Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== VŨ THỊ HẰNG MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Hà Nội 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== VŨ THỊ HẰNG MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Nguyễn Huy Thảo Hà Nội 2018 LỜI CẢM ƠN Tƣ ậ lòng biế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ố ƣờ ệ bày tỏ ú đỡ đị ƣ ng ƣ ng dẫn, nghiên cứu, cung cấp cho em tài liệu quý báu, tậ bảo, tạo đ ều kiện tốt q trình hồn thành khố luận tốt nghiệp ọ sƣ ả N ệ ả Vậ ợ ú đỡ ế o ƣờ ọ ậ ƣ ậ Cuối cùng, xin s đ ú đỡ nhiệt tình c đ bạn bè Là m t sinh viên lầ nghiên cứu khoa học nên khố luận khơng tránh khỏi s thiếu sót, tơi mong nhậ đƣợc nhữ c a thầy bạ è để khố luậ đƣợc hồn thiệ đ Tơi xin chân thành cảm ! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Vũ Thị Hằng ến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp c e o ƣ is ƣ ng dẫn tận tình c a thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo m t số tài liệu c a m t số tác giả o ần tài liệu tham khảo E trung th đo ƣ ững kết nghiên cứu khố luận hồn tồn đƣợc công bố bấ o ọi ngu n tài liệu tham khảo đề đƣợc trích dẫn m t cách rõ ràng Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Vũ Thị Hằng PHỤ LỤC Hình 1.1: Mơ tả mối liên hệ hai vector sóng góc tán xạ Hình 1.2: Mơ tả s va chạm vào c a hai hạt n p Hình 1.3: So sánh Yukawa g=1 v i giá trị m khác Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer-Townsend Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10(r ) có c giảm nhanh theo hàm số r ă đại r = a, 10(r )  r = MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU .1 Lý chọ đề tài: Mụ đ ứu: ối ƣợng phạm vi nghiên cứu: Nhiệm vụ c P ƣơ đề tài: .1 Cấu trúc c ứu: .1 đề tài: PHẦN 2: NỘI DUNG C ƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ T UYẾT .3 I.1: Lý thuyế ản tán xạ: .3 I.2: Hệ hạt chuyể đ ng m t chiều: I 3: ịnh lý quang học: .11 I.4: Thế Yukawa: .12 I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend: 14 I.7: Thế đối xứng cầu: .15 C ƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ ỌC LƢỢNG TỬ: 19 II 1: B oá ềT ếY w : 19 II.2: Bài toán Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: 25 II.3: Bài toán Thế đối xứng cầu: 26 II.4 Bài toán ịnh lý quang học: 29 PHẦN 3: KẾT LUẬN .32 TÀI LIỆU THAM KHẢO: .33 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Cơ ọ ƣợng tử đƣợc hình thành vào nử đầu kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli m t số ƣời khác tạo nên Cơ ọ ƣợng tử m t nhánh c a vật lý nghiên cứu chuyể đ ng c a vật thể đạ ƣợng vậ q ƣ ă ƣợ e Cơ ọ ƣợng tử đƣợc coi nâng cao ơ ọc Newton cho phép mơ tả xác đú đắn nhiều hiệ ƣợng vậ ọc Newton giải thích đƣợc Các hiệ ƣợng bao g m hiệ ƣợng quy mô nguyên tử hay nhỏ Cơ ọc Newton lý giải nguyên tử lại bền vững đến thế, giả đƣợc m t số hiệ ƣợ ĩ ƣs ẫn, siêu chả T o ƣờng hợp nhấ đị định luật c ọ ƣợng tử định luật c ọc cổ đ ển mứ đ o To đ tán xạ ản phần quan