Các tính chất của cặp riêng dương

Định nghĩa 4.2.1

Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ 0

: 2 \ { }, K \ { }

A K   u K  . Ta kí hiệu u0  {tu t0: 0}.

1. A được gọi là u – dương0 nếu  x K\{ } thì u0 (2) A x( )(1) u0  hoặc tương đương  x K\ { },   y A x( ),  , 0 :u0  y u0.

2. Ánh xạ A được gọi là u – tăng0 nếu x y kéo theo  

 

0 (2)[ ( ) ( ]) \

u   A y A x  K  , hoặc tương đương, với mọi vA y( ), uA x( ) nếu

•

v u  K thì   0 sao cho 0

3. Cho (0,x0) là cặp riêng dương của A. Khi đó 0 được gọi là đơn hình hình học

nếu 0xA x( )với xK\  kéo theo x x0 .

4. Ta nói rằng cặp riêng dương (0,x0) của ánh xạ A là duy nhất nếu với bất kỳ cặp riêng dương ( , ) x của A thì   0 và x x0 .

Định lý 4.2.1

Cho A K: 2 \ { }K  là ánh xạ 1 – thuần nhất dương, u0 – dương, u0 – tăng và 0 0

( ,x )là cặp số riêng dương của A. Khi đó, 1. 0 là đơn hình hình học.

2. Nếu A là (3) – tăng thì (0,x0) là duy nhất.

Chứng minh

1. Giả sử rằng 0xA x( ) với xK\  . Ta cần chứng minh x x0 . Do A là u0 – dương nên tồn tại số dương lớn nhất t sao cho x0 tx.

Thật vậy, ta có 0xA x( ), 0 0x A x( )0 và A là u0 – dương nên tồn tại  , 0

thỏa 0xu0 và u0 0 0x . Suy ra 0 0 0 . x  u  x    

Do tính cực đại của t nên t  0. 

 

Ta sẽ chứng minh x0 tx.

Thật vậy, giả sử ngược lại nếu x0 tx thì ta có

• 0 0x A x( 0), 0tx A tx( ), 0 0x 0tx K.

      

Do A là u0 – tăng nên tồn tại  0 sao cho 0(x0tx)u0.

Mặt khác, do 0xA x( ) và A là u0 – dương nên tồn tại  0 thỏa  u0 0x.

Do đó 0 0(x0 tx)  x x0 t  x,              

   điều này mâu thuẫn với tính cực đại

2. Giả sử rằng 1 1x A x( )1 với • 1

x  K và 10. Ta cần chứng minh  1 0. Giả sử ngược lại 0 1.

Do x0 và x1 so sánh được nên tồn tại số dương lớn nhất t thỏa x1tx0. Nếu x1tx0 thì ta có 0tx0A tx( 0), 1 1x A x( ), 1 tx0  x1,

Suy ra 1 1x 0tx0 (do tính chất (3) – đơn điệu của A).

Bởi tính cực đại của t suy ra  1 0, điều này mâu thuẫn với 0 1. Như vậyx1tx0.

Lấy 0 a21 với a1, ta đạt được

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , , . x x x x ax A x A a  a                

Điều này mâu thuẫn với A là (3) – tăng. Như vậy 0 1 và do đó x1 x0 .

Định lý 4.2.2

Cho intK  , :A K 2 \ { }K  là ánh xạ 1 – thuần nhất dương và (0,x0) là cặp số riêng dương của A. Khi đó,

1. 0 là đơn hình hình học nếu A là nửa mạnh tăng, tức là,  g K* sao cho nếu \ int x y K K    thì , 0 và , 0, ( ) ( ) g xy  g u   u A x A y (4.2) 2. Nếu A là nửa mạnh tăng và (3) – tăng thì (0,x0) là duy nhất.

Chứng minh.

1. Trước hết ta sẽ chứng minh x0intK. Thật vậy, giả sử ngược lại x0 K\ intK



 . Lấy y  trong (4.2), ta đạt được 0

, 0

g x  và g,0 0x  v 0 với vA( ) .

Do đó, 0 g,0x0  g,0x0v 0, điều này mâu thuẫn. Lấy 0 1x A x( ), 1 x1K \  .

Nếu x0 tx1, do tính cực đại của t, ta có x0 tx1 K\ intK



  .

Thật vậy, giả sử x0tx1intK, khi đó tồn tại r 0 thỏa B x( 0tx r1, )K.

Do x1  nên ta có: 0 1 1 0 1 1 ( , ). 2 || || r x tx x B x tx r x     Suy ra: 0 1 1 . 2 || || r x t x K x         Do đó 0 1 1 2 || || r x t x x     

  , mâu thuẫn với tính cực đại của t.

Ta có 0 0x A x( ), 0 t0 1x A tx( 1) và do đó theo (4.2) thì g(x0tx1)0và 0 0 0 1

( ) 0

g  x tx  . Điều này mâu thuẫn.

Vậy x0 tx t1, 0 hay x1 x0 . Do đó 0 là đơn hình hình học.

2. Ta chứng minh (0,x0) duy nhất. Giả sử ngược lại 1 1x A x( )1 và 0 1. Do A là nửa mạnh tăng nên ta có x0intK và x1intK.

Chọn t là số lớn nhất sao cho x1tx0, do x1intK nên t0. Nếu x1tx0 thì x1 tx0 K\ intK    . Do đó, tồn tại * gK thỏa g(x1tx0)0 và g(1 1x t0 0x )0. Do A là (3) – tăng nên t0 0x 1 1x và 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0g(x)g t( x )g x( )tg x( )tg x( )tg x( )t(  ) ( )g x 0, điều này mâu thuẫn. Như vậy, x1tx0.

KẾT LUẬN

Trong luận văn, chúng tôi đã trình bày một số kiến thức và kết quả liên quan đến tính chất phổ của một số lớp của ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự và bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị. Các kết quả trình bày trong luận văn có thể mở rộng theo hướng

1. Nghiên cứu sâu hơn tính chất phổ của các ánh xạ đơn trị. 2. Mở rộng các kết quả của ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị.

Sau khi hoàn thành luận văn, tôi đã củng cố được các kiến thức đã học và lĩnh hội thêm được nhiều kiến thức mới, cũng như học được cách thức làm việc và nghiên cứu khoa học, đây là nền tảng và động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu về sau.

Bài viết được hoàn thành trong khoảng thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức còn hạn hẹp của bản thân nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót trong quá trình soạn thảo và một vài kết luận còn hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ quý Thầy Cô và các bạn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2019 La Hồ Tuấn Duy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H. Brezis. (2000). Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh.

[2] K.C. Chang. (2009). A nonlinear Krein-Rutman theorem, Jrl Syst. Sci & Complexity, 22, 542-554.

[3] K.C. Chang. (2003). Methods in Nonlinear Analysis, Springer Verlag, Berlin. [4] K. Deimling. (1985). Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin. [5] N. Hoang, L.V. Hạp. (2014). Giáo trình giải tích hàm, Đại học Huế.

[6] N.B. Huy, N.H. Khanh. (2000). Fixed point for multivalued increasing operators, J. Math. Anal. Appl., 250, 368-371.

[7] N.B. Huy. (2002). Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51, 673-678. [8] N.B.Huy, V.V.Tri, T.T.Binh. (2018). The monotone minorant method and

eigenvalue problem for multivalued operator in cones, Fixed Point Theory, 19, pp. 275-286.

[9] M.A. Krasnosclskii, E.A.Lipshitz, A.B.Sobolev. (1985). Positive Linear Systems,

Nauka.

[10] M.A. Krasnoselskii. (1964). Positive Solutions of Operator Equations, Nordhoff, Groningen.

[11] J.R.L. Webb. (2009). Remarks on u0– positive operators, J. Fixed Point Theory Appl., 5, 37-45.