Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng

Từ việc tìm ra mốiquan hệ giữa ánh xạ co với ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ co đã định hướng cho những nghiên cứu về điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn được rõ r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGA

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà Nội, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGA

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội, 2012

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóaluận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đạihọc, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vàlàm luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Nguyễn Thị Nga

Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động và ứngdụng trong bài toán tựa cân bằng” được hoàn thành bởi chính sự nhậnthức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Nguyễn Thị Nga

Bảng kí hiệu 4

Mở đầu 5 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 8 1.1 Không gian metric 8

1.2 Không gian định chuẩn 15

1.3 Không gian Hilbert 17

1.4 Ánh xạ đa trị 18

Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ đơn trị 20 2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co 20

2.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 24

2.3 Điểm bất động của ánh xạ liên tục 29

Chương 3 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 39 3.1 Định lý điểm bất động của Nadler 39

3.2 Định lý Caristi 45

3.3 Định lý điểm bất động của Ky Fan 47

Chương 4 Ứng dụng 54 4.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại một 54

4.2 Một số bài toán liên quan 55

4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 58

Kết luận 63

conv C bao lồi của tập C

intC( hay C)o phần trong của tập C

C bao đóng của tập C

f−1 hàm ngược của hàm f

inf f cận dưới đúng của hàm f

sup f cận trên đúng của hàm f

min f giá trị nhỏ nhất của hàm f

max f giá trị lớn nhất của hàm f

rge f ảnh của hàm f

Gr f đồ thị của hàm f

dom f miền hữu hiệu của hàm f

Fix f tập các điểm bất động của hàm f

Đến những năm 60, Nguyên lý ánh xạ co Banach tiếp tục được mởrộng nghiên cứu theo hai hướng: đưa ra khái niệm co mới, ánh xạ co đatrị và mở rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn Từ việc tìm ra mốiquan hệ giữa ánh xạ co với ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ co đã định hướng cho những nghiên cứu về điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn được rõ ràng hơn Tuy nhiên, các nhà khoahọc cũng chỉ ra được rằng sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khônggiãn thường gắn với cấu trúc hình học của các không gian Banach, haycác không gian khác như không gian metric siêu lồi, không gian trắc địav.v.

Tiếp đó, mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạkhông giãn là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitzvới hệ số lớn hơn 1 Khởi đầu, Kakutani đã chỉ ra tồn tại ánh xạ Lip-schitz với hệ số đủ gần 1 trong hình cầu đơn vị đóng của không gianHilbert mà không có điểm bất động Sau đó, bằng việc đưa ra khái niệmLipschitz đều, K Goebel và W A Kirk (1973) đã nêu ra mở rộng hợp

lý cho ánh xạ không giãn

Song song với sự mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach, Nguyên

lý điểm bất động Brouwer cũng được phát triển mạnh Ban đầu, người

ta mở rộng kết quả này trên các lớp không gian tổng quát như là: định lýSchauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935)trong không gian lồi địa phương, Sau đó là sự mở rộng đến ánh xạ đatrị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), và tiêubiểu là kết quả của Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965),

Một điều thú vị là vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, towski và Mazurkiewicz đã đưa ra Bổ đề KKM, bổ đề này tương tự vớiNguyên lý Brouwer và chỉ cách chứng minh đơn giản Nguyên lý điểmbất động Brouwer mà trước đó cách chứng minh của nó khá phức tạpphải dựa vào một số công cụ của tôpô

Kura-Sự xuất hiện Bổ đề KKM đã mở ra một hướng nghiên cứu mới là

Lý thuyết KKM Bước ngoặt phát triển của lý thuyết này được đánhdấu bằng việc Ky Fan (1961) đã chứng minh một dạng tượng tự của Bổ

đề KKM cho không gian vô hạn chiều, gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM,đây được xem như trung tâm của Lý thuyết KKM Nhờ đó, nó được sửdụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động, lýthuyết biến phân, bài toán kinh tế,

Tầm quan trọng của lý thuyết điểm bất động và Lý thuyết KKMtrong các ngành toán học khác nhau cũng như những ứng dụng của nócần được chúng ta nghiên cứu, tìm hiểu kỹ hơn nữa Chính vì vậy, với

sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài “Điểm bấtđộng và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được các khái niệm và ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích vàứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cânbằng.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dungnghiên cứu

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểmbất động và một số tính chất Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyếtđiểm bất động trong bài toán tựa cân bằng và ứng dụng trong lý thuyếttối ưu

Các kiến thức cơ bản

Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với một khônggian nào đó Chính vì vậy việc nghiên cứu toán học, hay tìm lời giải chocác bài toán cụ thể, trước hết ta phải quan tâm tới không gian của bàitoán Trong chương này, ta nhắc lại những không gian cơ bản hay gặpkhi nghiên cứu giải tích hiện đại và các kiến thức liên quan Phần chitiết và chứng minh cho các hệ quả có thể tham khảo trong các tài liệu

số [1], [2], [3]

Nhiều vấn đề nghiên cứu của giải tích bản chất chỉ dựa trên tínhchất của khoảng cách, mà không quan tâm tới những tính chất kháccủa đường thẳng, mặt phẳng hay không gian 3 chiều thông thường Vìvậy, để khảo sát bản chất các vấn đề đó và hiểu sâu hơn về khoảng cáchngười ta đưa ra khái niệm không gian metrric

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp M 6= ∅cùng với một ánh xạ d từ không gian tích Descarter M × M vào tập hợp

số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:

(i) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) = d(y, x);

(iii) (∀x, y, z ∈ M ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Không gian metric ký hiệu là (M, d), (viết tắt là M ) Ánh xạ d gọi

là metric trên M , số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Ví dụ :

(i) Một tập con M bất kỳ của tập số thực R, với khoảng cáchd(x, y) = |x − y| (độ dài đoạn nối x với y), là một không gian met-ric

(ii) Tổng quát hơn, trong không gian n chiều Rn, có thể xác địnhkhoảng cách giữa hai điểm x = (x0, , xn) và y = (y0, , yn) là

d (x, y) =

r

Xn i=1(xi− yi)2

Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khácnhau để có những không gian metric khác nhau

Từ định nghĩa, ta dễ dàng có những tính chất đơn giản sau:

(i) (∀xi ∈ M, i = 1, 2, , n, n ∈ N∗) d (x1, xn) ≤ Pn−1

i=1 d (xi, xi+1);(ii) (∀x, y, u, v ∈ M ) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v), (bất đẳngthức tứ giác);

(iii) (∀x, y, u ∈ M ) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u), (bất đẳng thức tamgiác)

Định nghĩa 1.1.2 Cho hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2) Ánh

xạ F từ không gian metric M1 vào không gian metric M2 gọi là đẳng cựnếu

d2(F x, F y) = d1(x, y) (∀x, y ∈ M )

Định nghĩa 1.1.3 Hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2) gọi là đẳng

cự nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cự từ M1 lên M2

Hiển nhiên, ánh xạ F ánh xạ C[0,1] lên C[0,2] Với ∀x(t), y(t) ∈ C[0,1]

ta có:

d2(F x, F y) = max

0≤t≤2

x t2



− y t

2



là như nhau

Trong không gian metric, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ nhưsau:

Định nghĩa 1.1.4 Ta nói rằng dãy điểm {xn} của không gian M hội

tụ tới điểm x0 của không gian đó nếu với (∀ > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥

cũng hội tụ Ta dễ dàng nhận ra hai tính chất quan trọng sau đây:(i) Nếu xn → x và xn → x0 thì x = x0, nghĩa là giới hạn của một dãyđiểm là duy nhất.

(ii) Nếu xn → x và yn → y thì d(xn, yn) → d(x, y), nghĩa là khoảngcách d là một hàm liên tục đối với x và y

Khi đưa vào tập nền của không gian metric khái niệm các tập mở,

ta có thể xác định tôpô trong metric

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric (M, d), a ∈ M , số r > 0 Tagọi:

Tập S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kínhr;

Tập S0(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bánkính r

Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric (M, d) Ta gọi là lân cân củađiểm x ∈ M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r nào đấy

Nhờ định nghĩa này ta có thể phân loại các điểm trong không gianmetric như sau:

Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M , điểm x ∈ M :

Điểm x gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm xbao hàm trong tập A;

Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm xkhông chứa điểm nào của tập A;

Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đềuchứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A Tậptất cả các điểm biên của tập A ký hiệu là ∂A;

Điểm x gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lâncận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x Tập tất cảcác điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A0;

Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A, nếu x ∈ A và x không là điểmgiới hạn của tập A.

Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M :Tập A gọi là tập mở trong không gian (M, d), nếu mọi điểm thuộc

A đều là điểm trong của A;

Tập A gọi là tập đóng trong không gian (M, d), nếu mọi điểm khôngthuộc A đều là điểm ngoài của A

Định lý 1.1.1 (Xem [1]) Trong không gian metric bất kỳ, mọi hìnhcầu mở là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng

Định lý 1.1.2 (Xem [2]) Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M ,

A 6= ∅ Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm{xn} ⊂ A hội tụ tới điểm x thì x ∈ A

Hệ quả 1.1.1 Trong không gian metric (M, d), phần bù của một tập

mở là tập đóng, phần bù của một tập đóng là tập mở Các tập M, ∅ vừa

là đóng vừa là mở

Hệ quả này dễ dàng suy ra từ hai định lý trên

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M :Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, và

ký hiệu A hay intA;o

Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và kýhiệu A hay [A]

Dựa vào định nghĩa ta dễ dàng có những tính chất sau đây:

(v) A ⊂ M là tập mở khi và chỉ khi A = A;o

(vi) A ⊂ M là tập đóng khi và chỉ khi A = A

Định lý 1.1.3 (Xem [2]) Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M ,phần trong A của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn baoođóng A của A là tập tất cả các điểm giới hạn của tập A

Hệ quả 1.1.2 (Xem [2]) Trong không gian metric (M, d) phần trongcủa một tập hợp là tập mở, bao đóng của một tập hợp là tập đóng.Định lý 1.1.4 (Xem [1]) Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M Khi đó

Ví dụ :

Trong không gian R bao đóng của tập số hữu tỉ Q và bao đóng củatập số vô tỉ R\Q đều là số thực R; còn phần trong của tập Q và phầntrong của tập R\Q đều là tập φ

Định nghĩa 1.1.9 Cho một tập M bất kỳ, ta nói một họ T những tậpcon của M là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên M nếu:(i) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ T

(ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.(iii) Hợp của một số bất kỳ tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.Một tập M cùng với một tôpô T trên M gọi là không gian tôpô(M, T )

Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trênkhông gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô

Định lý 1.1.5 (Xem [1]) Trong không gian metric (M, d), họ tất cảcác tập mở trong M lập thành một tôpô trên M

Định nghĩa 1.1.10 Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric(M, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d.

Định lý 1.1.6 (Xem [2]) Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinhbởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đến được

Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian metric (M1, d1) và (M2, d2),ánh xạ f từ không gian M1 đến không gian M2:

Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ M1 nếu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈

(iv) Với mọi tập A ⊂ M1 đều có f (A) ⊂ f (A);

(v) Với mọi tập B ⊂ M2 đều có f−1(

o

B) ⊂

o

f−1(B)

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian metric (M, d), dãy {xn} được gọi

là dãy cở bản nếu lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0, tức là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N∗ sao

(i) Không gian metric R là không gian đầy đủ.

(ii) Không gian C[a,b] (không gian các hàm bị chặn trên đoạn [a, b])

là không gian đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1 Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến tínhtrên trường K = {R, C}, các phần tử x, y ∈ M được gọi là các véctơnếu trên M xác định hai phép toán

(+) : M × M → M : (x, y) → x + y;

( ) : K × M → M : (λ, x) → λx,thoả mãn tám tiên đề sau:

1≤i≤k|xi| , ∀x = (x1, , xn) ∈ En.Khi đó, hai chuẩn k.k1, và k.k2 là tương đương vì

kxk2 ≤ kxk1 ≤ √nkxk2, ∀x ∈ En

Định lý 1.2.1 (Xem [1]) Hai chuẩn k.k1 và k.k2 cho trên không giantuyến tính M là tương đương khi và chi khi hai chuẩn đó sinh cùng mộttôpô trên M

Định nghĩa 1.2.4 Không gian Banach là không gian định chuẩn vàđầy đủ

Các ví dụ ở trên cũng là các không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là không gian tuyến tính trên trường K ={R, C} Hàm h., i : M × M → K được gọi là tích vô hướng trên M nếu:(i) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ M ;

(ii) (∀x, y ∈ M ) (∀λ ∈ K) hx, λyi = λ hx, yi

Thật vậy, hx, λyi = hλy, xi = λ hy, xi = λhy, xi = λ hx, yi

Định nghĩa 1.3.2 Không gian M được trang bị một tích vô hướngđược gọi là không gian tiền Hilbert.

Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert

(ii) Không gian l2 (không gian vectơ các dãy số phức x = (xn) saocho chuỗi số

Cho M là tập hợp bất kỳ Ký hiệu 2M là tập gồm các tập con của M Định nghĩa 1.4.1 Mỗi ánh xạ T từ tập X vào Y được gọi là ánh xạ

đa trị từ X vào Y , ký hiệu T : X → 2Y

Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của T được định nghĩa lần lượtnhư sau:

domT = {x ∈ A|T x 6= φ} với A ⊂ X;

Định nghĩa 1.4.2 Cho T : X → 2Y, ánh xạ T−1 : Y → 2X xác địnhbởi

T−1y = {x ∈ X : y ∈ T x} ,được gọi là ánh xạ ngược của T

Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạngược

Định nghĩa 1.4.3 Cho X, Y là hai không gian tôpô, T : X → 2Y làmột ánh xạ đa trị:

Ánh xạ T gọi là nửa liên tục trên tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi tậphợp G mở chứa T x0, tồn tại lân cận U của x0 sao cho T x ⊂ G với mọi

x ∈ U Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó nửa liên tục trêntại mọi điểm của X;

Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ X nếu với mọitập hợp G mở thoả mãn G ∩ T x0 6= φ, tồn tại lân cận U của x0 sao cho

G ∩ T x 6= φ với mọi x ∈ U Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục dưới nếu

nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X;

Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu nó vừa liên tục trên vừa liên tụcdưới

Hiển nhiên, nếu T là ánh xạ đơn trị thì cả ba khái niệm: liên tục,liên tục trên, liên tục dưới trùng nhau

Điểm bất động của ánh xạ đơn trị

Tiếp tục nghiên cứu và phát triển nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)

và nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), các nhà toán học đã hìnhthành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ dạng co và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liêntục Theo đó, họ phân loại lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đơn trịtheo dạng của ánh xạ Đó là, điểm bất động của ánh xạ dạng co, dạngánh xạ không giãn và dạng ánh xạ liên tục

Ánh xạ dạng co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ Lipschitz khi hệ

số Lipschitz bị giới hạn Ta hãy nhắc lại khái niệm ánh xạ Lipschitz để

có cái nhìn khái quát hơn về ánh xạ dạng co

Định nghĩa 2.1.1 Cho (M, d) là một không gian metric Một ánh xạ

F : M → M được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại α không âm saocho:

d(F x, F y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ M (2.1)

Số α nhỏ nhất thoả mãn (2.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh

xạ F và ký hiệu là α(F )

Nếu α(F ) < 1 thì ánh xạ F : M → M được gọi là ánh xạ co

Định lý 2.1.1 (Banach, 1922) Cho (M, d) là một không gian metricđầy đủ và F : M → M là một ánh xạ co Khi đó, F có duy nhất một

điểm bất động trong M , và với mọi x0 ∈ M dãy {Fnx0} hội tụ đến điểmbất động này.

Khi hệ số Lipschitz được thay đổi ta có khái niệm ánh xạ mới

Định nghĩa 2.1.2 Cho (M, d) là không gian metric Một ánh xạ

F : M → M được gọi là ánh xạ co yếu nếu

d(F x, F y) < d(x, y), ∀x, y ∈ M, x 6= y

Để Nguyên lý ánh xạ co Bancach vẫn đúng khi F là ánh xạ co yếuthì ta cần điều kiện bổ sung là tính compact của không gian

Định lý 2.1.2 (Edelstein, 1962) Cho (M, d) là không gian metric đầy

đủ và F : M → M là ánh xạ co yếu, và với x0 ∈ M dãy {Fnx0} có dãycon hội tụ Khi đó, F có duy nhất một điểm bất động trong M và vớimọi x0 ∈ M dãy {Fnx0} hội tụ đến điểm bất động này

Chứng minh Lấy x0 thuộc M Đặt x1 = F x0, xn = F xn−1, ∀n ≥

2, (xn = Fnx0)

Xét d(Fnx0, Fn+1x0) ≤ d(Fn−1x0, Fnx0) ≤ ≤ d(x1, x0) = d(F x0, x0)

Từ đó suy ra dãy d(Fnx0, Fn+1x0) hội tụ

Mặt khác, do {Fnx0} ⊂ M có dãy con {Fnkx0} hội tụ, giả sử

Fnkx0 → y

Từ d(Fnkx0, Fnk+1x0) → 0, ta có d(y, F y) = 0 Vậy F y = y Định lý

Định lý 2.1.3 Cho (M, d) là không gian metric đầy đủ và F : M → M

là ánh xạ không nhất thiết liên tục Giả sử điều kiện sau được thoả mãn(*) Với mọi e > 0, tồn tại δ(e) > 0, sao cho:

Nếu d(x, F x) < δ(e) thì F [B(x, e)] ⊂ B(x, e)

Khi đó, nếu d(Fnu, Fn+1u) → 0 với u nào đó thuộc M , thì {Fnu}hội tụ đến điểm bất động của F

Chứng minh Đặt un = Fnu Đầu tiên, ta sẽ chỉ ra rằng {un} là dãyCauchy

Thật vậy, cho e > 0, chọn N đủ lớn sao cho d(un, un+1) < δ(e) với mọi

n ≥ N Vì d(uN, F uN) < δ nên theo tính chất (*) ta có F [B(uN, e)] ⊂B(uN, e) Suy ra F uN = uN +1 ∈ B(uN, e), và bằng quy nạp ta có

FkuN = uN +k ∈ B(uN, e), với mọi k ≥ 0

Như vậy, d(uk, us) < 2e với mọi s, k ≥ N và ta có {un} là dãyCauchy Vì M là không gian metric đầy đủ nên dãy này hội tụ, chẳnghạn đến điểm z ∈ M Để chứng tỏ z là điểm bất động của F tachứng minh bằng phản chứng: nếu d(z, F z) = a > 0, ta có thể chọn

un ∈ B(z,a3) sao cho d(un, un+1) < δ(a3) Khi đó, bởi tính chất (*) ta

có F [B(un,a3)] ⊂ B(un,a3), do đó F z ∈ B(un,a3) Nhưng mâu thuẫn vớid(F z, un) ≥ d(F z, z) − d(un, z) ≥ 2a3 Suy ra d(z, F z) = 0 và ta có điều

đó có sự khái quát hoá của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định lý 2.1.4 (Matkowski, 1975) Giả sử (M, d) là không gian metricđầy đủ và F : M → M là một ánh xạ thoả mãn

d(F x, F y) ≤ ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ M ,trong đó ϕ : R+ → R+ là một hàm bất kỳ không giảm (không nhất thiếtliên tục) sao cho ϕn(t) → 0 với mỗi t > 0

Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động u, và Tnx → u với mỗi

x ∈ M

Chứng minh Trước hết ta nhận thấy ϕ (t) < 0 với mỗi t > 0

Thật vậy, nếu với t0 > 0 nào đó ta có t0 ≤ ϕ (t0) thì bởi tính đơnđiệu của ϕ nên ϕ (t0) ≤ ϕ [ϕ (t0)] Bằng quy nạp ta có t0 ≤ ϕn(t0) vớimọi n > 0, mâu thuẫn với ϕn(t0) → 0

Từ giả thiết suy ra

d(Fnx, Fn+1x) ≤ ϕn(d(x, F x)),

do đó d(Fnx, Fn+1x) → 0 với mỗi x ∈ M Cho e > 0 tuỳ ý và chọn

δ (e) = e − ϕ (e) Nếu d (x, F x) < δ (e) thì với mọi z ∈ B (x, e) ta có

M là một ánh xạ thoả mãn

d (F x, F y) ≤ ∂ (x, y) d (x, y),trong đó ∂ : M × M → R+\ {0} có tính chất:

Với khoảng đóng bất kỳ [a, b] ⊂ R+\ {0},

λ (a, b) = sup {∂ (x, y) : a ≤ d (x, y) ≤ b < 1}

Khi đó, F có duy nhất một điểm bất động u, và Fnx → u với mỗi

x ∈ M

Chứng minh Định lý này được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.4 

Khi cho hệ số của ánh xạ Lipschitz α(F ) = 1 ta có khái niệm ánh

xạ mới là ánh xạ không giãn Khi đó, một câu hỏi đặt ra là có hay khôngđiểm bất động của lớp ánh xạ này? Nghiên cứu vấn đề này ta đã cónhững kết quả nhất định sau

Định nghĩa 2.2.1 Cho (M, d) là một không gian metric, A ⊂ M Mộtánh xạ F : A → M được gọi là ánh xạ không giãn nếu

d (F x, F y) ≤ d (x, y) , ∀x, y ∈ A (2.2)Đặc biệt, trong trường hợp M là không gian Banach với chuẩn k.k

và K là tập khác rỗng của M thì ánh xạ F : K → M là không giãn nếu

kF x − F yk ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ K (2.3)Hiển nhiên, các ánh xạ co, co yếu và tất cả các phép đẳng cự đều lànhững ánh xạ không giãn

Ta thấy các ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động vànếu có thì điểm bất động không nhất thiết là duy nhất (chẳng hạn, ánh

xạ đồng nhất)

Định nghĩa 2.2.2 Tập hợp A ⊂ M được gọi là có tính chất điểm bấtđộng đối với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ A vào Ađều có điểm bất động

Khi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn, ta cần gắnvới các tính chất về cấu trúc hình học của không gian Banach Sau đây

ta trình bày sơ lược về các cấu trúc này

Định nghĩa 2.2.3 Không gian Banach (M, k.k) được gọi là không gianlồi chặt nếu thoả mãn với mọi x, y ∈ M : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk >

(i) Mọi không gian Hilbert là lồi đều

(ii) Không gian R2 với chuẩn

kxk1 =

q

x21 + x22, ∀x = (x1, x2) ∈ R2

là không gian lồi đều

(iii) Không gian R2 với chuẩn

kxk2 = |x1| + |x2| và kxk∞ = max (|x1| , |x2|) với x = (x1, x2) ∈ R2

là các không gian không lồi chặt và như vậy cũng không lồi đều

Để xác định "mức độ" lồi của hình cầu đơn vị trong không gian,người ta đưa ra khái niệm môđun lồi

Định nghĩa 2.2.5 Môđun lồi của không gian Banach M là hàm δM :[0, 2] → [0, 1] xác định bởi

Định nghĩa 2.2.6 Đặc trưng lồi (hay hệ số lồi) của không gian Banach

M là số

e0 = e0(M ) = sup {e ∈ [0, 2] : δM (e) = 0}

Ta thấy, e0 là độ dài đoạn thằng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị

Ta công nhận các mệnh đề và định lý sau về cấu trúc hình học củakhông gian Banach

Mệnh đề 2.2.1 Không gian Banach M là lồi đều khi và chỉ khi e0(M ) =0

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử M là không gian Banach với môđun lồi δM vàđặc trưng lồi e0 Khi đó, δM là hàm liên tục trên [0, 2) và tăng ngặt trên[e0, 2]

Mệnh đề 2.2.3 Không gian Banach M là lồi chặt khi và chỉ khi

δM (2) = 1

Định nghĩa 2.2.7 Cho M là không gian Banach, A là tập con bị chặncủa M Kí hiệu:

rx(A) = sup {kx − yk : y ∈ A} , (x ∈ M );

r (A) = inf {rx(A) : x ∈ M };

diamA = sup {kx − yk : x, y ∈ M } = sup {rx(A) : x ∈ M }

Số rx(A) được gọi là bán kính của A đối với x; r (A) và diamA lầnlượt gọi là bán kính Chebyshev và đường kính của tập A

Mệnh đề 2.2.4 Với mỗi tập con bị chặn A trong không gian Banach

M thì rx(A) là hàm liên tục

Định nghĩa 2.2.8 Một tập con A của M được gọi là có cấu trúc chuẩntắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0 đềuchứa một điểm x ∈ H sao cho rx(H) < diamH.

r (H) ≤ αdiamH

Định nghĩa 2.2.10 Không gian Banach M được gọi là có cấu trúcchuẩn đều nếu tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho

r (H) ≤ αdiamH,với mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của M

Định nghĩa 2.2.11 Hệ số chuẩn tắc của không gian Banach M là sốxác định bởi

N (M ) = sup



r (A)diamA : A ⊂ M lồi, bị chặn và diamA > 0



Nhận xét :

(i) Số N (M ) là số nhỏ nhất sao cho r (A) ≤ N (M ) diamA với mọitập con A lồi, bị chặn của M

(ii) N (M ) < 1 nếu và chỉ nếu M có cấu trúc chuẩn đều

Trước khi chứng minh định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn,

ta thừa nhận bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 Cho A là tập lồi, đóng, bi chặn, khác rỗng của không gianBanach M và F là ánh xạ không giãn từ A vào A Khi đó

αLα) ⊂ T

αLα Vậy TαLα

là cận dưới của L Theo bổ đề 2.2.1, L chứa phần tử cực tiểu H

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng Giả sử H cónhiều hơn một điểm, tức là d = diamH > 0 Do A có cấu trúc chuẩntắc nên tồn tại z ∈ H sao cho rz(H) = sup {kz − xk : x ∈ H} < d Suy

ra, tồn tại r ∈ (0, d) sao cho tập hợp

C = {z ∈ H : H ⊂ B [z, r]} 6= φ

Lấy bất kỳ z ∈ C Do F không giãn, ta có F (H) ⊂ B [F z, r], vì vậyconvF (H) ⊂ B [F z, r], ở đây conv biểu thị bao lồi đóng của một tậphợp Vì convF (H) là một tập lồi, đóng trong A nên nó cũng compactyếu và vì

convF (H) ⊂ convH = Hnên

F (convF (H)) ⊂ F (H) ⊂ convF (H)

Vậy convF (H) bất biến đối với F , tức là convF (H) ∈ L

Do convF (H) ⊂ H và H là cực tiểu nên convF (H) = H Từ đây

suy ra H ⊂ B [F z, r], hay F z ∈ C Vì z ∈ C bất kỳ nên F (C) ⊂ C.

Ta sẽ chứng tỏ C là lồi và đóng Thật vậy, cho z1, z2 ∈ C, z =

αz1 + (1 − α)z2 với α ∈ [0, 1] Khi đó, kx − zik ≤ r, i = 1, 2 với mọi

x ∈ H Từ đó kx − zk ≤ r với mọi x ∈ H, nên z ∈ C

Nếu {zn} ⊂ C và zn → z thì từ kx − znk ≤ r, ∀x ∈ H, suy ra

kx − zk ≤ r, ∀x ∈ H

Vậy C lồi, đóng và bất biến đối với F , tức là C ∈ L Vì C ⊂ H và H

là cực tiểu nên C = H Khi đó, với mọi u, v ∈ C = H ta có ku − vk ≤ r

Từ đây

d = diamH = diamC ≤ r < d, (mâu thuẫn) Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = {x∗} Vì H bất biến đối với F

Nguyên lý Brouwer là định lý mở đầu của lý thuyết điểm bất động.Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào công cụ tôpô

và lý thuyết bậc của ánh xạ còn khá phức tạp Dưới đây, chúng ta trìnhbày phương pháp khác theo Knaster, Kuratowski và Mazukiewicz sơ cấphơn để chứng minh nguyên lý này Trước hết, ta nhắc lại một số địnhnghĩa đơn giản

Định nghĩa 2.3.1 Cho M là một không gian tuyến tính Tập hợp Strong M được gọi là một n−đơn hình nếu S = conv {a0, a1, , an} với

a0, a1, , an ∈ M và các vectơ a1− a0, , an− a0 độc lập tuyến tính Cácđiểm ai, i = 1, 2, , n được gọi là các đỉnh; bao lồi của k + 1 đỉnh đượcgọi là k−diện của S Phép tam giác phân một đơn hình S là một phépphân chia S thành các n−đơn hình con Si, i = 1, 2, , m, sao cho hợp

của chúng bằng S và hai đơn hình con nếu giao nhau thì giao phải làmột diện chung của hai đơn hình đó.

Đối với một phép tam giác phân của S, Sperner (1928) đưa ra mộtphép gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0, 1, , ntheo quy tắc sau đây: Nếu conv {ai0, , aik} là diện nhỏ nhất của S chứađỉnh b thì b được gán một trong các số i0, , ik (như vậy đỉnh ai phảiđược gán số i) Ta gọi đó là phép gán số Sperner

Định nghĩa 2.3.2 Một đơn hình được gọi là tốt nếu nó được gán đầy

Ta thừa nhận hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.3.1 (Sperner, 1928) Với phép gán các số Sperner, trong mộtphép tam giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ các đơn hìnhtốt

Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề KKM) Cho đơn hình S = conv {a0, a1, , an}trong Rn và các tập hợp đóng P0, P1, , Pn trong S thoả mãn các điềukiện sau:

Với mỗi tập con I ⊂ {0, 1, , n}, ta có

... lý thuyết điểm bất động: tồn điểm bất? ?ộng ánh xạ dạng co tồn điểm bất động ánh xạ liêntục Theo đó, họ phân loại lý thuyết điểm bất động ánh xạ đơn trịtheo dạng ánh xạ Đó là, điểm bất động ánh... tồn lân cận điểm xbao hàm tập A;

Điểm x gọi điểm tập A, tồn lân cận điểm xkhông chứa điểm tập A;

Điểm x gọi điểm biên tập A, lân cận điểm x đềuchứa điểm thuộc tập A, điểm không thuộc... xạ không giãn khơng có điểm bất động vànếu có điểm bất động khơng thiết (chẳng hạn, ánh

xạ đồng nhất)

Định nghĩa 2.2.2 Tập hợp A ⊂ M gọi có tính chất điểm bất? ?ộng ánh xạ không giãn