Một số phương pháp giải phương trình bậc ba

Khóa luận tốt Trờng ĐHSP Hà Nội M U Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông mơn Tốn giữ vị trí quan trọng giúp học sinh học tốt hầu hết môn học, công cụ nhiều ngành khoa học kĩ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn đời sống Muốn học giỏi nói chung học giỏi Tốn nói riêng phải luyện tập, thực hành nhiều nghĩa ngồi việc nắm rõ lý thuyết em phải làm nhiều tập Đối với học sinh tập nhiều đa dạng thời gian hạn hẹp đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc tốn hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư toán học Trong mơn Tốn phương trình giữ vị trí quan trọng đối tượng nghiên cứu Đại số mà cơng cụ đắc lực Giải tích Nó giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản Đa phần em làm quen với phương trình bậc bậc hai phương trình bậc cao em làm quen Ngày phương trình bậc ba, bậc bốn giải thức Xong phổ thông nghiệm phức đưa vào mức độ giới thiệu, việc áp dụng cách giải cho em dễ hiểu dễ nắm bắt vấn đề Với lý với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ tận tình giáo Nguyễn Thị Bình, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình bậc ba” để làm khóa luận tốt nghiệp với mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp mơn Tốn qua việc giải phương trình bậc ba Mục đích nghiờn cu Trơng Thị K33C - Toỏn Bc u làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu phương trình bậc ba Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải phương trình bậc ba tổng quát - Tìm số phương pháp giải phương trình bậc ba thường dùng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình bậc ba - Phạm vi nghiên cứu : + Kiến thức đa thức + Phương trình bậc ba tổng quát số phương trình bậc ba thường gặp Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Phương pháp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận em gồm hai chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình bậc ba số phương pháp giải Chƣơng NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.Vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Giả sử A vành giao hốn có đơn vị P tập hợp dãy số vô hạn (a0 , a1, , a n , ) , hạng tử Hai phần tử A, i N số hữu hạn (a0 , a1, , a n , ) xem bi , (b0 ,b1, ,b n , ) P i Phép cộng phép nhân P định nghĩa bởi: i) (a0 , a1, , an , ) (b0 ,b1, ,bn , ) (a0 b0 , a1 b1, , an bn , ) ii) (a0 , a1, , an , ).(b0 ,b1, ,bn , ) (c0 ,c1, ,cn , ) với ck i j k aibj ,k 0,1, 2, Tập P với hai phép toán lập thành vành giao hốn có đơn vị Ánh xạ A P a a (a,0, ,0, ) đơn cấu, ta đồng phần tử a (a,0, ,0, ) Đặt x (a0 , a1, , a n , ) A với phần tử P A vành P (0,1,0, ,0, ) Khi đó, phần tử P dãy với A, i N viết dạng: Nếu an Kí hiệu n 0(n 0) n gọi bậc đa thức f (x) deg f (x) Đa thức không đa thức khơng có bậc bậc gọi vành đa thức ẩn x A Kí hiệu P A x Vành P 1.2 Phép chia đa thức 1.2.1 Phép chia với dƣ f (x) Định lí : Giả sử A trường, g(x) hai đa thức vành A x ; có hai đa thức q(x) r(x) thuộc A x cho f (x) g(x).q(x) r(x) , với deg r(x) deg g(x) r(x) Hệ quả: f (x) chia hết cho g(x) dư phép chia f cho (x) g(x) 1.2.2 Lƣợc đồ Horner Cho đa thức f (x) A x f (x) a0 xn a1x n an 1xan , A Giả sử thương phép chia f cho ) A x (x) (x n n q(x) b0 xb x b , bi A , i 0, n n Suy n a0 axn1x a 1xa n n (x n n )(b0 xb x b ) n f( ) So sánh hệ tử lũy thừa giống x hệ thức ta lập bảng sau