trọ giúp nghiên cứu hệ th c hệ o ọ ƣợng tử, ƣởng Chính tơi chọ đề tài “ Một số tán xạ học lƣợng tử ” đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: Gi i thiệu m t số tán xạ ả o Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tán xạ, m t số khái niệ ọ ƣợng tử ƣơ Nhiệm vụ đề tài: Tìm hiểu m t số tán xạ ản Phƣơng pháp nghiên cứu: P ƣơ Vật lý lý thuyết, Vật lý toán q Cấu trúc đề tài: Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung C ƣơ I: Cơ sở lý thuyết C ƣơ II: M t số toán tán xạ ả Phần 3: Kết luận chung o Cơ ọ ƣợng tử PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1: Lý thuyết tán xạ: Lý thuyết tán xạ nghiên cứu tìm hiểu s tán xạ c a sóng hạt Sóng tán xạ ƣơ ứng v i s va chạm tán xạ c a sóng v i vật chất I.1.1: Định nghĩa tiết diện hiệu dụng:  T    ()d  ƣợc gọi tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần [2] Trong vật lí hạt nhân, tâm tán xạ ƣ c dài cỡ 1012  1013 cm, tiết diện tán xạ hiệu dụng ƣờ đƣợ đo ằ ị barn hay milibarn: 1barn  1024cm2 , 1mbarn  1027cm2 V i toán tán xạ xét trình xảy va chạ đ h i, tức va chạm không dẫ đến s chuyển hố hạt khơng làm cho trạng thái n i c a hạ đổi, mà q â đến tâm tán xạ ƣ ấu trúc c a hạt Tác dụng c a tâm tán xạ o o ƣ ụng c a m t tâm l c mà ƣờng c a hạt tán xạ chuyể đ ng Kí hiệu V (r ) ă hạt bị tán xạ o bị tán xạ ƣờng c a tâm tán xạ đ a é r bán kính vector c a hạt I.1.2: Biên độ tán xạ: Xét toán s tán xạ c a hạt khố ƣợng m V (r ) c a tâm tán xạ C ú i hạn rằng, tiến t i đ nhanh r   [2] Giả sử E hạt t ƣợng c a hạt, p  ka ă đầu c a hạt v  ( ƣ ậy vận tố P ƣơ S o e a hạt: ƣợ ka ) m đầu c a  2 (r )  k 2 (r )  To đ : k2  2m V (r ) (r ) 2m E  k2 a P ƣơ sóng phẳng t i: o ệm dừ ƣ i dạng ch ng chất sóng tán xạ  (r )  eika r   tx Ở khoảng cách r l n tính từ tâm tán xạ, hàm  tx phải có dạng cầu phân kì: e  tx(r  )   tc  A() N ƣ ậy, khoả ikr r đ xa tâm tán xạ có dạng tiệm cận:  (r )  eika r  A() e ikr r Thành phần thứ vế phải sóng phẳ ik r e a 1 Ta có mậ đ dịng vận tố JT  2mi sắc có mậ đ đầu c a hạt: ( T*  T   T  T* )  ka v m Thành phần mô tả chùm hạt chuyể đ ng t v i vận tốc v t i tâm tán xạ (chùm t i)  100  r , ,   To  a3 e r a đ a bán kính quỹ đạo Bohr thứ Xác suất tìm thấy toạ đ c a hạt hai l p cầu r r + dr quanh gốc toạ đ : r 4  dP10  r     ea    a3 2r    r 2drd   e a r 2dr  a3  Mậ đ xác suất tạ đ ểm cách tâm m t khoảng r: dP10 (r )  2ar 10 (r )   e r dr a3 Ta thấy, 10(r ) có c theo hàm số r ă đại r = a, 10(r )  r = giảm nhanh Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10(r ) có c giảm nhanh theo hàm số đại r = a, 10(r )  r = r ă [2] CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ: II.1: Bài toán Thế Yukawa: Bài toán [4]: 19 Xét s tán xạ c a m t hạt từ V(r) Giả sử rằng, v i m moment ƣơ o ƣ c, m t c c xảy k  i  k r  ib ( b>0, k r  2m E r / ) a, Chứng minh ma trận S đƣợc S l (k )  để S l viết k  k r  ib i (k ) ,  (k )   *(k ) e k  k r  ib Cho k  k r , ei (k )  b, Sử dụng biểu thức c a ma