Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự (LV1245)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2HỮU THỊ THANH HUYỀN VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HỮU THỊ THANH HUYỀN

VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ

Hy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi cóthể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Hữu Thị Thanh Huyền

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn “Vector riêng của toán tử tuyến tínhdương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự” làcông trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Hữu Thị Thanh Huyền

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự 6

1.1 Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ tự 6

1.1.1 Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không gian vector thực 6 1.1.2 Phần dương, phần âm và modun của phần tử 9

1.2 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự 16

1.2.1 Các định nghĩa 16

1.2.2 Tính chất 17

1.3 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự C[a, b] 21

1.3.1 Không gian vector thực C[a, b] 21

1.3.2 Tập hợp E + và quan hệ "≤" trên không gian C[a, b] 24

1.3.3 Toán tử u0-dương trên không gian C[a, b] 27

Chương 2 Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự 29

2.1 Khái niệm không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự 29

2.1.1 Định nghĩa 29

2.1.2 Một số tính chất thường gặp 30

2.2 Mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến tính 32

2.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 38

2.4 Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương 43

2.4.1 Tiêu chuẩn compact trong không gian Euclide m chiều Rm 46

2.4.2 Không gian Banach C[a, b] 47

2.4.3 Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b] 50 Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết toán tử tuyến tính dương trong các không gian định chuẩnthực nửa sắp thứ tự đã được các nhà toán học nghiên cứu và đạt đượcnhững kết quả phong phú và sâu sắc

Sự mở rộng tính sắp thứ tự của tập hợp số thực vào các không gianhàm đã xuất hiện khá sớm trong các công trình của Riss F., sau đó đượcphát triển và ứng dụng trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ

tự (hay sắp thứ tự bộ phận) trong các công trình của Kantorovich L V.[5] và Krein M G [6]

Các nhà toán học thế hệ tiếp theo đã tiếp tục phát triển một cách sâusắc hơn và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau cho đến thời gianhiện nay như Kraxnoxelxki M A [7], Vulikh B Z [8]

Năm 2012, trong luận văn Thạc sỹ của tác giả Nguyễn Văn Lợi [4] đãnghiên cứu một số vấn đề trong không gian định chuẩn thực nửa sắpthứ tự, cụ thể là về đối tượng toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trongkhông gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo một nón cố định

Với mong muốn được nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về các tính chấttrong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự tôi đã chọn nghiêncứu đề tài: “Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trongkhông gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự” , trong đó quan hệ

sắp thứ tự trong không gian không định nghĩa theo nón mà định nghĩatheo một tập các phần tử dương, thay điều kiện tính đóng của nón bằngđiều kiện sự tồn tại cận trên đúng của hai phần tử.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống những kiến thức cơ bản về toán

tử tuyến tính dương và vectơ riêng của chúng trong không gian địnhchuẩn thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định nghĩa về không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự;

- Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của toán tử tuyến tính dương trongkhông gian C[a, b];

- Định nghĩa và một số tính chất về không gian định chuẩn thực nửa sắpthứ tự;

- Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quảvề:

+ Tính liên tục của toán tử tuyến tính dương;

+ Toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b];

+ Điều kiện tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong

không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự.

• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liênquan đến vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong khônggian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo;

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;

- Tham khảo và hỏi ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày một cách có hệ thống một số vấn đề về không gianvectơ thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương cố định, toán tửtuyến tính dương trong không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự, khônggian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, mối liên hệ giữa tính dương vàtính liên tục của toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính liên tục và

sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương áp dụng các kếtquả đạt được trong không gian vector thực trừu tượng vào không gianvector C[a, b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

Chương 1 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ

• Nếu có u ∈ E sao cho u − x ∈ E+, u − y ∈ E+ thì u − z ∈ E+.Phần tử z thỏa mãn điều kiện (iv) trên đây được gọi là cận trên đúngcủa hai phần tử x và y, kí hiệu là z = sup{x, y}.

Tương tự ta có khái niệm cận dưới đúng của hai phần tử Phần tử

w ∈ E gọi là cận dưới đúng của hai phần tử x, y ∈ E và kí hiệu là

w = inf{x, y} nếu:

• x − w ∈ E+, y − w ∈ E+;

• Nếu ∃v ∈ E sao cho x − v ∈ E+, y − v ∈ E+ thì w − v ∈ E+

Ta cũng có thể mở rộng khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng chomột tập hợp khác rỗng M ⊂ E

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là tập con khác rỗng của E, phần tử z ∈ Eđược gọi là cận trên đúng của tập hợp M nếu:

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử E là không gian vector thực, E+ là tập tất

cả các phần tử dương trong không gian E Với x, y ∈ E ta viết x ≤ ynếu y − x ∈ E+

Định lý 1.1.1 Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.1.4 là mộtquan hệ sắp thứ tự trong E

Chứng minh Ta kiểm tra ba tiên đề về quan hệ thứ tự

E+ nên x ≤ z, hay tính bắc cầu cũng được thỏa mãn

Vậy quan hệ "≤" là một quan hệ thứ tự trên E

Nhận xét 1.1.1 Từ Định lí 1.1.1 ta có thể viết lại định nghĩa cận trênđúng, cận dưới đúng của hai phần tử x, y ∈ E như sau:

• z = sup{x, y} nếu:

+) x ≤ z, y ≤ z;

+) giả sử ∃ u ∈ E sao cho x ≤ u, y ≤ u thì z ≤ u.

• w = inf{x, y} nếu:

+) w ≤ x, w ≤ y;

+) giả sử ∃ v ∈ E sao cho v ≤ x, v ≤ y thì v ≤ w

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử E là không gian vector thực, E+ là tập tất

cả phần tử dương của E và "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E Khi

đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là không gian vector thựcnửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+

1.1.2 Phần dương, phần âm và modun của phần tử

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tựtheo tập các phần tử dương E+ ⊂ E, phần tử x ∈ E

• Phần tử x+ = sup{x, θ} gọi là phần dương của phần tử x;

• Phần tử x− = sup{−x, θ} gọi là phần âm của phần tử x;

• Phần tử |x| = x++ x− gọi là modun của phần tử x

Ta có các tính chất sau về phần dương, phần âm và modun của phầntử

Định lý 1.1.2 Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theotập các phần tử dương E+ Khi đó ∀x, y ∈ E mà x ≤ y ta có:

1) λx ≤ λy với λ ≥ 0;

2) λy ≤ λx với λ < 0

Chứng minh Giả sử ∀x, y ∈ E mà x ≤ y.

1) Với λ ≥ 0, vì x, y ∈ E nên λx, λy ∈ E Hơn nữa, x ≤ y suy ra

y − x ∈ E+ nên λy − λx = λ(y − x) ∈ E+ hay λx ≤ λy ∀λ ≥ 0

2) Với λ < 0 suy ra −λ > 0, theo 1) ta có λx − λy = −λ(y − x) ∈ E+.Vậy λy ≤ λx với λ < 0

Định lý 1.1.3 Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theotập các phần tử dương E+ Khi đó ∀x ∈ E ta có x = x+− x−

Chứng minh Theo định nghĩa x+ = sup{x, θ}, x− = sup{−x, θ} nên tacó

Định lý 1.1.4 Với mọi x, y ∈ E ta có inf{x, y} = − sup{−x, −y}.Chứng minh Đặt z = sup{−x, −y}, ta có

sup{x + z, y + z} ≤ u + z = sup{x, y} + z (1.1.5)

2) Tương tự như trên, ta đặt w = inf{x, y} suy ra

Mặt khác, với y = x+ − u, z = x− − u thì hiển nhiên, theo định nghĩacủa cận dưới đúng suy ra x+ − u = y ≥ θ và x−− u = z ≥ θ Suy ra

y − z = (x+− u) − (x−− u) = x+− x− = x

Vì z ≥ 0 nên từ y − z = x suy ra y ≥ x hay x+ = sup{x, θ} ≤ y Do đó

x+ ≤ y = x+− u =⇒ −u ≥ θhay

v = |x| − θ Vậy v = |x| hay sup{x, −x} = |x|

Định lý 1.1.7 Với mọi x, y ∈ E ta có |x+− y+| ≤ |x − y|.

Chứng minh Giả sử x, y ∈ E, ta có x+ = sup{x, θ}, y+ = sup{y, θ} nên

λx− = λ sup{−x, θ} ≤ (λx)− (1.1.15)

Từ (1.1.14) và (1.1.15) suy ra λx− = (λx)−, ∀λ > 0

Định nghĩa 1.2.6 Toán tử A gọi là u0−bị chặn dưới, nếu (∀x ∈ E+, x 6=θ)(∃n = n(x) ∈ N∗)(∃α = α(x) > 0) sao cho

Chứng minh Giả sử A : E −→ E là toán tử cộng tính Nếu toán tử A

là toán tử dương, theo định nghĩa ta có AE+ ⊂ E+ Khi đó, ∀x, y ∈ E

mà x ≤ y hay y − x ∈ E+, nên A(y − x) ∈ E+ Do toán tử A cộng tínhnên Ay − Ax = A(y − x) ∈ E+, hay Ax ≤ Ay, nghĩa là toán tử A làtoán tử đơn điệu

Ngược lại, nếu toán tử A là toán tử đơn điệu, tức là ta có

Ax ≤ Ay ∀x, y ∈ E, x ≤ y

Từ đó Ay − Ax ∈ E+, sử dụng toán tử A là toán tử cộng tính nênA(y − x) = Ay − Ax ∈ E+ Như vậy, với phần tử tùy ý z ∈ E+ ta có

z = z − θ ∈ E+, nên Az = A(z − θ) ∈ E+ Vậy AE+ ⊂ E+ hay toán tử

và giả thiết toán tử A cộng tính và dương, ta thu được

|Ax| = |A(x+− x−)| = |Ax+− Ax−|

≤ |Ax+| + |Ax−| = Ax++ Ax−

= A(x++ x−) = A|x|,hay |Ax| ≤ A(|x|), ∀x ∈ E

Định lý 1.2.3 Toán tử A là u0-bị chặn trên và u0-bị chặn dưới trên Enếu và chỉ nếu toán tử A là u0-dương trên E

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử toán tử A là toán tử u0-bị chặntrên và u0-bị chặn dưới trên E

Trước hết, đối với u0, theo giả thiết

∃s1 = s1(u0) ∈ N∗, ∃α1 = α1(u0) > 0, α1u0 ≤ As1u0

=⇒u0 ≤ (α−11 As1)u0 = A1u0;

∃t1 = t1(u0) ∈ N∗, ∃β1 = β1(u0) > 0, β1u0 ≤ At1u0

=⇒u0 ≥ (β1−1At1)u0 = A2u0

Suy ra, bằng cách tác dụng liên tiếp các toán tử tương ứng A1, A2

0, β = β(x) > 0,

αu0 ≤ Anx, Amx ≤ βu0 (1.2.5)Suy ra, có thể coi n > m,

An−mu0 ≥ An−m(β−1Amx) = β−1αu0 (1.2.6)+ Trường hợp n − m và k nguyên tố cùng nhau: (n − m, k) = 1 Tồn tạihai số p, q ∈ N∗ :

do (1.2.9) ta có

Am+rkx = Am+rk−n(Anx) ≥ αAm+rk−nu0 ≥ α[β0−q(β−1α)p]m+rk−nu0

(1.2.10)(1.2.9)và (1.2.10) chứng tỏ toán tử A là toán tử u0−dương

Đối với trường hợp (1.2.8) ta có

+ Trường hợp n − m và k có ước chung lớn nhất là d

Đặt n − m = d`0 ∈ N∗ và kí hiệu

k = k0d, m = m0d + r, n = `0d + m0d + r = n0d + r

Hiển nhiên, m0 < n0

Kí hiệu Ad = B, Arx = y Các hệ thức (1.2.4) và (1.2.5) có thể viếtlại:

Suy ra,

α0u0 ≤ Asd+rx ≤ β0u0.Nên toán tử A là toán tử u0-dương trên E

Điều kiện đủ Giả sử toán tử A là toán tử u0-dương trên E Theo địnhnghĩa toán tử u0-dương ta có ∀x ∈ E+ và x 6= θ, ∃s = s(x) ∈ N∗, ∃α =α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0,

αu0 ≤ Asx ≤ βu0 (1.2.13)

Hệ thức (1.2.13) chứng tỏ toán tử A là toán tử u0-bị chặn trên và

u0-bị chặn dưới trên E

Định lý được chứng minh

1.3 Toán tử tuyến tính dương trong không gian

vec-tor thực nửa sắp thứ tự C [a, b]

1.3.1 Không gian vector thực C[a, b]

Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn[a, b], (−∞ < a < b < +∞) Các phép toán cộng và nhân với vô hướngtrên C[a, b] xác định như sau:

Phép cộng:

+ : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b]

(x, y) 7−→ x + yxác định bởi (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b]

Phép nhân với vô hướng:

· : R × C[a, b] −→ C[a, b]

(λ, x) 7−→ λxxác định bởi (λx)(t) = λx(t), ∀ t ∈ [a, b]

Dễ dàng thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng vànhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian vector trên trường

số thực R

Thật vậy, ta kiểm tra sựu thỏa mãn các tiên đề về không gian vector:

1 Với mọi x, y, z ∈ C[a, b] ta có

[(x + y) + z](t) = (x + y)(t) + z(t) = x(t) + y(t) + z(t)

= x(t) + (y + z)(t) = [x + (y + z)](t) ∀ t ∈ [a, b]

=⇒(x + y) + z = x + (y + z);

2 Với mọi x, y ∈ C[a, b] ta có

(x + y)(t) = x(t) + y(t) = y(t) + x(t)

4 Với mọi x ∈ C[a, b], tồn tại hàm đối của hàm x là hàm −x với

(−x)(t) = −x(t), ∀t ∈ [a, b],thỏa mãn

[x + (−x)](t) = x(t) + (−x)(t) = x(t) − x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b],hay

x + (−x) = θ;

5 Với mọi x, y ∈ C[a, b], với mọi α ∈ R ta có

[α(x + y)](t) = α(x + y)(t) = α[x(t) + y(t)]

= αx(t) + αy(t) = [αx + αy](t), ∀t ∈ [a, b],hay

α(x + y) = αx + αy;

6 Với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ C[a, b] ta có

[(α + β)x](t) = (α + β)x(t) = αx(t) + βx(t)

= [αx](t) + [βx](t) = [αx + βx](t), ∀t ∈ [a, b],hay

(α + β)x = αx + βx;

7 Với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ C[a, b] ta có

[α(βx)](t) = α(βx)(t) = αβx(t) = (αβ)x(t)

= [(αβ)x](t), ∀t ∈ [a, b],hay

α(β)x = (αβ)x;

8 Với phần tử 1 là đơn vị của R và với mọi x ∈ C[a, b] ta có

[1.x](t) = 1.x(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b],hay

1.x = x

Vậy C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô hướng ở trên lậpthành một không gian vector trên trường số thực R

1.3.2 Tập hợp E+ và quan hệ "≤" trên không gian C[a, b]

Ta xác định tập các phần tử dương E+ trong không gian C[a, b] như sau.Đặt

Khi đó z là hàm xác định và liên tục trên đoạn [a, b] Thật vậy, giả sử

t0 ∈ (a, b), có hai khả năng xảy ra:

• Nếu x(t0) = y(t0), thì z(t0) = x(t0) = y(t0) và với  > 0 tùy ý chotrước, ∃ δ > 0, ∀ t ∈ [a, b] mà |t − t0| < δ thì

|x(t) − x(t0)| < , |y(t) − y(t0)| <  (do x, y liên tục trên [a, b]).Điều này tương đương với

x(t0) −  < x(t) < x(t0) + ,y(t0) −  < y(t) < y(t0) + , ∀t : |t − t0| < δ

Nên

z(t0) −  < z(t) < z(t0) + , ∀t : |t − t0| < δhay

|z(t) − z(t0)| < , ∀t : |t − t0| < δ

Do đó z liên tục tại t0

• Nếu x(t0) < y(t0) thì y(t0) − x(t0) = d > 0 và ∃h > 0 sao cho

∀t : |t − t0| ≤ h, y(t) − x(t) > 0 hay x(t) < y(t),nghĩa là

• Nếu y(t0) < x(t0), thì đổi vai trò trong chứng minh trên ta cũngnhận được z liên tục tại t0.

• Trường hợp t0 = a hoặc t0 = b, bằng cách tương tự ta cũng chứngminh được z liên tục phải tại a, liên tục trái tại b

Vậy z liên tục trên [a, b], tức là z ∈ C[a, b] Hơn nữa, hàm z thỏa mãn:

• (z − x)(t) = z(t) − x(t) = max{x(t), y(t)} − x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b], hay

z − x ∈ E+ và

(z − y)(t) = z(t) − y(t) = max{x(t), y(t)} − y(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b],hay z − y ∈ E+;

• Nếu ∃z1 ∈ C[a, b] mà z1 − x ∈ E+ và z1 − y ∈ E+ thì khi đó

z1 − z ∈ E+ Thật vậy, với mọi t ∈ [a, b] ta có

(z1 − z)(t) = z1(t) − max{x(t), y(t)} ≥ 0 ∀t ∈ [a, b]

hay z1− z ∈ E+, theo định nghĩa của cận trên đúng ta có z = sup{x, y}.Vậy tập hợp tất cả các phần tử dương trong không gian vector thựcC[a, b] là

E+ = {x ∈ C[a, b] : x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]}

Tới đây ta có thể xác định quan hệ thứ tự "≤" trên không gian C[a, b]theo tập tất cả phần tử dương E+ ⊂ C[a, b] như sau