phương pháp giải một số phương trình bằng cách ghép biến đổi thông thường và đặt ẩn phụ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI THÔNG THƯỜNG VÀ ĐẶT ẨN PHỤ A.. ĐĂÏT VẤN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh về môn toán, ta hay gặp một số dạng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁC PHÉP

BIẾN ĐỔI THÔNG THƯỜNG VÀ ĐẶT ẨN PHỤ

A ĐĂÏT VẤN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh về môn toán, ta hay gặp một số dạng bài tập mà nếu chỉ sử dụng các phương pháp truyền thống như đại đa số học sinh phổ thông đả biết thì rất khó khăn Có khi không giải được,vì thường dẫn tới một phương trình bậc ba hay bậc bốn đầy đủ không có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ Tuy nhiên nếu trước đó ta thực hiện một vài phép biến đổi đơn giản rồi dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì sẻ dẫn tới một phương trình quen thuộc mà các em đều đã biết cách giải Qua tham khảo các tài liệu tôi xin đề xuất một số dạng bài toán như vậy Trong mỗi dạng tôi có đưa ra một số ví dụ có lời giải chi tiết, sau đó trình bày cách giải tổng quát rồi đưa thêm các bài tập để các em áp dụng

B NỘI DUNG

I Dạng

2 2

2

( 0)

m ax b x m c kax bx kc

d ac pax b x pc nax b x nc

+ +

Ví dụ 1 Giải phương trình :

4

1

+ + - + (1)

Giải

- Điều kiện x ¹ 1

- Nếu khử mẫu ta được phương trình bậc bốn đầy đủ không có nghiệm đặc biệt nói chung học sinh phổ thông không giải được Để giải dạng toán này

ta tiến hành như sau:

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của (1) ”Chia tử và mẫu từng phân số vế trái cho x”

Þ (1) Û 4 1 1

+ + + - (2)

Đặt : t x 1

x

= + ( | t | ≥ 2 )

Þ (2)trở thành :

2 1

t

t + t = Û - + =

Û t =1 (loại ) hoặc t = 5

T = 5 Þ (1) Ûx 1 5

x

2

Đáp số: Phương trinh có nghiệm 5 2 1

2

x = ±

Ví dụ 2: Giải phương trình:

1

+ - + - (1)

Giải Điều kiện

{ 2 2

x x

+ - ¹

Học sinh có thể nghỉ tới cách đặt t = x2 - 2 nhưng không thể được và cách giải cũng phải tiến hành tương tự như trên:

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của (1) ”Chia tử và mẫu từng phân số vế trái cho x”

Þ (1) Û

1

- + - + ( 2 )

Đặt t x 1

x

= + (| t | ≥2 )

Þ (2) trở thành : 1

t + t = + + Û t2 = 2 Û t = ± 2

- Với t= 2

1

x

2

x x

2

(Thoả mãn điều kiện)

- Với t = - 2 (1 ) x 1 2

x

Û 2

2

x = - ±

(Thoả mãn điều kiện)

Đáp số : 2 10

2

x= ±

và 2 10

2

x = - ±

Tổng quát: Phương trình dạng:

2 2

2

d ac

Ta có phương pháp giải như sau:

- Xét x= 0 thay trực tiếp vào (1) rồi suy ra kết luận

- Nếu x ¹ 0 ”Chia tử và mẫu từng phân số vế trái cho x”

2

(1)

Đặt: t = ax + c

x (2) trở thành :

k t b

d

+ +

Là một phương trình giải được bằng cách chuyễn về phương trình bậc hai quen thuộc

Bài tập Giải phương trình :

1;

2

2;

3

II PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

( ax + + bx ka cx )( + + dx kc ) + mx + nx + km = 0 (1)( kac ¹ 0)

Ví dụ 1: Giải phương trình :

(x -9x+8)(x -6x+8)-70x = 0 (1)

Giải

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của (1) “Chia hai vế cho 2

x ”

Þ(1)Û (x 9 8)(x 6 8) 70 0

- + - + - = (2) Đặt : t x 8 (t 4 2 )

x

Þ(1) Trở thành: 2

(t -9)(t -6)- 70 = Û0 t -15t -16 = Û0

161( )

t Loai t

=-=

éë

Với t 16 (1) x 8 16

x

2

Đáp số: x = ± 8 2 14

Ví dụ 2: Giải phương trình :

3 2 2

2

7 101 42

11 6

x

Giải

(2) xác định "xỴR Þ(2)Û

(x -11x+6)(2x + +x 12)-70x -7x +101x +42x = (3) 0

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của (2) “Chia hai vế cho 2

x ”

Þ(2)Û (x 6 11)(2x 12 1) (7x 42 101) 0

Đặt : t x 6(t 2 6 )

x

Þ(3) Trở thành:

(t - 11)(2t + - 1) 7t+ 101 = Û 0 2t - 28t + 90 = Û 0

59

t t

=

=

éë

x

= Þ Û + = Û - + = Û éëx x==32

2

x

±

Đáp số: 2; 3; 9 57

2

x = x = x = ±

Tổng quát: Với phương trình dạng:

( ax + bx + ka cx )( + dx + kc ) + mx + nx + km = 0(1) ( , ,k a c¹0)

Ta có cách giải như sau :

Từ giả thiếtÞ x = 0 không phải là nghiệm của (1)

“Chia hai vế cho 2

x ”

Þ(1)Û [ (a x k) b c x][ ( k) d] m x( k) n 0

Đặt t x k

x

= + (điều kiện của t tuỳ thuộc vào k)

Þ(2) Trở thành: (a t + b) (c t + d ) + m t + n = 0

Đây là một phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải !

Bài tập:

1; Giải phương trình :

(4x + 12x+ 1)(4x - 4x+ = 1) 192x

2; Giải phương trình :

3 2

1 2

+ = - +

III PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:

ax + bx + = a cx + dx + c (1) ( ,a c¹0)

Ví dụ 1: Giải phương trình :

4 2 2

x + x + = x + x + (1)

Giải

Ta có : x = 0 là nghiệm của (1)

x ¹ 0 “Chia hai vế cho 2

x ” Þ(1) Û

2 2

± + + = + + (2)Đặt 1

( 2)

x

= + ³ Þ (2) Trở thành: 2

2 2

t t

- = +

- =- +

é

{

2 1 ( 3 )2

3

3 0

3

2 1 ( 3 )2

5 3

5 9

t t

t

t t t

t

t t

t

t

t

³ -+ ³

=

= + + £

£

= +

=

-ìï í ï

í ïỵ

é

5 3

t

Û = - (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0

Tổng quát: Phương trình dạng :

a x + b x + a = c x + d x + c (1) ( , a c ¹ 0)

Ta có phương pháp giải như sau :

Xét x= 0 thay trực tiếp vào (1) rồi suy ra kết luận 0

x ¹ chia hai vế cho “Chia hai vế cho 2

x ” Þ(1)Û 2

2

1

a

± + + = + + (2)Đặt t x 1 (t 2)

x

= + ³ Þ

(2) Trở thành: 2

a t - + b = ± c t + d

Đó là phương trình dạng f = mà ta đã biết cách giải! g

Bài tập:

1 Giải phương trình :

4 2 2

x + x + = x - + x

9x +x + =9 3x +2x+3

IV PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:

a ax ( 2+ + + bx c )2 b ax ( 2+ + + = bx c ) c x

Ví dụ 1: Giải phương trình :

2(2x -2x-5) - 4x +3x+ = (1) 5 0

Giải

(1)Û 2 2 2

2(2x -2x-5) -2(2x - 2x-5)- =5 x(2) Đặt: 2

x - x - = ³ y Þ(1) Trở thành:

{ 2

2

2 5

2 5

- - =

- - = ( Là hệ đối xứng kiểu 2)

Trừ theo vế ta được : 2 2

2(x - y )-2(x- y) = -y x

Û (x - y)(2x + 2y - =1) 0 Û 1

2

x y

=

=

-é ê ë

Với x = y ta được 2

x - x - = Ûx

1 ( ) 5

2

=- =

=

é ê ë

2

y = - x Ta được :

0

0

êë

Đáp số 5

2

x = và 1 3 5

4

x=

Tổng quát phương trình dạng:

2 2 2

a ax + + bx c + b ax + + + = bx c c x (1)

Ta có cách giải như sau:

Đặt : 2

0

ax + bx+ = ³c y Þ (1) trở thành

{ 2

2

“Đây là một hệ đối xứng loại 2 mà ta đả biét cách giải”

Bài tâïp: : Giải phương trình :

3 x 8 x 16 x 3 x 4

- - + = + - (1)

6 x 35 x 98 x 6 x 14

Lưu ý : Các phương trình trên đều có dạng: f = gTuy nhiên khi biến đổi tương đươngá mà không để ý đến dạng trên thì ta được một phương trình bậc bốn đầy đủ Thực ra vế phải đả có dạng : 2

ax + bx + c Cho

nên ta có thể đặt từ đầu : 2

0

ax + bx + = ³ c y rồi biến đổi phương

trình hệ đối xứng loại 2 mà ta đả biết cách giải

V PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN KHUYẾT SỐ HẠNG BẬC BA DẠNG:

0

a x + b x + c x + d = ( a ¹ 0)

Ví dụ 1 : Giải phương trình: 4 2

x - x - x - = (1)

Giải (1) Û x4 = 3 x2 + 10 x + 4 Û (x2+k)2 = +(3 2 )k x2+10x+ + 4 k2

(3 2 )k x 10x 4 k

Ta tìm k để : f(x) 2 2

(3 2 ) k x 10 x 4 k

= + + + + là bình phương một nhị thức Û { ' 2 2

3 2 0

5 ( 4 )( 3 2 ) 0

= + >

Û 3 2

3 2

2 3 8 ) 13 0

k

ì

í

3 2 ( 1)(2 5 13) 0

k

ì í ỵ

Û k = 1Þ (1) Û 2 2 2

( x + 1) = 5( x + 1)

Û 2

x + = ± x + Û

2 2

é ë

(a) Vô nghiệm vì D < 0

2

Đáp số : Phương trình có nghiệm : 5 1 4 5

2

Ví dụ 2: Giải phương trình :

4 2

x - x + x - = (1)

Bằng cách giải tương tự như ví dụ 1 ta có kết quả sau:

(1) Û 4 2

x = x - x +

( x - 1) = - ( x 2) Û 2 2

( x - + x 1)( x + - = x 3) 0

Û 2

3 0

x + - = x Û 1 1 3

2

x = ±

Đáp số: Phương trình có ngiệm : 1 1 3

2

Tổng quát: Mọi phương trình bậc 4 khuyết hệ số bậc 3 đưa được về

dạng : 4 2

x = m x + n x + p (1)

Phương pháp giải:

(1)Û ( x2 + k )2 = ( m + 2 ) k x2 + nx + + p k2

( ) ( 2 )

f x = + m k x + + + nx p k Ta tìm k để :

( ) ( 2 )

f x = m + k x + nx + + p k là bình phương nhị thức Û

a m k

n m k p k

= + >

Giải hệ tìm k và từ (1) cho ta hai phương trình bậc hai từ đó ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình

Bài tập : Giải phương trình : 1; 4 2

x - x + x + =

2; 4 2

3; 4 2

C KẾT LUẬN

Trên đây là một số dạng bài toán mà qua quá trình giảng dạy, qua tham

khảo các tài liệu tôi tổng kết lại và biên soạn thêm một số ví dụ,các bài tập

Nhằm giúp các em học sinh không có điều kiện để đọc sách hay thiếu các

tài liệu về môn toán để tham khảo Mong giúp thêm các em học sinh một

phần nhỏ bé trong quá trình học tập và rèn luyện Có gì sơ suất mong thầy

cô và các em thông cảm