Các định lý cơ bản về nghiệm của đa thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN  Đề tài: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Giáo viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực : Nguyễn Thị Thanh Thúy Lớp : 10 CTT1 Đà Nẵng, 05/2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học P Chƣơng I ĐA THỨC I ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC Vành đa thức biến Hai đa thức Các phép toán đa thức Định lý (định lý bậc đa thức): II NGHIỆM CỦA ĐA THỨC III CỦA 10 ịnh lý Bezout) 10 12 ịnh lý Vi-ét): 13 Định lý ( Định lý Vi-ét đảo): 14 Định lý 14 Định lý 15 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học 15 Chƣơng II CƠ BẢN 18 I BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 18 II SỰ CHIA HẾT CỦA CÁC ĐA THỨC 24 III CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 30 IV V 41 - 47 47 49 TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 51 VI CÁC DẠNG TOÁN KHÁC 56 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Đa thức khái niệm trung tâm tốn học, khơng nhƣ đối tƣợng nghiên cứu đại số mà cơng cụ đắc lực giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết điều khiển tối ƣu, Trong chƣơng trình tốn học phổ thơng, đa thức chuyên đề quan trọng có ứng dụng đa dạng, hiệu Trong kì thi đại học, học sinh giỏi quốc gia quốc tế có tốn liên quan đến đa thức Vì vậy, đa thức ứng dụng ln chuyên đề cần thiết việc bồi dƣỡng học sinh giỏi Tốn bậc phổ thơng Đồng thời phát ứng dụng đa dạng ln đem lại hấp dẫn nhiều học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Khi nghiên cứu đa thức ta thƣờng quan tâm đến nghiệm định lý nghiệm N Đề tài nhằm trình bày số định lý nghiệm đa thức, từ thơng có nhìn tổng qt đa thức Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học : Chương I: Đa thức, c trình bày khái niệm đa thức phép toán đa thức Phát biểu khái niệm nghiệm đa thức định lý nghiệm đa thức Chương II: chƣơng trình ,c để giải số dạng toán nhƣ: toán xác định đa thức, toán chia hết đa thức, toán liên quan đến nghiệm đa thức, giải hệ phƣơng trình, dùng định lý Viete tốn liên quan đến hàm số số dạng toán khác Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Chƣơng I ĐA THỨC I ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho vành vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức bậc biến biểu thức có dạng đƣợc gọi hệ số, hệ số bậc cao hệ số tự đa thức đƣợc gọi bậc đa thức, kí hiệu đa thức Ta quy ƣớc bậc Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành đƣợc kí hiệu Nếu hệ số đƣợc lấy tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số ngun, tập hợp số thực ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỉ, đa thức với hệ số nguyên, đa thức với hệ số thực tƣơng ứng tập hợp Hai đa thức Hai đa thức : và với Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Các phép toán đa thức a Phép cộng, trừ hai đa thức Cho hai đa thức: Khi phép cộng trừ hai đa thức hệ số đƣợc thực theo , tức là: b Phép nhân hai đa thức Cho hai đa thức: Khi đa thức có bậc có hệ số đƣợc xác định Từ định nghĩa trên, ta có định lý sau đây: Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Định lý (định lý bậc đa thức): Giả sử i hai đa thức khác Nếu bậc khác bậc , ta có bậc Nếu bậc bậc , thêm bậc ii Nếu ta có bậc bậc , ta có bậc bậc bậc II NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Giả sử hai đa thức thuộc tìm đƣợc cặp đa thức thuộc , bậc đa thức khơng ta nói , bội Một đa thức chung ƣớc , hay Nếu chia hết cho gọi ƣớc ƣớc chung khác đa thức ấy, viết UCLN ký hiệu cho bé bậc chia hết cho chia hết đa thức Nếu , , , chia hết cho ƣớc chung gọi ƣớc chung lớn Để tìm ƣớc chung lớn ta dùng thuật toán Oclide cách thức số phép chia liên tiếp nhƣ sau: Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học Tiếp tuyến A, B lần lƣợt có hệ số góc : Để hai tiếp tuyến vng góc Theo định lý Vi-ét ta có ta giải đƣợc Thay vào TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán Cho hàm số Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết: M(–3;0) N(–1; –1) iải: Đƣờng thẳng MN có phƣơng trình thẳng Suy đƣờng có phƣơng trình Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học đối xứng qua MN Hoành độ Gọi nghiệm phƣơng trình khơng nghiệm (1) với phân biệt Gọi cắt hai điểm (1) có nghiệm phân biệt nghiệm (1) Theo định lý Vi-ét ta có Tọa độ hai điểm A, B Gọi I trung điểm AB Ta có suy Thay vào (1) ta đƣợc Giải ta đƣợc điểm cần tìm Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tốn Cho hàm số: có đồ thị đường thẳng (d): điểm K(1; 3) ba điểm phân biệt Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt cho tam giác có diện tích iải: Phƣơng trình hồnh độ giao điểm ba điểm phân biệt cắt (1) có nghiệm phân biệt khác Gọi , nghiệm phƣơng trình (1) Theo định lý Vi-ét ta có Mặt khác Do Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán : 1) Cho đồ thị hàm số Chứng minh đƣờng thẳng d phƣơng với đƣờng thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I MN Xác đinh vị trí I để MN ngắn 2) Tìm để cắt đồ thị điểm A, B phân biệt cho 3) Chứng minh đƣờng thẳng hai điểm phân biệt A, B Tìm – ln ln cắt đồ thị (C) để đoạn AB có độ dài nhỏ Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học 4) Cho hàm số ỏa mãn 5) Cho a Tìm để hàm số đạt cực trị điểm > b Gọi điểm cực trị 6) Tìm max Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực trị cho 7) Cho hàm số có đồ thị ( C ) Chứng minh từ A( 1, 1) kẻ đƣợc hai tiếp tuyến tới đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với 8) Cho hàm số có đồ thị (C) a Chứng minh với đƣờng thẳng cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B b Gọi tổng lần lƣợt hệ số góc tiếp tuyến A, B Tìm để lớn Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp đại học VI CÁC DẠNG TOÁN KHÁC đa thức với hệ số nguyên Cho Bài toán Cho hai số nguyên thỏa mãn điều kiện a < b Cho c, d hai số nguyên thỏa mãn điều kiện c < d Giả thiết thêm Chứng minh số nguyên liên tiếp Theo giả thiết ta có Suy Vì đa thức nhận làm nghiệm, nên theo định lý Bezout, ta có: , đa thức với hệ số nguyên Nhƣ Vì (1) , nên từ (1) ta có (2) Kết hợp với giả thiết, từ (2) ta thấy: Suy số nguyên liên tiếp Ta có , nên từ (1) suy (3) Ta có mà nguyên nên Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vì nên ta có Tƣơng tự Từ nên Nhƣ ết hợp giả thiết ta đƣợc ; Từ suy điều phải chứng minh Hay Bài toán Chứng minh với x, y, z ta có Xét đa thức với biến (1) nên – nghiệm Theo định lý Bezout tức : Tƣơng tự cho : Do : (2) Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp đại học , từ (2) suy Q phải đa thức bậc đối Từ (1) với Xét tƣơng tự cho (2) cho Nói cách khác , ta có (hằng số) Mặt khác Suy Suy điều phải chứng minh Bài toán Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh Do vai trị nhƣ nên khơng tính tổng quát, giả sử Đặt thức bậc với hệ đa Ta có nên đa thức bậc có nghiệm Theo định lý Bezout, ta có (2) So sánh số hạng tự vế (2), ta đƣợc Thay vào (2) rút gọn ta đƣợc Trang 58 Khóa luận tốt nghiệp đại học Từ thấy Suy điều phải chứng minh Bài toán Rút gọn biểu thức sau Xét đa thức Ta có đa thức có bậc nhỏ hay Do Mà Từ suy hệ số của phải đồng Hệ số Vậy Bài tốn Hãy tìm giá trị tham số , đa thức cho nghiệm thỏa mãn điều kiện Trang 59 Khóa luận tốt nghiệp đại học Lời giải: Chú ý tới công thức Vi-ét điều kiện cho nghiệm , thỏa mãn đẳng thức sau: Từ đẳng thức ta nhận đƣợc: Nhƣng