Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NGA ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NGA ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội, 2012 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Nguyễn Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Nguyễn Thị Nga Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 5 Chương 1. Các kiến thức cơ bản 8 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ đơn trị 20 2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 24 2.3 Điểm bất động của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 39 3.1 Định lý điểm bất động của Nadler . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Định lý Caristi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Định lý điểm bất động của Ky Fan . . . . . . . . . . . . 47 Chương 4. Ứng dụng 54 4.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại một . . . . . . . . . 54 4.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . 58 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng R n không gian Euclid n - chiều d (x, y) khoảng cách giữa x và y x, y tích vô hướng của x và y x chuẩn của x conv C bao lồi của tập C intC( hay o C ) phần trong của tập C C bao đóng của tập C f −1 hàm ngược của hàm f inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f min f giá trị nhỏ nhất của hàm f max f giá trị lớn nhất của hàm f rge f ảnh của hàm f Gr f đồ thị của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f Fix f tập các điểm bất động của hàm f MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ra đời gần một thế kỷ nay và được phát triển mạnh mẽ trong thập kỷ gần đây. Sự ra đời của Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) và Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng co và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục. Đến những năm 60, Nguyên lý ánh xạ co Banach tiếp tục được mở rộng nghiên cứu theo hai hướng: đưa ra khái niệm co mới, ánh xạ co đa trị và mở rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn. Từ việc tìm ra mối quan hệ giữa ánh xạ co với ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co đã định hướng cho những nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn được rõ ràng hơn. Tuy nhiên, các nhà khoa học cũng chỉ ra được rằng sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn thường gắn với cấu trúc hình học của các không gian Banach, hay các không gian khác như không gian metric siêu lồi, không gian trắc địa v.v. Tiếp đó, mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz với hệ số lớn hơn 1. Khởi đầu, Kakutani đã chỉ ra tồn tại ánh xạ Lip- schitz với hệ số đủ gần 1 trong hình cầu đơn vị đóng của không gian Hilbert mà không có điểm bất động. Sau đó, bằng việc đưa ra khái niệm Lipschitz đều, K. Goebel và W. A Kirk (1973) đã nêu ra mở rộng hợp lý cho ánh xạ không giãn. 6 Song song với sự mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer cũng được phát triển mạnh. Ban đầu, người ta mở rộng kết quả này trên các lớp không gian tổng quát như là: định lý Schauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935) trong không gian lồi địa phương, Sau đó là sự mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), và tiêu biểu là kết quả của Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965), Một điều thú vị là vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kura- towski và Mazurkiewicz đã đưa ra Bổ đề KKM, bổ đề này tương tự với Nguyên lý Brouwer và chỉ cách chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer mà trước đó cách chứng minh của nó khá phức tạp phải dựa vào một số công cụ của tôpô. Sự xuất hiện Bổ đề KKM đã mở ra một hướng nghiên cứu mới là Lý thuyết KKM. Bước ngoặt phát triển của lý thuyết này được đánh dấu bằng việc Ky Fan (1961) đã chứng minh một dạng tượng tự của Bổ đề KKM cho không gian vô hạn chiều, gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM, đây được xem như trung tâm của Lý thuyết KKM. Nhờ đó, nó được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động, lý thuyết biến phân, bài toán kinh tế, Tầm quan trọng của lý thuyết điểm bất động và Lý thuyết KKM trong các ngành toán học khác nhau cũng như những ứng dụng của nó cần được chúng ta nghiên cứu, tìm hiểu kỹ hơn nữa. Chính vì vậy, với sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài “Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm và ứng dụng của lý thuyết điểm bất động để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 7 Tìm hiểu về điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm bất động và một số tính chất. Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động trong bài toán tựa cân bằng và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. [...]... ρ(x0 ) là điểm bất động của F và ta có điều phải chứng minh Tính chất trên đây còn được gọi là "Tính chất điểm bất động (đối với ánh xạ liên tục)" Khi đó, mệnh đề trên thường được phát biểu dưới dạng sau: "Tính chất điểm bất động là một bất biến tôpô" Định lý 2.3.1 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động Chứng minh... toán học đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng co và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục Theo đó, họ phân loại lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đơn trị theo dạng của ánh xạ Đó là, điểm bất động của ánh xạ dạng co, dạng ánh xạ không giãn và dạng ánh xạ liên tục 2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co Ánh xạ dạng co là trường hợp đặc... co yếu và tất cả các phép đẳng cự đều là những ánh xạ không giãn Ta thấy các ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động và nếu có thì điểm bất động không nhất thiết là duy nhất (chẳng hạn, ánh xạ đồng nhất) Định nghĩa 2.2.2 Tập hợp A ⊂ M được gọi là có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ A vào A đều có điểm bất động 25 Khi nghiên cứu điểm bất động của... 2.1.3 ta suy ra F có điểm bất động u và F n x → u với mỗi x ∈ M Điểm bất động u là duy nhất Thật vậy, giả sử còn có v = u cũng là điểm bất động của F , tức là v = F v Khi đó d (u, v) = d (F u, F v) ≤ ϕ (d (u, v)) Theo nhận xét ở phần đầu chứng minh ta có d (u, v) = 0, hay u là điểm bất động duy nhất của F Định lý được chứng minh Định lý 2.1.5 Giả sử (M, d) là không gian metric đầy đủ và F : M → M là một... cận của điểm x đều chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A Tập tất cả các điểm biên của tập A ký hiệu là ∂A; Điểm x gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x Tập tất cả các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A ; 12 Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A, nếu x ∈ A và x không là điểm. .. lân cân của điểm x ∈ M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r nào đấy Nhờ định nghĩa này ta có thể phân loại các điểm trong không gian metric như sau: Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M , điểm x ∈ M : Điểm x gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x bao hàm trong tập A; Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x không chứa điểm nào của tập A; Điểm x gọi là điểm. .. Pi (KKM ) = φ Để chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer, ta cần mệnh đề sau đây: 31 Mệnh đề 2.3.1 Giả sử M là một tập hợp trong một không gian tôpô có tính chất sau: Mọi ánh xạ liên tục F : M → M đều có điểm bất động Nếu M đồng phôi với M thì M cũng có tính chất đó Chứng minh Cho ρ là phép đồng phôi từ M lên M và F : M → M là ánh xạ liên tục Ta cần chứng minh F có điểm bất động Thật vậy, đặt F... bản Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với một không gian nào đó Chính vì vậy việc nghiên cứu toán học, hay tìm lời giải cho các bài toán cụ thể, trước hết ta phải quan tâm tới không gian của bài toán Trong chương này, ta nhắc lại những không gian cơ bản hay gặp khi nghiên cứu giải tích hiện đại và các kiến thức liên quan Phần chi tiết và chứng minh cho các hệ quả có thể tham khảo trong. .. hạn chiều là bắt buộc) Mệnh đề 2.3.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer tương đương với Bổ đề KKM Chứng minh Chỉ cần chứng minh Bổ đề KKM từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Cho S = {a0 , a1 , , an } là một đơn hình và P0 , P1 , , Pn là các tập n i=0 Pi hợp đóng trong S thoả mãn điều kiện (KKM), nhưng = φ Khi đó, với mỗi x ∈ S và mỗi i = 0, 1, , n ta đặt αi (x) = d (x, Pi... có F [B(uN , e)] ⊂ B(uN , e) Suy ra F uN = uN +1 ∈ B(uN , e), và bằng quy nạp ta có F k uN = uN +k ∈ B(uN , e), với mọi k ≥ 0 Như vậy, d(uk , us ) < 2e với mọi s, k ≥ N và ta có {un } là dãy Cauchy Vì M là không gian metric đầy đủ nên dãy này hội tụ, chẳng hạn đến điểm z ∈ M Để chứng tỏ z là điểm bất động của F ta chứng minh bằng phản chứng: nếu d(z, F z) = a > 0, ta có thể chọn un ∈ B(z, a ) sao cho . hiểu về điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu các thông tin trong sách. một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động trong bài toán tựa cân bằng và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NGA ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG