Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)Định lý cơ bản thứ hai Cartan Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị (LV thạc sĩ)
Trang 1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM
TẠ THỊ MẠNH
ĐỊNH Lí CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG
Lí THUYET PHAN BO GIA TRI
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
TA THI MANH
ĐỊNH Lí CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG
LY THUYET PHAN BO GIA TRI
Chuyờn ngành: Toỏn giải tớch
Mó số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN
THÁI NGUYấN - 2016
Trang 3Lời cam đoan
Tụi xin cam đoan rằng cỏc kết quả trỡnh bày trong luận văn này là khụng bị trựng lặp với cỏc luận văn trước đõy Tài liệu trong luận văn này đó được ghi rừ nguồn gốc
Thỏi Nguyờn, 6 thỏng 6 năm 2016
Tỏc giả luận văn
TẠ THỊ MẠNH
Trang 4Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thỏi
Nguyờn Trước khi trỡnh bày nội dung chớnh của luận văn, tụi xin gửi lời cảm ơn chõn thành, sõu sắc tới PGS TSKH Trần Văn Tắn, thầy là người đó hướng
dẫn tụi cỏch đọc tài liệu, nghiờn cứu khoa học đỳng đắn, tỉnh thần làm việc
nghiờm tỳc và đó dành nhiễu thời gian, cụng sức giỳp đỡ tụi hoàn thành luận văn này
Tụi cũng xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc tới cỏc thầy cụ giỏo của Viện Toỏn học và Đại học Thỏi Nguyờn những người đó tận tỡnh giảng dạy và khớch lệ, động viờn tụi vượt qua những khú khăn trong học tập
Tụi xin cảm ơn Ban lónh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thỏi Nguyờn, Khoa Sau đại học đó tạo điều kiện thuận lợi, giỳp đỡ tụi trong suốt
thời gian tụi học tập
Cuối cựng, tụi xin cảm ơn bạn bố, người thõn đó giỳp đỡ, động viờn, ủng
hộ tụi để tụi cú thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khúa học của mỡnh
Xin trõn trọng cảm ơn!
Thỏi Nguyờn, 6 thỏng 6 năm 2016 Tỏc giả luận văn
TA THI MANH
Trang 5Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 1 Trọng Nochka 1.1 Họ siờu phẳng ở vị trớ dưới tổng quỏt l2 Tlf@ủgNG€GHKọÄ ; ¿ sĩ : c6 và Lo Ỉ ca BH 6c ca BS 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka 14 2.1 Cỏc hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logari 14
2.1.1 Cỏc hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan 14 2.1.2 Hàm phõn hỡnh và ỏnh xạ phõnhỡnh 15
2.1.3 Bổ để đạohàmLogart 19
2.1.4 Wronskian tổng quỏt của ỏnh xạ phõn hỡnh 21
Trang 6MỞ ĐẦU
Năm 1929, Nevanlinna cụng bố bài bỏo nghiờn cứu sự phõn bồ giỏ trị của cỏc hàm phõn hỡnh trờn mặt phẳng phức Vấn đề này sau đú nhanh chúng được mở rộng sang trường hợp ỏnh xạ chỉnh hỡnh từ mặt phẳng phức vào khụng gian xạ ảnh bởi Cartan Kể từ đú tới nay, việc nghiờn cứu sự phõn bồ giỏ trị của ỏnh xạ chỉnh hỡnh với cỏc trường hợp khỏc nhau liờn tục thu hỳt
được sự quan tõm của nhiều nhà toỏn học và hỡnh thành một lý thuyết được
gọi là Lý thuyết phõn bố giỏ trị hay cũn gọi là Lý thuyết Nevanlinna Nội dung cốt lừi của Lý thuyết này gồm hai định lý chớnh, được gọi là cỏc định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai Trong khi định lý cơ bản thứ nhất đó được giải quyết tương đối đầy đủ trong cỏc trường hợp, thỡ định lý cơ bản thứ hai mới
được thiết lập trong rất ớt cỏc trường hợp Để cú thể tiếp cận được tới cỏc vấn
để cú tớnh thời sự của Lý thuyết phõn bố giỏ trị, trong luận văn này, tụi tập trung tỡm hiểu một trong những kết quả gốc của Lý thuyết phõn bố giỏ trị
Theo đú, tụi chọn tỡm hiểu định lý cơ bản thứ hai Cartan- Nẹochka Trờn thực
tế, năm 1933, Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp chiều cao, ở đú ụng thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hỡnh khụng suy biến tuyến tớnh trong khụng gian xạ ảnh Cartan cũng nờu giả thuyết cho trường hợp đường cong khỏc hằng tựy ý trong khụng gian xạ ảnh Giả thuyết của Cartan tồn tại 50 năm và được Nochka giải quyết năm
1983 Trong luận văn này tụi dự định tỡm hiểu kết quả này của Nochka
Chớnh vỡ vậy mà tụi chọn đề tài "Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochka
trong lý thuyết phõn bố giỏ trị" Luận văn gồm hai chương: Chương 1 Trọng Nochka
Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka
Trang 7Chương 1
Trọng Nochka
1.1 Họ siờu phẳng ở vị trớ dưới tổng quỏt
Trong khụng gian xạ ảnh IP”(C), cố định một hệ tọa độ thuần nhất œ = (@ : : @„) Cho đ siờu phẳng H; xỏc định bởi cỏc phương trỡnh thuần nhất:
Hi; ‘ Yi hijo; =0, J= 1, ,đ
Ă=0
Với O = {1, ,q} vaR C Q, ta dat |R|= số phần tử của R
Dinh nghia 1.1.1 Gid sti N > vag > N~+ 1 Ta núi họ {H}4, 6 vitri N -
dưới tổng quỏt nếu với bat ki R C Q vội |R| =N +1 thỡ
{}H; =0
JER
Nếu họ siờu phẳng ở vị trớ ứ - dưới tổng quỏt thỡ ta núi đơn giản rằng nú ở
vị trớ tổng quỏt Dễ thay rang {H; ?—Ă Ở vị trớ N - dưới tổng quỏt khi và chỉ
khi
rank(h jx) jer,o<k<n =N+1VRCQ_ voội|R| =N-+1
1.2 Trong Nochka
Với cỏc kớ hiệu như trờn và R C S C Q, ta cộ cac dinh nghĩa sau:
Trang 8sIa(S) = “ẹETR, với |S] > |R|
Bổ đề 1.2.1 Cho họ siờu phẳng {Hj}4_1 6 vi tri N - dưới tổng quỏt trong P"(C) Khi đú (Ă) Với RC Q,Ă= 1,2 rkq(SĂ U%›) +rkn(S1f1S2) < rkp(ŠS1) + rkq(%) (ii) V6iR CSCQ, |S|<N+1 |R| — rank(R) < |S| —rank(S) < N—n Chứng minh (ù) Ta cú rkq(S1US2) + rkg(S1 1%) = rk(SĂ S2) — rk(R) + rk(Sị 15a) — rk(R)
= dim(V(SĂ) +V(%)) + đim(V(SĂ)nV(%2)) — 2dimV(R) < dimV(8Ă) + dimV(%2) —2dimV(R) = rkr(S1) + rkR(S) (ii) Theo phan (i) rk(S) = rk(RU (S\R)) < rk(R) +rk(S\ R) = rk(R) + |S\R| = rk{(R) + |S| — |R| Vậy ta cú bất đẳng thức thứ nhất Lay S’ c Q, Đ C đ' sao cho |Š'| = N + 1 Từ định nghĩa N - dưới tổng quỏt ta cú |S|— rk(S) < |Š#|— rk(S) =N—n
Bổ đề 1.2.2 Cho họ siờu phẳng {(H/—Ă 6 vi tri N - dưới tổng quỏt trong
P"(C),N >n,q>2N—n+1 Khi do ton tai cdc tap con Nj, i =0, ,8 cua
3
Trang 9Q thỏa món
()No=0CNIC C M,rk(N) < n+ I
(ii)0 < shuM < SINN < <9 JM < Em <
(ii) Với 1 <i< svàN;_Ă CRẹC Q, nếu rk(NĂ 1) < rk(R) < n+ 1 thỡ SỈN, (Ni) < SỈN Ă (R), Dầu bằng xảy ra khi và chi khi RC Ni (iv) Với Nị C RC ể và rk(M) < rk(R) < n+ L, n+1—rkK(N, sly,(R) > oa Chứng minh
Ta đặt Nọ = 0, chỳng ta sẽ xỏc định N; bằng phương thức quy nạp như sau
Giả sử ta đó chọn được {N;}j_¿ thỏa món (Ă) ~ (¿) Nếu chỳng thỏa món
(iv) thỡ đú là họ cần dựng Ngược lại ta cần phải tỡm một tập con Ny41 C sao cho Ny C Mạ¿Ă và {N;}?~; thỏa món () ~ (iii)
Trang 10Theo (iii) ta cú sÍy_Ă(M) < sỈuy,,(R), VR € Z Do vậy — rk(R)— rk(N;) — rk(R)— rk(N;_1)T— (rk(N,) — rk(N,_1)) TRIN —— (RỊ=IWalD=(MI-IMI) rk(N,) —rk(M_I) s— IN Ma TM NS): Đặt Z' = {R€ 2: sIx,(R) = Êo}
Trang 11Do đú rk(N;) < rk(Rị UR¿) < n+ 1 Điều này kộo theo Rị URạ € Z Như
vậy ta cũn phải chứng tỏ rằng
& = sl(R, UR2)
Theo dinh nghia € = six,(Rị U Ra) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiờn ta chứng minh rằng rkN,(Rị 1ẹ) = rk(Rị Ra) — rk(M;) 3 eo(|RiRa|— [MỊ|) — (1.2.2) +) Nếu rk(Rị 1a) > rk(N,) thỡ Rị 1ẹ € Z, do vậy theo định nghĩa của Êo ta cú được bất đẳng thức (1.2.2) +) Nếu rk(Rị Ra) = rk(M,) Giả sử rằng |Rị 1Ra| > |M;| Ta cú rk(Rỡ Ro) — rk(Ns—1) = rk(Ns) — rk(Ns—1) > 0 và rk(Rị Ra) < rk(Rị) < n T Do vậy rk(Rỡ Ra) —rk(Ns-1) [RinRa| — |M;—Ă| = sly,_(Ns) (v6 1ý) SỈN Ă (Ns) < SỈN Ă (Ri MR?) = rk(Ns) — rk(Ns-1) SW T= IN Vậy ta cú bất đẳng thức (1.2.2) Suy ra rk(RịURa sly, (Ry UR?) = TRiURa| — IN] Se — 7 |
sly,(R1) + sly,(R2) —sly,(Ri OR)
Trang 12Định lý 1.2.3 (Trọng Nochka) Cho họ q siờu phẳng {H ;}jeo Ở vị trớ N - dưới tổng quỏt trong P"(C),q > 2N —n-+ 1 Khi đú tụn tại cỏc số hữu tỷ @(j), j € Q thỏa món cỏc mệnh đề sau (Ă)0< (7) <1,VJj€ ỉ (ii) Đặt 6ứ = max ;eo @()), thỡ (iii) A SO SH
(iv) Nếu R C Q và 0 < |R| <N+1 thi Y jer @(j) < rk(R)
Cỏc hằng số @(j) được gọi là trọng Nochka, đ được gọi là hằng số
Nochka
Chứng minh
Nộu N =n, dat w(j) = 1, Vj € Q, ta được kết luận của định lý Giả sử rằng > n Ta lấy họ {N;}j_Ă thỏa món bổ dộ 1.2.2 Khi đú |N;| < N Lấy N;¿Ă C ể thỏa món M;.Ă M; và
Như vậy rk(N,.ị) =n+t 1, sly,(Nou1) = syomete tg: Chỳng ta xỏc định cỏc hằng số @(j) như sau: sly, (Ni+1), J e Nà \Mi, 0 < i < S, o(j) = n+lI—rk(N) — In (Ns =———m MW-+| sly, ( 41) 2N —n+1—|N,| JÂ s+1 Ta sẽ chứng minh rằng chỳng thỏa món cỏc mệnh đề (7) ~ (iv) như sau () Nếu 7 ứ N;¿\, ta cú —rk(M;) < —|M;|-+N — n, do vậy n+1—|N,|+N—n
@(j) =sly,(Ns41) (7) sly, ( sti) < IN—n+1—|Ny <
Trang 14Nếu s > 0 thi rk(N,) > 1, do vậy ~ n+1—rk(Ns) Oo = — (N+l)+(N—n—|N,|) n+1—rk(N;s) = N+1—rk(N,) _ Nea N+I—rk(N) _N-n ——H =1 <1 ~ N N
(iv) Lay R C ể@ với 0 < |R| <n +1
Trang 15Ta chứng minh mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.4 Giỏ sử rằng 1 < Ă < s và |R;| > |R;+t| Khi đú
rk(Rj UNj-1) > rk(Nj-1)
Chitng minh
- V6i i= 1, rk(No) =0 < rk(R, UNo) Mộnh dộ hiộn nhiộn dung
- Với Ă > 1 Giả sử rằng rk(R¿UMN;_1) = rk(N;_Ă) Khi đú
rky,_,(RiU Ni-1) = rk(Nj-1) — rk(N;_a) >0 Suy ra rk(Nj-1 UR;) — rk(N, 2) |Ni-1 URi| — |Nj-2| rk(N;_1) — rk(Nj-2) —— |M_I|—|N-a| => sly,_,(Ni-1)- SỈN, ¿ (Ni-1 UR) = Mặt khac rk(Ny,_,) < rk(Ni-1) < rk(Ni-1 UR;) < rk(RUNs) <n, suy ra
sly,_,Ni-1 < sly,_,(Ni-1 URi)
Do vay sly,_,Ni-1 = sly,_,(Ni—-1 UR;) Điều này suy ra
\Ni-1| = |Nj-1 UR;| va |Ri-1| = |R,| Điều này mõu thuẫn chứng tỏ mệnh đề
đỳng
Bõy giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau
(IR,| — |Ri-1 |)sly,_>Ni-1 < rk(R;) = rk(Ri-1) 1 < i < s+ (1.2.3)
10
Trang 16Thật vậy, ta cú:
- Nộu |R;| — |R;_Ă| = 0 thỡ (1.2.3) là hiển nhiờn
- Nếu |R;| > |R;_ Ă| Theo mệnh đề ta cú rk(R;UN;_1) > rk(N,_Ă) Áp dụng