Suy nghiệm đa thức Từ ta có phƣơng trình hay Giải phƣơng trình ta nhận đƣợc : Bài toán Hãy xác định tất tham số a cho phương trình có nghiệm thực lập thành cấp số nhân Dễ thấy nghiệm phƣơng trình cho Với , phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với Đặt Khi phƣơng trình trở thành Trang 60 Khóa luận tốt nghiệp đại học (1) Trƣớc hết ta tìm điều kiện cần tham số Giả sử phƣơng trình cho có nghiệm thực lập thành cấp số nhân Khi (1) phải có nghiệm cho nghiệm: cịn nghiệm Khơng tính tổng qt ta giả sử: cho nghiệm: Khi ta có cấp số nhân: Theo tính chất cấp số nhân, ta có Mặt khác theo định lý Vi-ét, từ (1) ta có Từ ta tìm đƣợc Với phƣơng trình cho trở thành Phƣơng trình có nghiệm thực lập thành cấp số nhân là: Trang 61 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tốn Hãy tìm nghiệm thực phương trình Lời giải: Nghiệm phƣơng trình cho có dạng Ta có: chia hết cho Bằng cách tìm giá trị mà chia hết cho ta thấy số hữu tỉ thỏa mãn Định lý là: Sử dụng lƣợc đồ Horner, ta có Suy nghiệm phƣơng trình cho Ta lại sử dụng lƣợc đồ Horner cho số Trang 62 Khóa luận tốt nghiệp đại học trừ phƣơng trình cho có nghiệm bội, (Ta phải kiểm tra lại nhiên nghiệm khơng chia hết cho 3) Suy phƣơng trình cho có nghiệm hữu tỉ, : : 1) Cho C cho 2) , , Cho 3) , 4) Cho , Rút gọn biểu thức sau Trang 63 Khóa luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN Đề tài “ Các định lý nghiệm đa thức ứng dụng” thu đƣợc kết sau: Hệ thống bổ sung kiến thức cần thiết đa thức, nghiệm đa thức, định lý nghiệm đa thức Nghiên cứu, phân loại ứng dụng định lý nghiệm đa thức, hệ thống hóa dạng tập giúp học sinh có nhìn tổng quát nghiệm đa thức ứng dụng Đề tài trình bày ứng dụng bản: - Bài toán xác định đa thức - Sự chia hết đa thức - Các toán liên quan đến nghiệm đa thức - Giải hệ phƣơng trình - Sử dụng định lý Vi-ét số toán liên quan đến hàm số - Các dạng toán khác Trong ứng dụng trình bày tập với lời giải cụ thể, ngồi đề tài cịn cung cấp số tập tự giải tƣơng tự Đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh phổ thơng sinh viên ngành Toán Qua đề tài này, em phần củng cố, hệ thống lại, đồng thời mở rộng hoàn thiện kiến thức đa thức học trƣớc Tuy nhiên, lực thời gian có hạn đề tài nghiên cứu rộng nên chắn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc góp ý thầy bạn để đề tài đƣợc hồn thiện Trang 64 Khóa luận tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Nam Dũng, Chuyên đề đa thức, (diendantoanhoc.net) [2] Nguyễn Công Hậu, Võ Thị Mai Phƣơng, Nguyễn Huỳnh Nhƣ Ý, Nguyễn Cao Tín, Phạm Ngọc Luân, Đa thức ứng dụng [3] Phạm Đình Luyến, Sử dụng định lý Vi-et số toán liên quan đến khảo sát hàm số (bentre.edu.vn) [4] Nguyễn Văn Mậu, (2002), Một số toán đa thức phân thức, Hà Nội [5] Nguyễn Thành Nhân, Định lý vi-et ứng dụng (www.vnmath.com) [6] Hồng Xn Sính, (2005), Đại số đại cương, nhà xuất Giáo dục [7] Nguyễn Vũ Thanh, (2010-2011), Một số toán đa thức áp dụng (chuyen.tiengiang.edu.vn) [8] Phạm Nguyễn Phƣơng Thủy, (2012), Biểu diễn số dạng đa thức áp dụng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Trang 65 ... I ĐA THỨC I ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC Vành đa thức biến Hai đa thức Các phép toán đa thức Định lý (định lý bậc đa thức) : II NGHIỆM CỦA... I: Đa thức, c trình bày khái niệm đa thức phép toán đa thức Phát biểu khái niệm nghiệm đa thức định lý nghiệm đa thức Chương II: chƣơng trình ,c để giải số dạng toán nhƣ: toán xác định đa thức, ... THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho vành vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức bậc biến biểu thức có dạng đƣợc gọi hệ số, hệ số bậc cao hệ số tự đa thức đƣợc gọi bậc đa thức,