Một số kết quả đánh giá ổn định và phương pháp lặp cho phương trình burgers

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1. Hàm lồi logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers . . . . .14 2.1. Bài toán cực tiểu hóa trong L 2 (Q T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình Burgers ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong ứng dụng khi nghiên cứu về các quá trình sóng phi tuyến, trong lý thuyết về âm học phi tuyến hay lý thuyết nổ, (xem [6]). Bài toán ngược kể trên đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện: a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài toán đặt không chỉnh. Đối với các bài toán đặt không chỉnh, vấn đề đánh giá ổn định cũng như việc đề xuất các phương pháp lặp để giải bài toán được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Bởi tính ứng dụng cao của phương trình Burgers trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học nên nó đã được nghiên cứu từ những thập niên 70 của thế kỷ trước (xem [3]). Tuy nhiên, đây là phương trình có độ phi tuyến cao nên rất khó xử lý. Cho đến nay vẫn chỉ có rất ít kết quả dành cho bài toán này. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về đánh giá ổn định và các phương pháp lặp cho phương trình Burgers ngược thời gian. Trên cơ sở các tài liệu [1], [3], [4], [5] và [6], chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là : "Một số kết quả đánh giá ổn định và phương pháp lặp cho phương trình Burgers". Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương. Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian. Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức về hàm lồi logarithm 2 3 và các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian. Trong chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh chi tiết các kết quả trong tài liệu [5] và được chia làm 2 mục. 2.1. Bài toán cực tiểu hóa trong L 2 (Q T ) Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm của phương pháp tối ưu liên hợp (adjoint optimization) trong L 2 (Q T ) với Q T = (0, 1) × (0, T ). 2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm dựa trên phương pháp cực tiểu theo chuẩn L 2 của gradient (L 2 - minimization of the gradient) trong W . Trong đó W là không gian các hàm u(x, t) sao cho u x (x, t) ∈ L 2 (Q T ) và u(0, t) = u(1, t) = 0. Chuẩn trong không gian này được định nghĩa là u W = u x  L 2 (Q T ) . Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy cô, gia đình, bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, các thầy cô trong tổ Giải tích - khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn, xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 - Giải tích Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình. Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn học viên cao học. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả Phạm Văn Sơn CHƯƠNG 1 CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian, sau đó chúng tôi đề xuất một cải tiến nhỏ cho một trong số các kết quả đã có. Để tiện theo dõi, trước hết chúng tôi trình bày về khái niệm hàm lồi logarithm. 1.1 Hàm lồi logarithm Kiến thức trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [2]. Như ta đã biết, với hàm số f(t) khả vi liên tục hai lần trên [t 1 ; t 2 ] thì điều kiện để hàm f(t) là một hàm lồi theo t trên đoạn [t 1 ; t 2 ] là f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ]. (1.1) Nếu f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ] thì f  là hàm đơn điệu tăng nên ta có t  t 1 f  (s)ds ≤ f  (t)(t − t 1 ); ∀t ∈ (t 1 , t 2 ) và t 2  t f  (s)ds ≥ f  (t)(t 2 − t), ∀t ∈ (t 1 , t 2 ). Từ đó đạt được 1 t − t 1 t  t 1 f  (s)ds  f  (t)  1 t 2 − t t 2  t f  (s)ds, ∀t ∈ (t 1 , t 2 ) 4 5 hay 1 t − t 1 (f(t) − f(t 1 ))  1 t 2 − t (f(t 2 ) − f(t)), ∀t ∈ (t 1 , t 2 ). Điều này kéo theo rằng f(t) ≤  t 2 − t t 2 − t 1  f(t 1 ) +  t − t 1 t 2 − t 1  f(t 2 ). Nếu hàm lồi f(t) có dạng f(t) = ln F (t) thì ta nói rằng F (t) là hàm lồi logarithm theo t trên đoạn [t 1 , t 2 ]. Trong trường hợp này, điều kiện (1.1) trở thành d 2 dt 2 ln F (t) ≥ 0, ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ]. (1.2) Với chú ý F (t) > 0, ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ], điều kiện (1.2) được viết lại thành F F” − (F  ) 2 ≥ 0, ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ]. (1.3) Vậy nếu F (t) thỏa mãn (1.3) thì ta có ln F (t) ≤  t 2 − t t 2 − t 1  [ln F (t 1 )] +  t − t 1 t 2 − t 1  [ln F (t 2 )]. Điều này tương đương với F (t) ≤ [F (t 1 )]  t 2 −t t 2 −t 1  [F (t 2 )]  t−t 1 t 2 −t 1  . Bây giờ giả sử F (t) thỏa mãn F F” − (F  ) 2 ≥ −kF 2 (1.4) hoặc F F” − (F  ) 2 ≥ −k 1 F F  − k 2 F 2 (1.5) trong đó k, k 1 , k 2 là các hằng số và F (t) > 0 trên đoạn [t 1 , t 2 ]. Từ (1.4) ta có d 2 dt 2  ln  F.e kt 2 2  ≥ 0 (1.6) 6 và từ (1.5) ta có d 2 dδ 2  ln  F (δ).δ −k 2 k 2 1  ≥ 0 (1.7) với δ = e −k 1 t . Do đó điều kiện (1.4) kéo theo ln F (t) ≤  t 2 − t t 2 − t 1  [ln F (t 1 )] +  t − t 1 t 2 − t 1  [ln F (t 2 )] + 1 2 k(t − t 1 )(t 2 − t). Bất đẳng thức trên tương đương với F (t) ≤ exp  1 2 k(t − t 1 )(t 2 − t)  [F (t 1 )]  t 2 −t t 2 −t 1  [F (t 2 )]  t−t 1 t 2 −t 1  , ∀t ∈ [t 1 ; t 2 ]. (1.8) Tương tự, điều kiện (1.5) kéo theo ln  F (δ).δ −k 2 k 2 1  ≤  δ 2 − δ δ 2 − δ 1  ln  F (δ 1 ).δ −k 2 k 2 1 1  +  δ − δ 1 δ 2 − δ 1  ln  F (δ 1 ).δ −k 2 k 2 1 1  . Bất đẳng thức này tương đương với F (δ).δ −k 2 k 2 1 ≤  F (δ 1 ).δ −k 2 k 2 1 1  δ 2 −δ δ 2 −δ 1  F (δ 1 ).δ −k 2 k 2 1 1  δ−δ 1 δ 2 −δ 1 , (1.9) trong đó δ ∈ [δ 1 , δ 2 ] và δ 1 = e −k 1 t , δ 2 = e −k 1 t . 1.2 Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương trình tuyến tính, rất ít kết quả nhận được cho các phương trình phi tuyến. Một trong những phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng nhất là phương trình Burgers ngược thời 7 gian. Cho đến nay, các kết quả đánh giá ổn định cho loại phương trình này vẫn còn hạn chế. Chúng tôi chỉ tìm thấy một số kết quả của Carasso ([3]), Ponomarev ([6]), Đinh Nho Hào và cộng sự ([4]). Vào năm 1977, Carasso ([3]) đã xem xét phương trình Burgers ngược thời gian dạng    u t = νu xx − uu x + f(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ) u(0, t) = p(t), u(1, t) = q(t), 0  t  T u(x, T ) = ϕ(x), x ∈ (0, 1), (1.10) trong đó ν là số thực dương, p, q, ϕ, f là các hàm đã cho với p, q, f là các hàm trơn. Kí hiệu  ·  là chuẩn L 2 (0, 1) và D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T }. Carasso đạt được đánh giá ổn định dạng H¨older cho nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian như sau. 1.2.1 Định lý. ([3]) Nếu u i (x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ 1 (x) và ϕ 2 (x) tương ứng, trong đó ϕ 1 , ϕ 2 ∈ L 2 (0, 1) sao cho ϕ 1 − ϕ 2   δ (δ > 0) và max {|u i | (x,t)∈D , |u it |, |u ix |, |u itt |, |u ixt | } ≤ N (1.11) thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá u 1 (·, t) − u 2 (·, t)  2 exp  4N + t(T − t)(N 2 + (1 + 3ν)N) 4ν  N (T −t)/T δ t/T . (1.12) Đối với định lý này, chúng tôi đã có một cải tiến nhỏ bằng cách đề xuất và chứng minh định lý sau đây. 1.2.2 Định lý. ([1]) Nếu u i (x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ 1 (x) và ϕ 2 (x) tương ứng, trong đó ϕ 1 , ϕ 2 ∈ L 2 (0, 1) sao cho ϕ 1 − ϕ 2   δ (δ > 0) và max {|u i | (x,t)∈D , |u it |, |u ix |, |u itt |, |u ixt | } ≤ N 8 thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá u 1 (·, t) − u 2 (·, t)  2 exp  4N + t(T − t)(N 2 + (1 + ν)N) 4ν  N (T −t)/T δ t/T . (1.13) Chú ý rằng ν, N, δ > 0 và t ∈ [0, T ] nên vế phải của (1.13) bé hơn vế phải của (1.12). Do đó kết quả trong Định lý 1.2.2 tốt hơn kết quả trong Định lý 1.2.1. Vào năm 1986, Ponomarev ([6]) đã xét phương trình  u t = a(t)u xx + b(x, t)uu x + c(x, t)u x + d(x, t)u + f(x, t), (x, t) ∈ D, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t < T, với a(t) > 0. Tác giả này cũng đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older nhưng với đòi hỏi u(x, t) C 2 (D)  E, trong đó E là số thực dương. (1.14) Dễ nhận thấy rằng các điều kiện (1.11) và (1.14) có đặc điểm chung là đòi hỏi đạo hàm cấp hai của nghiệm bị chặn. Năm 2014, Đinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng ([4]) đã đề xuất và chứng minh một số kết quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian. Các tác giả này đã đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older chỉ với đòi hỏi đạo hàm bậc nhất của nghiệm bị chặn. Cụ thể, họ đã đề xuất và chứng minh các kết quả sau. 1.2.3 Định lý. ([4]) Giả sử u 1 (x, t) và u 2 (x, t) là các nghiệm trơn của phương trình  u t = (a(x, t)u x ) x − d(x, t)uu x + f(x, t), (x, t) ∈ D, u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t), 0  t  T, (1.15) trong đó a(x, t), d(x, t), g 0 (t), g 1 (t), f(x, t) là các hàm trơn, a(x, t)  a > 0, (x, t) ∈ D, a t (x, t), d(x, t) và d x (x, t) bị chặn trên tập D. Đặt m = max (x,t)∈D a t (x, t) + 2(dE) 2 a(x, t) 9 và xác định hàm µ bởi: µ(t) = t T nếu m = 0, µ(t) = e mt − 1 e mT − 1 nếu m = 0. (1.16) Nếu u 1 (x, t) và u 2 (x, t) thỏa mãn max (x,t)∈D {|u i |, |u ix |}  E, i = 1, 2, (1.17) và u 1 (·, T ) − u 2 (·, T ) L 2 (0,1)  δ, thì ta có đánh giá u 1 (·, t) − u 2 (·, t) L 2 (0,1)  k 1 (t)δ µ(t) E 1−µ(t) , ∀t ∈ [0, T ], (1.18) trong đó k 1 (t) =          2 exp  E 1 (T −t) + 1 2 E 2 t(T −t)  , nếu m = 0, 2 exp  1 2 E 2  e mT − 1  2 e 2|m|T m 2 + E 1  T − t 2   , nếu m = 0, E 1 = E max (x,t)∈D (|d| + |d x |) , E 2 = E 2 1 + 4E 2 max (x,t)∈D d 2 . 1.2.4 Định lý. ([4]) Giả sử u 1 (x, t) và u 2 (x, t) là hai nghiệm trơn của bài toán  u t = νu xx − αuu x + f(x, t), (x, t) ∈ D, u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t), 0  t  T, (1.19) trong đó ν > 0, α ∈ R, và g 0 , g 1 , f là các hàm trơn. Nếu u 1 , u 2 thỏa mãn max (x,t)∈D {|u i |, |u ix |, |u it |}  E, i = 1, 2 (1.20) và u 1 (·, T ) − u 2 (·, T )  δ, thì ta có đánh giá u 1 (·, t) − u 2 (·, t)  k 1 (t)δ t T E 1− t T , t ∈ [0, T ], (1.21) trong đó k 1 (t) = 2 exp  |α|E ν + 2E 1 t + E 2 1 t(T −t)  , E 1 = α 2 E 2 + 2|α|E 4ν + |α|E 2 . 