Ta thấy, trong bài toán trên F là ánh xạ với 4 biến. Khi ánh xạ F
khác nhau sẽ dẫn đến các bài toán khác nhau. Từ việc định nghĩa ánh xạ mục tiêu F thích hợp, bài toán tựa cân bằng tổng quát là sự mở rộng, tổng quát của các lớp bài toán như bài toán tựa cân bằng với biến ràng buộc phụ thuộc vào một tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị.
Dưới đây, ta đưa ra một số ví dụ minh hoạ sự mở rộng của bài toán
(GQEP)I đối với các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
(1) Bài toán tựa tối ưu loại I. Cho G : H ×K ×K → R là hàm số. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) G(y, x, z) ≥ G(y, x, x), với mọi z ∈ S(x, y)
hoặc,
G(y, x, x) = min
z∈S(x,y)G(y, x, z)
được gọi là bài toán tựa tối ưu loại I. Ta định nghĩa các ánh xạ
M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×K ×K → 2X
như sau
M (y, x, z) ={t ∈ K|G(y, x, z) ≥G(x, y, t)},(y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K.
Khi đó, bài toán trên sẽ đưa về bài toán: tìm (x, y) ∈ K × H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(2)Bài toán tựa cân bằng vô hướng. Cho hàm sốg : H×K×K →Rthoả mãn g(y, x, x) = 0, với mọi x ∈ K, y ∈ H. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H
sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) g(y, x, z) ≥ 0 với mọi z ∈ S(x, y)
gọi là bài toán tựa cân bằng vô hướng và được đưa về bài toán(GQEP)I, trong đó các ánh xạ
M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×K ×K → 2X
được định nghĩa bởi
M (y, x, z) = {t∈ K|g(y, x, z) ≥g(y, x, t)},(y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K.
(3) Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I. Gọi R(y, x, t, z) là một quan hệ bốn ngôi của y ∈ H, x, t, z ∈ K. Quan hệ R có thể là đẳng thức, bất đẳng thức của một hàm số hoặc hợp, giao của các ánh xạ đa trị. Xét bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) R(y, x, x, z) xảy ra với mọi z ∈ S(x, y)
được gọi là bài toán tựa quan hệ biến phân loại I. Nếu định nghĩa các ánh xạ M : H ×K ×K →2X, F : H ×K ×K ×K → 2X bởi
M (y, x, z) =t∈ K| tồn tại quan hệ R(y, x, t, z)
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K,
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z), với (y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K,
thì bài toán trên sẽ trở thành bài toán (GQEP)I.
là các ánh xạ đa tri xác định trên H ×K ×K với giá trị trong không gian Y. Gọi C : H ×K → 2Y là ánh xạ đa trị với giá trị là nón lồi khác rỗng. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) P (y, x, z) ⊆ Q(y, x, x) +C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y),
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I. Ta định nghĩa các ánh xạ M : H×K×K →2X, F : H×K×K×K →2X
như sau
M (y, x, z) ={t ∈ K|P (y, x, z) ⊆ Q(y, x, t) +C(y, x)}
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K;
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z), với (y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K,
thì bài toán trên được đưa về bài toán (GQEP)I.
(5) Bài toán tựa cân bằng vectơ. Cho ánh xạ Q : H ×K ×K → 2Y với giá trị khác rỗng, C : H ×K → 2Y là ánh xạ với giá trị là nón lồi khác rỗng thoả mãn Q(y, x, x) ⊆ C(y, x), với mọi (y, x, x) ∈ H ×K×K. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) Q(y, x, z) ⊆ C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y), được gọi là bài toán tựa cân bằng vectơ.
Định nghĩa các ánh xạ đa trị M : H ×K ×K → 2X, F : H ×K ×
K ×K → 2X bởi
M (y, x, z) ={t∈ K|Q(y, x, z) ⊆Q(y, x, t) +C (y, x)}
với (y, x, z) ∈ H ×K ×K;
Khi đó, bài toán trên được đưa về bài toán (GQEP)I.
(6) Bài toán tựa quan hệ biến phân suy rộng. Cho các ánh xạ đa trị
C : H ×K ×K ×K → 2Y, Q : H ×K ×K ×K → 2Y với giá trị khác rỗng. Bài toán: tìm (x, y) ∈ K ×H sao cho:
(i) x ∈ S(x, y); (ii) y ∈ T (x, y);
(iii) αi(Q(y, x, x, z),C(y, x, x, z)) với mọi z ∈ S(x, y), trong đó αi là các quan hệ được xác định bởi
α1 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M 6⊂N ;
α2 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M ⊆N ;
α3 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M ∩N 6= φ ;
α4 = (M, N) ∈ 2Y ×2Y|M ∩N = φ ,
được gọi là bài toán tựa quan hệ biến phân suy rộng. Nếu ta định nghĩa các ánh xạ M : H ×K ×K →2K, F : H ×K ×K ×K →2Y bởi
M (y, x, z) ={t∈ S(x, y)|αi(Q(y, x, t, z),C (y, x, t, z))};
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z),(y, x, t, z) ∈ H ×K ×K ×K,
thì bài toán trên được đưa về bài toán (GQEP)I.