a0 a1 b0 a0 b0 a1 b0 an bn an an bn r an bn 1.3 Nghiệm đa thức 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử K trường đó, A trường K Một phần tử K gọi nghiệm đa thức f( ) f (x) A x Ta nói nghiệm phương trình đại số f (x) K Nếu deg f (x) n phương trình f (x) gọi phương trình đại số bậc n(n 1) 1.3.2 Định lí (Bozout) Cho A trường, phép chia P(x) cho x A, P(x) A[x] Khi dư P( ) Chứng minh Giả sử P(x) r(x) ).q(x) r(x) r(x) , (x Nếu r(x) deg r(x) r(x) deg(x )1 Suy r A Ta có P( ) r r Trong trường hợp phần dư phép chia P(x) cho x r P( ) Nếu r(x) P(x) ).q(x) Khi (x Hệ : Cho P(x) K[x] , P( ) K Khi đó: P(x) chia hết cho x nghiệm P(x) K 1.3.3 Nghiệm bội Định nghĩa Cho đa thức P(x) a0xn a1xn axan n Nếu P(x) có biểu diễn dạng P(x) (x Trong đó: )m (x P(x)M(x ) )m (x k )m k A[x] , , , m1, m2 , , k đôi khác số tự nhiên m1 m2 mk mk n Khi m1, m2 , , mk , , k gọi bội tương ứng nghiệm Người ta gọi nghiệm P(x)M (x , đa thức P(x) nghiệm bội bậc m )m không chia hết (x )m Nhận xét: c A nghiệm bội m đa thức f (x) A[x ] c)1 f (x) (x c)m.g(x) với (g(x), x Chú ý: Giả sử A miền nguyên, số nghiệm đa thức f (x) A[x] , nghiệm tính với số bội khơng vượt q bậc f (x) Nếu hai đa thức f (x), g(x) A[x có bậc n lấy giá trị ] n phần tử khác miền nguyên A chúng 1.3.4 Một số định lí tồn nghiệm đa thức Định lí Mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực có nghiệm thực Định lí (Định lí bản) Mọi đa thức f bậc (x) n trường số phức (hay thực) có n nghiệm phức, nghiệm tính với bội Định lí Cho f (x), g(x),deg f (x) m g(x) có m nghiệm A Khi f (x)Mg(x) f (x) nghiệm bội c g(x) nghiệm bội k ' f với k ' k (x) Giả sử f (x)Mg(x) Khi Chứng minh f (x) g(x).h(x) Nếu g(x) (x )k q(x) nghiệm bội k g(x) thì f (x) )k q(x).h(x) Suy (x nghiệm bội k ' f ( k k ) (x) ' 1, , ,(là micác Ngược lại: Nếu tất nghiệm g(x) nghiệm bội k liệt kê k lần) Ví dụ 12: Giải phương trình sau: a 2x x2 5x c 3x 8x2 2x b 2x e x d x x 2x2 x2 2x 2 4x Giải a Nhận xét: a b c d phương trình có nghiệm x Biến đổi phương trình dạng: (x 1)(2x 3x 2) x10 2x2 x x 3x Vậy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x 1, x b Nhận xét: a b c d x 2, x 2 phương trình có nghiệm x Biến đổi phương trình dạng: (x 1)(2x2 2x 3) x1 x2 2x Vậy phương trình có nghiệm x x 1 c Nhận xét: a có ước 1, d có ước 1, phương trình có nghiệm hữu tỉ giá trị 1, 2, ,2 33 Nhận thấy x nghiệm phương trình Biến đổi phương trình dạng: (3x 2)(x 2x 2) 3x 20 x2 2x 2 x x 2,x Vậy phương trình có ba nghiệm phân biết x 3, x d Nhận xét: ac3 1.(2)3 2bd Do phương trình có nghiệm x c b Biến đổi phương trình dạng: (x 2)[x2 ( 1)x 2] x x2 Vậy phương trình có nghiệm x ( 1)x 2 e Nhận xét: a 1,b3 4bc 8d Do phương trình có nghiệm x b x Biến đổi phương trình dạng (x 1)(x Do x x 3) x với x nên phương trình có nghiệm x Chú ý Khi thành thạo phương pháp nhẩm nghiệm ta không cần nêu nhận xét lời giải cho phương trình Nếu phương pháp nhẩm nghiệm khơng có tác dụng ta vận dụng kiến thức phân tích đa thức Ví dụ 13: Giải phương trình: x3 3x 7x Giải: Biến đổi phương trình dạng x3 3x x2 (x (x3)(x2 7x 3) 3x(x 3x1) (x3 3x 3) (x 3) x x2 3x 6x x x x 0 30 3x1 Vậy phương trình có có ba nghiệm phân biệt x 3, x 3 2 BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: 4x x 3 10x2 5x2 4x 6x1 36x 7x 10x2 6x1 2x x 3 12x2 3x2 5x2 5x1 4x1 7x 0 Bài 2.Giải phương trình sau: x3 7x2 8x4 x 8x 27x2 4x5 6x2 0 x3 12x2 4x9 x3 15x2 4x7 x3 3x2 2x10 Bài Giải phương trình sau: 4x3 36x2 84x20 x3 18x15 0 x3 x6 x3 3x2 6x4 Bài Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình sau: x3 6x215x 140 2x3 3x26x40 x3 6x2 x60 Bài Giải phương trình sau: 8x3 x 36x270 x10 x3x3 10 x10 x3 Bài Tìm tất nghiệm x 64x 96x4 36x230 0, phương trình: 1)(8x48x21)0 x(2x2 KẾT LUẬN Phương trình bậc ba phần kiến thức mở rộng chương trình phổ thơng Ta thường hay gặp tốn kì thi đặc biệt kì thi học sinh giỏi Olympic tốn học Trong khóa luận tơi trình bày cách chi tiết phương trình bậc ba tổng quát dạng hay gặp Tuy nhiên nhỏ so với kiến thức phương trình Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập tốn Từ giúp bạn đọc hiểu sâu hơn, rộng phương trình bậc cao đa thức Do thời gian lực thân hạn chế Đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu thầy bạn u tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Xn Sính (1982), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội Trần Phương, Lê Hồng Đức (2010), Đại số sơ cấp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Đậu Thế Cấp, Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí(NXB Hà Nội) Tạp chí tốn học tuổi trẻ-Quyển 2(NXBGD) Lời cảm ơn Trong trình làm khóa luận, em nhận đợc giúp đỡ, bảo tận tình cô giáo Nguyễn Thị Bình Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nhân đây, em xin đợc cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số, khoa Toán thầy cô trờng ĐHSP Hà Nội 2, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để khóa luận đợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trơng Thị Lâm Lời cam đoan Khóa luận em đợc hoàn thành dới hớng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Bình cố gắng thân Trong suốt trình nghiên cứu thực khóa luận này, em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trơng Thị Lâm MC LC Trang MỞ ĐẦU -1 Chƣơng 1: NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn -3 1.2 Phép chia đa thức -4 1.2.1 Phép chia với dư -4 1.2.2 Lược đồ Hoorne -4 1.3 Nghiệm đa thức 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định lí Bozut -5 1.3.3 Nghiệm bội -5 1.3.4 Một số định lí tồn nghiệm đa thức -6 1.3.5 Công thức Viet -7 2.Phƣơng trình ẩn 2.1 Khái niệm phương trình ẩn 2.2 Phương trình tương đương phép biến đổi tương đương -9 2.2.1 Phương trình tương đương -9 2.2.2 Phép biến đổi tương đương Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA 2.1 Bài tốn (Giải phương trình 4x 3x m ) 14 2.2 Bài toán (Giải phương trình 4x 3x m ( 1) ) 16 m 2.3 Bài tốn (Giải phương trình 4x3 2.4 Bài tốn (Giải phương trình x 3x m px q m ( 1) ) 18 0) 20 2.5 Bài tốn (Giải phương trình ax bx cx ) - 27 d BÀI TẬP 42 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO -44 ... sâu phương trình bậc ba Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải phương trình bậc ba tổng quát - Tìm số phương pháp giải phương trình bậc ba thường dùng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương. .. số khác Ta ln giả sử a khác khơng.Có thể giải phương trình bậc ba thức MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA 2.1 Bài tốn 1: Giải phương trình: 4x3 3x m (1) PHƢƠNG PHÁP CHUNG Thực theo ba. .. nghiên cứu: Phương trình bậc ba - Phạm vi nghiên cứu : + Kiến thức đa thức + Phương trình bậc ba tổng quát số phương trình bậc ba thường gặp Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài