BÁO cáo bài tập lớn môn GIẢI TÍCH 1 TÍCH PHÂN lý thuyết trình bày các định lý cơ bản của vi tích phân, công thức newton lebnitz các phương pháp tìm nguyên hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỊ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ NĂM HỌC 2019-2020 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN _MƠN: GIẢI TÍCH _ GVHD: CƠ ĐỒN THỊ THANH XN NHĨM: 03 LỚP: L16 ĐỀ TÀI: TÊN ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN 1/ Lý thuyết: trình bày định lý vi tích phân, cơng thức Newton-Lebnitz Các phương pháp tìm nguyên hàm 2/ Bài tập: Tìm giải 10 tập đổi biến loại( cho đủ dạng lượng giác, dạng hửu tỷ, vơ tỷ) - Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần( đủ loại bản) - Tìm giải tập thực tế dẫn đến tính tích phân ( xem tập 4.4 Calculus) - STT HỌ VÀ TÊN PHẠM VŨ HOÀNG MSSV 1911204 10 11 ĐẶNG PHƯƠNG DUY TRẦN HỮU PHÚC HUY NGUYỄN DUY KHÁNH ĐINH TRẦN MINH HUY MAI THẾ ANH KHOA VĂN THÀNH THUẬN LÊ THÀNH NHÂN NGUYỄN TẤN PHÁT ĐOÀN THIÊN QUỐC HUỲNH NGỌC THANH THẢO 1910934 1911260 1911368 1911233 1911408 1912162 1911753 1911827 1911946 1912069 MỤC LỤC I LÝ THUYẾT Lịch sử đời: Trình bày định luật vi tích phân CT NewtonLebnitz Các phương pháp tính nguyên hàm II BÀI TẬP Tìm giải 10 tập đổi biến loại a Lượng giác b Hữu tỷ c Vô tỷ 2 Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần Tìm giải tập thực tế dẫn đến tính tích phân ( xem tập 4.4 Calculus) 13 I LÝ THUYẾT: Lịch sử đời: Khái niệm lượng biến đổi Vận tốc vi phân Newton (từ 1666) Theo thời gian (íluents) Dựa động học, vận tốc (fluxion) Khái niệm tích Phương pháp Newton tìm diện tích z đường cong vẽ nên - phân điểm (x,y) cách giải phương trình z’ = yx, tìm lượng thay đổi ztừ vận tốc yx Newton khơng đưa phép tính tốn Newton ngần ngại dùng lượng Lượng vô vô nhỏ Vận tốc (íluxion) nhỏ Newton khơng phải lượng vô nhỏ, mà lượng hữu hạn Sử dụng dấu chấm đầu, X, để Ký hiệu vận tốc, khơng có ký hiệu cho phép tính ngược lại Leibniz (từ 1675) Xem vơ số giias trị nhỏ đặt cạnh Vi phân biến số có cách tạo dãy hiệu số giá trị biến số Với Leibniz, tích-phân phép tính tốn tổng số Các hệ thức J dy = y d J z = z chứng minh Diện tích đường cong tính nhờ tích phân f y dx Sử dụng lượng vô nhỏ: Nếu y biến số dy lượng vô nhỏ Giới thiệu hai ký hiệu d J Đó ký hiệu tượng trưng cho hai phép toán thuận ngược lẫn lượng thay đổi Phép tốn hình thức Leibniz Vai trị hình vẽ Thường xun dùng hình vẽ, giải thích nhiều kết thơng qua hình cho phép tính tốn độc lập với vẽ trực giác Hình học Các tính tốn vi-phân Leibniz gần với Đại số Hình học 1600 TCN: Ai Cập biết đến cơng thức thể tích hình chóp, Babylon biết giá trị thập phân V chưa biết cách giải thích 425 - 200 trước TCN Eudoxus phát minh phương pháp “vét cạn” (method of exhaustion) để tìm diện tích hình phẳng thể tích hình chóp Archimedes tìm cách tính diện tích phần parabol (parabola segment) 320 sau CN Nhà Toán học Hy-Lạp Pappus tính thể tích hình khối trịn xoay cho hình phẳng quay quanh đường thẳng khơng cắt hình ấy, ơng khơng đưa cách chứng minh 1300 - 1400 Nicole Oresme (1320 - 1382), nhà Triết học Toán học Pháp, người tìm cách vẽ đồ thị hàm số Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), nhà Toán học Ý, phát minh phương pháp chia nhỏ (method of indivisibles) để tính diện tích hình phẳng, tiền thân phương pháp tính diện tích hình phẳng tích phân sau Pierre de Fermat (1607 - 1665), nhà Luật học Toán học Pháp, năm 1630 cho công bố tác phẩm Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, xem tảng giúp cho René Descartes xây dựng nên ngành Hình học Giải tích Ngồi tác phẩm này, Fermat có đề phương pháp tính cực đại cực tiểu vấn đề tiếp tuyến đường cong Isaac Barrow (1630 - 1677), thầy Newton Đại học Cambridge, năm 1650 -1660, qua giảng Geometrical Lectures, tìm nhiều kết quan trọng việc phát triển phép tính vi-phân vấn đề tiếp tuyến với đường cong Ơng cịn ghi cơng đầu việc tìm cơng thức tích phân cho phép tính diện tích hình đường cong y = f(x) (sau thường gọi công thức Newton-Leibniz) Trình bày định lý vi tích phân, cơng thức NewtonLebnitz: a Định lý thứ (Phần thứ nhất): Cho ■ 1■ : hàm liên tục đoạn b Định lý thứ hai (Định lý Newton - Leibniz): Với hàm xác định, liên tục đoạn I Khi đó: i /(.vk/.v= H.vì|" = FihỊ- F(íi) : F '(.vì /■( số Với ' ' nguyên hàm của=hàm ' với mọi' v) Các phương pháp tìm nguyên hàm: Một nguyên hàm hàm số thực cho trước f(x) hàm F(x) có đạo hàm f(x), nghĩa là, F(x)' = f(x) Quá trình tìm ngun hàm gọi tích phân bất định Tìm biểu thức cho ngun hàm cơng việc khó so với ' ': hàm xác định, với ' I thỏa mãn Khi đó' liên tục I đồng thời khả vi 1: việc tìm đạo hàm, luôn thực được, hàm số liên tục đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, tồn nguyên hàm hàm số đoạn/khoảng từ a đến b nêu Để tìm họ nguyên hàm hàm số y = F(x), có nghĩa ta tính tích phân bất định: I = J f’(x)dx, muốn tìm ngun hàm hàm cho trước có phương pháp sau : Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM: Tích đa thức lũy thừa thi triển Tích hàm mũ ^ khai triển theo công thức mũ Chứa ^ chuyển lũy thừa Tích lượng giác bậc sin cosin ^ khai triển theo công thức tích thành tổng Bậc chẵn sin cosin ^ hạ bậc Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ: Nếu bậc