) ký hiệu số lượng tử đủ để xác định trạng thái lượng tử hạt đánh số k (k = 1,2,…, N) có hàm sóng pi  k  , biến số k hàm sóng pi : ký hiệu tập hợp biến tọa độ vết chiếu spin hạt thứ k Nói chung pi  p j(i  j) P p1 1 p N  N  hàm thu từ p1 1 pN  N  , kết lần hoán vị liên tiếp cặp hạt 40 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Thí dụ: P 1234567    4312675 kết phép hoán vị liên tiếp cặp hạt (4; 1), (1; 3), (3; 2), (5; 7), (7; 6) Ta ký hiệu  nghịch phép hoán vị P ,  1  1 tùy thuộc vào   Do kết phép hoán vị P , vị trí hạt trở thành vị trí hạt i,…, N, vị trí hạt N trở thành vị trí hạt j P p1 1 pN  N   p1  i  pN  j  p1 i  pk 1 p j  N  N  j Có thể đặt pk  p'1, ,p1  p'i ,p N  p' j ,p j  p'N xếp lại tích theo thứ tự tăng dần đối số: P p1 1 pN  N   p'1 p'i p'j  j p'N  N  Ta có:   A N!     1  ' P   P '  P ;P ' 1  A N!     1   ' P ;P ' 1  A N!     1 A N!     1   ' P ;P ' 1  p '1 1 p 'N  N  | p ''1 1 p''N   ' P ;P ' 1 p p ' p'1p''1 .p' N p'' N   A N!   1 P 1 2 p'1 1 p'N  N   p''1 1 p''N  N   N! N! P 1 P 1 A  P  | P   A 1  A N! 1   N! Vậy hàm sóng Fermion là: N!    1 Pp1 1 pN  N   N! p 1 41 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử 2.2 Chuẩn hóa hàm sóng hạt Bosson Giả sử trạng thái lượng tử pj có Nj hạt Tổng số hạt S trạng thái lượng tử là: N1 + N2 + …+ Ns = N Nói chung hàm sóng hạt Bosson viết dạng: N!    P pN 1 pN  N1  pN  N1  1 pN  N1  N2   pN  N   1  2   s  P 1  Ở tách hàm sóng thành thành phần phân biệt móc vuông để phân biệt hàm pi  k  có chung số trạng thái pi Tổng biểu thức có tất N! số hạng Giả sử hoán vị N1 nhân tử đầu tích: pN 1 pN  N1  pN  N1  1 pN  N    1 s Sau xếp lại theo thứ tự, N1! số giống hệt Tương tự vậy, hoán vị N2 nhân tử nhân tử N1 tích trên, sau xếp lại theo thứ tự tăng dần số ta N2! số giống hệt nhau… Như hoán vị đồng thời Ns cặp hạt, mà cặp hạt N1 nhân tử đầu, cặp hạt N2 nhân tử từ (N1 + 1) đến (N1 + N2) … cặp Ns nhân tử lại tích ta N1!.N2! Ns! số giống hệt Trong phép hoán vị có tất N! số P  Trong N! số P  có tất N1!.N2! Ns! nhóm số giống Bởi vậy,chỉ có: N! số khác đôi N1 !N ! Ns ! Cho nên   A N! N1 ! N !  P 1 P pN 1 pN   pN  i  pN  N  42 s Lê Văn Duẩn K31 B Lý  A Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử N! N1 ! N !  P 1  P pN pN pN s  Trong ta giả thiết phép hoán vị P không thực phân tử có chung số Ta có:  |   A2 N! N1 ! N !  P ,P ' 1 A P  | P '   A  N! N1 ! N !  P ,P ' 1 p p   ' N1 ! Ns ! N! Vậy hàm sóng Bosson là:  N1 ! N s ! N   P p 1 pN1  N1   N! P 1  N1  p N  N1  1 p N  N1  N    p N  N    2   s  43 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử NXB Đại học sư phạm, 2005 Đỗ Đình Thanh Phương pháp toán lí NXBGD, 2002 Nguyễn Xuân Hoãn Cơ học lượng tử NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1998 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh Cơ học lượng tử Đại học sư phạm Hà Nội, 1996 Nguyễn Xuân Hy Cơ học lượng tử NXBGD Hà Nội, 1976 44 [...]... 2mr r  r  2mr 13 (28) (29) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử 3 Dạng của các toán tử trong hệ tọa độ  Hình 2: Hệ tọa độ trụ Các tọa độ trong hệ tọa độ trụ là  ,  và z (0    ;0    2;   z  ) , còn x =  cos y =  sin  (30) z=z    Cơ sở của hệ toạ độ trụ là ( e  ,e ,e z ) 3.1 Toán tử Nabla         e  e  ez  S z...        2 (31) 3.3 Các toán tử hình chiếu momen xung lƣợng  x  i sin    L z   L y  i cos     z    z  i  L    (32) 3.4 Toán tử bình phƣơng momen xung lƣợng 2 2 L2  2  1        2 z 2     3.5 Toán tử Hamilton 2 2    H   U(r, t) 2m 15 (33) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử 2      1  2 2    ... tán xạ của electron trong trường Coulomb, ta