Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự (LV1245)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HỮU THỊ THANH HUYỀN VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Hữu Thị Thanh Huyền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn “Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự” là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Hữu Thị Thanh Huyền Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . 6 1.1.1. Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không gian vector thực 6 1.1.2. Phần dương, phần âm và modun của phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Không gian vector thực C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Tập hợp E + và quan hệ "≤" trên không gian C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Toán tử u 0 -dương trên không gian C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . 29 2.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự . . . . 29 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Một số tính chất thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 2.3. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương . . . . . 43 2.4.1. Tiêu chuẩn compact trong không gian Euclide m chiều R m . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.2. Không gian Banach C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.3. Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b]. . 50 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết toán tử tuyến tính dương trong các không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự đã được các nhà toán học nghiên cứu và đạt được những kết quả phong phú và sâu sắc. Sự mở rộng tính sắp thứ tự của tập hợp số thực vào các không gian hàm đã xuất hiện khá sớm trong các công trình của Riss F., sau đó được phát triển và ứng dụng trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) trong các công trình của Kantorovich L. V. [5] và Krein M. G. [6]. Các nhà toán học thế hệ tiếp theo đã tiếp tục phát triển một cách sâu sắc hơn và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau cho đến thời gian hiện nay như Kraxnoxelxki M. A. [7], Vulikh B. Z. [8]. Năm 2012, trong luận văn Thạc sỹ của tác giả Nguyễn Văn Lợi [4] đã nghiên cứu một số vấn đề trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, cụ thể là về đối tượng toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo một nón cố định. Với mong muốn được nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về các tính chất trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự”, trong đó quan hệ 3 sắp thứ tự trong không gian không định nghĩa theo nón mà định nghĩa theo một tập các phần tử dương, thay điều kiện tính đóng của nón bằng điều kiện sự tồn tại cận trên đúng của hai phần tử. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống những kiến thức cơ bản về toán tử tuyến tính dương và vectơ riêng của chúng trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định nghĩa về không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự; - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b]; - Định nghĩa và một số tính chất về không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự; - Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về: + Tính liên tục của toán tử tuyến tính dương; + Toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b]; + Điều kiện tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong 4 không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự. • Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu tham khảo; - Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất; - Tham khảo và hỏi ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp của luận văn Luận văn trình bày một cách có hệ thống một số vấn đề về không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương cố định, toán tử tuyến tính dương trong không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự, không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính liên tục và sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương. áp dụng các kết quả đạt được trong không gian vector thực trừu tượng vào không gian vector C[a, b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. 5 Chương 1 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự 1.1. Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ tự 1.1.1. Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không gian vector thực Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian vector thực và tập hợp con khác rỗng E + ⊂ E. E + được gọi là tập hợp các phần tử dương của E, nếu E + thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ∀x, y ∈ E + =⇒ x + y ∈ E + ; (ii) ∀x ∈ E + , ∀λ ∈ R + =⇒ λx ∈ E + ; (iii) ∀x ∈ E + và x = θ thì −x /∈ E + (θ là kí hiệu phần thử không của không gian E); (iv) ∀x, y ∈ E, ∃z ∈ E sao cho: • z − x ∈ E + , z − y ∈ E + ; 6 • Nếu có u ∈ E sao cho u − x ∈ E + , u − y ∈ E + thì u − z ∈ E + . Phần tử z thỏa mãn điều kiện (iv) trên đây được gọi là cận trên đúng của hai phần tử x và y, kí hiệu là z = sup{x, y}. Tương tự ta có khái niệm cận dưới đúng của hai phần tử. Phần tử w ∈ E gọi là cận dưới đúng của hai phần tử x, y ∈ E và kí hiệu là w = inf{x, y} nếu: • x − w ∈ E + , y − w ∈ E + ; • Nếu ∃v ∈ E sao cho x − v ∈ E + , y − v ∈ E + thì w − v ∈ E + . Ta cũng có thể mở rộng khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng cho một tập hợp khác rỗng M ⊂ E. Định nghĩa 1.1.2. Cho M là tập con khác rỗng của E, phần tử z ∈ E được gọi là cận trên đúng của tập hợp M nếu: • z − x ∈ E + , ∀x ∈ M; • Nếu ∃u ∈ E sao cho u − x ∈ E + , ∀x ∈ M thì u − z ∈ E + . Kí hiệu z = sup M. Định nghĩa 1.1.3. Cho N là tập con khác rỗng của E, phần tử w ∈ E được gọi là cận dưới đúng của tập hợp N nếu: • x − w ∈ E + , ∀x ∈ N; • Nếu ∃v ∈ E sao cho x − v ∈ E + , ∀x ∈ N thì w − v ∈ E + . Kí hiệu w = inf N. 7 [...]