Một số kết quả về iđêan và ứng dụng

Trờng Đại học Vinh Khoa Toán --------------------- --------------- Nguyễn thị phơng nhung Một số kết qủa Về iđêan và ứng dụng Khóa Luận tốt nghiệp đại học 31 Mở đầu Iđêan là khái niệm quan trọng nhất để nghiên cứu vành. Nó đóng vai trò nh nhóm con chuẩn tắc trong lí thuyết nhóm. Dùng khái niệm này có thể trả lời trọn vẹn đợc vấn đề đặc trng hạt nhân của đồng cấu vành Tập con I của vành R là iđêan của vành R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành :f R S từ vành R vào một vành S nào đó . Dùng công cụ iđêan chúng ta cũng thu đợc điều kiện cần và đủ để một miền nguyên X là trờng, thể hiện qua định lí sau: Miền nguyên X là trờng nếu và chỉ nếu X chỉ có hai iđêan là 0 và X . Cũng chính nhờ công cụ iđêan mà chúng ta lí giải đợc một vấn đề có ý nghĩa về phơng pháp nghiên cứu trong toán học sau đây: Một hệ phơng trình đại số tuỳ ý n-ẩn trên trờng K luôn tơng đơng với hệ hữu hạn phơng trình đại số n-ẩn trên K. Với những lí do trên, khoá luận này tập trung nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết iđêan và tìm tòi các ứng dụng của chúng về các phơng diện Đại số, Số học và Hình học. Khoá luận gồm hai chơng cùng với phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo. Chơng 1 của khóa luận nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong Đại số giao hoán làm cơ sở cho các phần sau. Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét vành giao hoán, có đơn vị. Kết quả chính của chơng 1 là tìm cách giảm nhẹ điều kiện của Định lý tránh nguyên tố bằng cách thay điều kiện tất cả các iđêan đều nguyên tố bởi giả thiết có thể có tối đa hai iđêan không nguyên tố (Định lí 1.2.9). Cũng trong chơng 1, khóa luận nghiên cứu về các loại iđêan đặc biệt: Iđêan căn, iđêan hữu hạn sinh, iđêan nguyên sơ, iđêan của tập đại số. Ngoài ra khoá luận còn chỉ ra và chứng minh đợc một số tính chất của các phép toán cộng, nhân, chia, khai căn trên các iđêan (mệnh đề 1.3.3). Ch ơng 1 của khoá luận còn đa ra một số kết quả: Xây dựng một phản ví dụ về vành Noether bằng cách chỉ ra trong vành đó có những iđêan không hữu hạn sinh (mệnh đề 1.1.9). Nếu vành đa thức R[X] là vành Noether thì vành R cũng là vành Noether. Vành đa thức vô hạn biến trên một trờng tuỳ ý không phải là vành Noether. Vành đa thức R[X] là vành chính khi và chỉ khi R là trờng và số biến là 1. Một trong những kết quả cơ bản nhất về vành đa thức, đó là nội dung của định lí Hinber về cơ sở, nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trờng là hữu hạn sinh. Mặt khác, cấu trúc iđêan của vành đa thức một biến trên một trờng đã đợc mô tả rất tờng minh, bởi vì lớp vành này thoả mãn định lý về phép chia đa thức. Mặc dù kết quả đơn giản, nhng chứng minh của nó chứa đựng ý tởng sâu sắc để mở rộng cho trờng hợp nhiều biến. Do vậy, chơng 2 của khoá luận dành cho việc nghiên cứu iđêan trong vành đa thức nhiều biến. Khóa luận đã giới thiệu một số bài toán về đa 32 thức và giải quyết một số trờng hợp cụ thể. Cũng cần nói thêm rằng, iđêan nguyên tố là khái niệm mở rộng của khái niệm số nguyên tố, vì vậy nó có nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Chơng 2 đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính bất khả quy của tập đại số với tính nguyên tố của iđêan liên kết với nó (định lí 2.1.9). Phần cuối của khóa luận, xét lớp iđêan đặc biệt là iđêan đơn thức, với các kết quả chủ yếu ở đây là tìm tòi một số tính chất số học trên lớp các iđêan này. Trong khoá luận cũng giới thiệu một số thuật toán liên quan đến các bài toán tìm tập sinh tối tiểu của iđêan. Thông qua một số thuật toán, chứng tỏ rằng việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc. Những thuật toán đó có thể lập trình hóa và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học. Kết quả chính của khoá luận đã đợc nhận đăng trong bài báo Một số tính chất số học của các iđêan , Tạp chí Khoa học - Đại học Huế, 2006. Khoá luận đợc thực hiện tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới PGS.TS. Nguyễn Qúy Di, PGS.TS. Lê Quốc Hán và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán đã tận tình dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dới mái trờng Đại học Vinh thân yêu. Khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đợc sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô giáo. Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2006 Tác giả Nguyễn Thị Phơng Nhung 33 Chơng 1 Iđêan nguyên tố 1.1. Vành các hàm số thực liên tục Trớc hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về vành. Khóa luận không đi sâu vào khía cạnh trừu tợng của lí thuyết mà chú ý minh họa cụ thể bằng vành đa thức và vành các hàm số thực liên tục. Một số kết quả đã quen thuộc trong Đại số sẽ đợc phép sử dụng và không nhắc lại. 1.1.1. Vành. Vành là một tập hợp khác rỗng R đợc trang bị phép toán cộng (+) và phép toán nhân (.) thỏa mãn các tính chất sau: 1) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán. 2) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là với mọi cba ,, R, ta có ).()( bcacab = 3) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi cba ,, R, ta có .)(,)( cabaacbacabcba +=++=+ Phần tử đơn vị của nhóm cộng R đợc gọi là phần tử không của vành R và ký hiệu là 0. Vành R đợc gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân trong R có phần tử đơn vị, nghĩa là nếu R chứa phần tử 1 R (hay 1) thoả mãn: = aaa ,11 R. Vành R đợc gọi là vành giao hoán nếu với mọi ba, R, ta có baab = . Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét vành giao hoán, có đơn vị. Vành chỉ có một phần tử không kí hiệu là 0 R (hay 0) và gọi là vành không. Ví dụ 1. Tập các số nguyên  ; Tập các số hữu tỉ Ô ; Tập các số thực Ă ; Tập các số phức Ê với các phép cộng và nhân thông thờng lập thành các vành. Tuy nhiên, tập các số tự nhiên Ơ không phải là vành. Tập Ă [x] các đa thức của biến x với hệ số thực, với các phép cộng và nhân đa thức thông thờng lập thành một vành. 34 Tập C[a,b] các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với các phép cộng và nhân hàm số lập thành một vành. Một nhóm cộng giao hoán G bất kỳ có thể xem là vành giao hoán với phép nhân tầm thờng: = baab ,,0 G. Cho R là một vành (giao hoán, có đơn vị) và 2 n là một số tự nhiên. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc vành R với phép cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị nhng không giao hoán (do đó không thuộc đối tợng ta xét). 1.1.2. Miền nguyên. Cho R là một vành và a R. Phần tử 0 a đợc gọi là 1) ớc của 0 nếu trong R tồn tại 0 b sao cho 0 = ab . 2) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại phần tử c R sao cho 1 = ac . Vành R không chứa ớc của 0 đợc gọi là miền nguyên. Ví dụ 2. Vành  là miền nguyên có hai phần tử khả nghịch là 1 và -1. Vành C[a, b] không phải là miền nguyên và hàm số )(xf C[a,b] khả nghịch khi và chỉ khi bxaxf ,0)( . 1.1.3. Trờng. Trờng là một vành khác vành không mà mọi phần tử khác 0 của nó đều khả nghịch. Vành các số hữu tỉ, vành các số thực, vành các số phức là những trờng số. Các tr- ờng này có vô hạn phần tử. Tuy nhiên có những trờng có hữu hạn phần tử. Chẳng hạn, với p là số nguyên tố, vành p  các số nguyên môđun p lập thành một trờng gồm p phần tử. 1.1.4. Vành con. Một tập con S của vành R đóng kín với phép cộng và phép nhân của R đ- ợc gọi là một vành con của vành R nếu S chứa phần tử đơn vị 1 của R và bản thân nó cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một vành. Ví dụ 3. Mỗi vành tuỳ ý khác vành không luôn có ít nhất hai vành con đó là vành con tầm thờng 0 và chính nó. Vành số nguyên  chỉ có hai vành con là 0 và  . Tuy nhiên  là vành con của các vành , ,Ô Ă Ê . Tập các đa thức một biến hệ số thực là một vành con của vành C[a, b]. 35 Tập các số nguyên chẵn 2  tuy là nhóm con của nhóm cộng  và đóng kín đối với phép nhân nhng không phải là vành con của vành  vì nó không có đơn vị. Để kiểm tra một tập con S của vành R có là vành con của R hay không ta th ờng dùng tiêu chuẩn gồm 3 điều kiện sau: (1) 1 S. (2) Nếu a, b S thì a b S. (3) Nếu a, b S thì ab S. 1.1.5. Đồng cấu vành. Cho f : R S là ánh xạ từ vành S tới vành R. Khi đó, ta gọi f là đồng cấu vành nếu các điều kiện sau thỏa mãn đối với mọi a,b R: 1) f(a + b) = f(a) + f(b). 2) f(a b) = f(a) f(b). 3) f(1 R ) = f(1 S ). 1.1.6. Tích trực tiếp của các vành. Cho các vành R 1 , R 2 , . . . , R n . Kiểm tra đợc tích Đề-các ììì= = n i ni RRRR 1 21 với phép toán cộng ), .,(), .,(), .,( 1111 nnnn bababbaa ++=+ , và với phép toán nhân ), .,(), .,)(, .,( 1111 nnnn bababbaa = , trong đó Rba ii , lập thành một vành (giao hoán có đơn vị). Vành ììì= = n i ni RRRR 1 21 xây dựng nh trên đợc gọi là tích trực tiếp của các vành R 1 , R 2 , . . . , R n . 1.1.7. Iđêan của vành. Một tập con khác rỗng I của vành R đợc gọi là iđêan (ideal) của vành R nếu I thỏa mãn các điều kiện: (1) Nếu a, b I thì a + b I. (2) Nếu a I và r R thì ra I. Nếu I là iđêan của vành R thì - a = (-1)a I với a I. Do đó, iđêan I là nhóm con của nhóm cộng R và là vành con theo nghĩa rộng (tức không cần điều kiện chứa 1) nhng không là vành con theo quy ớc của chúng ta. Ví dụ 4. Tập n là các iđêan trong vành  , với mọi số nguyên n. Tập con I các hàm liên tục và triệt tiêu tại x 0 [a,b] là iđêan của vành C[a,b]. 36 1.1.8. Iđêan hữu hạn sinh. Cho R là một vành và A là tập con khác rỗng của R. Khi đó, tập hợp: { } 1 1 1 1 ; , ., ; , ., n n n n A r a r a n N r r R a a A< >= + + L là một iđêan bé nhất của R chứa A . Tập con A đợc gọi tập sinh hay hệ sinh của iđêan I = < A > và ta nói I là iđêan sinh bởi A . Tập A đợc gọi là tập sinh tối tiểu của iđêan I = < A > nếu A không chứa thực sự một tập sinh nào khác của I. Ta nói iđêan I là iđêan hữu hạn sinh nếu I có một hệ sinh hữu hạn. Ví dụ 5. Mọi iđêan trong vành  đều sinh bởi một phần tử (iđêan chính). Một iđêan có thể có nhiều tập sinh tối tiểu. Chẳng hạn {1}, {2 , 3} là các tập sinh tối tiểu của iđêan  trong vành  . Có thể chứng minh rằng iđêan này có vô số tập sinh tối tiểu. 1.1.9. Mệnh đề. Tồn tại vành có những iđêan không hữu hạn sinh. Chứng minh. Chẳng hạn xét vành C[0,1]. Chọn n f là hàm liên tục sao cho 0)( > xf n nếu 1/1 < xn và 0)( = xf n với nx /10 . Đặt J = 1 2 , , ., , . n f f f< > . Iđêan này không hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử tồn tại m ggg , .,, 21 J sao cho J = 1 2 , , ., m g g g< > . Vì có thể chọn hệ số 0, cho nên không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử 1 1 , 1 , j j jp p g h f h f j m= + + L trong đó 2 p là số tự nhiên đủ lớn. Khi đó, j g 1 2 , , ., p f f f< > và do đó J = 1 2 , , ., m g g g< > 1 2 , , ., p f f f< > J. Nh vậy J = 1 2 , , ., p f f f< > . Từ đó suy ra 1 + p f biểu diễn đợc qua các hàm p fff , .,, 21 trong vành đang xét. Lại do 0)/1( .)/1( 1 === pfpf p cho nên 0)/1( 1 = + pf p . Nhng vì 1/1/1 +> pp nên 1 (1/ ) 0 p f p + > , do đó ta gặp phải một mâu thuẫn. Vậy iđêan J không là iđêan hữu hạn sinh. 1.1.10. Mệnh đề. Cho J là iđêan của vành C[a,b] gồm tất cả các hàm triệt tiêu tại x 0 [a,b]. Khi đó, vành thơng C[a, b] /J đẳng cấu với vành các số thực Ă . 37 Chứng minh. Lập ánh xạ : C[a,b] Ă xác định bởi (f) = f(x 0 ), với mọi hàm f(x) C[a,b]. Ta có là một đồng cấu vành và có hạt nhân ker() = J . Thật vậy, với mọi f , g C[a,b] ta có: (f + g) = (f + g)(x 0 )= f(x 0 ) + g(x 0 ) =(f) + (g), (f g) = (fg)(x 0 )= f(x 0 )g(x 0 ) = (f)(g), (1 C[a,b] ) = 1 C[a,b] (x 0 ) = 1. Ngoài ra, với mọi y Ă luôn có hàm hằng liên tục f(x) = y thuộc C[a,b] sao cho (f) = y, hay là một toàn cấu vành. Vì hạt nhân của đồng cấu là iđêan J, do đó theo định lý đồng cấu vành ta suy ra điều cần phải chứng minh. 1.1.11. Định nghĩa (xem [7]). Cho R là vành. Các điều kiện sau tơng đơng: (i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức). (ii) Mọi dây chuyền tăng các iđêan + 121 nn IIII , đều dừng sau hữu hạn bớc, tức là tồn tại k để . 1 == + kk II (iii) Mọi iđêan của vành R đều hữ hạn sinh. Một vành R thoả mãn một trong ba điều kiện trên đợc gọi là vành Noether. 1.1.12. Quan hệ thứ tự trên một tập hợp. Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ hai ngôi (quan hệ) trên tập X là một tập con của tích Đềcác X x X . Ta viết yx thay cho ),( yx . Quan hệ trên tập X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thoả mãn các điều kiện sau đây, với mọi zyx ,, X : (i) yx (tính chất phản xạ), (ii) Nếu yx và zy thì zx (tính chất bắc cầu), (iii) Nếu yx và xy thì yx = (tính chất phản đối xứng). Rõ ràng quan hệ trên tập hợp các số thực là một thứ tự. Vì vậy, thứ tự thờng đợc ký hiệu bởi . Nếu trên tập X có một quan hệ thứ tự thì ta nói tập X là tập đợc sắp thứ tự. Quan hệ thứ tự trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần hoặc quan hệ thứ tự tuyến tính nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh đợc với nhau, nghĩa là yx hoặc xy với Xyx , . Khi đó, ta còn nói X là tập đợc sắp thứ tự hoàn toàn. 38 1.1.13. Định nghĩa. Cho X là một tập đợc sắp bởi thứ tự và A X. Phần tử a A đ- ợc gọi là phần tử tối tiểu (tuơng ứng tối đại) nếu với mọi b A mà ab (tơng ứng ba ) thì ba = tức là không có phần tử nhỏ hơn (tơng ứng lớn hơn) a ở trong A. Phần tử a A là phần tử nhỏ nhất (tơng ứng lớn nhất) nếu với mọi b A ta có ba (tơng ứng ab ). Tập X đợc gọi là tập đợc sắp thứ tự tốt nếu nó đợc sắp hoàn