BÁO cáo bài tập lớn môn GIẢI TÍCH 1 TÍCH PHÂN lý thuyết trình bày các định lý cơ bản của vi tích phân, công thức newton lebnitz các phương pháp tìm nguyên hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ NĂM HỌC 2019-2020 ………………………………………… BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH GVHD: CƠ ĐỒN THỊ THANH XN NHĨM: 03 LỚP: L16 ĐỀ TÀI: TÊN ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN 1/ Lý thuyết: trình bày định lý vi tích phân, cơng thức Newton-Lebnitz Các phương pháp tìm nguyên hàm 2/ Bài tập: - Tìm giải 10 tập đổi biến loại( cho đủ dạng lượng giác, dạng hửu tỷ, vơ tỷ) - Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần( đủ loại bản) - Tìm giải tập thực tế dẫn đến tính tích phân ( xem tập 4.4 Calculus) STT HỌ VÀ TÊN PHẠM VŨ HOÀNG MSSV 1911204 10 11 ĐẶNG PHƯƠNG DUY TRẦN HỮU PHÚC HUY NGUYỄN DUY KHÁNH ĐINH TRẦN MINH HUY MAI THẾ ANH KHOA VĂN THÀNH THUẬN LÊ THÀNH NHÂN NGUYỄN TẤN PHÁT ĐOÀN THIÊN QUỐC HUỲNH NGỌC THANH THẢO I LÝ THUYẾT Lịch sử đời: 1910934 1911260 1911368 1911233 1911408 1912162 1911753 1911827 1911946 1912069 MỤC LỤC Trình bày định luật vi tích phân CT NewtonLebnitz Các phương pháp tính ngun hàm II BÀI TẬP Tìm giải 10 tập đổi biến loại a Lượng giác b Hữu tỷ c Vô tỷ Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần Tìm giải tập thực tế dẫn đến tính tích phân ( xem tập 4.4 Calculus) 13 I LÝ THUYẾT: Lịch sử đời: Newton (từ 1666) Theo thời gian (fluents) Leibniz (từ 1675) Khái niệm Xem vô số giias trị nhỏ đặt lượng biến đổi cạnh Vận tốc vi Dựa động học, vận Vi phân biến số có phân tốc (fluxion) cách tạo dãy hiệu số giá trị biến số Khái niệm tích Phương pháp Newton tìm Với Leibniz, tích-phân phép - phân diện tích z đường cong vẽ nên tính tốn tổng số Các hệ điểm (x,y) cách giải thức ʃ dy = y d ʃ z = z phương trình 𝑧̇ = y𝑥̇, tìm lượng chứng minh Diện tích đường cong tính nhờ tích thay đổi ztừ vận tốc y𝑥̇ Newton phân ʃ y dx khơng đưa phép tính tốn (operations) tích-phân Lượng vơ Newton ngần ngại dùng lượng Sử dụng lượng vô nhỏ: nhỏ vô nhỏ Vận tốc (fluxion) Nếu y biến số Newton khơng phải lượng vơ dy lượng vô nhỏ nhỏ, mà lượng hữu hạn Ký hiệu Giới thiệu hai ký hiệu d Sử dụng dấu chấm đầu, 𝑥̇, để vận tốc, khơng có ký hiệu ʃ Đó ký hiệu tượng trưng cho hai phép tốn thuận ngược cho phép tính ngược lại lẫn lượng thay đổi Vai trị hình vẽ Thường xun dùng hình vẽ, giải Phép tốn hình thức Leibniz thích nhiều kết thơng qua hình cho phép tính tốn độc lập với vẽ trực giác Hình học Các tính tốn vi-phân Leibniz gần với Đại số Hình học 1600 TCN: Ai Cập biết đến cơng thức thể tích hình chóp, Babylon biết giá trị thập phân √ chưa biết cách giải thích 425 – 200 trước TCN Eudoxus phát minh phương pháp “vét cạn” (method of exhaustion) để tìm diện tích hình phẳng thể tích hình chóp Archimedes tìm cách tính diện tích phần parabol (parabola segment) 320 sau CN Nhà Tốn học Hy-Lạp Pappus tính thể tích hình khối trịn xoay cho hình phẳng quay quanh đường thẳng khơng cắt hình ấy, ơng khơng đưa cách chứng minh 1300 - 1400 Nicole Oresme (1320 – 1382), nhà Triết học Toán học Pháp, người tìm cách vẽ đồ thị hàm số Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), nhà Toán học Ý, phát minh phương pháp chia nhỏ (method of indivisibles) để tính diện tích hình phẳng, tiền thân phương pháp tính diện tích hình phẳng tích phân sau Pierre de Fermat (1607 – 1665), nhà Luật học Tốn học Pháp, năm 1630 cho cơng bố tác phẩm Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, xem tảng giúp cho René Descartes xây dựng nên ngành Hình học Giải tích Ngồi tác phẩm này, Fermat có đề phương pháp tính cực đại cực tiểu vấn đề tiếp tuyến đường cong Isaac Barrow (1630 – 1677), thầy Newton Đại học Cambridge, năm 1650 -1660, qua giảng Geometrical Lectures, tìm nhiều kết quan trọng việc phát triển phép tính vi-phân vấn đề tiếp tuyến với đường cong Ơng cịn ghi cơng đầu việc tìm cơng thức tích phân cho phép tính diện tích hình đường cong y = f(x) (sau thường gọi cơng thức Newton-Leibniz) Trình bày định lý vi tích phân, cơng thức NewtonLebnitz: a Định lý thứ (Phần thứ nhất): Cho Khi hàm xác định, với liên tục hàm liên tục đoạn thỏa mãn đồng thời khả vi với b Định lý thứ hai (Định lý Newton – Leibniz): Với định, liên tục đoạn Với hàm xác Khi đó: nguyên hàm hàm số Các phương pháp tìm nguyên hàm: Một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f(x) là hàm F(x) có đạo hàm bằng  f(x), nghĩa là, F(x)′ = f(x) Quá trình tìm nguyên hàm gọi là tích phân bất định Tìm biểu thức cho ngun hàm cơng việc khó so với việc tìm đạo hàm, khơng phải ln ln thực được, hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, tồn nguyên hàm hàm số đoạn/khoảng từ a đến b nêu Để tìm họ nguyên hàm hàm số y = F(x), có nghĩa ta tính tích phân bất định: I = ∫ f’(x)dx, muốn tìm nguyên hàm hàm cho trước có phương pháp sau : Phương pháp TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM: Tích đa thức lũy thừa thi triển Tích hàm mũ → khai triển theo công thức mũ Chứa → chuyển lũy thừa Tích lượng giác bậc sin cosin → khai triển theo cơng thức tích thành tổng Bậc chẵn sin cosin → hạ bậc Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ: Nếu bậc tử số P(x) ≥ bậc mẫu số Q(x) → Chia đa thức Nếu bậc tử số P(x) < bậc mẫu số Q(x) → Xem xét mẫu số đó: + Nếu mẫu số phân tích thành tích số, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số + Nếu mẫu số khơng phân tích thành tích số (biến đổi đưa dạng lượng giác) Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: - Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến tring việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lí sau + Nếu: ∫ f(x)dx = F(x) + C với u = φ(x) hàm số có đạo hàm thì: ∫f(u)du= F(u) + C + Nếu hàm số f(x) lien tục đặt x= φ(t) Trong φ(t) với đạo hàm φ’(t) hàm số lien tục ta được: ∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ’(t)dt= ∫ g(t)dt= G(t) + C Phương pháp TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: + Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân với + Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv = phần lại Nghĩa có In hay log chọn u = ln hay u = log dv = cịn lại Nếu khơng có ln, log chọn u = đa thức dv = cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác … + Lưu ý bậc đa thức bậc In tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi II BÀI TẬP: Tìm giải 10 tập đổi biến loại: a Dạng lượng giác: Bài 1: I= ∫ dx sinx+3 cosx+ x Đặt t = tan , x ≠ (2k + 1)π => dx = dt 1+ t Khi sinx = I = ∫ 2t , cosx = 1+ t dt dt eq ¿ (2 dt , 1+ t 2) = 2∫ = ∫ = +C = eq ¿ (8 t , 1+t 2)+ eq ¿(1−t ,1+t 2)+5 (t +2) 2t + t+8 −1 x +C tan +2 Bài 2: I= ∫ cosx dx = ∫ eq ¿(dt ,t +2) = ln|t +2|+C=ln|sinx+2|+ C(Với sinx=t ) sinx +2 Bài 3: I = ∫ sin x √cosx dx Đặt: t = √ cosx  t2 = cosx => 2tdt = sinxdx Do đó: sin3x√ cosx dx=( 1−cos2 x ) √cosx sinxdx = (t4-1)t2tdt = 2(t6-t2)dt 3 Vậy: I = ∫ sin x √ cosx dx =2 ∫ ( t −t ) dt= t − t +C = √ cosx − √ cosx + C Bài 4: I= ∫ sinx +2 cosx−3 dx sinx−2 cosx+3 *sinx + 2cosx - = A(sinx – 2cosx + 3) + B(sinx – 2cosx + 3) + C  sinx + 2cosx - = A(cosx + 2sinx) + B(sinx – 2cosx + 3) +C  { −3 B= −6 C= A= ∫ eq ¿(d ( sinx−2 cosx +3), sinx−2 cosx +3) - ∫ dx - ∫ eq ¿(dx , sinx−2 cosx +3) |sinx−2 cosx+ 3| - x - ∫ eq ¿(dx , sinx−2 cosx+3) Đặt I1 = ∫ eq ¿(dx , sinx−2 cosx +3) Đặt t = tan , x ≠(2 k +1)π I= =ln = > dx = = > sinx = , cosx = I1 = ∫ =∫ eq ¿( 2dt , 1+ t 2) eq ¿ (2t ,1+t 2)−2 eq ¿(1−t ,1+t 2)+3 dt t−2 ( 1−t ) +3 (1+ t ) 2dt = = arctan()+C, với t = tan 5(t + ) + 5 ∫ b Dạng hửu tỷ: Bài 5: I = ∫ dx = ∫ = ∫ ¿ +)dt At2+At+A+Bt2+Ct=1 = > A = 1, B = -1, C = -1 = > I = ln|t |- ∫ dt Đặt I1 = ∫ dt Ta có: I1 = ∫ dt + ∫ dt 2t +1 arctan ⁡( )+C √3 √3 2t +1 arctan ⁡( )+C = > I = ln|t | - ln|t 2+ t+1| √3 √3 = ln|t 2+ t+1| + Với t = lnx Bài 6: I = ∫ = ∫ (++)dx Đồng hệ số, ta có: A = -1, B=1/3, C = -1/3, D = 1/3 = > I = - ∫ + ∫ - ∫ dx = + ln|x−1| - ∫ dx = + ln|x−1| - ln(x2+x+1) + Bài 7: I= ∫ = ∫ Đặt t=x+1, => dx=dt x +1 arctan +C √3 √3 t => I = ∫ dt = ∫ (t−3+ t − )dt = - 3t + ln|t | + +C Với t = x+1 c Dạng vô tỷ: Bài 8: I = ∫ x√ x 2−3 dx Đặt t = 4x2 – = > dt = 8xdx I = ∫ √ t dt = t3/2 +C = Bài 9: I= ∫ √(4 x2 −3)3 + C 12 dx √ x +6 x +10 =∫ dx √ ( x+3 ) +1 Đặt t = x+3 = > dt=dx I= ∫ d ( x +3) √( x +3) +1 Bài 10: I= ∫ =∫ dt √ t2 +1 = ln|t + √ t +1| + C = ln|x +3+ √ (x +3)2 +1| + C dx √(2 x+1)2−√ x+1 Đặt 2x+1=t6 = > x=(t6-1)/2, dx=3t5dt, Khi đó: I = ∫ = ∫ = ∫ (t+1+)dt = t2 + 3t + 3ln|t −1| + C Với t=√6 x +1 Tìm giải 10 tập sử dụng tích phân phần: k m Dạng 1: ∫ x ln x dx ( k, m ∈ Z ) e 1) Tính ∫ x ln2 xdx Giải: Đặt { u=ln x ⇒ dv=x dx { ln x dx x x= x 4 du= Khi ta có: e | e 1 3 I = x ln x e − ∫ x ln x dx= e − ∫ x ln x dx 4 21 21 { du= dx u=ln x x ⇒ Đặt dv=x dx v= x 4 { Khi ta có: [ e | 1 ¿ e − e − x |e [ 32 ] 1 I= e − x ln x e − ∫ x dx 81 4 ] 4 e +1 ¿ e− 32 ¿ e4 −1 32 ∫ x ln2 x dx 2) Tính ( x + 1) Giải: { { du= dx x Đặt dv= xdx =( x2 +1 )−1 d ( x 2+1 ) ⟹ −1 v= ( x 2+1 ) x +1 u=ln x Khi ta có: | −ln x −ln I= +∫ dx= +I1 x +1 1 x ( x +1 ) Trong đó, d (x ) x I 1=∫ dx=∫ 2 dx= ∫ 2 2 x ( x +1 ) x ( x +1) x ( x +1) 2 ( ) 2 | 1 1 x I 1= ∫ − d ( x )= ln = ln x x +1 x +1 Vậy I = ln − 3) Tính I =∫ ln 1+ ln ( x+1 ) dx x Lời giải: { { u=1+ ln ( x +1 ) du= dx x +1 ⟹ dx Đặt dv= −1 v= x x Khi ta có: −1+ln ( x+1 ) 2+ln I= ¿1 +∫ = +I1 x x ( x+1 ) Trong đó, 3 ( ) | | 1 x I 1=∫ dx=∫ − dx=ln ¿ =ln 3−ln x+1 x +1 1 x ( x +1) x 3 Vậy I = + ln 3− ln2 Dạng 2: 4) Tính ∫ x k e ax dx ∫ x e x dx Lời giải: Đặt: Do 10 u=x ⟹ {dv=e {du=dx dx v=e x x | | ∫ x e dx=x e 10 −∫ e x dx=e−e x 10 =e−( e−1 )=1 0 5) Tính x x ∫ x e2 x dx { { du=2 xdx u=x ⇒ Lời giải: Đặt 2x v= e x dv=e dx ( ) 1 I = x e x −∫ e x dx= x2 e x −∫ x e2 x dx 2 2x Với I 1=∫ x e dx ta có: Đặt { { du=dx u=x ⟹ 2x 2x v= e dv=e dx 2x 1 2x 2x 2x I 1= x e − ∫ e dx= x e − e +C 2 - Thay I1 vào I ta có: 2x x x 2x I = x e − x e + e +C= ( x −2 x +1 ) e +C 2 4 6) Tính ∫ ( x + x+1 ) e x dx Lời giải: { { u=2 x + x +1 ⇒ du= ( x +1 ) dx dv=e x dx v=e x I =( x 2+ x +1 ) e x −∫ ( x+ ) e x dx x - Với I 1=∫ ( x +1 ) e dx ta có: { { u=(4 x +1) ⇒ du=4 dx x x v =e dv =e dx I 1=( x +1 ) e x −4∫ e x dx=( x+1 ) e x −4 e x +C=( x−3 ) e x +C - Thế I1 vào I ta kết quả: I =( x 2+ x +1 ) e x −( x−3 ) e x +C=( x 2−3 x+ ) e x +C 11 Dạng 3: ∫ f (x )sin ax dx , : ∫ f (x )cos ax dx 7) Tính I =∫ x cos xdx Lời giải: I =∫ x cos xdx=∫ x - Ta có: I 1=∫ { 1+cos x 1 dx=∫ xdx +∫ x cos xdx 2 ( 12 x cos x ) dx { du= dx u= x ⟹ v = sin x dv=cos xdx 1 1 I 1= x sin x− ∫ sin xdx= x sin x + cos x +C 8 32 Thế I1 vào I ta có: I = x + x sin x+ cos x +C 32 x 8) Tính I =∫ e cos xdx Lời giải: { { u=cos x du=−sin xdx ⇒ x x dv=e dx v=e I =e cos x +∫ e sin xdx x x x Ta có: I 1=∫ e sin xdx { { u=sin x ⇒ du=cos xdx x x dv=e dx v=e ⇒ I 1=e sin x−∫ e cos xdx=e sin x−I x x x x x ⟺ I =e cos x+ e sin x−I ⟺ I= ¿ 9) Tính ∫ e2 x sin2 xdx Lời giải: I =∫ e x sin2 xdx=∫ e2 x 1−cos x 1 dx= ∫ e x dx− ∫ e2 x cos xdx= e x −J 2 12 Ta có: J= e2 x cos xdx ∫ { { u=cos x du=−2 sin xdx ⟹ 1 dv= e x dx v= e x 2x 1 2x 2x ⟹ J = e cos x + ∫ e sin2 xdx= e cos x + K 4 Ta có: K= 2x e sin xdx 2∫ { { u=sin x du=2 cos xdx ⟹ 2x 2x dv= e dx v= e 2x 1 2x 2x ⟹ K= e sin x− ∫ e cos xdx = e sin x−J 4 2x 2x 2x ⟹ J = e cos x + K = e cos x+ e sin x−J 4 2x 2x ⟹ J = e cos x + e sin x 4 ⟹ J = e2 x ¿ 2x 2x x ⟹ I = e −J = e − e ¿ 4 2x ¿ ( 2−sin2 x−cos x ) e +C 10) Tính ∫ x sin ( x +1 ) dx Lời giải: { { du=dx u=x ⟹ −1 v= cos ( x+1 ) dv=sin ( x+1 ) dx ⟹∫ x sin ( x+1 ) dx= −1 x cos ( x +1 ) + ∫ cos ( x+1 ) dx 2 Tìm giải tập thực tế dẫn đến tính tích phân: Một phân tử di chuyển với vận tốc biểu diễn phương trình: v(t)= t2 – t – (m/s) 13 a Xác định độ dời phân tử khoảng thời gian từ đến 4s  Gọi r(t) độ dời phân tử Ta có r khoảng từ đến 4s r= ∫ v ( t ) dt = - m Và dựa vào dấu giá trị, ta biết rằng, phân tử di chuyển ngược chiều dương b Xác định quãng đường phân tử khoảng thời gian  Gọi S(t) quãng đường phân tử Ta có quãng đường phân tử khoảng thời gian S = ∫|v (t)|dt = 10.167 m Một bệ chứa dầu bị nứt thời điểm t= dầu bắt đầu chảy với tốc độ r(t) = 100e-0.01t l/phút Lượng dầu chảy sau đầu ? 60  Lượng dầu chảy sau đầu ∫ 100 e −0.01 t dt = 4511.88 lít với 100 ∫ 100 e−0.01 t dt = - 0.01 e-0.01t + C Số lượng vi khuẩn ban đầu 400 sinh trưởng với tốc độ r(t)= (450.268)e1.12567t vi khuẩn/ Số lượng vi khuẩn sau ba ?  Số lượng vi khuẩn sau t ∫ 450.268 e 1.12567 t  Số lượng vi khuẩn sau ∫ ∫ 450.268 e dt = 400e1.12567t +C 1.12567 t dt = 11313.23347 vi khuẩn Để trang trí cho phòng tòa nhà, người ta vẽ lên tường sau: cạnh hình lục giác có cạnh (dm) cánh hoa hình parabol, đỉnh parabol cách cạnh (dm) nằm ngồi hình lục giác, hai đầu mút cạnh hai điểm giới hạn đường parabol Hãy tính diện tích hình nói để mua lượng giấy dán trang trí phù hợp, biết giấy có giá 50000 đồng /m2  Giả sử ABCDEF hình lục giác có cạnh (dm), ta tính diện tích cánh hoa: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm cạnh AB: A(1;0) B(-1;0) I(0;3) đỉnh parabol Phương trình parabol có dạng y=a x2 +b Do I, A, B thuộc (P) nên ta có y=−3 x +3 Do diện tích cánh hoa 14  s1=∫ (−3 x +3 ) ⅆx =4 −1  Diện tích hình là:  ( s=6∗ ) √2 +4 =6 √ 3+24 (ⅆ m2 )  Vậy số tiền cần dùng là: ( √ 3+24 )∗10−2∗50000=17196(đồng)  Ông An muốn dựng cổng chào có dạng hình parabol cho cơng ty Biết cổng chào có chiều dài chân đáy 3m chiều cao 2m Bạn giúp ơng An tính số tiền để dựng cửa gỗ, biết m có giá 100000 đồng( bề dày không đáng kể)  Giả sử phương trình parabol có dạng ¿ a x 2+ bx+ c Phương trình qua điểm A(0;2) B(3/2;0) nên ta có hệ phương trình sau { c=2 b=0  => y= (−8 ∕ ) x 2+ (9 /4) a+2=0  Diện tích cổng  ❑ 2 S=2∫ ¿− x + 2∨¿ ⅆx =4 (m ) ¿ ❑  Vậy số tiền cần bỏ  4*100000= 400000 ( đồng) III Tài liệu tham khảo: - Calculus 2019 - Giáo trình giải tích - Wikipedia 15 16 ... 19 10934 19 112 60 19 113 68 19 112 33 19 114 08 19 1 216 2 19 117 53 19 118 27 19 119 46 19 12069 MỤC LỤC Trình bày định luật vi tích phân CT NewtonLebnitz Các phương pháp tính nguyên hàm II BÀI TẬP Tìm giải 10 ... công thức Newton- Leibniz) Trình bày định lý vi tích phân, cơng thức NewtonLebnitz: a Định lý thứ (Phần thứ nhất): Cho Khi hàm xác định, với liên tục hàm liên tục đoạn thỏa mãn đồng thời khả vi. .. khả vi với b Định lý thứ hai (Định lý Newton – Leibniz): Với định, liên tục đoạn Với hàm xác Khi đó: nguyên hàm hàm số Các phương pháp tìm nguyên hàm: Một? ?nguyên hàm? ?của một? ?hàm? ?số thực cho