trận S ( v i ei (k )  1) để định biên đ tán xạ f l (k , ) , tiết diện tán xạ tổng c ng  tot (k ) cho k  k r chứng l minh sóng l c ƣởng k  k r T đ trễ pha c a t c ƣờ đ c  l (k ) ? Cụ thể, s khác  l (k ) cho k ƣởng Cái hình ảnh c a k r  l (k ) cho k k r ? Giải: a, Ta có S l (k )  g (k ) , S *l (k )  S 1(k )  g (k )  h(k )  (k  k r  ib) l k  k r  ib V i h( k )  T đƣợc h(k )  ei (k ) b, Ta có ei (k )  T đƣợc: f l (k , )  4 (2l  1) 2ib ( S l (k )  1)Y l ,0( ) , S l (k )   2ik k  k r  ib Do đ f l ( k , )   4 (2l  1) b Y ( ) k k  k r  ib l ,0 20 (k )   tot l 4 (2l  1) k2 b2 2 k  k r   b ( )  4 (2l  1) / k  tot r , ví dụ l kr ƣ l sóng c ƣở â ệ c a ei (k r )  ƣởng c, Vì l sóng c Lấy vi phân S l (k )  e 2i S l (k )  S k  k r  ib đối v i k k  k r  ib đ đặt k  k r Ta có  l'  d  l (k r ) / dk  / b o đ ễ pha t  2m l' (k r ) / k r ƣơ Pha  l (k ) đ q  / từ ƣ i (  l' (k r )  ) Trên th c tế, từ biểu thức c a S l (k ) õ ă a  l (k ) trải qua s đ trái sang phải Bài toán [4]: Thế Y w đƣợc biểu diễ ƣ i dạng công thức: e r r0 Y (r )  Y0 r r0 V i Y0  đƣợ đề xuất bở Y w đầu nhữ s ƣơ ữa hạt nhân Trong phép gầ đú xạ ă  q  2k sin  2 : 2mY0 2m fY  k ,    sin(qr )Y (r )r dr    2q ă 30 a kỉ ƣ c Bo đ tán r03   qr0  Vì khơng thể đƣợ đ tán xạ, nên ƣ ƣợng Yukawa v i đối xứng cầu cho V (r )  V v  a , V (r )  r  a 21 đ tán xạ f V (k , ) cho đối xứng cầu phép gần Xá đị đú Bo b, V i r0  a định V cho tích phân tồn phần c a Yukawa đối xứng cầ ƣ ( Trong ƣờng hợp: Yukawa đối xứng cầu, tính đ tán xạ cách lấy x  2ka sin( 2) biến c a tích phân Ở mứ ă ƣợng cao, tiết diện tán xạ tổng c ng c a đối xứng cầu là: tot  V (0) tot , ka  V (k )   ka  c, T đ tán xạ tổng c ng cho Y tiết diện tán xạ tổng c ng mứ định V a v i ƣợng mứ ă ƣợng cao ă w Giải: a, Ta có: 2mV0 a 2mV0 sin qa  qa cos qa sin(qr )r dr   f V ( k , )   2q q3 b, Tích phân tồn phần có nhân tử chung 2m / 4 , v đ truyề ƣợng k f f k ( , )   Và k f 2m ik r    e f V (r )eiki r dr  4  k  q  2k sin   i Vì lim q0 T k , k k: i i sin qa  qa cos qa  r  a , V0  3Y0 3  qa  â đƣợc tính v i x  2kr0 sin  2 là: 22 đ tán xạ 2kr0 4x d  xdx   2  4 kr0   2kr0 2 (1  x 2) T đƣợc tiết diện tán xạ tổng c ng c a Yukawa là: 4m 2Y 02 tot  Y (k )  ă Tại mứ Y0 r02  K 4 r 60    kr ƣợng cao mứ  Ytot (0)     kr ă  Ytot (0)   kr ƣợng thấp: Y0 r03  V0 a3 V0 a đ 2 r đƣợc: V  Y , a Bài toán [4]: S tán xạ đ i c a hạt khỏi phân tử g m nguyên tử giống nhau, khoảng cách xa (bỏ qua s biến dạng c a hạ ) đƣợ o ƣ đ tán (r )  V (r )  V (r  a ) Giả sử rằ xạ c a V đ tán xạ f c a mol at at at m t nguyên tử phép gầ đú Bo : 23  ik r  2m ik f r i dr  , q  k  k  f (q )   e V ( r ) e  at at f i 4 a, Trong phép gầ đú xạ  mol Bo đ tán xạ f mol (q ) tiết diện tán (q ) c a tán xạ phân tử đ tán xạ tiết diện tán xạ   2 / k T a Giải: B đ tán xạ:   ik r   2m  ik f r f (q )   e V (r )  V (r   a ) e i dr   mol at at  4      f (q )(1  e at iq.a  ) Tiết diện tán xạ:  To mol (q )   at (q )  e iq.a  2 at (q )(1  cos(q.a )) đ cos(q.a ) s giao thoa sóng phân tán hai nguyên tử b, Ta có: q.a  qa  2ka sin   2ka Suy B đ tán xạ: f mol (q )  f (q ) at Tiết diện tán xạ:  mol (q )  4 24 at (q ) Do đ “  ấ ” a s giao thoa hồn tồn mang tính xây d ng, hai ngun tử ƣ t nguyên tử 2V (r ) at II.2: Bài toán Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: Bài toán [4]: C o ƣờng hợp V ( x)  V cho r  a , V (r )  cho r  a a, Ta có tan  ka   0(k )    k / k1 tan k1a , k1  2m V  E  /  k 02  k Chứng minh rằng,  i(k / k1 ) tan k1a S0  k   e 2ika  i(k / k1 ) tan k1a C ú ƣơ đến tích phân liên tục c a tan k a trục ảo s định vị trí c a c c c a S0  k  trục ảo l0 đ c, D a vào biểu thức c a ma trận tán xạ S, đƣ ểu thứ ă ƣợng thấp ( ka 1) c a ma trận S o ƣờng hợp c a m đƣờng tiệm cận v i mứ ă ƣợng Giải: a, Ta có:  i(k / k1) tan k1a  i tan(ka   0(k ))   e 2i(ka   (k ))  e 2ika S 0(k )  i(k / k1) tan k1a  i tan(ka   0(k )) b, Nếu k  i , k1  k 02   , tan k1  tan k 02  k  tan k 02   Vị trí c c c a S 0(k ) trục ảo đƣợc cho bở ƣơ : 1 i i tan k0   25  k 02   2 a V i   k 02   2 a ,   a ƣơ ƣơ ứng v i    / tan  ,     k 02a  2mV 0a / c, Khi m t số c c gần 0,  k0 Ta đƣợc tan k0 a  k0 /  ƣờng hợp từ biểu thức S 0(k ) bỏ qua yếu tố e 2ika(ka 1) ,  i(k / k0 ) tan k0  ik /  k  i  k ka phù hợp v i   S 0(k )   i(k / k0 ) tan k0  ik /  k  i To biểu c Từ đ hợp c a m i S (k )   đ tán xạ f  k   2ik k  i biểu thứ ă ƣợng thấp c a ma trận tán xạ S o đƣờng tiệm cận v i mứ ă ƣợng 0: S 0(k )   k  i k  i ƣờng (   ) II.3: Bài toán Thế đối xứng cầu: Bài toán [4]: ịnh lý quang họ đ tán xạ: q đến tiết diện tán xạ tổng c ng v i phần ảo c a  tot (k )  4 m f k (  0) k (trục tọ đ song song v i k ) To ƣờng đối xứng cầu, đ tán xạ viết là:  f k ( )   4 (2l  1) ei l (k ) sin  l (k )Yl ,0 ( ) k l 0 a, Sử dụng mối quan hệ Y l ,0(0)  (2l  1) / 4 trạng thái trung bình tr c chuẩn  Y *l m( , )Y lm( , )d    ll ' mm ' o ƣờng hợp đối xứng cầu 26 định lý quang học b,  l (k ) đƣợ đị ƣ ế nào?  l (k )   l (k )  ?  Giải: a, Ta có  tot (k )   f k ( ) d  nhờ tính tr c giao c a sóng cầu   4 (2l  1)sin 2 l (k ) l 0k  tot (k )    l (k )   l 0 ế nữa: f k (  0)  l 4 (2l  1) ei l (k ) sin  l (k )Y l ,0(0) k  l (2l  1)ei l (k ) sin  l (k ) k k tot m f k (  0)  l (2l  1)sin 2 l (k )   (k ) k 4 b, Ta có ei l (k ) sin  l (k )  ei( l (k )   ) sin( l (k )   ) Do đ ất pha sai khác m t khoảng  Bài tốn [2]: Trạ sóng ản c a electron nguyên tử o đƣợc mô tả hàm a, Tính giá trị trung bình r n ƣợng c a electron nằm khoảng b, Tính xác suất tìm thấy giá trị từ p đến p + dp trạng thái Giải: a, Sử dụng hệ tọ đ cầu: ặt:   n n! (  )  Jn  r n exp  r dr  n  ; J 0( )  ; J n  1( )      27 T đƣợc giá trị trung bình: * * r n   100r n 100dV   100 100r n  2dr sin  d d   2   n2  2r   2r  n  d  sin  d  exp  dr  exp   dr r r        a  a a 3 a3 0     n  ! n J n    a  a  2n  a3 b, Mậ đ xác suất:  i   (r )exp  pr  dV cp     2 3 Chọn chiều p trùng v i chiề ƣơ Oz Ta có: pr  pr cos dV  r 2dr sin  d d ặt: A   a 