tử số P(x) > bậc mẫu số Q(x) ^ Chia đa thức Nếu bậc tử số P(x) < bậc mẫu số Q(x) ^ Xem xét mẫu số đó: + Nếu mẫu số phân tích thành tích số, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số + Nếu mẫu số khơng phân tích thành tích số (biến đổi đưa dạng lượng giác) Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: - Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến tring việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lí sau + Nếu: J f(x)dx = F(x) + C với u = ọ(x) hàm số có đạo hàm thì: Jf(u)du= F(u) + C + Nếu hàm số f(x) lien tục đặt x= ọ(t) Trong ọ(t) với đạo hàm ọ’(t) hàm số lien tục ta được: J f(x)dx = J f(ọ(t)) ọ’(t)dt= J g(t)dt= G(t) + C Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: + Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân với + Thứ tự ưu tiên chọn u: log - đa - lượng - mũ dv = phần cịn lại Nghĩa có In hay log chọn u = ln hay u = log dv = cịn lại Nếu khơng có ln, log chọn u = đa thức dv = cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác • • • , ,,, + Lưu ý bậc đa thức bậc In tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi II BÀI TẬP: Tìm giải 10 tập đổi biến loại: a Dạng lượng giác: Bài 1: I=í„ d' sinx+3 cosx+ _ x Đặt t = tan2 , x ^ (2k + 1)n , dt => dx —— 1+t 2t sinx =——; , cosx = 1+Khi eq ó(2 dt, 1+12) = Jí dí Bài 2: = k ,2 dí I (t +2 )2 cosx s [eqó (81,1,t +t2)+ 3eqó(1 -t2,1+t 2)|sinx+2 + |+ C(Vớisinx I = ỉ _sinx dx = eqL(dt + 2) = ln| t +2 | + c = ln = t) 2t +81+8 +2 +C = -1 +C tan x+2 I = f sin3 x Vcosx dx Bài 3: Đặt: t = Vcosx 2tdt = sinxdx Do đó: sin xV cosx dx=( — cos2 x) Vcosx s inxdx 62 = (t -1)t2tdt = 2(t -t )dt Vậy: I = Jsin xVcosxdx=2J(t —t )dt = 71 — 31 +c 72 6.2 = -2 V cosx7 — -/cõsx3 + c Bài 4: sinx sinx -2 cosx + I +2 cosx—3 = *sinx + 2cosx - = A(sinx - 2cosx + 3) + B(sinx - 2cosx + 3) + C dx = , cosx = = > sinx = I _ eqó( 2dt, 1+12) = J ẽq L(21,1+t 2)—2 eq ó(1 — 12,1+t )+3 Ị dt 21— 2(1 — t 1+3 (1+12) b Dạng hửu tỷ: Ị dt Bài 5: = (f+1 )2+4 = arctan()+C, với t = tan I = Ị dx (t + 5)+5 = I = J £+)dt At +At+A+Bt +Ct= = > A = 1, B = -1, C = -1 = > I = ln|t|-Ị dt 2 Đặt I1 = Ị dt Ta có: I1 = Ị dt + Ị dt 2 = ln|t2+1+1| + ự3arctan ( 2t+1 )+C = > I = ln|t| - ln|t2+t+1| - -Urctan () + C Với t = lnx Bài 6: I = Ị = Ị (++)dx Đồng hệ số, ta có: A = -1, B=1/3, C = -1/3, D = 1/3 = > I = - f + f - f dx = + ln|x-1| - I dx + ln|x -1| - ln(x +x+1) + ự3arctan2ự+1 Bài 7: 1=I=I Đặt t=x+1, => dx=dt => I = I dt = (í-3+1-1) dt = - 3t + ln|t| + +C Với t = x+1 c Dạng vô tỷ: Bài 8: I = I xV x2-3 dx Đặt t = 4x - = > dt = 8xdx I = I Ví dt = t 2+c 3/2 = 12 V(4 x2-3 )3 + C Bài 9: I dx V x2+6 x + 10 I I dx V( x+3 )2+1 Đặt t = x+3 = > dt=dx Te d (x + 3) I= , dt ị——I _ „ = h^= = ln|t +Ví2 + 1| + C V( x+3 ) +1 V t 2 +1 1 = ln | x+3+V (x+3) +11 + C Bài 10: I = I VCT-T^ Đặt 2x+1=t = > x=(t -1)/2, dx=3t dt, Khi đó: I = I = 31 = 31 (t+1+)dt = t + 3t + 3ln|t -1| + C Với t 2x+1 6 2 Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần: Dạng 1: J xklnmxdx (k, m Z0) 1) Tính / x 3ln2 xdx Giải: Đặt , _2ln x , du = dx x x =1 x 4 u =ln2 x dv=x3dx Khi ta có: [ e I=1 xlnxdx ln x=1 e4_1 ■ x3 3lnxdx 4 2-1 x du=—dx x v =1 x 4 u =ln x dv=x3dx Đặt Khi ta có: 11 x 1l1 4xe /x 8-1 dx e 4_ x e 32 x ó 14 e4+1 e 32 e4 -1 ó——— 32 2) Tính J x ln xdx v'+l Giải: Đặt d^ xdx =|x M2 du=1 dx x > v ~ x +1 u=ln x I \ -1 ,1 \ 7=1 x +1) d (x +1) Khi ta có: ln x x (x+1) x ^+114 dx=—ỉn52-+1 Trong đó, J ỉ I ( d dx í2 x (x +1) v v x ỉ J d dx 2/ x (x +1) "i* 2I=Iin T+Ĩ 12 ?J d x2 ( ) 2Í x (x +1) =iln 12 ln2 Vậy I - 2ln 1+In (x+1 3) Tính I - J — - dx x Lời giải: u-1 + In (x + Đặt , du- dx „_—1 v — x 1) dv-x ■ x Khi ta có: -1+nixiĩỊ t + (! — liga.+11 x { x(x+1) Trong đó, _f ^.-311 dxdx - ln TỈTãĩ (x x+1 ĩĩĩ T -J ■ Vậy I - 2+ln3—3ln2 Dạng 2: ỉ xkeaxdx 4) Tính ỉ xexdx Lời giải: Đặt: Do ỉ x Ĩ3— ln3— ln2 u=x dv=exdx du=dx v= ex Ị xe dx=xe x =e — (e — —Ị e dx= e—e )=1 0 5) Tính Ịx x x x e2 xdx [du = xdx = ^ Đặt 2x Lời v dv =giải: e2xdx =2e u x 2x 2x I = 2x e — 2x 2x 2e )2dx = 2x e — xe dx Ị1 Ị Với 11=Ị xe2xdx ta có: u=x dv= e2 xdx Đặt du= dx v = e2 xv ~2e Ị It=1 xe2 ■—1 e2 xdx=1 xe2 ■—1 e1 ■ +■ 2J - Thay I1 vào I ta có: I =1 x2 e2 x—1 xex+1 e2 x+C =112 x2 —2 x + 1) e2; x + C 2 4 6) Tính Ị x +x+1 e dx ( ) x Lời giải: u=2 x 2+xx + ^ du=( x +x 1) dx dv = e dx v=e I=(2x2+x + 1)ex— Ị (4x +1)e dx x - Với 11=Ị (4x + 1) exdx ta có: u=(4x +1 )^ du =4dx ' dv = exdx v = ex 11 = ( x + 1) ex — Ị ex dx = (4 x+1) ex— ex + C = ( x — 3) ex + C - Thế I1 vào I ta kết quả: I = ( x 2+x + 1) ex—( x — 3) ex + C = ( x2 —3 x+4) ex+C Dạng 3: Ị f (x)sinaxdx , : Ị f (x)cosaxdx 7) Tính I = Ị x cos xdx Lời giải: I= Ị x cos xdx = Ị x + co2s4 x dx = Ị xdx + Ị x cos4 xdx - Ta có: 11=/( x cos4 x) dx u=1 x dv = cos xdx Ị du = -1 dx v = sin x I, = x sin x sin 4xdx = xsin4x+-2-cos4x + C 8— Thế I1 vào 8I ta có: I=232 x2+2 x sin4 x+-Ậ cos4 x+C 32 8) Tính I = Ị ex cos xdx Lời giải: u = cos x ^ du= — sin xdx dv=exdx v= ex I= ex cos x + ex sinxdx Ị Ta có: 12=Ị ex sinxdx u = sin x du=cos xdx dv=exdx v = ex ^ 12=ex sin x—Ị ex cos xdx= ex sin x—I I= ex cos x+ex sin x—I ^ I=2 ^ 9) Tính Ịe 2x sin2 xdx Lời giải: cos x 2x2 2x 2x e sin xdx = e dx = e dx — e cos2xdx = 4e — J X „2 I= J 2x J J J Ta có: J =1 í e2cos2xdx u = cos2 x dv=1 J e