Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành : Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực La Hồ Tuấn Duy LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đưa định hướng giúp tơi hồn thành văn luận Trong suốt trình học học phần thực luận văn, Thầy theo dõi, hướng dẫn tận tình để tơi nắm kiến thức hồn thiện luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, tất q Thầy, Cơ giảng dạy học phần mà học q trình học Cao học, q Thầy, Cơ cơng tác phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Giải tích khoa Tốn khóa 28 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn La Hồ Tuấn Duy DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Ánh xạ liên hợp ánh xạ A r A Bán kính phổ ánh xạ A X Không gian liên hợp X A B ,r A Phổ ánh xạ A Quả cầu đóng tâm , bán kính r Tập dải ánh xạ A Ti Tập hợp điểm tập T Tc Tập hợp c điểm tập T MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2 Phổ ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact 1.3 Phổ biên 1.4 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 10 Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 13 2.1 Bán kính phổ ánh xạ tuyến tính dương 13 2.2 Sự tồn vectơ riêng dương 16 2.3 Một số điều kiện đủ để tồn vectơ riêng dương 17 2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral 19 2.5 Vectơ riêng dương ánh xạ liên hợp 23 Chương MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28 3.2 Điều kiện để ánh xạ tuyến tính dương khơng phân tích 28 3.3 Giá trị riêng ánh xạ dương 30 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 36 4.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ đa trị 36 4.2 Các tính chất cặp riêng dương 38 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Các tốn tử tuyến tính liên tục đối tượng nghiên cứu chủ yếu Giải tích hàm Nhiều Quá trình, Hệ thống Tự nhiên Xã hội đưa đến việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thơng thường họ ánh xạ phụ thuộc tham số Các tham số đóng vai trị yếu tố Tự nhiên, Xã hội, ảnh hưởng đến Quá trình hay Hệ thống xét Ta quan tâm đến tính ổn định khơng ổn định Q trình hay Hệ thống theo biến đổi yếu tố ảnh hưởng Các thời điểm xảy đột biến, gãy đổ Q trình hay Hệ thống có liên quan đến giá trị tham số mà ta gọi giá trị phổ ánh xạ tuyến tính mơ tả Q trình hay Hệ thống Do đó, việc nghiên cứu tập phổ ánh xạ tuyến tính nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ sớm Lý thuyết phổ nhánh nghiên cứu quan trọng Giải tích hàm thu kết lý thuyết quan trọng tìm ứng dụng có giá trị Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển tối ưu, toán kinh tế Theo phát triển nội Toán học để ứng dụng giải toán phát sinh Khoa học, Kỹ thuật Xã hội mà Lý thuyết phổ phát triển theo hai hướng Hướng thứ tăng độ tổng quát ánh xạ (ánh xạ compact mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) không gian (thay không gian định chuẩn không gian đếm chuẩn, không gian lồi địa phương, …) Hướng thứ hai nghiên cứu ánh xạ khơng gian đặc biệt (có tính chất hình học tốt khơng gian lồi đều, khơng gian có thứ tự) Lý thuyết khơng gian với thứ tự sinh nón ánh xạ tác động chúng hình thành từ năm 1940 cơng trình nghiên cứu M.Krein, A.Rutman hoàn thiện ngày Việc kết hợp tính chất tơpơ ánh xạ với tính chất thứ tự ánh xạ đưa đến kết quan trọng phổ ánh xạ định lý tiếng Krein – Rutman với ứng dụng có giá trị Phương trình vi phân Lý thuyết Điều khiển, … Mục tiêu luận văn giới thiệu cách đầy đủ, chi tiết tính chất đặc biệt phổ số lớp ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach với thứ tự sinh nón, lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ khơng phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị, … Đề tài có ý nghĩa mặt đào tạo Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu toàn diện kiến thức học Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải tích thực; biết vận dụng chúng học tập vấn đề Qua trình làm luận văn, học viên làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Đại học học viên Cao học học Lý thuyết phổ ánh xạ Nội dung đề tài Chương 1: Trình bày kiến thức sử dụng luận văn Chương 2: Trình bày vectơ riêng dương ánh xạ tuyến tính dương Chương 3: Trình bày số lớp ánh xạ dương giá trị riêng ánh xạ dương Chương 4: Trình bày giá trị riêng ánh xạ đa trị Chương CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực Tập K  X gọi nón thỏa điều kiện sau: i) K tập đóng , K   , ii) K  K  K ,  K  K ,   0, iii) K    K      Nón K gọi thể nón int K    Tập K  X thỏa điều kiện i) ii) gọi nêm Ta kí hiệu K K\ với phần tử khơng X Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x  y  y  xK Mỗi x  K \   gọi dương Mệnh đề 1.1.1 Giả sử "  " thứ tự sinh nón Khi đó: Nếu x  y x  z  y  z,  x   y với z  X , với   Nếu xn  yn với n   lim xn  x,lim yn  y x  y Nếu  xn  dãy tăng, hội tụ x xn  x, với n   Chứng minh Ta có:   y  z    x  z   y  x  K , z  X nên x  z  y  z   y   x    y  x   K ,   nên  x   y Từ xn  yn , n  Vậy x  y  nên yn  xn  K Do yn  xn  y  x  K (do K đóng) Giả sử xn  xn  x, n   tăng Khi xn  xnm  m, n    Cho m   ta 1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn tồn N  cho   x  y x  N y Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " thứ tự sinh nón chuẩn K X Nếu u  v đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn  Nếu xn  yn  zn , n  lim xn  a, lim zn  a lim yn  a Nếu  xn  đơn điệu có dãy hội tụ a lim xn  a Chứng minh x  u , v    x  u  v  u  x  u  N v  u  x  u  N v  u Vậy u , v bị chặn theo chuẩn Ta có:   yn  xn  zn  xn , n    yn  xn  N zn  xn , n   Mà lim zn  xn  nên lim yn  xn  n n  Do lim yn  lim  yn  xn   xn    a  a n n   hội tụ, Giả sử  xn  tăng và có dãy xnk Vì xn  xn ( n cố định, k đủ lớn) nên xn  a, n  k Cho   0, chọn k0 để xnk  a   N lim xnk  a k   ta có: n  nk0  a  xn  a  xnk  a  xn  a  xnk   0 Vậy lim xn  a n 1.1.3 Nón qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi nón qui dãy tăng bị chặn hội tụ 29 y  x  2 A Do  1 y  K \   A  x     A  n  An  x      A n 0 A y   A y nên y  n An  x  điểm tựa trong, f  y   0, f  K  \   nên n : f  An  x       Giả sử A có tính chất   x  K \   thỏa điều kiện: A  x    x    Ta chứng minh x điểm tựa   Với f  K  \   , ta có f An  x    n f  x  , n Do   nên f  x   Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2.1 Giả sử K có điểm tựa X không gian phản xạ Khi đó, ánh xạ tuyến tính dương A khơng phân tích A khơng phân tích K Nhận xét: A u  bị chặn u điểm tựa A khơng phân tích K thể nón A ánh xạ dương mạnh A khơng phân tích Chứng minh Giả sử v  K \   ,   cho A  v    v Ta chứng minh v điểm tựa Do A u  bị chặn nên   0, n : An  v    u Mà ta có An  v    nv nên suy  u   n v đó:  f  u    n f  v  , f  K  \   Mà u điểm tựa nên f  u   0, f  K  \   Từ suy f  v   0, f  K  \   hay v điểm tựa Vậy A không phân tích Do K thể nón A ánh xạ dương mạnh nên A u  bị chặn với u  int K Do đó, theo nhận xét 1, ta có A khơng phân tích 30 3.3 Giá trị riêng ánh xạ dương Bổ đề 3.3.1 Cho X , K khơng gian Banach có thứ tự A : X X ánh xạ u0  bị chặn Cho phần tử x  K  K , x  K thỏa:   : A  x    x Gọi t0 số cực đại thỏa mãn u0  t0 x t0  Chứng minh Do x  K  K nên x  x  x với x, x  K Do x   K nên x   Do A ánh xạ u0  bị chặn nên x  K \   ,   0, p   : A p  x   u0  3.1 Theo giả thiết,   : A  x    x Do A ánh xạ tuyến tính dương nên A2  x    x   A p  x    p x  3.2  p x Từ  3.1  3.2  suy ra:  u0  A  x    x  u0   p p Do t0 số cực đại thỏa u0  t0 x nên t0  p   Bổ đề 3.3.2 Cho X , K khơng gian Banach có thứ tự A : X X u0  bị chặn có véctơ riêng dương x0 A x0  bị chặn Chứng minh Do A u0  bị chặn nên a  0, p   : au0  A p  x0   0p x0 (Do x0 véctơ riêng) Suy u0  0p a x0  ax0 với a  0p a  3.3 0 Do A u0  bị chặn nên b  0, q   : bu0  Aq  x0   0q x0 (Do x0 véctơ riêng) Suy u0  0q b x0  bx0 với b  0q b 0  3.4  31 Với x  K \   ,   0, n   : An  x    u0   ax0 (Do  3.3  )  A x0  bị chặn Với x  K \   ,   0, m   : Am  x    u0   bx0 (Do  3.4  )  A x0  bị chặn Vậy A x0  bị chặn Định lý 3.3.1 (Định lý Krein – Rutman) Cho X khơng gian Banach có thứ tự sinh nón K Giả sử: i K nón sinh ii A ánh xạ tuyến tính dương, liên tục, u0  bị chặn có véctơ riêng dương x0 , tương ứng với giá trị riêng 0 Khi đó: 0 giá trị riêng đơn (bội ) A x0 véctơ riêng dương A Chứng minh Nhắc lại: Giả sử 0 giá trị riêng A Đặt X n  ker  A  0 I  ta có: n x  X  A  x   0 x     A  0 I   x      A  0 I   x     x  X 2 Bằng quy nạp ta X1  X  Đặt X   n 1 Nếu X1 A X n số chiều khơng gian X bội 0 compact X n0 1 dim X n   , n tồn X n0  X n0 1  nên bội 0 hữu hạn  Chứng minh dim X1  Có x0  X1  ker  A  0 I  , x0   x0 :   Giả sử trái lại y0  x0 : Ay0  0 y0  n0 cho 32 Nếu y0 K   y0  K   y0   K  A   y0   0   y0  (mâu thuẫn) Vậy xem y0   K gọi t0 số cực đại thỏa x0  t0 y0 t0  (bổ đề 3.3.1) Theo giả thiết phản chứng x0  t0 y0  K \   nên tính u0  dương A A x0  dương (bổ đề 3.3.2) Do   0, n   : An  x0  t0 y0    x0 Ta có: n n    A  x0   0 x0  A  x0   0 x0  n  An  x0  t0 y0   0n  x0  t0 y0    x0  n    A  y0   0 y0  A  y0   0 y0 Suy ra:  0n    x0  0nt0 y0 (có thể giả sử   0n )  x0  Do t0 số cực đại nên t0  0n 0n   0n 0n   t y0 t0  t0  0n    0n (vô lý)  Chứng minh X  X1 (Do X n  X1 , n ) Hiển nhiên ta có X1  X Giả sử X  X1 , tức x   :  A  0 I  x   ,  A  0 I  x   Vì A  x   0 x  X nên theo bước trên, ta có: t  : A  x   0 x  tx0 Có thể coi t  (nếu không, ta xét  x thay cho x ) Ta chứng minh x   K Thật vậy, từ  3.3  ta có: A2  x   0 A x   A2  x   0  0 x  tx0   t0 x0 A2  x   02 x  2t0 x0 Quy nạp ta được: Am  x   0m x  mt0m1x0 , m   Nếu  x  K 0m x  mt0m1 x0  Am   x   mt 0m1 x0   K (mâu thuẫn với x0  K \   ) Vậy x   K 0 mt x  x0 , m    x0    3.5  33 Đặt t0 số cực đại thỏa x0  t0 x t0  (bổ đề 3.1.1) Khi đó: A  x0   t0 A  x  Do  3.3  , ta có: A  x   0 x  tx0  t x0 (với  t   t đủ bé cho 0  t0t   0) Suy ra: 0 x0  t0  0 x  t x0    0  t0t   x0  0t0 x  x0  Do t0  số cực đại nên t0  0 0  t0t  t0  0 0  t0t 0 0  t0t  t0 x  (vô lý) Vậy X  X1 X n  X1 , n Từ suy ra:  X0  n 1 X n  X có số chiều nên 0 giá trị riêng đơn (bội 1) A Giả sử trái lại x1  K \   : x1  x0 , A  x1   1 x1 Do tính chất 1) ta có 1  0 Coi 1  0 (vai trò 1 0 nhau) Gọi t0 số cực đại thỏa x0  t0 x1 theo bổ đề 3.3.1 ta có t0  Ta có: A  x0   t0 A  x1   x0  1  t0 x1  t0  t0  0  1 (mâu thuẫn) 0 0 Vậy x0 vectơ riêng dương A Hệ 3.3.1 Cho X , K khơng gian Banach có thứ tự K thể nón A : X  X ánh xạ tuyến tính dương, liên tục có véctơ riêng dương x0 , tương ứng với giá trị riêng 0 Giả sử A ánh xạ dương mạnh Khi đó: 0 giá trị riêng đơn (bội ) A x0 véctơ riêng dương A Chứng minh  Do K thể nón nên tồn u0  int K ,   : u0  B  ;    K Ta có: 34 u0   x Đặt r   x  B  u0 ,    K  u0  x x  K , x      x u0  x   x u0 , ta  r x u0  x  r x u0 , x  X  Khi đó, x  X ta có x   x  r x u0   r x u0  K  K Vậy K nón sinh  Xét x  K \   , A ánh xạ dương mạnh nên ta có A  x   int K Vì A  x   int K nên r1  : B  A  x  ; r1   K , đó: A x  r1 r u0  K hay A  x   u0 u0 u0  3.6  Tương tự, u0  int K nên r2  : B  u0 ; r2   K , đó: u0  A x A x r2  K hay A  x   u0 r2 A x  3.7  Từ  3.4   3.5  suy A u0  bị chặn Do đó, áp dụng định lý 3.3.1 ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.3.3 Cho K nón sinh, minihedral khơng gian Banach X y  K Khi y  sup  y ,  không điểm tựa K Chứng minh Giả sử y điểm tựa K Khi  y :   0  K  X nên tồn zn  X cho zn  n y , n  0, n   zn  y  y Phần tử y thỏa sup y  y  zn ,   inf n y , y  y   nên sup y  y  zn ,   y  y Do đó, phân tích y  y  zn   wn , , wn  K ta có:  y  y   K Do  a  35 n  nên ta có điều mâu thuẫn Do K nón sinh nên  M y  y  zn  Vậy y không điểm tựa K Định lý 3.3.2 Cho K nón sinh, minihedral không gian Banach X A : X  X ánh xạ tuyến tính dương, liên tục có véctơ riêng dương x0 , tương ứng với giá trị riêng 0 Giả sử A ánh xạ khơng phân tích A có K  vectơ riêng f với giá trị riêng 0 Khi đó, 0 giá trị riêng đơn A A khơng có K vectơ riêng có chuẩn khác x0 Chứng minh  Giả sử y  K    K  : A  y   0 y Đặt y  sup  y ,  , đó: A  y    , A  y   0 y nên A  y   0 y Do đó, theo bổ đề A  y   0 y  Đặt w    A n 0  n An  A  y   0 y  A  w   A w nên w điểm tựa K (mâu thuẫn với f  w   ) Vậy tương ứng với 0 có (chính xác tới thừa số) vectơ riêng K  Giả sử A  v   0v  u0 , đó: 0 f0  v   f  A  v    f  u0   A  f   v   f u0   0 f  v   f u0  Suy f  u0   (mâu thuẫn với u0 điểm tựa trong) Vậy 0 giá trị riêng đơn A  Giả sử A  u1   1u1 , với u1  K \   , u1  Khi đó, u1 điểm tựa nên f  u1   1 f0  u1   f  A  u1    A  f   u1   0 f  u1  Do đó, 1  0 theo chứng minh u1  u0 36 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 4.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ đa trị Định nghĩa 4.1.1 Cho  X , K  khơng gian Banach có thứ tự, cặp  0 , x0  gọi cặp riêng dương ánh xạ A : K  2K \  x0  K \   , 0  0 x0  A  x0  Định lý 4.1.1 Cho A : K  2K \  ánh xạ compact, nửa liên tục trên, dương, nhận giá trị lồi, đóng, thỏa mãn (i) A – tăng, (ii) u  K \   ,   :  u  2 A  u  Khi A thừa nhận cặp riêng dương  0 , x0  với 0   || x0 || Chứng minh Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ A  x   u , ta tìm hai dãy  xn  n  n cho n  0, xn  K , || xn || n xn  A( xn )  u n tương đương n  0, xn  K , || xn || n xn  yn  u với yn  A( xn ) n (4.1) Do A ánh xạ compact  xn  bị chặn nên dãy  yn  có dãy hội tụ Khơng tính chất tổng qt, ta giả sử  yn  hội tụ đến y0  K Ta chứng minh n   , n Gọi tn số lớn cho xn  tnu Từ (4.1) ta có xn  1 >0 u , tn  nn nn  tnu  2 A  tnu   2 A  xn   2 n xn  37 Do đó, tn   tn nên n   n Ta có  yn  hội tụ nên bị chặn, (4.1) lấy ||.|| vế n xn  yn  u , ta suy n n  bị chặn, có dãy hội tụ, khơng tổng qt ta giả sử n  0   Khi đó, xn  n yn  u hội tụ, giả sử  xn  hội tụ đến x0  K , (4.1) cho nn n   ta có 0 x0  y0 || x0 || Do A nửa liên tục nên theo mệnh đề 1.4.1 ta có y0  A x0  Như  0 , x0  cặp riêng dương A Định lý 4.2.2 Cho A : K  2K \  ánh xạ compact, nửa liên tục trên, – dương, nhận giá trị lồi, đóng thỏa mãn (i) A – tăng, (ii) Số   A  sup uK ,||u|| 1 inf   : x  u, A( x)   2  dương x Khi A có cặp riêng dương  0 , x0  với 0    A  Hơn nữa, A tăng 0   ( A) Chứng minh Từ định nghĩa   A  , tồn dãy  un   K cho || un || dãy  tn  inf   : x  un , A  x   2  x hội tụ tới   A  Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ A( x )  || xn || 1, n  n xn  A  xn   un , tồn dãy {xn }  K n  thỏa mãn n un u , n xn  yn  n với yn  A xn  n n Trước hết ta chứng minh n  tn 38 Thật vậy, từ nn xn  n A  nn xn   un , ta có nn xn  un A  nn xn   2 n  nn xn  Do đó, theo định nghĩa tn ta có n  tn Lý luận tương tự chứng minh định lý 4.1.1, ta giả sử n  0    A ; xn  x0 ; yn  y0  A  x0  ta suy 0 x0  A x0  Bây giờ, cho A (3) – tăng, ta chứng minh 0    A  Xét x cho x  x0 A  x   2  x Gọi t số lớn cho x  tx0 Rõ ràng, t  A (3) – tăng nên ta có t0 x0  A  tx0  3 A  x   2  x Từ suy t0 x0   x Do tính cực đại t ta có t  t 0 ,   0    Như inf   : x  x0 , A  x   2  x  0 với x0  K || x0 || ,   A   0 Kết thúc chứng minh 4.2 Các tính chất cặp riêng dương Định nghĩa 4.2.1 Cho khơng gian Banach X có thứ tự sinh nón K A : K  K \ {}, u0  K \ { } Ta kí hiệu u0  ánh xạ  {tu0 : t  0} A gọi u0 – dương x  K \{ } u0  (2) A( x) (1) u0  tương đương x  K \{ }, y  A( x),  ,   :  u0  y   u0 Ánh xạ A gọi u0 – tăng x  y kéo theo u0  (2) [ A( y )  A( x)]   K \   , • tương đương, với v  A( y), u  A( x) v  u  K   cho v  u   u0 39 Cho (0 , x0 ) cặp riêng dương A Khi 0 gọi đơn hình hình học 0 x  A( x) với x  K \   kéo theo x  x0  Ta nói cặp riêng dương (0 , x0 ) ánh xạ A với cặp riêng dương ( , x) A   0 x  x0  Định lý 4.2.1 Cho A : K  2K \ {} ánh xạ – dương, u0 – dương, u0 – tăng (0 , x0 ) cặp số riêng dương A Khi đó, 0 đơn hình hình học Nếu A (3) – tăng (0 , x0 ) Chứng minh Giả sử 0 x  A( x) với x  K \   Ta cần chứng minh x  x0  Do A u0 – dương nên tồn số dương lớn t cho x0  tx Thật vậy, ta có 0 x  A( x), 0 x0  A( x0 ) A u0 – dương nên tồn  ,   thỏa 0 x   u0  u0  0 x0 Suy x0    u0  x 0  Do tính cực đại t nên t     Ta chứng minh x0  tx Thật vậy, giả sử ngược lại x0  tx ta có • 0 x0  A( x0 ), 0tx  A(tx), 0 x0  0tx  K Do A u0 – tăng nên tồn    cho 0 ( x0  tx)   u0 Mặt khác, 0 x  A( x) A u0 – dương nên tồn    thỏa  u0  0 x Do 0 ( x0  tx)    t    0 x  x0   t   x, điều mâu thuẫn với tính cực đại     40 • Giả sử 1 x1  A( x1 ) với x1  K 1  Ta cần chứng minh 1  0 Giả sử ngược lại 0  1 Do x0 x1 so sánh nên tồn số dương lớn t thỏa x1  tx0 Nếu x1  tx0 ta có 0tx0  A(tx0 ), 1 x1  A( x1 ), tx0  x1 , Suy 1x1  0tx0 (do tính chất (3) – đơn điệu A ) Bởi tính cực đại t suy 1  0 , điều mâu thuẫn với 0  1 Như x1  tx0 Lấy 0  a 1 với a  , ta đạt  x  x  x x ax0  A   , x0  A   ,   a1   1  a1 1 Điều mâu thuẫn với A (3) – tăng Như 0  1 x1  x0  Định lý 4.2.2 Cho int K  , A : K  K \ {} ánh xạ – dương (0 , x0 ) cặp số riêng dương A Khi đó, 0 đơn hình hình học A nửa mạnh tăng, tức là, g  K * cho  x  y  K \ int K g , x  y  g , u  0, u  A( x)  A( y ) (4.2) Nếu A nửa mạnh tăng (3) – tăng (0 , x0 ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh x0  int K  Thật vậy, giả sử ngược lại x0  K \ int K Lấy y   (4.2), ta đạt g , x0  g , 0 x0  v  với v  A( ) Do đó,  g , 0 x0  g , 0 x0  v  , điều mâu thuẫn Lấy 0 x1  A( x1 ), x1  K \   Do x0  int K , tồn số dương lớn t cho x0  tx1 41  Nếu x0  tx1 , tính cực đại t, ta có x0  tx1  K \ int K Thật vậy, giả sử x0  tx1  int K , tồn r  thỏa B( x0  tx1 , r )  K Do x1   nên ta có: x0  tx1  r x1  B ( x0  tx1 , r ) || x1 ||  r  Suy ra: x0   t   x1  K || x ||    r  Do x0   t   x1 , mâu thuẫn với tính cực đại t || x ||   Ta có 0 x0  A( x0 ), t0 x1  A(tx1 ) theo (4.2) g( x0  tx1 )  g (0 x0  0tx1 )  Điều mâu thuẫn Vậy x0  tx1 , t  hay x1  x0  Do 0 đơn hình hình học Ta chứng minh (0 , x0 ) Giả sử ngược lại 1 x1  A( x1 ) 0  1 Do A nửa mạnh tăng nên ta có x0  int K x1  int K Chọn t số lớn cho x1  tx0 , x1  int K nên t   Nếu x1  tx0 x1  tx0  K \ int K Do đó, tồn g  K * thỏa g( x1  tx0 )  g (1 x1  t0 x0 )  Do A (3) – tăng nên t0 x0  1 x1  g (1 x1 )  g (t0 x0 )  1 g ( x1 )  0tg ( x0 )  1tg ( x0 )  0tg ( x0 )  t (1  0 ) g ( x0 )  0, điều mâu thuẫn Như vậy, x1  tx0 Bằng lý luận tương tự chứng minh định lý 4.2.1, ta kết thúc chứng minh 42 KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi trình bày số kiến thức kết liên quan đến tính chất phổ số lớp ánh xạ tuyến tính dương khơng gian có thứ tự tốn giá trị riêng ánh xạ đa trị Các kết trình bày luận văn mở rộng theo hướng Nghiên cứu sâu tính chất phổ ánh xạ đơn trị Mở rộng kết ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị Sau hồn thành luận văn, tơi củng cố kiến thức học lĩnh hội thêm nhiều kiến thức mới, học cách thức làm việc nghiên cứu khoa học, tảng động lực để tiếp tục nghiên cứu sau Bài viết hoàn thành khoảng thời gian tương đối ngắn với vốn kiến thức hạn hẹp thân nên chắn không tránh khỏi thiếu sót q trình soạn thảo vài kết luận cịn hạn chế Tơi mong nhận góp ý chân thành từ quý Thầy Cơ bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2019 La Hồ Tuấn Duy 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Brezis (2000) Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh [2] K.C Chang (2009) A nonlinear Krein-Rutman theorem, Jrl Syst Sci & Complexity, 22, 542-554 [3] K.C Chang (2003) Methods in Nonlinear Analysis, Springer Verlag, Berlin [4] K Deimling (1985) Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin [5] N Hoang, L.V Hạp (2014) Giáo trình giải tích hàm, Đại học Huế [6] N.B Huy, N.H Khanh (2000) Fixed point for multivalued increasing operators, J Math Anal Appl., 250, 368-371 [7] N.B Huy (2002) Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51, 673-678 [8] N.B.Huy, V.V.Tri, T.T.Binh (2018) The monotone minorant method and eigenvalue problem for multivalued operator in cones, Fixed Point Theory, 19, pp 275-286 [9] M.A Krasnosclskii, E.A.Lipshitz, A.B.Sobolev (1985) Positive Linear Systems, Nauka [10] M.A Krasnoselskii (1964) Positive Solutions of Operator Equations, Nordhoff, Groningen [11] J.R.L Webb (2009) Remarks on u0 – positive operators, J Fixed Point Theory Appl., 5, 37-45 ... Chương MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt Định nghĩa 3.1.1 Cho X không gian có thứ tự sinh nón K A : X  X ánh xạ tuyến. .. dương ánh xạ liên hợp 23 Chương MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28 3.2 Điều kiện để ánh xạ tuyến. .. tiết tính chất đặc biệt phổ số lớp ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach với thứ tự sinh nón, lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị, … Đề tài có ý