10 Theo kỹ thuật chứng minh trong tài liệu [4], trong luận văn này chúng tôi đưa ra một cải tiến nhỏ về hệ số k 1 (t) trong đánh giá ở Định lý 1.2.4. Cụ thể, chúng tôi đề xuất và chứng minh định lý sau. 1.2.5 Định lý. Giả sử u i (x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán  u t = νu xx − αuu x + f(x, t), (x, t) ∈ D, u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t), 0  t  T, (1.22) trong đó ν > 0, α ∈ R, và g 0 , g 1 , f là các hàm trơn. Nếu max (x,t)∈D {|u i |, |u ix |, |u it |}  E, i = 1, 2 và u 1 (·, T ) − u 2 (·, T ) ≤ δ thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá u 1 (·, t) − u 2 (·, t) ≤ k(t)E 1− t T δ t T , ∀t ∈ [0, T ], (1.23) trong đó k(t) = 2 1− t T exp  |α|E ν + 1 4 E 2 1 (T −t)t + 2 E 1 t(T −t) T  và E 1 = α 2 E 2 + 2|α|E 4ν + |α| 2 E. Chứng minh. Đặt z(x, t) = u 1 (x, t) − u 2 (x, t), a(x, t) = u 1 (x, t) + u 2 (x, t) 2 , ∀(x, t) ∈ D, B (x, t) = α x  0 a (s, t)ds và ψ (x, t) = z (x, t) exp  −B(x,t) 2ν  . Tương tự như trong chứng minh của Định lí 1.2.1, ta có    ψ t = νψ xx −  α 2 a 2 + 2B t 4ν + 1 2 αa x  ψ, ∀(x, t) ∈ D ψ (0, t) = ψ (1, t) = 0; ∀t ∈ [0, T ] . (1.24) Đặt Q(x, t) = α 2 a 2 + 2B t 4ν + 1 2 αa x . [...]... được cho bởi (2.73) Bây giờ ta có thể ứng dụng phương pháp gradient cho việc cực tiểu hàm J và đi đến phép lặp: vk+1 = vk + αψk (x, 0) , k = 0, 1, , trong đó α > 0 là tham số và ψk là nghiệm của bài toán (2.72) với u = uk 33 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau: 1 Trình bày về hàm lồi logarithm và một số kiến thức liên quan 2 Trình bày tổng quan các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers. .. trong Định lí 1.2.1 ta có ψ(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ] Định lí được chứng minh Chú ý rằng t k(t) = 21− T exp |α|E 1 2 E1 t(T − t) + E1 (T − t)t + 2 ν 4 T và k1 (t) = 2 exp |α|E 2 + 2E1 t + E1 t(T − t) ν nên k(t) < k1 (t), ∀t ∈ [0, T ] Do đó vế phải của (1.23) bé hơn vế phải của (1.21) Điều này dẫn đến kết quả trong Định lý 1.2.5 tốt hơn kết quả trong Định lý 1.2.4 CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH... kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian 3 Đề xuất và chứng minh Định lý 1.2.5 4 Trình bày bài toán cực tiểu hóa trong L2 (QT ) 5 Trình bày bài toán cực tiểu hóa trong W TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Đức và Phạm Văn Sơn (2011), Cải tiến kết quả của Carasso về đánh giá ổn định nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian, Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Vinh, tập 40,... TRÌNH BURGERS Bài toán đặt ra trong chương này là như sau: giả sử ta đã biết uδ và muốn tìm hàm u là nghiệm của phương trình Burgers ut = µuxx − uux , (x, t) ∈ QT , u (0, t) = u (1, t) = 0, 0 t T, (2.1) trong đó QT = (0, 1) × (0, T ), µ là số thực dương sao cho u gần với uδ Về mặt toán học, ta nên cực tiểu hóa độ lệch u − uδ theo một chuẩn thích hợp trên tập nghiệm của phương trình Burgers Các phương pháp. .. áp dụng phương pháp gradient cho hàm I Điều này dẫn đến phương pháp lặp sau Với v0 cho trước, ta định nghĩa vk+1 = vk + αψk (x, 0) , k = 0, 1, , (2.6) trong đó α > 0 là tham số và ψk là nghiệm của (2.4) với u = uk 2.1.1 Định nghĩa (i) Không gian các hàm u(x, t) sao cho t → u(·, t) xác định và liên tục trên [0, T ] nhận giá trị trong L2 (0, 1) và sup 0≤t≤T u (·, t) L2 (0,1) . Sơn CHƯƠNG 1 CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược. chương. Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian. Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức về. [4], [5] và [6], chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là : " ;Một số kết quả đánh giá ổn định và phương pháp lặp cho phương trình Burgers& quot;. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài