Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán trên, các nhà khoa học đã đi tìm điều kiện trên các tập K, H và các ánh xạ S, T, F để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I có nghiệm. Từ đó, ta suy ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu. Một trong những phương pháp được đưa ra là sử dụng các định lý điểm bất động hoặc Bổ đề KKM.
phương, K ⊆ X, H ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Các ánh xạ S, T, F
được xác định như trên. Ta có đinh lý sau.
Định lý 4.3.1. Cho K ⊆ X, H ⊆Z là các tập con lồi chấp nhận được. Giả sử rằng:
(i) S là ánh xạ liên tục, compact với giá trị đóng; (ii) T là ánh xạ compact lồi;
(iii) Với mỗi (x, y) ∈ K × H cố định, tồn tại t ∈ S(x, y) sao cho
0∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y); (iv) Với mỗi (y, x) ∈ H ×K, tập
A= t ∈ S(x, y)|0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y)
là tập lồi;
(v) F là ánh xạ đóng.
Khi đó, bài toán (GQEP)I có nghiệm.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : H ×K → 2K như sau:
M (y, x) = t ∈ S(x, y)|0∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y)
với (x, y) ∈ K ×H.
Từ các điều kiện (iii) và (iv) ta suy ra M(y, x) là tập lồi khác rỗng với mọi (x, y) ∈ K ×H.
Tiếp theo, ta chứng minh M là ánh xạ đóng. Thật vậy, giả sử xβ →
x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ), tβ → t, ta chỉ ra t ∈ M(y, x). Từ tβ ∈
M (yβ, xβ), ta có tβ ∈ S(xβ, yβ) và 0 ∈ F (yβ, xβ, tβ, z) với mọi z ∈
S(xβ, yβ). Do S nửa liên tục trên với giá trị đóng nên S là ánh xạ đóng, vì vậy với tβ ∈ S(xβ, yβ), tβ → t dẫn đến t ∈ S(x, y). Mặt khác, từ giả thiết S là nửa liên tục dưới và xβ → x ta suy ra với bất kỳ z ∈ S(x, y), tồn tại zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho zβ → z. Vì vậy,
Do(yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z) và F là ánh xạ đóng, kết hợp với (4.1) ta có 0∈ F (y, x, t, z)với mọi z ∈ S(x, y). Điều này chứng tỏt ∈ M(y, x)
và ta kết luận M là ánh xạ đóng.
Định nghĩa ánh xạ L : K ×H → 2K×H bởi
L(x, y) =M (y, x)×T (x, y),(x, y) ∈ K ×H.
Dễ thấy rằng, vì M là ánh xạ đóng với giá trị compact lồi nên M
là ánh xạ compact. Tích Descarter của hai ánh xạ compact cũng là ánh xạ compact, cho nên L là ánh xạ compact với ảnh khác rỗng, lồi đóng. Theo định lý điểm bất động Ky Fan, tồn tại điểm (x, y) ∈ K × H sao cho (x, y) ∈ L(x, y) =M (y, x)×T (x, y). Nghĩa là: (i) x ∈ S(x, y);
(ii) y ∈ T (x, y);
(iii) 0 ∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ S(x, y). Vậy định lý được chứng
minh.
Dưới đây, ta trình bày một số hệ quả khi áp dụng định lý 4.3.1. Hệ quả 4.3.1. Cho K là tập con lồi, compact, khác rỗng của X và H
là tập con lồi chấp nhận được của Z. Cho các ánh xạ đa trị
T : K ×H →2H, Q : K ×H ×H →2X.
Giả thiết các điều kiện sau thoả mãn: (i) T là ánh xạ compact lồi;
(ii) Với mỗi điểm(x, y) ∈ K×H cố định, ánh xạ Q(y, x, .) : K → 2K
là KKM;
(iii) G là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với mỗi điểm (x, y) ∈
K ×H cố định, tập
A= t ∈ K|t∈ Q(y, x, z), với mọi z ∈ K
là lồi.
(1) y ∈ T (x, y);
(2) x ∈ Q(y, x, z) với mọi z ∈ K.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ F : K ×H ×H ×H →2X bởi
F (y, x, t, z) =t−Q(y, x, z),(y, x, t, z) ∈ K ×H ×H ×H. TừQ(y, x, .) là ánh xạ KKM,Q đóng nên Qcó giá trị đóng, áp dụng Bổ đề Fan - KKM ta có \ z∈K Q(y, x, z) 6= φ.
Vì vậy, tồn tại t ∈ Q(y, x, z) với mọi z ∈ K. Do đó 0 ∈ F (y, x, t, z)
với mọi z ∈ K.
Từ điều kiện (iii) ta có tập t ∈ K|0∈ F (y, x, t, z), với mọi z ∈ K
= t∈ K|t ∈ Q(y, x, z), với mọi z ∈ K = A là tập lồi.
Do Q là ánh xạ đóng kéo theo F là ánh xạ đóng. Theo định lý 4.1.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(1) y ∈ T (x, y);
(2) 0 ∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ K. Nghĩa là x ∈ Q(y, x, z) với mọi
z ∈ K.
Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 4.3.2. Cho K, H, T như trong Hệ quả 4.1.1 và ánh xạ Q :
H ×K ×K → 2X. Giả thiết các điều kiện sau thoả mãn: (i) T là ánh xạ nửa liên tục trên;
(ii) Với mỗi điểm (y, x) ∈ H × K cố định, ta định nghĩa ánh xạ
P : K →2K bởi P (t) =x−Q(y, x, t), t ∈ K là KKM;
(iii) Q là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với mỗi điểm (x, y) ∈
K ×H cố định, tập
là lồi.
Khi đó, tồn tại điểm (x, y) ∈ K ×H sao cho: (1) y ∈ T (x, y);
(2) 0∈ Q(y, x, z) với mọi z ∈ K.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ F : H ×K ×K ×K → 2X như sau
F (y, x, t, z) = t−x+ Q(y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K.
Do ánh xạ x−Q(y, x, .) là KKM cho nên \
z∈K
(x−Q(y, x, z)) 6= φ.
Vì vậy, tồn tại điểm t ∈ K thoả mãn t ∈ (x−Q(y, x, z)) với mọi
z ∈ K. Điều này dẫn đến
0 ∈ t−x+Q(y, x, z) với mọi z ∈ K.
Do đó, tồn tại t∈ K sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ K. Tập t ∈ K|0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ K
= t ∈ K|t∈ x−Q(y, x, z) với mọi z ∈ K
= A là lồi.
Hơn nữa,F là ánh xạ đóng do Q là ánh xạ đóng. Theo Định lý 4.1.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ K ×H thoả mãn:
(1) y ∈ T (x, y);
(2) 0∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ K.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các kiến thức cơ bản về điểm bất động theo trình tự lịch sử phát triển của nó và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng. Cụ thể
Chương 1: Nhắc lại một số không gian cơ bản hay gặp khi nghiên cứu giải tích và các tính chất liên quan.
Chương 2: Giới thiệu một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị, cụ thể là các ánh xạ dạng co, dạng không giãn, dạng liên tục.
Chương 3: Trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trị như: Định lý điểm bất động của Nadler, Định lý Caristi, Định lý điểm bất động của Ky Fan.
Chương 4: Trên cơ sở xây dựng các khái niệm và các tính chất điểm bất động của ánh xạ đơn trị và đa trị, chương này nghiên cứu các ứng dụng của nó trong bài toán tựa cân bằng.
Với phạm vi luận văn và thời gian cũng như khả năng còn hạn chế, việc nghiên cứu lý thuyết điểm bất động và các ứng dụng của nó còn cần được nghiên cứu sâu hơn để tìm được nhiều hơn các kết quả ứng dụng trong giải tích cũng như thực tế cuộc sống.