Định lý 3.2.1. (Caristi, 1985). Cho F : M → 2M là một ánh xạ đa trị từ một không gian metric đủ (M, d) vào chính nó, và f : M → [0,+∞]
là hàm số nửa liên tục dưới, khác +∞. Nếu
(∀x ∈ M) (∃y ∈ F x)d(x, y) ≤ f(x)−f(y) (3.4) thì F có một điểm bất động.
Chứng minh. Với mỗi x ta định nghĩa tập
P (x) = {y ∈ M :d(x, y) ≤ f (x)−f (y)}.
Khi x cố định thì hàm f(y) +d(x, y) là hàm nửa liên tục dưới theo
y, cho nên P(x) là tập đóng. Hiển nhiên x ∈ P(x) và cũng dễ thấy nếu y ∈ P(x) thì P(y) ⊂ P(x), vì khi ấy với mỗi z ∈ P(y) ta có
d(y, z) ≤ f(y)−f(z) cho nên d(x, z) ≤ d(x, y) +d(y, z) ≤f(x)−f(y) +
f(y)−f(z) =f(x)−f(z) chứng tỏ z ∈ P(x). Đặt
v(x) = inf
ta có thể viết
(∀y ∈ P(x)) d(x, y) ≤ f(x)−v(x).
Từ đó suy ra với mọi cặp y, z ∈ P(x)
d(y, z) ≤d(x, y) +d(x, z) ≤2(f(x)−v(x)).
Nên
diamP(x) ≤2(f(x)−v(x)). (3.5) Bây giờ, ta xây dựng một dãy {xn} như sau. Lấy tuỳ ý x0 ∈ M, sau đó lấy
x1 ∈ P(x0) sao cho f(x1) ≤ v(x0) + 12,
...,
xn+1 ∈ P(xn) sao cho f(xn+1) ≤ v(xn) + 21n,
...,
Khi ấy, doP (xn+1) ⊂ P (xn)nênv(xn) ≤ v(xn+1)và suy raf (xn+1) ≤
v(xn) + 21n ≤v(xn+1) + 21n.
Vậy 0 ≤ f (xn) − v(xn) ≤ 2n1−1 → 0 khi n → +∞. Do đó theo (3.5) diamP (xn) → 0 (n →+∞). Mà xn+k ∈ P (xn+k−1) ⊂ P (xn−1), cho nên d(xn+k, xn) ≤ diamP (xn−1) → 0 khi n → +∞, chứng tỏ {xn}
là dãy cơ bản trong không gian metric đủ M, cho nên xn → x ∈ M. Do xn ∈ P (xm) với m < n nên cho n → +∞ ta được x ∈ P (xm)
với mọi m, có nghĩa là x ∈ T∞n=0P (xn) và vì diamP (xn) → 0 nên
{x} = T∞n=0P (xn). Với mọi n ta có x∗ ∈ P (xn) nên P (x∗) ⊂ P (xn), nên P (x∗) ⊂ T∞n=0P (xn) = {x∗} và do đó P (x∗) = {x∗}. Nhưng theo (3.4) phải có một y ∈ F (x∗) sao cho y ∈ P (x∗). Vậy y = x∗, có nghĩa
Chứng minh trên còn cho thấy: (∀x 6= x∗)f (x∗) < f (x) +d(x∗, x) vì nếu cóx ∈ M thoả mãn d(x∗, x) ≤ f (x∗)−f (x)thìx ∈ P (x∗), mà ta có
P (x∗) = x∗, cho nên chỉ có thể x = x∗. Ta cũng biết rằng nếu M không compact thì một hàm nửa liên tục dưới f(x) có thể không có điểm cực tiểu trên M, Định lý Caristi cho thấy tuy vậy vẫn có một điểm x∗ xấp xỉ cực tiểu theo nghĩa: Mọi điểm x 6= x∗ đều có f (x) > f (x∗) +d(x, x∗). 3.3 Định lý điểm bất động của Ky Fan
Nối tiếp kết quả của nhà toán học Nhật bản Kakutani trong việc tìm ra định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian hữu hạn chiều, Ky Fan đã mở rộng kết quả này vào không gian vô hạn chiều, và gọi định lý Ky Fan. Trước hết, ta nhắc lại mối quan hệ giữa tính liên tục dưới của hàm số và tính đóng của của tập mức.
Mệnh đề 3.3.1. Một hàm số f : M → [−∞; +∞] là nửa liên tục khi và chỉ khi với mọi δ ∈ R, tập {x ∈ M : f (x) ≤δ} đóng.
Định lý 3.3.1. (Kakutani, 1941). Cho A là một tập hợp lồi, compact trong không gian Rn, F : A → 2A là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, không rỗng. Khi đó, F có điểm bất động.
Chứng minh. Vì A là tập compact nên với mọi n∈ N∗, A có lưới n1−lưới hữu hạn: xn1, xn2, .., xnm. Với mỗi x ∈ A, đặt
ϕni(x) =max 1 n − kx−xnik,0 (i = 1, ..., m).
Hiển nhiên, ϕni là hàm liên tục và không âm trên A. Vì {xni}mi=1 là
1
n-lưới nên với mọi x ∈ A ta có kx−xnik < n1 với ít nhất một i nào đó, do đó ϕni(x) > 0. Vậy Pmj=1ϕnj(x) > 0,∀x ∈ A. Đặt
ψni(x) = Pmϕni(x)
Bây giờ, ta cố định điểm bất kỳ yni ∈ F xni,(i = 1, ..., m) và xây dựng ánh xạ đơn trị liên tục Fn : A →A xác định bởi
Fnxn = Xm
i=1ψni(x)yni.
Vì
yni ∈ A, ψni(x) ≥ 0,Xm
i=1ψni(x) = 1
và từ tính lồi của A suy ra Fnx∈ A. Như vậy, với mọi n ∈ N∗ ta có ánh xạ đơn trị liên tục Fn : A → A. Theo Định lý Schauder, tồn tại xn ∈ A
sao cho Fnxn = xn. Do A là compac, {xn} ⊂ A nên tồn tại dãy con của
{xn} hội tụ, chẳng hạn đến x∗ ∈ A.
Không mất tính tổng quát, ta có thể coi xn →x∗. Ta chứng minh x∗
là điểm bất động của ánh xạ F. Đặt
Uα = F x∗ +B(0, α),
trong đó B(0, α) ={y : kyk< α}, với α > 0. Ta sẽ chỉ ra rằng x∗ ∈ Uα
với mọi α > 0.
Hiển nhiên, Uα là tập mở, lồi và F x∗ ⊂Uα. Vì F là nửa liên tục trên nên tồn tại hình cầu B(x∗, e) = {x : kx−x∗k< e} để F (B(x∗, e)) ⊂
Uα. Do xn → x∗ nên tồn tại N ∈ N sao cho với mọi n ≥ N ta có n1 < e2
và xn ∈ B x∗,2e. Nếu ψni(xn) > 0 thì kxni −xk < 1 n < e 2 và kxni −x∗k ≤ kxni−xnk+kxn−x∗k < e 2 + e 2 = e.
Suy ra, với n≥ N ta có xni ∈ B(x∗, e) với những i mà ψni(xn) > 0. Đối với những i như vậy ta được
Đồng thời
xn = Fnxn = Xm
i=1ψni(xn)yni. (3.7) Từ (3.6) và (3.7) ta thấy, với n ≥ N điểm xn là tổ hợp lồi chỉ của các điểm yni nằm trong Uα nên xn ∈ Uα. Chuyển qua giới hạn khi n → ∞
ta được x∗ ∈ Uα ⊂ U2α. Vậy x∗ ∈ Uα với mọi α > 0. Suy ra x∗ ∈ F x∗. Vì F x∗ là tập đóng nên x∗ ∈ F x∗. Định lý được chứng minh.
Định lý 3.3.2. (Shih, 1986). Cho A là một tập hợp lồi trong không gian vectơ tôpô tách, H là một tập con hữu hạn của A, E : H → 2A là ánh xạ KKM với giá trị mở. Khi đó
\
{Ex :x ∈ H} 6= φ.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý này dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM. Để làm điều đó, ta cần chứng minh tồn tại ánh xạ KKM với giá trị đóng P sao cho P x ⊂ Ex với mọi x ∈ H.
Với mọi y ∈ E(H) = S
{Ex : x ∈ H} ta đặt
Qy = \ Ex :x ∈ H mà y ∈ Ex .
Vì các Ex đều mở và chứa y nên Qy là một lân cận mở của y. Vì không gian vectơ tôpô tách là chính quy nên tồn tại một lân cận mở Uy
của y sao cho
y ∈ Uy ⊂Uy ⊂ Qy.
Hiển nhiên, với mọi tập hợp α ⊂H ta có
E(α) = [{Ex : x ∈ α} ⊂ [{Uy : y ∈ Ex, x ∈ α}
= [{Uy : y ∈ E(α)}.
Vì E là ánh xạ KKM nên
Vì conv(α) compact nên tồn tại tập hợp hữu hạn Bα ⊂ E(α) sao cho
conv(α) ⊂ [{Uy : y ∈ Bα}.
Đặt B = S
{Bα :α ⊂ H}. Vì Bα hữu hạn và H hữu hạn nên B cũng hữu hạn.
Với mỗi x ∈ H ta đặt
P x = [ Uy : y ∈ B, Uy ⊂ Ex
Khi đó, ta có P x đóng và P x ⊂ Ex với mọi x ∈ H. Bây giờ, ta sẽ chứng minh P là ánh xạ KKM.
Thật vây, với mỗi tập hợp α ⊂H và z ∈ conv(α) ta có z ∈ Uy với y
nào đó thuộc Bα ⊂ E(α), tức là y ∈ Ex với x nào đó thuộc α. Khi đó,
Uy ⊂ Qx ⊂ Ex. Vậy theo định nghĩa của P x, ta có z ∈ P x. Vì x ∈ α
và z bất kỳ trong conv(α) nên ta có conv(α) ⊂ P (α), tức là P là ánh
xạ KKM. Định lý được chứng minh.
Bổ đề 3.3.1. ChoM là một không gian tôpô compact và F : M →2M là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng. Khi đó, F(M) là tập compact. Bổ đề 3.3.2. Cho M1 và M2 là hai không gian tôpô compact và F :
M1 → 2M2. Khi đó, F là nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mọi tập đóng B trong M2, tập
F−1(B) = {x ∈ M :F x∩B 6= φ}
là đóng trong M1.
Định lý 3.3.3. (Ky Fan, 1952). Cho A là một tập hợp lồi, compact trong một không gian lồi địa phương tách M, F : A →2A là ánh xạ liên tục trên với giá trị lồi đóng. Khi đó, F có điểm bất động.
Chứng minh. Cho U là một lân cận lồi mở của θ ∈ M. Vì A compact và
F nửa liên tục trên nên theo bổ đề 3.3.1 F(A) là tập compact. Do đó, tồn tại x1, ..., xn ∈ A để
F (A) ⊂[n
i=1(xi +U). (3.8) Đặt Exi = x ∈ A :F x∩ xi+U = φ . Vì xi + U đóng và F là nửa liên tục trên nên theo Bổ đề 3.3.2 Exi là tập mở. Ta có
\n i=1Exi = n x ∈ A : F x∩[n i=1 xi +U = φ o .
Từ (3.8) suy ra Tni=1Exi = φ. Theo Định lý Shih, E không phải là ánh xạ KKM, vậy tồn tại I ⊂ {1,2, ..., n} và
xU ∈ conv{xi : i ∈ I} sao cho xU ∈/ Exi với mọi i ∈ I. Vậy F xU ∩
xi+ U 6= φ với ∀i ∈ I.
K = span{x1, ..., xn}, H = x ∈ K : F xU ∩ x+ U 6= φ .
Theo trên, xi ∈ H với ∀i ∈ I. Vì K, F xU, U đều lồi nên H cũng lồi. Vậy xU ∈ H và ta có F xU ∩ xU + U 6= φ.
Lấy yU ∈ F xU ∩ xU +U, ta có yU ∈ F xU, yU −xU ∈ U. Chọn dãy suy rộng {Uλ} các lân cận của θ ∈ M hội tụ về θ. Vì A compact nên các dãy suy rộng {xλ} và {yλ} có điểm tụ tương ứng là x∗ và y∗. Vì F
là ánh xạ nửa liên tục trên nên y∗ ∈ F x∗. Vì M tách nên x∗ = y∗. Vậy
ta có x∗ ∈ F x∗. Định lý được chứng minh.
Sau đây, chúng ta sẽ đưa ra Định lý Browder - Fan, một trong những định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực tối ưu hoá, phương trình vi phân và tích phân.
Định lý 3.3.4. (Browder - Fan, 1968). Cho A là một tập hợp lồi, com- pact trong một không gian vectơ tôpô tách M, F : A→ 2A là ánh xạ đa trị thoả mãn:
(i) Với mỗi x ∈ A, tập hợp F x là lồi và khác rỗng; (ii) Với mỗi y ∈ A, tập F−1y là mở.
Khi đó, tồn tại x∗ sao cho x∗ ∈ F x∗.
Chứng minh. Vì với mọi x ∈ A, F x 6= φ nên tồn tại y ∈ A để y ∈ F x, tức là x∈ F−1y. Vậy miền giá trị của ánh xạ F−1 là A, hay
A= [
x∈A
F−1x.
Do A là compact nên tồn tại n điểm x1, .., xn ∈ A sao cho
A = [n
i=1F−1xi.
Giả sử H là không gian con tuyến tính của M sinh bởi {x1, .., xn} và
d là khoảng cách trên H tương thích với tôpô cảm sinh từ M. Ký hiệu
Ω =conv{x1, ..., xn}, Pi = A\F−1xi, Qi = Pi ∩H.
Khi đó,Qi là tập đóng trong M vì H là đóng trongM, Pi đóng trong
A và A đóng trong M. Đặt µi(x) = d(x, Qi),∀x ∈ A. Ta có µi(x) > 0
khi và chi khi x /∈ Qi. Với mỗi x ∈ A tồn tại i,1 ≤ i ≤ n sao cho
x ∈ F−1xi, tức là x /∈ Qi, hay µi(x) > 0 . Vì vậy Pnj=1µj(x) > 0 với mọi x ∈ A. Xét ánh xạ αi : A →[0,1] xác định bởi
αi(x) = Pnµi(x)
j=1µj(x),(i = 1, ..., n).
Hiển nhiên, các hàmαi đều liên tục,Pni=1αi(x) = 1và αi(x) > 0khi và chỉ khi x ∈ F−1xi. Ta xét ánh xạ t: Ω → Ω với t(x) = Pni=1αi(x)xi. Vì t là liên tục và Ω là tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều nên theo nguyên lý Brouwer tồn tại x∗ ∈ Ω sao cho x∗ = t(x∗). Nhưng
t(x∗) =Xn
i=1αi(x∗)xi = X
i∈Iαi(x∗)xi,
trong đó
Do F x∗ là các tập lồi, các xi ∈ F x∗ và X
i∈I αi(x∗) =Xn
i=1αi(x∗) = 1
Ứng dụng
4.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại một
Ta xét bài toán thực tế sau: cho cơ sở sản xuất hàng tiêu dùng A và cơ sở tiêu thụ B có quan hệ hợp tác với nhau. Cơ sở A có tập chiến lược
K, cơ sở B có tập chiến lược H. Chiến lược của người lãnh đạo mỗi cơ sở quyết định nhiều đến sự thành công hay thất bại của mỗi cơ sở đó. Với mỗi chiến lược x thuộc K và y thuộc H, lãnh đạo cơ sở A có tập chỉ đạo S(x, y), lãnh đạo cơ sở B có tập chỉ đạo T(x, y). Mục đích của mỗi cơ sở là tìm một phương án sản xuất thông qua chỉ đạo của lãnh đạo cơ sở mình và đối tác để sản xuất của mình luôn được cân bằng, tức có mục tiêu và sản xuất ổn định. Ta có thể mô hình hoá bài toán trên như sau:
Bài toán: Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, các tập con K ⊆
X, H ⊆ Z. Cho các ánh xạ đa trị
S : K ×H → 2K, T : K ×H → 2H, F : H ×K ×K ×K →2Y
với giá trị khác rỗng. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho: (i) x ∈ S(x, y);
(ii) y ∈ T (x, y);
(iii) 0∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ S(x, y)
được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, ký hiệu là (GQEP)I. Các ánh xạ S, T gọi là ràng buộc, F được gọi là ánh xạ muc tiêu.
4.2 Một số bài toán liên quan
Ta thấy, trong bài toán trên F là ánh xạ với 4 biến. Khi ánh xạ F
khác nhau sẽ dẫn đến các bài toán khác nhau. Từ việc định nghĩa ánh xạ mục tiêu F thích hợp, bài toán tựa cân bằng tổng quát là sự mở rộng, tổng quát của các lớp bài toán như bài toán tựa cân bằng với biến ràng buộc phụ thuộc vào một tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị.
Dưới đây, ta đưa ra một số ví dụ minh hoạ sự mở rộng của bài toán
(GQEP)I đối với các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
(1) Bài toán tựa tối ưu loại I. Cho G : H ×K ×K → R là hàm số. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) G(y, x, z) ≥ G(y, x, x), với mọi z ∈ S(x, y)
hoặc,
G(y, x, x) = min
z∈S(x,y)G(y, x, z)
được gọi là bài toán tựa tối ưu loại I. Ta định nghĩa các ánh xạ
M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×K ×K → 2X
như sau
M (y, x, z) ={t ∈ K|G(y, x, z) ≥G(x, y, t)},(y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K.
Khi đó, bài toán trên sẽ đưa về bài toán: tìm (x, y) ∈ K × H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(2)Bài toán tựa cân bằng vô hướng. Cho hàm sốg : H×K×K →Rthoả mãn g(y, x, x) = 0, với mọi x ∈ K, y ∈ H. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H
sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) g(y, x, z) ≥ 0 với mọi z ∈ S(x, y)
gọi là bài toán tựa cân bằng vô hướng và được đưa về bài toán(GQEP)I, trong đó các ánh xạ
M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×K ×K → 2X
được định nghĩa bởi
M (y, x, z) = {t∈ K|g(y, x, z) ≥g(y, x, t)},(y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K.
(3) Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I. Gọi R(y, x, t, z) là một quan hệ bốn ngôi của y ∈ H, x, t, z ∈ K. Quan hệ R có thể là đẳng thức, bất đẳng thức của một hàm số hoặc hợp, giao của các ánh xạ đa trị. Xét bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) R(y, x, x, z) xảy ra với mọi z ∈ S(x, y)
được gọi là bài toán tựa quan hệ biến phân loại I. Nếu định nghĩa các ánh xạ M : H ×K ×K →2X, F : H ×K ×K ×K → 2X bởi
M (y, x, z) =t∈ K| tồn tại quan hệ R(y, x, t, z)
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K,
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z), với (y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K,
thì bài toán trên sẽ trở thành bài toán (GQEP)I.
là các ánh xạ đa tri xác định trên H ×K ×K với giá trị trong không gian Y. Gọi C : H ×K → 2Y là ánh xạ đa trị với giá trị là nón lồi khác rỗng. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) P (y, x, z) ⊆ Q(y, x, x) +C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y),
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I. Ta định nghĩa các ánh xạ M : H×K×K →2X, F : H×K×K×K →2X
như sau
M (y, x, z) ={t ∈ K|P (y, x, z) ⊆ Q(y, x, t) +C(y, x)}
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z), với (y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K,
thì bài toán trên được đưa về bài toán (GQEP)I.
(5) Bài toán tựa cân bằng vectơ. Cho ánh xạ Q : H ×K ×K → 2Y với giá trị khác rỗng, C : H ×K → 2Y là ánh xạ với giá trị là nón lồi khác rỗng thoả mãn Q(y, x, x) ⊆ C(y, x), với mọi (y, x, x) ∈ H ×K×K. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) Q(y, x, z) ⊆ C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y), được gọi là bài toán tựa cân bằng vectơ.
Định nghĩa các ánh xạ đa trị M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×
K ×K → 2X bởi
M (y, x, z) ={t∈ K|Q(y, x, z) ⊆Q(y, x, t) +C (y, x)}
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K;
Khi đó, bài toán trên được đưa về bài toán (GQEP)I.
(6) Bài toán tựa quan hệ biến phân suy rộng. Cho các ánh xạ đa trị
C : H ×K ×K ×K → 2Y, Q : H ×K ×K ×K → 2Y với giá trị khác rỗng. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) αi(Q(y, x, x, z),C(y, x, x, z)) với mọi z ∈ S(x, y), trong đó αi là các quan hệ được xác định bởi
α1 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M 6⊂N ;
α2 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M ⊆N ;
α3 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M ∩N 6= φ ;