... gian E được gọi là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ ⊂ E, còn nếu E là không gian Banach thì gọi E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ ⊂ E 29 Dưới đây ta gọi đơn giản là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự hay không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Nhận xét 2.1.1 Với E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, thì ∀x ∈ E... = λ|x| Định lí được chứng minh 1.2 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự 1.2.1 Các định nghĩa Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ , toán tử A : E −→ E, phần tử u0 ∈ E+ và u0 = θ Ta có các định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.1 Toán tử A gọi là cộng tính trên E, nếu (∀x, y ∈ E) ta có A(x + y) = Ax + Ay Định nghĩa 1.2.2 Toán tử A gọi... không gian định chuẩn thực E nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ 2.1 Khái niệm không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Cho E là một không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ ⊂ E Ta nói chuẩn || · || trên E thỏa mãn điều kiện đơn điệu, nếu ∀x, y ∈ E : |x| ≤ |y| =⇒ ||x|| ≤ ||y|| Khi chuẩn trên không gian E là đơn điệu, không gian E được... "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E Khi đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ 1.1.2 Phần dương, phần âm và modun của phần tử Định nghĩa 1.1.6 Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E+ ⊂ E, phần tử x ∈ E • Phần tử x+ = sup{x, θ} gọi là phần dương của phần tử x; • Phần tử x− = sup{−x,... nghĩa toán tử u0 -dương ta có ∀x ∈ E+ và x = θ, ∃s = s(x) ∈ N∗ , ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0, αu0 ≤ As x ≤ βu0 (1.2.13) Hệ thức (1.2.13) chứng tỏ toán tử A là toán tử u0 -bị chặn trên và u0 -bị chặn dưới trên E Định lý được chứng minh 1.3 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự C[a, b] 1.3.1 Không gian vector thực C[a, b] Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định. .. , trong đó β b x(s)ds ≥ a β x(s)ds ≥ α min x(s)ds > α Khi đó, ∃n = n(x) = 1 ∈ N∗ thỏa mãn b b x(s)ds ≤ αu0 = αc < m a a b b K(t, s)x(s)ds ≤ M Ax = a K(t, s)x(s)ds = Ax, x(s)ds < cβ = βu0 , ∀x ∈ E+ , x = θ a Vậy toán tử A là toán tử u0 -dương trên không gian C[a, b] 28 Chương 2 Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự Trong chương này ta xét không gian. .. Nên dãy tổng riêng (sk )∞ là dãy cơ bản trong không gian Banach k=1 ∞ E, dãy đó phải hội tụ Suy ra, chuỗi xn hội tụ trong E n=1 2.2 Mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến tính Định lý 2.2.1 Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo tập tất cả phần tử dương E+ ⊂ E Khi đó, nếu A : E −→ E là toán tử dương và cộng tính thì toán tử A liên tục trên E Để chứng minh định lý này... x Tương tự, (y − x)(t) = y(t) − x(t) = t − b − a + t = 2t − (a + b) < 0, ∀t ∈ a, Do đó ta cũng không có (y − x)(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b], hay x a+b 2 y Như vậy, tồn tại những hàm x, y thuộc không gian C[a, b] mà x và y y x Do đó không gian C[a, b] là không gian vector thực nửa sắp thứ tự hay sắp thứ tự bộ phận theo tập các phần tử dương E+ 1.3.3 Toán tử u0 -dương trên không gian C[a, b] Xét toán tử A cho... −→ E là toán tử cộng tính Nếu toán tử A là toán tử dương, theo định nghĩa ta có AE+ ⊂ E+ Khi đó, ∀x, y ∈ E mà x ≤ y hay y − x ∈ E+ , nên A(y − x) ∈ E+ Do toán tử A cộng tính nên Ay − Ax = A(y − x) ∈ E+ , hay Ax ≤ Ay, nghĩa là toán tử A là toán tử đơn điệu Ngược lại, nếu toán tử A là toán tử đơn điệu, tức là ta có Ax ≤ Ay ∀x, y ∈ E, x ≤ y Từ đó Ay − Ax ∈ E+ , sử dụng toán tử A là toán tử cộng tính nên... A(λx) = λAx Định nghĩa 1.2.3 Toán tử A gọi tuyến tính, nếu toán tử A là là cộng tính và thuần nhất trên E Định nghĩa 1.2.4 Toán tử A gọi là toán tử dương, nếu AE+ ⊂ E+ Định nghĩa 1.2.5 Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu, nếu ∀x, y ∈ E mà x ≤ y ta có Ax ≤ Ay 16 Định nghĩa 1.2.6 Toán tử A gọi là u0 −bị chặn dưới, nếu (∀x ∈ E+ , x = θ)(∃n = n(x) ∈ N∗ )(∃α = α(x) > 0) sao cho αu0 ≤ An (x) (1.2.1) Định nghĩa . phần tử dương cố định, toán tử tuyến tính dương trong không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự, không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến. 1 Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp thứ tự 1.1. Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ tự 1.1.1. Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không gian vector. tục của toán tử tuyến tính dương; + Toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b]; + Điều kiện tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong 4 không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