Điểm bất động chung trong không gian metric mờ
32 Với mỗi dãy {x n } trong X sao cho
lim
n→∞f xn = lim
n→∞gxn = x với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 3.1.3. [7] Hai ánh xạf,g của không gian metric mờ(X, M,∆)
vào chính nó được gọi là liên tục tương hỗ (reciprocally continuous) trên
X nếu:
lim
n→∞f gxn = f x và lim
n→∞gf xn = gx,
với mỗi dãy {xn} trong X sao cho
lim
n→∞f xn = lim
n→∞gxn = x với mọi x ∈ X.
Định lý 3.1.1. [4] Cho (X, M,∆) là không gian metric mờ. Nếu tồn tại
k ∈ (0; 1) sao cho
M(x, y, kt) ≥ M(x, y, t),
với mọi x, y ∈ X và t > 0 thì x = y.
Chứng minh. Giả sử tồn tại k ∈ (0; 1):
M(x, y, kt) ≥M(x, y, t) với mọi x, y ∈ X, ∀t > 0. Thì M(x, y, t) ≥M x, y, t k . Với n số nguyên dương
M(x, y, t) ≥M x, y, t kn . Mà lim n→∞M x, y, t kn = 1.
Suy ra M(x, y, t) ≥ 1. Ta có M(x, y, t) ≤ 1. Do đó M(x, y, t) = 1 nếu và chỉ nếu x = y. Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 3.1.4. [4] Cho (X, M,∆) là không gian metric mờ, f và
g là các ánh xạ trong X. Điểm x ∈ X được gọi là một điểm trùng của
f và g nếu f x = gx. Trong trường hợp w = f x = gx thì w gọi là điểm trùng của f và g.
Định nghĩa 3.1.5. [4] Cho hai ánh xạ f và g của không gian met- ric mờ (X, M,∆) được gọi là tương thích yếu (weakly compatible) nếu chúng giao hoán tại điểm trùng tức là f x = gx với x ∈ X thì f gx= gf x.
Khái niệm tương thích yếu ngẫu nhiên được đưa ra bởi M.Al- Tha- gafi và Naseer Shahzad. Ta có phát biểu như sau:
Định nghĩa 3.1.6. [4] Hai ánh xạ f và g của tập X được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên (occasionally weakly compatible) nếu điểm x ∈ X
là điểm trùng của f và g trong đó f và g là các ánh xạ giao hoán.
Ví dụ 3.1.1. [4] Cho tập số thực R với metric thông thường. Ta xét ánh xạ S, T : R→ R xác định bởi:
34Khi đó Sx = T x với x = {0; 2}.