toàn và mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử bé nhất. Bổ đề sau đây hay đợc sử dụng trong các chứng minh toán học. 1.13. Bổ đề Zorn. Nếu X là tập đợc sắp sao cho mọi tập con khác rỗng đợc sắp hoàn toàn của nó bị chặn trong X, thì X có phần tử tối đại. 1.2. Iđêan nguyên tố 1.2.1. Định nghĩa. Một iđêan thực sự I của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu Iab thì Ia hoặc Ib , với mọi phần tử ba, của vành R. Iđêan thực sự I của vành R đợc gọi là iđêan cực đại nếu chỉ có hai iđêan của vành R chứa I là I và R. Khái niệm iđêan nguyên tố là mở rộng của khái niệm số nguyên tố: Số tự nhiên p>1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu abp / suy ra ap / hoặc bp / , với mọi số nguyên ba, . Thực vậy, có thể kiểm tra đợc rằng vành số nguyên  chỉ có các iđêan nguyên tố khác không là p , trong đó p là số nguyên tố. 1.2.2. Mệnh đề. Cho I là iđêan thực sự của vành R. Khi đó, ta có a) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thơng R/I là miền nguyên. b) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thơng R/I là trờng. 39 Chứng minh. a) Cho I là iđêan nguyên tố. Giả sử 0 , /a b R I , khi đó ,a b I và do đó ab I . Vì vậy, 0ab ab= hay /R I là miền nguyên. Ngợc lại, giả sử /R I là miền nguyên. Với , ,a b R giả sử ab I , khi đó 0ab ab= = . Do /R I là miền nguyên cho nên 0a = hoặc 0b = hay a I hoặc b I . Vì vậy, I là iđêan nguyên tố. b) Cho I là iđêan cực đại. Giả sử 0 /a R I , khi đó a I . Khi đó, iđêan tổng P I aR= + của vành R chứa I . Vì a P và a I nên I Pỉ . Từ giả thiết cực đại của I , suy ra P R= hay 1 P . Do đó, tồn tại ,b I r R sao cho 1b ra+ = . Từ đó 1b ra ra+ = = , hay lớp a khả nghịch. Vì vậy, vành thơng /R I là trờng. Ngợc lại, giả sử /R I là trờng và P là một iđêan của vành R chứa iđêan I và P I . Khi đó, tồn tại phần tử ,a P a I hay 0a . Do đó, tồn tại b R sao cho 1ab ab= = , hay 1,ab c c I+ = . Vì ,ab P c I P nên 1 P và do đó P R= . Vì vậy, I là iđêan cực đại của vành R. 1.2.3. Hệ quả. Mỗi iđêan cực đại là iđêan nguyên tố. Tuy nhiên, điều ngợc lại không đúng. Chứng minh. Giả sử I là iđêan cực đại, khi đó theo bổ đề 1.2.2 phần b) vành thơng /R I là trờng và do đó /R I là miền nguyên. Vì vậy, theo bổ đề 1.2.2 phần a) suy ra I là iđêan nguyên tố. Iđêan 0 trong vành Z là iđêan nguyên tố nhng không là iđêan cực đại trong vành Z vì rằng 0 2 Âỉ ỉ . 1.2.4. Mệnh đề. Mọi vành không tầm thờng đều chứa ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Vì R 0 nên 0 là iđêan thực sự của R và do đó tập các iđêan thực sự của R khác rỗng. Quan hệ bao hàm thức là một thứ tự bộ phận trên . Iđêan cực đại của R chính là phần tử cực đại của theo quan hệ thứ tự này. Giả sử là một tập con của đợc sắp hoàn toàn. Đặt IJ I = . Rõ ràng 0 J và với mọi RrJa , ta có Jra . Cho Iba , , khi đó tìm đợc ba II , để a Ia và b Ib . Vì sắp hoàn toàn cho nên có thể giả thiết I a I b . Khi đó, đồng thời có a Ia và b Iba + J. Nh vậy, J là một iđêan của R . Nếu J = R thì J chứa đơn vị 1, do đó 40 . của đồng cấu vành Tập con I của vành R là iđêan của vành R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành :f R S từ vành R vào một vành S nào đó. không phải là vành Noether. Vành đa thức R[X] là vành chính khi và chỉ khi R là trờng và số biến là 1. Một trong những kết quả cơ bản nhất về vành đa thức,