Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành : Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực La Hồ Tuấn Duy LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đưa định hướng giúp tơi hồn thành văn luận Trong suốt trình học học phần thực luận văn, Thầy theo dõi, hướng dẫn tận tình để tơi nắm kiến thức hồn thiện luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, tất q Thầy, Cơ giảng dạy học phần mà học q trình học Cao học, q Thầy, Cơ cơng tác phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Giải tích khoa Tốn khóa 28 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn La Hồ Tuấn Duy DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Ánh xạ liên hợp ánh xạ A r A Bán kính phổ ánh xạ A X Không gian liên hợp X A Phổ ánh xạ B ,r Quả cầu đóng tâm A Tập dải ánh xạ T T Tập hợp điểm tập T Tập hợp c MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2 Phổ ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact .7 1.3 Phổ biên 1.4 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 10 Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 13 2.1 Bán kính phổ ánh xạ tuyến tính dương 13 2.2 Sự tồn vectơ riêng dương 16 2.3 Một số điều kiện đủ để tồn vectơ riêng dương 17 2.4 Ánh xạ dương với nón minihedral 19 2.5 Vectơ riêng dương ánh xạ liên hợp 23 Chương MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28 3.2 Điều kiện để ánh xạ tuyến tính dương khơng phân tích 28 3.3 Giá trị riêng ánh xạ dương 30 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 36 4.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ đa trị 36 4.2 Các tính chất cặp riêng dương 38 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Các tốn tử tuyến tính liên tục đối tượng nghiên cứu chủ yếu Giải tích hàm Nhiều Quá trình, Hệ thống Tự nhiên Xã hội đưa đến việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thơng thường họ ánh xạ phụ thuộc tham số Các tham số đóng vai trị yếu tố Tự nhiên, Xã hội, ảnh hưởng đến Quá trình hay Hệ thống xét Ta quan tâm đến tính ổn định khơng ổn định Q trình hay Hệ thống theo biến đổi yếu tố ảnh hưởng Các thời điểm xảy đột biến, gãy đổ Q trình hay Hệ thống có liên quan đến giá trị tham số mà ta gọi giá trị phổ ánh xạ tuyến tính mơ tả Q trình hay Hệ thống Do đó, việc nghiên cứu tập phổ ánh xạ tuyến tính nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ sớm Lý thuyết phổ nhánh nghiên cứu quan trọng Giải tích hàm thu kết lý thuyết quan trọng tìm ứng dụng có giá trị Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển tối ưu, toán kinh tế Theo phát triển nội Toán học để ứng dụng giải toán phát sinh Khoa học, Kỹ thuật Xã hội mà Lý thuyết phổ phát triển theo hai hướng Hướng thứ tăng độ tổng quát ánh xạ (ánh xạ compact mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) không gian (thay không gian định chuẩn không gian đếm chuẩn, không gian lồi địa phương, …) Hướng thứ hai nghiên cứu ánh xạ không gian đặc biệt (có tính chất hình học tốt khơng gian lồi đều, khơng gian có thứ tự) Lý thuyết khơng gian với thứ tự sinh nón ánh xạ tác động chúng hình thành từ năm 1940 cơng trình nghiên cứu M.Krein, A.Rutman hoàn thiện ngày Việc kết hợp tính chất tơpơ ánh xạ với tính chất thứ tự ánh xạ đưa đến kết quan trọng phổ ánh xạ định lý tiếng Krein – Rutman với ứng dụng có giá trị Phương trình vi phân Lý thuyết Điều khiển, … Mục tiêu luận văn giới thiệu cách đầy đủ, chi tiết tính chất đặc biệt phổ số lớp ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach với thứ tự sinh nón, lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ khơng phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị, … Đề tài có ý nghĩa mặt đào tạo Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu toàn diện kiến thức học Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải tích thực; biết vận dụng chúng học tập vấn đề Qua trình làm luận văn, học viên làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Đại học học viên Cao học học Lý thuyết phổ ánh xạ Nội dung đề tài Chương 1: Trình bày kiến thức sử dụng luận văn Chương 2: Trình bày vectơ riêng dương ánh xạ tuyến tính dương Chương 3: Trình bày số lớp ánh xạ dương giá trị riêng ánh xạ dương Chương 4: Trình bày giá trị riêng ánh xạ đa trị Chương CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực Tập K  X gọi nón thỏa điều kiện sau: i) K tập đóng , K  , ii) KK K, KK,0, iii) K    K     Nón K gọi thể nón int K   Tập K  X Ta kí hiệu Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: xyyxK Mỗi x  K \  gọi dương Mệnh đề 1.1.1 Giả sử "  " thứ tự sinh nón Khi đó: z  X , với   1.N x  y ếu x y 2.N n ếu 3.Nếu xn  dãy tăng, hội tụ y x  y x xn  với n x,   Chứng minh 1.Ta có:   y  z    x  z   y  x  K , z  X nên x  z  y  z   y   x    y  x  K ,   nên  x   y Từ xn Vậy x  y (do K đóng) iả sử Gxn  tăng Khi xn  xn m  m, n    Cho m  ta x 1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn tồn N cho   x  y 0 x  N y Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " thứ tự sinh nón chuẩn Nếu u  v đoạn  a Nếu Nếu Chứng minh x  u , v    x  u  v  u  Vậy u Vậy v  u,v Ta có:  Mà lim n Do lim yn  lim n  Giả sử Vì x n  xn Cho n  n k Do đó, phân tích y  y  z n Do a0 35 Do K nón sinh nên M y   Vậy y không điểm tựa y zn  n0 nên ta có điều mâu thuẫn K Định lý 3.3.2 Cho K nón sinh, minihedral khơng gian Banach X A : X  X ánh xạ tuyến tính dương, liên tục có véctơ riêng dương Giả sử A ánh xạ không phân tích A trị riêng 0 Khi đó, riêng có chuẩn Chứng minh  Giả sử  y  K    K : A  y   0 y y Đặt y nên A  y 0 y Do đó, theo bổ đề Aw2 A w Đặt nên w điểm tựa K (mâu thuẫn với f w  ) Vậy tương ứng với 0 có (chính xác tới thừa số) vectơ riêng K  Giả sử  Suy A  v   0 v v  f f f0 u0 Vậy 0  Giả sử Khi đó, u1 điểm tựa nên f Do đó, 1  0 A  u1   1 36 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 4.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ đa trị Định nghĩa 4.1.1 Cho  X , K  khơng gian Banach có thứ tự, cặp 0 , x0 \  riêng dương ánh xạ A : K   gọi 0 x0  A  cặp x0  Định lý 4.1.1 dương, A:K 2 Cho nhận giá trị lồi, đóng, thỏa mãn (i) A – tăng, (ii) u  K \   ,   : u 2 A  u  Khi A thừa nhận cặp riêng dương 0 , x0  với 0   || x0 ||1 Chứng minh xn  Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ n cho n  0, (4.1) tương đương   0, x  K, || x ||1 n n n Do A ánh xạ compact x Khơng tính chất tổng qt, ta giả sử yn hội tụ đến y0  K Ta chứng minh n Gọi tn số lớn cho Từ (4.1) ta có x n 37 nên  Do đó, t n   Ta có yn hội tụ nên bị chặn, (4.1) lấy ||.|| vế n bị chặn, có dãy hội tụ, khơng tổng qt ta giả sử n  0  Khi đó, xn  n  ta có 0 x0 Do A nửa liên tục nên theo mệnh đề 1.4.1 ta có y0  A  x0 Như 0 , x0  Định lý 4.2.2 Cho A : K  nhận giá trị lồi, đóng thỏa mãn – tăng, (i) A (ii) Số   A   Khi A có cặp riêng dương 0 , x0  với Hơn nữa, Chứng minh Từ định nghĩa n t  inf   : Áp dụng định lý 1.4.1 cho ánh xạ  || x Trước hết ta chứng minh n  tn cho || un ||1 dãy }  K n thỏa mãn với yn  A  xn  Thật vậy, từ nn xn  Do đó, theo định nghĩa tn Lý luận tương tự chứng minh định lý 4.1.1, ta giả sử n   A  ; xn  x0 ;  0 Bây giờ, cho Xét x cho x  x0 A  x  2 Gọi t số lớn cho Rõ ràng, t 1 Từ suy t 0 x0  x Do tính cực đại t ta có inf Như   A    Kết thúc chứng m 4.2 Các tính chất cặp riêng dương Định nghĩa 4.2.1 Cho không gian Banach X A: K Ta kí hiệu u 2 có thứ tự sinh nón K ánh xạ : 0}  {tu0 t  A gọi u0 – dương x K \ {} tương đương x  K \{ }, y  A(x),  ,   : u0 Ánh xạ A gọi u0 u • tương đương, với v  A( y ), u  A( x) v  u  K v  u  u0 A( x ) (1) u0 hoặc   cho 39 3.Cho (0 , x0 ) cặp riêng dương A Khi  x  A(x) với 0 gọi đơn hình hình học A với cặp Ta nói cặp riêng dương (0 , x0 ) riêng dương (, x) Định lý 4.2.1 Cho A : K  (0 , x0 ) cặp số riêng dương học 0 đơn hình hình – dương, u – dương, u – tăng A Khi đó, Nếu A (3) – tăng (0 , x0 ) Chứng minh cần chứng minh x  x0 Giả sử 0 x  A(x) với Do A u0 – dương nên tồn số dương lớn t cho x0  tx , 0 Thật vậy, ta có 0 x  A(x), 0 x0  A(x0 ) A u0 – dương nên tồn thỏa 0 x   u0 và u0  0 x0 Suy x0  Do tính cực đại t Ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại x0 thỏa  u0  0 x Do A u0 Mặt khác, 0 x  A(x) A Do t 0 (x0  tx )   40 Giả sử 1 x1  A( x1 ) Ta cần chứng minh 1  0 Do x1  tx0 x0 Nếu x1 Suy Bởi tính cực đại t suy 1  0 , điều mâu thuẫn với 0 Như x1  tx0  1 Lấy 0  a21 với a 1, ta đạt Điều mâu thuẫn với A (3) – tăng Như 0 1 x1  x0  Định lý 4.2.2 ( 0 , x0 ) Cho int K , A : K  số riêng dương A Khi đó, * cho đơn hình hình học 0  x  y  K \ int K g , x  y 0 g , u 0,uA(x)A(y) (4.2) Nếu A nửa mạnh tăng (3) – tăng (0 , x0 ) Chứng minh 1.Trước hết ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại Do đó, Do x0 int x0 int K  x0  K \ int K Lấy y   (4.2), ta đạt với v  A() , x ), x g A( K , tồn số dương lớn t cho x0  tx1 K 41 x0  tx1 , tính cực đại t, ta có x0  tx1  K Nếu Thật vậy, giả sử x0  tx1 Do x1   nên ta có:  Suy ra: x0  t    Do x0  t  0 x0  A( x0 ), t 0 x1  A(tx1 ) Ta có g (0 x0  0tx1 Vậy x0  tx1 , Ta chứng minh Do A Chọn t Nếu x Do đó, tồn g  K g (1 x1  t 0 x0 )  Do A (3) – tăng nên t 0  g ( x )  g (t  x điều mâu thuẫn Như vậy, x1 Bằng lý luận tương tự chứng minh định lý 4.2.1, ta kết thúc chứng minh 42 KẾT LUẬN Trong luận văn, trình bày số kiến thức kết liên quan đến tính chất phổ số lớp ánh xạ tuyến tính dương khơng gian có thứ tự toán giá trị riêng ánh xạ đa trị Các kết trình bày luận văn mở rộng theo hướng 1.Nghiên cứu sâu tính chất phổ ánh xạ đơn trị 2.Mở rộng kết ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị Sau hoàn thành luận văn, củng cố kiến thức học lĩnh hội thêm nhiều kiến thức mới, học cách thức làm việc nghiên cứu khoa học, tảng động lực để tiếp tục nghiên cứu sau Bài viết hoàn thành khoảng thời gian tương đối ngắn với vốn kiến thức hạn hẹp thân nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót q trình soạn thảo vài kết luận cịn hạn chế Tơi mong nhận góp ý chân thành từ quý Thầy Cô bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2019 La Hồ Tuấn Duy 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Brezis (2000) Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh [2] K.C Chang (2009) A nonlinear Krein-Rutman theorem, Jrl Syst Sci & Complexity, 22, 542-554 [3] K.C Chang (2003) Methods in Nonlinear Analysis, Springer Verlag, Berlin [4] K Deimling (1985) Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin [5] [6] N Hoang, L.V Hạp (2014) Giáo trình giải tích hàm, Đại học Huế N.B Huy, N.H Khanh (2000) Fixed point for multivalued increasing operators, J Math Anal Appl., 250, 368-371 [7] N.B Huy (2002) Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51, 673678 [8] N.B.Huy, V.V.Tri, T.T.Binh (2018) The monotone minorant method and eigenvalue problem for multivalued operator in cones, Fixed Point Theory, 19, pp 275-286 [9] M.A Krasnosclskii, E.A.Lipshitz, A.B.Sobolev (1985) Positive Linear Systems, Nauka [10] M.A Krasnoselskii (1964) Solutions of Operator Equations, Nordhoff, Positive Groningen [11] J.R.L Webb (2009) Remarks on u0 – positive operators, J Fixed Point Theory Appl., 5, 37-45 ... riêng dương ánh xạ liên hợp 23 Chương MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 28 3.1 Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt 28 3.2 Điều kiện để ánh xạ tuyến. .. tiết tính chất đặc biệt phổ số lớp ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach với thứ tự sinh nón, lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ khơng phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị, … Đề tài có ý... Hướng thứ tăng độ tổng quát ánh xạ (ánh xạ compact mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) không gian (thay không gian định chuẩn không gian đếm chuẩn, không gian lồi địa phương, …) Hướng thứ