sẽ không xét ở đây - Nếu E < 0, bài toán thuộc loại hố thế (hình dưới) Hạt chuyển động tuần hoàn với năng lượng bị lượng tử hóa, quỹ đạo (chuẩn cổ điển) sẽ là các elip hoặc tròn Ta sẽ quan tâm chủ yếu đến trường hợp này 32 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử Ul(r) Hình 3: Sự phụ thuộc của thế năng hiệu dụng vào bán kính Để... thành: 23 (18) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử d2 y  2 1  dy 1   p z    dz  z 4 q  z  y  0 dz 2  z z 2 (19) ở đây p  z   P  x  ,q  z   Q  x  Khi đó x   là một điểm thường hoặc một điểm kỳ dị của phương trình (18) tùy theo z = 0 là một điểm thường hoặc một điểm kỳ dị của phương trình (19) Tức là x   là một điểm thường nếu 2x  x 2 P ... 2xy'  E  1 y  0 24 (23) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử [Nếu chúng ta viết E – 1 = 2n thì (23) được gọi là phương trình vi phân Hermite] Ta có thể thu được nghiệm tổng quát của phương trình này dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ khắp nơi và hệ thức truy toán của các hệ số sẽ chỉ chứa hai số hạng Hệ thức truy toán đó là: Cm  2  2m  1  E  Cm  m  1... 2  trong (26), như thế thừa số hóa được dáng điệu đồng thời ở cả hai điểm kỳ dị Phương trình trên trở thành 1  x  v'' 2  m  1 xv' n  n  1  m  m  1 v=0 2 (27) Với một nghiệm chuỗi trực tiếp quanh x = 0 Hệ thức truy toán của các hệ số là: Cr 2  r  m  r  m  1  n  n  1  Cr  r  1 r  2  26 (28) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử Ta...  Chú ý rằng nếu n là một số nguyên chẵn (hoặc lẻ), thì chuỗi chẵn (hoặc lẻ) của (8) sẽ kết thúc bằng lũy thừa xn Trong những trường hợp có tầm quan 19 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử trọng về mặt vật lý, x thường là cosin của một góc, như vậy ta cần đến những nghiệm có dáng điệu tốt khi 1  x  1 Sau này ta sẽ thấy rằng các chuỗi vô hạn trong (8) phân kỳ tại... Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử Nếu f0  x  , ,fn1  x  là đều tại điểm x = x0, thì được gọi là một điểm thường của phương trình vi phân Ở gần một điểm thường, nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân có thể viết dưới dạng chuỗi Taylor mà bán kính hội tụ của nó là khoảng cách đến điểm gần nhất của phương trình vi phân; dĩ nhiên ta gọi một điểm không phải... 2 2      L    z H   U  2m     2m 16 (35) Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử B PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGHIỆM CHUỖI LŨY THỪA 1 Các nghiệm chuỗi lũy thừa Trước khi xét các nghiệm chuỗi một cách tổng quát, ta hãy xét một ví dụ đơn giản (mặc dù không tuyến tính): y’’ = x – y2 Thử đặt (1) y = C0 + C1x + C2x2... cả trong trường hợp đó ta có thể đặt C1 = 0 và những số hạng bỏ đi khi đó 1 tương đương với các số hạng lập thành nghiệm thứ hai với s=+m=+ 2 Vì thế ta tự giới hạn ở các giá trị chẵn của n trong tổng và viết y  x  m  C0  C2 x 2  C4 x 4   20 Lê Văn Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử Dễ dàng tìm thấy hệ thức truy toán như sau: Cn+2 1 1   2 2 Cn  s+n+2  m ... Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử NỘI DUNG A DẠNG CỦA CÁC TOÁN TỬ QUAN TRỌNG TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ THÔNG DỤNG Dạng toán tử hệ tọa độ Descartes 1.1 Toán tử tọa độ Trong hệ tọa... Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa Cơ học lượng tử NXB Đại học sư phạm, 2005 Đỗ Đình Thanh Phương pháp toán lí NXBGD, 2002 Nguyễn Xuân Hoãn Cơ học lượng. .. Duẩn K31 B Lý Một số công cụ toán sử dụng học lượng tử Đối tƣợng nghiên cứu Các toán tử học lượng tử Phương trình Schrodinger, nghiệm chuỗi lũy thừa Lý thuyết chuẩn hóa hàm sóng Một số toán quan