bổ dộ 1.2.2(iii) cho 1 < i < s và 1.2.2(v) cho Ă = s- 1 ta được
sly,_, (N;) < sIn,_, (Ni-1 URi)
Do đú ta cú:
[Ri UN-1| = |Ni-1| + [Ri] — |Ni-1 ORi| = |Ni-1| + |Ri] — |Ri-1],
rk(R; UNi-1) < rk(Nj-1) + rk{(R,) = rk(R; ANi-1)
= rk(Ni-1) + rk(Ri) — rk(Ri-1),
rk(R; UNj_-1) — rk(Nj-1) " rk(Ri) — rk(Ri-1)
Iy,_, (Ni) < sly,_, (Ni-1 URi) = =
sly,_,( i) SSÍN, Ă( i-] i) |R; UNj-1| — |Nj-1| |R;| — |R;_Ă|
Như vậy, từ bất đẳng thức cuối cựng ta thu được bất đẳng thức (1.2.3)
Từ định nghĩa họ bằng số @(ÿ) và (1.2.3) ta cú
s+l s+]
3_@(7) — ` ` o(j) = ằ y sly;_, (Ni)
icR i=1 jERA\Ri-| i=] jER\Ri-1 st] = )_ (Ril — |Ri-1|)slyj;_, (Ni) i=l s+1 = )_(rk(Ri) — rk(Ri-1)) i=1 = rk(R) —rk(Rs) + Eke) —rk(Ri-1)) = rk(R) Định lý được chứng minh
Bổ đề 1.2.5 Cho họ ạ siờu phẳng {Hj} jco 6 vi tri N - dưới tổng quỏt trong P"(C),qg>2N—n+1 Cho @(j), j € Q là cdc trong Nochka cua ho {Hj} jeo
II
Trang 17Cho {E;} Ăco là cỏc hằng sụ > 1 tựy ý Khi đú với mọi RC Q với |R|<<N +1, tụn tại cỏc chỉ số phõn biệt j\, j„(g) € R sao cho rk({ jy) = rk(R) va
rk(R)
IIE7” < H Eị,
jek i=1
Chitng minh
Bằng cỏch đổi chỉ số, ta cú thể giả stt rang E, < Ey > > Ey Dat jy =
minR, Ri = {ji} va S| = {j € RH; € V(R1)} Gia sit rang ta đó xõy dựng dude cac tap R; = {j1, , j)},1 < rk(R), ta sộ x4y dựng tập ẹ¿„Ă như sau: Ji_Ă = min{j € R,H; Â V(R))}, Riz, =R, U{l+ 1}, I SiH = ụ c€#\|J%:H;c view} k=1
Trang 19Chương 2
Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka
2.1 Cỏc hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit
2.1.1 Cỏc hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan
(a) Trong IP“(C) cố định một tọa độ thuần nhất (œ : : @„) Gọi ƒ :
ŒC” —› P"(C) là ỏnh xạ phõn hỡnh cú một biểu diễn rỳt gọn ƒ = (ƒo: : ƒa)
Cho # là siờu phẳng trong IPˆ(C) được xỏc định bởi = {@ : }ƒ—oaĂ@; —
0}, với aọ, ,a„ € C khụng đồng thời bằng khụng Như vậy H được xem là
divisor khụng điểm của nhỏt cắt ứ € [(P"(C), Họ) xỏc định bởi dạng tuyến
tớnh ỉ”(%o, , Xu) = Lg aixi
Ta đặt |lf|= (lứo|?+- +|anf)}Ÿ, lIfl|= (l@?+ +|4|)3 và (FD) =
X7_oaĂƒ; Như vậy giỏ trị của cỏc hàm này phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn rỳt gọn của ƒ và cỏc hệ số z;Ă Tuy nhiờn nếu ƒ(C”)  H hay (ƒ,H) # 0 thỡ divisor khụng điểm của hàm (ƒ,) là khụng phụ thuộc vào biểu diễn rỳt gọn
của ƒ và cỏc hệ s6 a; Ta ki hiộu divisor nay 1a (f,H) Nhu vay (f,H) = f*H
(b) Ta cú
2
f'Q\ yy = dd“log(1+3” Li Ae” = dd‘ lo ứ||/I| 7
Do vậy, ký hiệu 7;(ƒ) là hàm đặc trưng của ƒ ta cú:
14
Trang 20i dt * HE Tr(r) = Tr(z9) = | at | f2nar- B(t) = [th mĩ | d4 'leg|i/|ẫA a1 1 B(t) = f rogiitily—f tog\ifily sq) S(r)
(c) Lay H 1a siộu phang nhu muc (a) sao cho f(C”) Â H Taco f*D =
dd°log |(ƒ,H) |” Do vậy, ta kớ higu N(r, f*H) 1a ham đếm của ƒ tương ứng
với H, và N„(r, ƒ*H) là hàm đếm của ƒ tương ứng với H chặn bội đến bậc ứ ta cú Nữ, ƒ*H) = lạm ani | Jat”! = [a - sic llr= j m010 Ta kớ hiệu net la ham xp xi cia f twong ting vdi H, ta cd: T= cs tự mĩ 2.1.2 Hàm phõn hỡnh và ỏnh xạ phõn hỡnh = tf asl H)œ m—] mự(r,H) = li,
Trang 21Ta coi ƒ là ỏnh xạ phõn hỡnh từ C” vào P!(C) cú biểu diễn rỳt gọn ƒ = (fo: fi), V6i fo, fi 1a cdc ham chỉnh hỡnh thỏa món tập {z € C”: ƒo(z) = fi(z) =0} là tập giải tớch cú đối chiều > 2 khi đú ta cú định lý sau Định lý 2.1.1 7/(z) = 7ƒ) + ỉ(1) Chứng mỡinh Thật vậy, ta gọi #/ là siờu phẳng trong P†!(C) cho bởi H = {(@: @1): @ = O} Khi đú ƒ(C") Z H, theo định lý cơ bản thứ nhất cho ỏnh xạ phõn hỡnh ta cú 2 (0) =N((fa) tn.) = Mr Ado Nhàn) y+0(1) 2+ 2 4 ‘ Ill N(r, f*H) + 2 (f,4)| y+0(1) = Nữ, ƒ*H) +mr(r,H) + O(1) = Tr(r) + O(1) (Theo định lý cơ bản thứ nhất cho ỏnh xạ phõn hỡnh) Định lý được chứng minh
Hệ quả 2.1.2 ( Định lý cơ bản thứ nhất) Cho ƒ là hàm phõn hỡnh khỏc hằng
số trờn C", a là một điểm trong C, khi đú
è_) =7(/)+0(1)
TU
Chứng minh
Ta xem ƒ là ỏnh xạ phõn hỡnh vào IP"(C) với biểu diễn rỳt gon f = (fo: fi)
Áp dụng định lý cơ bản thứ nhất cho ƒ và siờu phẳng {@ : @ạ — a@Ă = 0}, ta
16
Trang 22cú 2+ 2, P(1,f) = T(r) + O(1) = N(n (fo —afa)o '+3 [2ỏ =sƒP y+0(1) — > 2 (Cea st )ytem | =e anol fi sỳt+ Trane) +O “ale m ) ema.) +001) = N(r, ( —a)o)+ t = Tne
Hệ quả được chứng minh
Trang 23“Nop (f,O1+ FDI =N(rf G)+ | Iog Ga y+o0(1) (f,G)| S(r) : IF II N(r,f*G)+ | log ds (ơn) y+O(1) =Tr()+0()
Trang 242.1.3 Bổ đề đạo hàm Logarit Cho ứg : C” —> C là hàm phõn hỡnh trờn C” Ta định nghĩa Ildzll = ( Liga ally _ ue | v S(r)
Trang 25Mặt khỏc ta cú
(„l##lh Ji + llezlỨ Y= 2 | Ilazll ag (I + log’ |g) 7 2
Trang 261 || < slog [1+ (| s'@aam')'?) + 10g" T(%.8) +0(1) B(r) r2m— 1 r I d | < 2l9g [I+mr2@Đ(= [ ù [ vena Bể] 1 B(t) +log* T(r,g) + O(1) r |< slog [1+ a8 ( f a [vena yr) +log* T(r,g) + O(1) (1+6) 2 Ta cú kết luận của bổ đề 6(2m—1) 5 log’ r+O(1) |< (i+ )log* T(r,g) +
Chi y: Nộu T(r, g) = O(logr) thi g 1a ham phan thttc, khi đú m(r, ay =
O(1) Do vay ta lu6n c6 m( r, Welly — = 0(T(7,g))
2.1.4 Wronskian tổng quỏt của ỏnh xạ phõn hỡnh
(a) Với œ = (O, , Om) € (Z*)™ Dat m ja|= Va; j=l Với (zĂ, ,z„) là tọa độ phức của C”, ta đặt piel a œ OZ, ) 0Zm" Trộn (Z*)™ ta xột quan hệ thứ tự ” <“ như sau: œ = (0i, ,0„) < B = =B/Yj<k Dđ = (Bi, ô+; Bn) â 30<k<m,
O41 < Beri (nếuk< m)
Ta viết œ< nếu œ < 8 và œ # Ta đặt œ + = (ơi + i, , đằ -E mm)
21
Trang 27Định lý 2.1.5 (Bổ đề đạo hàm logarit tổng quỏt) Cho F # 0 là hàm phõn
hỡnh trờn C" Khi đú với mọi œ = (0, , Œ„) € (Z*)'" ta cú
(i) Tứ,Đ#F) < (|ứ|+1)T(F)+ứ(T(E))
(ii) m(r, ĐẸP) = ứ(T(r,F))
Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp theo |œ| Hiển nhiờn () đỳng với |œ| = 0, và (1) đỳng với mọi œ với |œ| = 0, 1 Gia sti (i) đỳng với mọi ơ với |œ| < k— l
và (1i) đỳng với mọi œ với |œ| < k, (k > 1) Ta chứng minh (Ă) cũng đỳng với
mọi # với |œ| = k va (ii) đỳng với mọi ứ với |œ| = k+ 1
- Thõt vậy với |œ| = k, theo giả thiết quy nạp đối với (i) ta cú m(r,D%F) < m(r, ĐẸP) -+m(,F) +O(1) =mớ(r,F)-+o(T(r,F)) Nữ, (D#F)ô) < (k+1)Nữ,(F)ô~) T{r,D%F) = N{r,(D%F) )+ m(r,D*%F) < (k+1)T(,F) - Với |œ| = k+ 1, tồn tại œ > 0, đặt = (0i, , Œ;_1, Œ, Œ;+1, , đ„) ta cú mớt Ds < m(r, 2DẩF T F ˆ— ` DPF <ứ(T(éF)) +ứ(T(F)) )+m(r,DBF) =0(T(r,F))
Theo nguyờn lý quy nạp, định lý đỳng với mọi œ
(b) Kớ hiệu Z⁄„ là trường cỏc hàm phõn hỡnh trờn C” Cho ƒ là ỏnh
xạ phõn hỡnh từ C” vào P"(C) với biểu diễn ƒ = (ƒo : : ƒ;) Ta định
nghĩa Z*(ƒ) là khụng gian vộc tơ con của Z⁄'*! sinh bởi cỏc phần tử
{(Dđ% fo; ;D% fn) baj<k trộn trường „„
Ff): ({(D* fo," fn) }al<k).,
Ta chứng tỏ rằng định nghĩa Z*(ƒ) khụng phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn
của ƒ Thực vậy, giả sử ƒ cú biểu diễn khỏc ƒ = (ƒb: : ƒ„) Khi đú tổn tại
2
Trang 28hàm phõn hỡnh Ă € Z⁄„\ {0} sao cho f; =hf; Với |œ| < k ta cú (D" fo, ,D%fn) = DP n(D* fo, ,D* fn) B+A=a Do vay ({(D" fo, ,D" fn) }al<k) 4, C ({(Đ8j, Đấ ƒ,)}IgI<x) ⁄ Mm
Tương tự ta cũng cú bao hàm thức ngược lại
({(PP fo, Dđ fa) }ipick) 2 C ({(D" fo, ;D* fn) al<k)
Do vay
({(D" fo, ,D” fn) }a\<k) 4, = ({(Đ8ủ, ĐỂ /.)}\gI<x) “Z
Vậy định nghĩa Z*(ƒ) khụng phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn của ƒ Đặt ⁄4(ƒ) = dim.Z*(ƒ) Ta cú cỏc tớnh chất sau 1) F°(f) C F'(f) C Nộu tồn tại k sao cho 2#(ƒ) = Z*†!(ƒ) thỡ #°()c #!()c c.#*(7)—.*f(p)= Af) < Alf) < Nộu tdn tai k sao cho F(f) = Gers (f) thi 90) < 10) < < 4Œ) =4) =-
3/ Z(f) <n+1 Vk Tồn tại 1{ƒ) := min{k: L¿(ƒ) = L¿+:(ƒ)} khi đú
Alf) < Alf) << Lip) = Apa) =
Hiển nhiờn vỡ -⁄2(/y(ƒ) < m+ 1, nờn /(ƒ) < n
Trang 29() Giả sử ƒ suy biến tuyến tớnh, khi đú tổn tại đọ, ,ứ„ € C" khụng đồng thời bằng 0, sao cho
đoƒo + a1 ƒÍn + + azƒ„ = 0
Do vậy
aoD#f +a,D"f,; Pines +a,D" fy, =0Vơ€ "
Suy ra Lx(ƒ) < n+ 1Yk Đặc bist Fp (f) <n+1
(i) Giả sử -⁄2z¿(ƒ) < n+ 1 Như vậy ⁄4(ƒ) < n+ 1 Vk Khi đú tồn tại cỏc hàm phõn hỡnh ứạ, , ỉ„ trờn C” khụng đồng thời bằng khụng sao cho @oD#“ƒụ + @(DFƒt + + 0D”, = 0 Vơ Lấy a € C”\ (/(ƒ)(n{z: ỉĂ(z) = 0}ƒ?_o) là một điểm cố định, xột hàm chỉnh hỡnh P(z) = @(4)é7 đ(2) + ỉ\(4)DZƒủ (s) + + Pn(a)D" f(z) Ta cú D*đ(a) = @(a)D“ f(a) + 91(a)D%fila) + + gx(a)Dđ fala) = OWeL Điều này chứng tỏ rằng đ = 0
Vỡ @o(4), , 0„(a) khụng đồng thời bằng khụng, nờn ƒ(C"”) nằm trong siờu phẳng {a@: }?=o ỉj(4)@; = 0}, hay ƒ suy biến tuyến tớnh
(c) Cho f khụng suy biến tuyến tớnh, khi đú ⁄⁄2(ƒ) < 4⁄1) < < 4)() =n+ 1 Như vậy ton tại œ = (0o, , Up, 0%; € (ZT)'" thỏa món
đo < đi < < Œ„, đo = (0, ,0)
(2.1.1)
Trang 30Trờn 7 (m,n) ta xột quan hệ thứ tự, ta cũng sử dụng kớ hiệu “ <”, như sau:
œ = (0i, , 0) < = (Bi: Pa) â 30 < k< n,
œŒ; =jVj <k
On S Bevis O41 F Beri (nếuk< m)
Dat Wa (fo, -)fn) = det(D™ fi)o<ijcn-
Lay œ = (0, , œ„) là cỏc phần tử nhỏ nhất trong 7(/m,n) theo quan hệ
”<” thỏa món W2(ƒo, , ƒ„) # 0 Điều này tương đương với việc {(DE! ƒq, , Di ƒ„)},
(0 < Ă < n) là cơ sở của Z!ỉ)(7) Khi đú dễ dàng nhận thấy œ thỏa món tớnh
chất (2.1.1)
Tớnh nhỏ nhất cựng với bổ đề sau đõy chứng tỏ œ khụng phụ thuộc vào biểu diễn của ƒ
Bổ đề 2.1.7 với h 0 là hàm phõn hỡnh trờn C'" Khi đú
Trang 31
|0| <ĂVi = 1, n Đặc biệt |ứ| < 1+ +n = "EU,
(ii) Cho n+1 siộu phang Ap, , Hy 6 vi tri tong quat cia P"(C), H; = {@: ` aĂĂ@; = 0} sao cho (ƒ,H,) # 0, Vị = 0, , Khi đú = W(Œ,\) (ƒ H„)) — We((ƒ Họ) (ƒ Ha)) — đet(aĂj)0<Ă.j<n-W (ƒ) Ja ea) tO) (f,Ho) (.H„) Waray (7) +ỉ(1) , n (fHi) i=0 (f,Hp) D%i( đi) ) <of Y my, Sa # | 00) O<i,j<n (fHo) of 3` Tớ EF) +00) =o (2.1.2) 0<j<n
2.2 Định lý cơ bản thứ hai cho ỏnh xạ phõn hỡnh
Định lý cơ bản thứ hai của Cartan:
Cho ƒ là ỏnh xạ phõn hỡnh khụng suy biến tuyến tớnh từ C vào P"(C) (cú nghĩa ảnh của ƒ khụng nằm trong bắt kỳ siờu phẳng nào) Giả sử H,1<j< q) là cỏc siờu phẳng trong IP"(C) ở vị trớ tổng quỏt Khi đú:
`
Il(g—m— 1)Trữ) <XM (r)+o(r0))
ệ đú 7/(r), N;(Ƒ,H;)(r) là cỏc hàm đặc trưng và hàm đếm của f
Định lý 2.2.1 (Định lý cơ bản thứ hai) Cho ƒ : C" —> Pˆ(C) là ỏnh xạ
phõn hỡnh khụng suy biến tuyến tớnh Cho {H;}?_Ă là q siờu phẳng ở vị trớ N
26
Trang 32- dưới tổng quỏt trong IP"(C), N >n,q>2N—n+ I Khi đú
qd
|(q~2W+m~ 1)7r(r) < 3 Mứ ƒ'H;) +o(Tr())
j=l
Chứng minh
Cố định một tọa độ thuần nhất (@p : : @,) trờn P"(C) Giả sử ƒ cú biểu diộn rut gon f = (fo: .: fn) va Hj dudc xỏc định bởi dạng tuyến tớnh
I
Hi = {@: Yi a jx = 0}
k=0
Dat QO = {1, ,q} va goi {@(j)} jeg 1a ho trong Nochka ctia ho siộu phang
Trang 33Do vậy
ỉ(j)
[||| I IIứlllUll
in i) ST ke (ie) “TL If,(@)| )):
its )= Wal fos ., fn) 1a Wronskian tong quat của ƒ Với Rọ = {jI› -; jzw(R) }›
đặt Wu(ƒ) = Wa(fj,(ƒ) ;„„„ (/)) Khi d6 voi c  (I(f) Ujeo f'(A))), ta cú Ts o(j) a (IIA " A qi j=l (f(z ))| xI|W()(2l<cllƒ@)I?'x 3 TI (jen) * |R|=N+1/€R -( ma T<e I;()(2)| IWz,(/)(z)| =C n+1 x 0 J , ee (tee)
trong d6 Cp 1a một hang sộ dudng phu thudc vao R Suy ra
Trang 34Để tiếp tục, ta chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.2 Với a ứ !(ƒ), ta cú 4 4 ˆ };9018/0))6(2)~ )< };e(0)mn{(,0)06).n} Chứng minh Thực vậy, vỡ z ý /(ƒ) nờn cú khụng quỏ N chỉ số j € Q sao cho H(f)(a) = 0
Khụng mắt tớnh tổng quỏt ta cú thể giả sử rằng
Trang 35Kết hợp (2.2.3) và (2.2.5), ta thu được l~2N+n=1Jf/)< ẩ “SˆN(n/"H,)+a(0/0) < Ÿ` Ms /*Hj) + 0(T/(r)) j=l Định lý được chứng minh Định lý 2.2.3 Cho ƒ : C" —> P"(C) là ỏnh xạ phõn hỡnh cú hạng bằng d,1<d<N Cho {Hi} là q siờu phẳng ở vị trớ N - dưới tổng quỏt trong
P"(C) sao cho (f,Hj) #OV1 < j < q Khi đú ta cú
Chứng minh
Gọi W là khụng gian con tuyến tớnh nhỏ nhất của IP“(C) chứa ƒ(C”) Vỡ dimW = đ, nờn bằng cỏch đổi hệ tọa độ thuần nhất của IP“(C) ta cú thể giả
sử rằng
W = {0:41 = = @„} =0
Vỡ ƒ(”) C W nờn ƒ cú biểu diộn rut gon cộ dang f = (fo: .: fa: 0 : 0)
Trang 36Chỳ ý rằng, vỡ (ƒ,H;) # 0 nờn a;o, z;¿ khụng đồng thời bằng khụng, do
đú họ siờu phẳng {Hj}4_, như trờn là tồn tại Ta dộ thay rang
1/ ƒ khụng suy biến tuyến tớnh,
2/ Tr(r) = T(r) +O(1),
3 (ƒ,Hj) =(ƒ,Hj),1<j<4
4/ ta ở vị trớ N - dưới tổng quỏt trong P“(C)
Áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho ỏnh xạ ƒ và họ siờu phẳng {H,}ƒ_ ta được q |lq@—2W+đ— 1)T SY Na PH) +0(T;(r)) Do vay HK sung lớq~2M+4~ 1)f/()< ` “DA, ƒ*H))+o(T,()) j=l q < i Nar, f°Hj) + 0(Tp(r)) j=l Định lý được chứng minh 2.3 Quan hệ số khuyết
Từ định lý cơ bản thứ hai cho ỏnh xạ phõn hỡnh vào khụng gian xạ ảnh phức, ta cú định lý sau đõy về quan hệ số khuyết
Trang 37Định lý 2.3.2 Cho ƒ : C“ — P"(C) là ỏnh xạ phõn hỡnh cú hạng bằng d, 1<d<N Cho {H/—Ă là q siờu phẳng ở vị trớ N - dưới tổng quỏt trong P"(C) sao cho (f,Hj)o(z) > bj voi moi z € Supp(f,Hj)o, 1 < j <q Khi đú ta cộ 2 d } (—-—)<2N-d+1 i=l Hj Chiing minh Nếu vj < +00 thi ta c6
6a(f, Hj) = ủm, yun dF") >I-đlm, Ti) = ,„ lứ/*H;) > Nự,ƒ*'Hj) “Mỹ
Nộu v; = + thỡ hiển nhiờn ủ =0 Giả sử S = {j: (ƒ,H,) =0} cú #S =
k <q Vay họ siờu phẳng {/7;} ;zs ở vị trớ (W + 1 — k) - dưới tổng quỏt trong IP2(C) Theo định lý về quan hệ số khuyết ta cú
q
Ÿ`—“)<k+ệ} 8/Œ.Hj) <k+(O(N—k)—4+1) <2N—d+T,
jal igs
Định lý được chứng minh
Hệ qua 2.3.3 Cho ƒ : C” —› P"(C) là ỏnh xạ phõn hỡnh khụng suy biến
tuyến tớnh Cho {Hj}41 là q siờu phẳng ở vị trớ dưới tổng quỏt trong P"{(C), ạ > n+2 Khi đú ta cú (i) ||Íq~n~ 1)Tr(r) < X?—Ă Mứ, ƒ*H,) +o(Tr0)), (ii) Xj—Ă ỗ(ƒ.Hj) <Sạ—n— 1 Định lý 2.3.4 (Bổ đề Borel) Cho #; # 0,0 < j < n là cỏc hàm chỉnh hỡnh trờn C" và d cẹ Giả sử rằng Fest F[+ + Fÿ =0 Khi đú, nếu d > n(n — 2) thỡ tụn tại phõn hoạch cỏc chỉ số {0, ,n} = Ulạ thỏa món
(i) #lg, > 2 với mọi Œ,
(ii) # = const € C\ {0} vội moi i, j € Ta,
(iii) Diety Ff = 0
32
Trang 38Chứng minh
Ta phan hoach tap chi sộ {0, ,2} = Ug sao cho iB = const € C \ {0}
khi va chi khi 7, j cing thu6c mot tap con Jy Ta chi cần chứng minh họ {7„}
thỏa món hai tinh chat (i) va (iii) 14 được
(a) Dộ ching minh (i), ta chỉ cần chứng minh rang với mọi 0 < Ă < m tồn
tại j z Ă sao cho P = const € C\ {0}
Thực vậy với Ă cố định, lấy là số nhỏ nhất sao cho tổn tại cỏc chỉ số
lị, ,l; và cỏc hằng số khỏc khụng c\, c, thỏa món
2_—\ d
h — in =
I=I
Giả sử > I, xột ỏnh xạ phõn hỡnh F = (Fộ i eae F2) :Cm —>y P'-!(C) Vỡ
tớnh nhỏ nhất của Ê nờn Ƒ là ỏnh xạ phõn hỡnh khụng suy biến tuyến tớnh Ap dụng định lý 2.3.2 cho # và cỏc siờu phẳng tọa d6 H; = {@; = 0},i= 0, 7— 1 và H, = {Jj_ĂcĂ@;_Ă = 0} ta cú - t—1 xỳ 7) St Nhu vay d < (t+1)(t—1) <n(n+2) (v6 ly) Diộu này chứng tỏ rằng < 1 Ta đặt j = ĂĂ Khi đú a = const € C\ {0} (b) Với mỗi o lay 6 dinh ig € Iq Dat Djcg Fd = caFf, với ca € C Dat S={œ: cạ # 0} Giả sử Đ # 0 Ta cú y cok =0 acs
Như vậy #Š > 2 Chứng minh tương tự như phần (a), ta sẽ được a@, B € S sao
cho Fe = const € C \ {0} Diộu nay mau thuan vội dinh nghia ctia ho {Iq}
Do vay S = 0, hay };c„ F7! =0, Vơ
Từ (a), (b) và định nghĩa của họ {7„} ta cú chứng minh của định lý
33
Trang 39KẾT LUẬN
Luận văn trỡnh bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết Nevanlinna cho khụng gian xạ ảnh phức Mục đớch chớnh của luận văn là nghiờn cứu trọng Nochka và định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka cho ỏnh xạ phõn hỡnh Cỏc vẫn đề được trỡnh bày trong luận văn gồm:
- Sự tồn tại của trọng Nochka cho một hệ tựy ý cỏc siờu phẳng ở vị trớ dưới
tổng quỏt
- Định lý cơ bản thứ hai cho ỏnh xạ phõn hỡnh vào khụng gian xạ ảnh khụng suy biến tuyến tớnh và cỏc siờu phẳng ở vị trớ dưới tổng quỏt
- Quan hệ số khuyết được sinh ra từ Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochka
34
Trang 40Tài liệu tham khảo
[1] Fujimoto H (1993), Value distribution theory of the Gauss map of mini-
mal surfaces in R™, Vieweg-Verlag, Braunschweig
[2] Nochka E I (1983), On the theory of meromorphic functions, Soviet
Math Dokl 27, 377-391
[3] Noguchi J and Winkelman J (2014), Nevanlinna Theory in Several Com- plex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der math-
ematischen Wissenenschaften 350, springer Japan
35