Điểm bất động chung trong không gian metric mờ

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Hà Đức Vượng, người thầy đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Lan Anh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Hà Đức Vượng. Quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và kế thừa thành quả của các nhà Khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Lan Anh Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Không gian metric mờ 16 2.1 Tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Không gian metric mờ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. Điểm bất động chung trong không gian metric mờ 31 3.1 Ánh xạ tương thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Định lý điểm bất động chung trong không gian metric mờ 35 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kỹ thuật đã dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề sau: Với M là một tập hợp khác rỗng nào đó, ta xét ánh xạ T : M → M. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập M. Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải quyết các bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong Khoa học kỹ thuật nói chung. Lĩnh vực nghiên cứu này đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này đã hình thành nên: "Lý thuyết điểm bất động". Năm 1965, Zadeh đã đưa ra khái niệm "tập mờ", đó là các ánh xạ đi từ tập X vào đoạn [0; 1]. Sau đó rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vấn đề này như: George, Rhoades, Deng, Erceg, Kaleva, Seikala, . Từ đó khái niệm "không gian metric mờ" được hình thành và kết quả về điểm bất động của ánh xạ trong lớp không gian này được nghiên cứu và ứng dụng. Năm 2009, Aage và Salunke là hai nhà toán học Ấn Độ, đã công bố một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung cho các ánh xạ trong không gian metric mờ trong bài báo: "On Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric Spaces". Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất động chung trong không gian metric mờ, được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động chung trong không gian metric mờ". 2 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động, điểm bất động chung trong không gian metric mờ. Công trình nghiên cứu được dựa trên kết quả của C. T. Aage và J. N. Salunke trong bài báo "On Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric Spaces ". 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động, điểm bất động chung trong không gian metric mờ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về: "Điểm bất động chung trong không gian metric mờ". 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp của đề tài Đây là bài tổng quan về điểm bất động chung trong không gian metric mờ. Qua đề tài này giúp người đọc thấy được mối quan hệ giữa không gian metric và không gian metric mờ, kết quả về điểm bất động chung trong không gian metric mờ. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động Banach và các ví dụ minh họa. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [3] Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là một tập hợp khác rỗng, d là một hàm số xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d được gọi là metric trên X. Các phần tử của X gọi là các điểm. Khi đó ta có không gian metric (X, d). Định nghĩa 1.1.2. [1] Cho không gian metric (X, d). Một tập con bất kỳ M = ∅ của tập X cùng với metric d lập thành một không gian metric. Không gian metric (M, d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Ví dụ 1.1.1. Với hai vectơ bất kỳ x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ) thuộc không gian vectơ thực k chiều R k (k là số nguyên dương nào đó). 4 Ta đặt: d(x, y) =     k  j=1 (x j , y j ) 2 . (1.1) Ta có (R k , d) là một không gian metric. Chứng minh. Ta có     k  j=1 (x j , y j ) 2 ≥ 0, với mọi x, y ∈ R k . Suy ra d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R k . Ta lại có: d(x, y) = 0 ⇔     k  j=1 (x j , y j ) 2 = 0 ⇔ k  j=1 (x j , y j ) 2 = 0 ⇔ (x j , y j ) 2 = 0, ∀j = 1, 2, , k ⇔ x j = y j , ∀j = 1, 2, , k ⇔ x = y. Vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y. Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề 3. về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski. Với 2k số thực a j , b j (j = 1, 2, , k) ta có:      k  j=1 a j b j      ≤     k  j=1 (a j ) 2     k  j=1 (b j ) 2 . (1.2) Thật vậy 0 ≤ k  i=1  k  j=1 (a i b j − a j b i ) 2  5 = k  i=1 k  j=1 (a i ) 2 (b j ) 2 − 2 k  i=1 k  j=1 a i b i a j b j + k  i=1 k  j=1 a j 2 b i 2 = 2  k  j=1 a j 2  k  j=1 b j 2  − 2  k  j=1 a j b j  2 . Suy ra  k  j=1 a j 2  k  j=1 b j 2  −  k  j=1 a j b j  2 ≥ 0. Hay  k  j=1 a j b j  2 ≤  k  j=1 a j 2  k  j=1 b j 2  . Từ đó suy ra      k  j=1 a j b j      ≤     k  j=1 (a j ) 2     k  j=1 (b j ) 2 . Bây giờ ta xét ba vectơ bất kỳ x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ), z = (z 1 , z 2 , , z k ) thuộc R k , ta có: d 2 (x, y) = k  j=1 (x j − y j ) 2 = k  j=1 [(x j − z j ) + (z j − y j )] 2 = k  j=1 (x j − z j ) 2 + 2 k  j=1 (x j − z j )(z j − y j ) + k  j=1 (z j − y j ) 2 ≤ k  j=1 (x j − z j ) 2 + 2     k  j=1 (x j − z j ) 2     k  j=1 (z j − y j ) 2 + k  j=1 (z j − y j ) 2 = d 2 (x, z) + 2d(x, z)d(z, y) + d 2 (z, y) = [d(x, z) + d(z, y)] 2 . Suy ra d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). 6 Do đó, hệ thức (1.1) xác định một metric trên R k . Vậy (R k , d) là một không gian metric. Nhận xét 1.1.1. Trên cùng một tập hợp có thể xác định những metric khác nhau. Ví dụ trên cùng tập R k , ngoài metric Euclide, ta có thể xác định những metric sau đây: Với hai phần tử x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ) thuộc R k ta đặt: d 1 (x, y) = k  i=1 |x i − y i | , d 2 (x, y) = max 1≤i≤k |x i − y i | . Dễ dàng ta kiểm tra được d 1 , d 2 đều là metric trên R k . 1.2 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.2.1. [1] Dãy {x n } trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến x 0 ∈ X, nếu lim n→∞ d(x n , x 0 ) = 0. Khi đó, ta viết lim n→∞ x n = x 0 hay x n → x 0 khi n → ∞, x 0 được gọi là giới hạn của dãy {x n }. Định nghĩa 1.2.2. [3] Cho không gian metric (X, d). Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy, nếu lim m,n→∞ d(x m , x n ) = 0. Tức là ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀m, n ≥ n 0 : d(x m , x n ) < ε. 7 Ví dụ 1.2.2. Cho không gian X = (0; 1) thì dãy  1 n  là dãy Cauchy. Thật vậy lim m,n→∞ d(x m , x n ) = lim m,n→∞  1 m − 1 n  = lim m→∞ 1 m − lim n→∞ 1 n = 0. Định nghĩa 1.2.3. [3] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X. Ví dụ 1.2.3. Không gian  2 là không gian đầy đủ. Chứng minh. Giả sử x (n) = (x (n) 1 , x (n) 2 , , x (n) k , ), n = 1, 2, là dãy Cauchy trong không gian  2 . Theo định nghĩa dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀m, n ≥ n 0 d(x (n) , x (m) ) =     ∞  k=1    x (n) k − x (m) k    2 < ε. Suy ra:     p  k=1    x (n) k − x (m) k    2 < ε, ∀m, n ≥ n 0 , ∀p = 1, 2, (1.3)    x (n) k − x (m) k    < ε, ∀m, n ≥ n 0 , ∀k = 1, 2, (1.4) Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi k cố định dãy (x (n) k ) là dãy Cauchy, nên phải tồn tại giới hạn lim n→∞ (x (n) k ) = x k , ∀k = 1, 2, [...]... minh Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số khái niệm cơ bản về tập mờ, không gian metric mờ, không gian metric mờ đầy đủ và các ví dụ minh họa, định lý ánh xạ co Banach trong không gian metric mờ Chương 3 Điểm bất động chung trong không gian metric mờ Năm 2009, Aage và Salunke là hai nhà toán học Ấn Độ, đã công bố một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung cho các ánh xạ trong không. .. co trong không metric đầy đủ R1 Nên theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình (1.11) có nghiệm duy nhất Như vậy, trong chương này chúng ta đã trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ và một kết quả quan trọng về điểm bất động đó là định lý điểm bất động Banach trong không gian metric Chương 2 Không gian metric mờ. .. nghĩa 2.3.3 [8] Một không gian metric mờ mà trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì được gọi là không gian metric mờ đầy đủ Ví dụ 2.3.6 Cho (X, d) là không gian metric Ta ký hiệu ∆(a, b) = ab với ∀a, b ∈ [0, 1] Md (x, y, t) = t , ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ (0; ∞) t + d(x, y) Khi đó(X, Md , ∆) là một không gian metric mờ đầy đủ Chứng minh Theo ví dụ 2.2.5 ta có (X, Md , ∆) là một không gian metric mờ Ta chứng minh... "tập mờ" , đó là ánh xạ đi từ tập X vào đoạn [0; 1] Sau đó rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vấn đề này như: George, Rhoades, Deng, Erceg, Kaleva, Seikala, Khái niệm "không gian metric mờ" được hình thành và kết quả về điểm bất động của ánh xạ trong lớp không gian này được nghiên cứu và ứng dụng Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về tập mờ, không gian metric mờ, không. .. → (0, 1] liên tục Khi đó M được gọi là một metric mờ trên X Ví dụ 2.2.5 Cho (X, d) là không gian metric Ta ký hiệu ∆(a, b) = ab với ∀a, b ∈ [0, 1] Khi đó: Md (x, y, t) = t , ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ (0; ∞) t + d(x, y) là một metric mờ trên X (metric mờ cảm sinh bởi metric d) Ta có (X, Md , ∆) là không gian metric mờ Chứng minh Thật vậy: 1 Do (X, d) là không gian metric nên ta có d(x, y) ≥ 0 nên M (x, y, t)... ∆) là một không gian metric mờ 2.3 Không gian metric mờ đầy đủ Định nghĩa 2.3.1 [8]Cho (X, M, ∆) là một không gian metric mờ Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi ε > 0 và t > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho M (xn , x, t) > 1 − ε với ∀n ≥ n0 Hay lim M (xn , x, t) = 1 t→∞ Định nghĩa 2.3.2 [8] Cho (X, M, ∆) là một không gian metric mờ Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (Cauchy mờ) nếu mỗi... chung cho các ánh xạ trong không gian metric mờ Dựa trên công trình nghiên cứu của hai nhà toán học Aage và Salunke, trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm cơ bản về ánh xạ tương thích, điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích trong không gian metric mờ 3.1 Ánh xạ tương thích Định nghĩa 3.1.1 [17] Cặp ánh xạ (f, g) của một không gian metric mờ (X, M, ∆) vào chính nó được gọi... Định nghĩa 3.1.4 [4] Cho (X, M, ∆) là không gian metric mờ, f và g là các ánh xạ trong X Điểm x ∈ X được gọi là một điểm trùng của f và g nếu f x = gx Trong trường hợp w = f x = gx thì w gọi là điểm trùng của f và g Định nghĩa 3.1.5 [4] Cho hai ánh xạ f và g của không gian metric mờ (X, M, ∆) được gọi là tương thích yếu (weakly compatible) nếu chúng giao hoán tại điểm trùng tức là f x = gx với x ∈ X... x0 (t) = 1, (1.9) lim x0 (t) = 0 (1.10) t→( 1 )− 2 1 t→( 2 )+ 1 Từ (1.9) và (1.10) suy ra x0 (t) không liên tục tại t = 2 Do đó x0 (t) không thuộc C[0;1] Vậy C[0;1] là không gian metric không đầy đủ với metric xác định bởi (1.8) 1.3 Định lý điểm bất động Banach Định nghĩa 1.3.1 [2] Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số k ∈ [0; 1) sao cho d(T x, T y)... b = min {a; b} với ∀a, b ∈ [0; 1] Định lý 2.3.2 [9]Định lý ánh xạ co Banach trong không gian metric mờ (fuzzy Banach contraction theorem) Cho (X, M, ∆) là không gian mờ đầy đủ và ánh xạ T : X → X thoả mãn: 1 lim M (x, y, t) = 1, t→∞ ∀x, y ∈ X 2 M (T x, T y, kt) ≥ M (x, y, t), với mọi x, y ∈ X và 0 < k < 1 Thì T có điểm bất động duy nhất Chứng minh Giả sử x ∈ X và xn = T n x(n ∈ N) Nên x1 = T x, x2 . về điểm bất động chung trong không gian metric mờ. Qua đề tài này giúp người đọc thấy được mối quan hệ giữa không gian metric và không gian metric mờ, kết quả về điểm bất động chung trong không. niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ và một kết quả quan trọng về điểm bất động đó là định lý điểm bất động Banach trong không gian metric. Chương 2 Không gian metric mờ Năm 1965,. 25 Chương 3. Điểm bất động chung trong không gian metric mờ 31 3.1 Ánh xạ tương thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Định lý điểm bất động chung trong không gian metric mờ 35 Kết