3 2 3  8a 3 2' Ta có: cp   i   (r )exp  pr  dV     2 3 2   r   i   A  d  r exp    exp  pr cos  sin  d dr  a0   0   r  i   2 A  r exp    exp  prz dzdr  a  1   2 i A    r ipr   r ipr     exp  exp        rdr p 0  a   a  28 Suy ra: cp Mậ đ 8 4a    a 3 2 3 2  a p  s ấ đo đƣợ ịp cp   8a  a2 p2  ƣợ : Trong toạ đ   8a  2  a2 p2  ƣợng p  cầu c p 2x  p 2y  p 2z dp xdp y dp z  4 p 2dp Xác suất tìm thấy giá trị p + dp bằng: ƣợng c a electron nằm khoảng từ p → 2 dW ( p)  c p 4 p dp    32a  a2 p2  p 2dp II.4 Bài toán Định lý quang học: Bài tốn [4]: M t hạt có khố ƣợng m bị gi i hạn m t chiều x  Hạ ă ƣợng E tiế đến bên phải m t chắn hình chữ nhậ ( ƣ ẽ) có chiều cao V0  : 0 xa V , V00 V ( x)   xa 0 a, V i E  V , đ tán xạ A c a sóng phản xạ chênh lệch pha 2 (k ) đối v i sóng phản xạ c a 29 b, Tính gi i hạn c a  (k ) V   v i E cố định Giải: a, V i k  2mE /   2m(V  E ) Ta có:   B sinh  x  E ( x)   ikx  Aeikx  e ều kiện liên tục x=0 x=a 0 xa xa đƣợc:   B sinh  a  e ika  Aeika  ika  Aeika)   B cosh  a  ik (e =>  (e ika  Aeika)cosh  a  ik (e ika  Aeika)sinh  a => A  e 2ika Ta có cosh  a  i  k   sinh  a cosh  a  i  k   sinh  a A  1, A  e 2i (k ) v i   tan 1 k    a  , Do đ 2 (k )  2ka  2tan 1 k    a  ƣơ đƣơ : 30 2 (k )  2ka  2 tan(ka    k )   k    a b, Khi V    k    a    k   ka Trên th c tế, V   hàm sóng  E ( x)  v i  x  a  E ( x)  sin k ( x  a) v i x  a s đ  (k )  ka 31 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ ứu, khóa luậ đƣợc hồn thành nhiệm vụ đặt Trong q trình th c khóa luậ ú đạ đƣợc m t số kết sau: Khóa luận hợ đƣợc m t số lý thuyế ản tán xạ, Hệ hạt chuyển đ ng m t chiều, Y w ịnh lý quang học, Hiệu ứng RamsauerTownsend, ối xứng cầu Khóa luận hợ đƣợc m t số toán ản liên quan t i Yukawa, Hiệu ứng Ramsauer-Townsend, ối xứng cầu M i tán xạ khác ƣơ ứng v i m oá ọ ƣợng tử khác nhau, kiến thức Vật lý vơ hạn có nhiều khác th c tế Chính khóa luận hồn thiệ số ƣợ ố ƣơ ứng v i đƣợc bổ sung nhiề 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Tiếng Việt: [1] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở Vật Lý hạ Hà N i [2] Trầ T N i II o (2000) Cơ ọ ản, NXB Thống kê ƣợng tử NXB [3] Phạm Thúc Tuyền (2011), Cơ ọ Hà N i ại họ Sƣ ƣợng tử, NXB ạm Hà ại học Quốc gia Tiếng Anh: [4] E o ’E o Luigi E Picasso (2011), Problems in Quantum Mechanics with Solutions [5] J.J.Sakurai, San Fu Tuan (1994), Moder Quabtum Mechanics Revised Edition 33 ...TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== VŨ THỊ HẰNG MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS... t số toán tán xạ ả Phần 3: Kết luận chung o Cơ ọ ƣợng tử PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1: Lý thuyết tán xạ: Lý thuyết tán xạ nghiên cứu tìm hiểu s tán xạ c a sóng hạt Sóng tán xạ. .. ƣợng tử, ƣởng Chính tơi chọ đề tài “ Một số tán xạ học lƣợng tử ” đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: Gi i thiệu m t số tán xạ ả o Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tán xạ,