Định lý cơ bản thứ hai cartan của lý thuyết nevanlinna

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn TS Hà Trần Phương thầy giáo tổ Giải tích trường ĐHSP Thái Ngun truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSP Thái Nguyên khoa Tốn nơi mà tơi đào tạo hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè nguồn động viên lớn lao q trình tơi làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Tác giả Hà Thị Thanh Huyền Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mục lục Mở đầu 1 Một số khái niệm Lý thuyết Nevanlinna 1.1 1.2 Một số khái niệm 1.1.1 Hàm đếm 1.1.2 Hàm xấp xỉ 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n 1.1.4 Hàm đặc trưng 1.1.5 Họ siêu phẳng vị trí tổng quát Một số định lý mệnh đề Định lý thứ hai Cartan 2.1 Công thức Jensen 2.2 Bổ đề đạo hàm logarit 12 2.3 Định lý thứ hai Cartan 17 Ứng dụng Định lý thứ hai toán xác định ánh xạ chỉnh hình 19 3.1 Định lý Smiley 19 3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ siêu phẳng 21 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Năm 1925 Nevanlinna công bố nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình Kết sau nhanh chóng mở rộng sang trường hợp chiều cao hình thành Lý thuyết mang tên Nevanlinna Trọng tâm Lý thuyết Nevanlinna hai định lý bản, thứ thứ hai Trong Định lý thứ hệ trực tiếp công thức Jensen Định lý thứ hai cịn biết đến trường hợp Năm 1933 Cartan mở rộng kết Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức C sang khơng gian xạ ảnh phức n chiều CP n : Với ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C → CP n q siêu phẳng H1 , , Hq vị trí tổng quát CP n , H Cartan chứng minh: với r > ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, q (q − n − 1) Tf (r) ≤ j=1 [n] NHj (f ) (r) + o (Tf (r)) Định lý không kết cho trường hợp chiều cao, mà chứng minh cịn có vai trị quan trọng việc chứng minh Định lý thứ hai nhiều trường hợp khác Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu cách chứng minh kết có tính chất khơi đầu nói Bên cạnh đó, chúng tơi tìm hiểu ứng dụng Lý thuyết Nevanlinnna toán xác định ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Chúng tơi trình bày số khái niệm Lý thuyết Nevanlinna Chương 2: Chúng tơi trình bày Định lý thứ hai Cartan Chương 3: Ứng dụng Định lý thứ hai Cartan toán xác định ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Lý thuyết Nevanlinna 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Hàm đếm Cho ϕ hàm phân hình khác đồng khơng C Kí hiệu νϕ divisor khơng điểm ϕ, có nghĩa νϕ (a) = m a không điểm bội m ϕ νϕ (a) = trường hợp lại Với số nguyên dương ( +∞ ) k , đặt n[k] ϕ (t) = {νϕ (z) , k}, |z| Định nghĩa 1.1 Hàm đếm không điểm ϕ với bội ngắt k định nghĩa sau [k] Nϕ (r) r = [k] nϕ (t) t dt Trong trường hợp k = +∞, ta bỏ ký tự [k] hàm đếm divisor Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Hàm xấp xỉ Định nghĩa 1.2 Hàm xấp xỉ ϕ định nghĩa m (r, ϕ) = 2π log+ |ϕ (z)| dθ |z|=r Ở ta kí hiệu log+ x = max {log x, 0}, với x ∈ (0, +∞) Ta để ý log x = log+ x − log+ x1 , |log x| = log+ x + log+ x1 , log+ n n xj ≤ j=1 log+ log+ xj + log n, j=1 n n xj ≤ j=1 log+ xj j=1 Từ suy n n m r, ϕj m (r, ϕj ) + O (1), j=1 j=1 n n m r, ϕj j=1 1.1.3 ≤ ≤ m (r, ϕj ) j=1 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n Định nghĩa 1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n hay gọi đường cong chỉnh hình, khơng gian xạ ảnh CP n định nghĩa ánh xạ f = (f0 : : fn ) : C → CP n z → (f0 (z) : : fn (z)) fj , ≤ j ≤ n, hàm nguyên C Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Hàm đặc trưng Cho f : C → CP n ánh xạ chỉnh hình khác với biểu diễn rút gọn f = (f0 : : fn ) Khi với siêu phẳng H : a0 x0 + + an xn = thuộc CP n , đặt (f, H) = H (f ) := a0 f0 + + an fn [k] Dễ dàng nhận thấy hàm đếm NH(f ) (r) không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn f biểu diễn phương trình H Kí hiệu f = |f0 |2 + + |fn |2 Định nghĩa 1.4 Hàm đặc trưng f định nghĩa Tf (r) = 2π log f dθ − |z|=r 1.1.5 2π log f dθ, r > |z|=1 Họ siêu phẳng vị trí tổng quát Định nghĩa 1.5 Họ siêu phẳng H1 , , Hq thuộc CP n gọi vị trí tổng quát với họ k siêu phẳng chúng ( k ≤ n + ) giao k siêu phẳng phẳng có số chiều n − k Trong trường hợp q ≥ n + 1, họ siêu phẳng nói vị trí tổng quát giao họ n + siêu phẳng chúng rỗng 1.2 Một số định lý mệnh đề Mệnh đề 1.6 Cho n+1 siêu phẳng H0 , , Hn vị trí tổng quát CP n ánh xạ chỉnh hình khác f : C → CP n Đặt F = (H0 (f ) : : Hn (f )) Khi Tf (r) = TF (r) + O (1) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn P để mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) trừ tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Chú ý 1.7 Ta sử dụng kí hiệu Định lý 1.8 (Định lý Stoke) Cho D miền C với biên ∂D thuộc lớp C Xét η = P dz + Qd¯ z 1− dạng thuộc lớp C lân ¯ Khi ta có cận mở D dη = D ∂D − dη = ∂Q ∂P + dz ∧ d¯ z ∂ z¯ ∂z D Cho ϕ hàm khả vi C ( = R2 ), nhận giá trị phức Biểu diễn ϕ = u (x, y) + iv (x, y) Kí hiệu ∂ϕ ∂x = ∂u ∂x ∂v + i ∂x , ∂ϕ ∂y = ∂u ∂y ∂v + i ∂y , ∂ϕ ∂z = ∂ϕ ∂x − i ∂ϕ ∂y , ∂ϕ ∂ z¯ = ∂ϕ ∂x + i ∂ϕ ∂y , dz = dx + idy, d¯ z = dx − idy , ∂ϕ = dc ϕ = ∂ϕ ∂z dz, i 4π ¯ = ∂ϕ ∂ϕ z, ∂ z¯ d¯ ¯ − ∂ϕ = ∂ϕ 4π ∂ϕ ∂x dy − ∂ϕ ∂y dx , ¯ dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ i ¯ 2π ∂ ∂ϕ ∂ ϕ = 2πi ∂z∂ z z¯ dz ∧ d¯ Đối với toạ độ cực, z = reiθ , z¯ = re−iθ , ta có Ta có ddc ∂ = Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15  ≤ 12 log 1 + πrδ (để ý d dr r r d dr 1+δ f ∗Φ dt t   + log+ Tf (r) + O (1) ∆(t) ∗ f Φ ∗ dt t f Φ= ∆(r) ) r ∆(t) ≤ 12 log + πrδ µ(r)(1+δ) ≤ 1+ (1+δ) 2 + log+ Tf (r) + O (1) log+ Tf (r) + 2δ log+ r + O (1) Ta có điều phải chứng minh Hệ 2.5 Cho f hàm phân hình khác Khi m r, f f = o (Tf (r)) Bổ đề 2.6 (Bổ đề đạo hàm logarit cho đạo hàm bậc cao) Cho f hàm phân hình khác Khi a) Tf (k) (r) ≤ (k + 1) Tf (r) + o (Tf (r)), (k) b) m r, f f = o (Tf (r)), f (k) đạo hàm cấp k f Chứng minh Theo bổ đề đạo hàm logarit ta có kết luận a), b) với k = 0, Giả sử a) với k ≤ n − b) với k ≤ n, n ≥ Ta chứng minh a), b) với k = n k = n + Ta có m r, f (k) ≤ m r, f (k) f + m (r, f ) + O (1) = m (r, f ) + o (Tf (r)) , N (r) ≤ (k + 1) N f1 (r) f (k) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Do theo Định lý thứ nhất, ta có Tf (k) (r) = N f (k) (r) + m r, f (k) ≤ (k + 1) Tf (r) + o (Tf (r)) , f (k) ≤ m r, (k) f f (k+1) m r, f f (k) + m r, f ≤ o Tf (k) (r) + o (Tf (r)) = o (Tf (r)) Ta nhận điều phải chứng minh Bổ đề 2.7 (Bổ đề đạo hàm logarit cho trường hợp chiều cao) Cho f : C → CP n ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính Khi với n+1 siêu phẳng H0 , , Hn vị trí tổng quát CP n ta có m r, W (f0 , , fn ) H0 (f ) Hn (f ) = o (Tf (r)) , (f0 : : fn ) biểu diễn rút gọn f Chứng minh Ta có W (f0 , , fn ) = c.W (H0 (f ) , , Hn (f )), với c số Khơng tính tổng qt, giả sử H0 (f ) ≡ Khi m r, H (f ) W (f0 , ,fn ) H0 (f ) Hn (f ) = m r, n (f ) W 1, H1 (f ) , , H H (f ) 0 H1 (f ) Hn (f ) H0 (f ) H0 (f )   ≤ O (f,Hi ) (f,H0 ) m r, (f,Hi ) 1≤i,k≤n + O (1) (k)   + O (1) (f,H0 ) n =o T (f,Hi ) (r) + O (1) = o (Tf (r)) i=1 (f,H0 ) Bổ đề 2.8 Cho f : C → CP n ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Giả sử H1 , , Hn siêu phẳng vị trí tổng quát CP n Khi q q νHj (f ) − νW (f ) ≤ j=1 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên νHj (f ) , n j=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Chứng minh Lấy a thuộc C Do H1 , , Hn vị trí tổng quát nên tồn không n số j cho Hj (f (a)) = Khơng tính tổng qt, giả sử νH1 (f ) (a) ≥ ≥ νHn (f ) (a) ≥ = νHn+1 (f ) (a) = = νHq (f ) (a) Ta có q j=1 n+1 νHj (f ) (a) − νW (f ) (a) = j=1 νHj (f ) (a) − νW (H1 (f ), ,Hn+1 (f )) (a) n+1 n+1 ≤ j=1 νHj (f ) (a) − j=1 max νHj (f ) (a) − n, n+1 = j=1 νHj (f ) (a) , n q = j=1 2.3 νHj (f ) (a) , n Định lý thứ hai Cartan Định lý 2.9 (Định lý thứ hai Cartan) Cho f : C → CP n ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Giả sử H1 , , Hn siêu phẳng vị trí tổng quát CP n Khi q [n] (q − n − 1) Tf (r) ≤ NHj (f ) (r) + o (Tf (r)) j=1 Chứng minh Do siêu phẳng H1 , , Hn vị trí tổng quát nên q |Hj (f )| log j=1 |W (f )| = |Hj (f )| log max J⊂{1, ,q},#J=q−n−1 j∈J − |W (f )| |Hi (f )| max I⊂{1, ,q},#I=n+1 log i∈I log+ ≥ (q − n − 1) log f − I⊂{1, ,q},#I=n+1 |W (f )| |Hi (f )| i∈I Lấy tích phân hai vế đường tròn |z| = r, áp dụng cơng thức Jensen, Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 Bổ đề đạo hàm logarit Bổ đề 2.8 ta có q q j=1 [n] NHj (f ) (r) ≥ ≥ 2π 2π |Hj (f )| log |z|=r j=1 W (f ) (q − n − 1) dθ + O (1) log f dθ − |z|=r I |z|=r |W (f )| |Hi (f )| dθ + O (1) i∈I = (q − n − 1) Tf (r) − o (Tf (r)) Ta nhận điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Chương Ứng dụng Định lý thứ hai toán xác định ánh xạ chỉnh hình Một ứng dụng đẹp đẽ Lý thuyết Nevanlinna toán xác định ánh xạ chỉnh hình Được lần đầu nghiên cứu Nevanlinna cho trường hợp hàm phân hình, ngày toán xác định ánh xạ phân hình thu nhiều kết thú vị đơng đảo nhà tốn học Chúng tơi đưa kết chủ đề cho trường hợp chiều cao đạt Smiley kết mở rộng gần Dethloff-Quang-Tan 3.1 Định lý Smiley Định lý 3.1 (Định lý Smiley) Cho f g hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ C vào CP n Giả sử H1 , , H3n+2 siêu phẳng vị trí tổng quát CP n Giả sử điều sau thoả mãn i) f −1 (Hj ) = g −1 (Hj ) , j = 1, , 3n + 2, ii) f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅, với ≤ i = j ≤ 3n + 2, Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 3n+2 iii) f = g f −1 (Hj ) j=1 Khi f ≡ g Chứng minh Giả sử trái lại f ≡ g Lấy siêu phẳng H cho f −1 (H) ∩ f −1 (Hj ) = ∅, ∀j = 1, , 3n + Khi tồn số i, chẳng hạn i = cho H1 (f ) H1 (g) ≡ H (f ) H (g) Thật vậy, trái lại suy Hj (f ) Hj (g) ≡ , H (f ) H (g) với j = 1, , 3n + Khi Hj (f ) Hj (g) ≡ , H1 (f ) H1 (g) với j = 1, , 3n + Vậy f ≡ g Điều mâu thuẫn Do Từ iii) suy H1 (f ) H1 (g) ≡ H (f ) H (g) H1 (f ) H(f ) − H1 (g) H(g) 3n+2 = f −1 (Hj ) j=1 Kết hợp với ii) ta có 3n+2 j=1 [1] NHj (f ) (r) ≤ N H1 (f ) − H1 (g) (r) H(f ) H(g) ≤ T H1 (f ) − H1 (g) (r) + O (1) H(f ) H(g) ≤ T H1 (f ) (r) + T H1 (g) (r) + O (1) H(f ) H(g) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O (1) Tương tự 3n+2 [1] NHj (g) (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O (1) j=1 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Do 3n+2 3n+2 [1] NHj (f ) (r) (Tf (r) + Tg (r)) ≥ [1] + j=1 NHj (g) (r) + O (1) j=1 Mặt khác theo Định lý thứ hai ta có 3n+2 [1] NHj (f ) (r) j=1 ≥ n 3n+2 [n] NHj (f ) (r) ≥ j=1 3n+2 [1] NHj (g) (r) ≥ j=1 2n + Tf (r) − o (Tf (r)) , n 2n + Tg (r) − o (Tg (r)) n Do ta có (Tf (r) + Tg (r)) ≥ 2n + (Tf (r) + Tg (r)) + o (Tf (r) + Tg (r)) n Điều mâu thuẫn Vậy ta nhận điều phải chứng minh 3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ siêu phẳng Gần Dethloff-Quang-Tan mở rộng kết tới trường hợp hai họ siêu phẳng, số lượng siêu phẳng giảm, ánh xạ chỉnh hình khác Để tiện việc trình bày, chúng tơi phát biểu chứng minh kết Dethloff-Quang-Tan trường hợp đặc biệt ánh xạ khơng suy biến tuyến tính Định lý 3.2 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính 2n+3 từ C vào CP n Cho {Hj }2n+3 j=1 {Lj }j=1 hai họ siêu phẳng vị trí tổng quát CP n Giả sử a) b) f −1 (Hj ) = g −1 (Lj ) với ≤ j ≤ 2n + , f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ với ≤ i < j ≤ 2n + , Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 c) (f,Hi ) (g,Li ) Khi = (f,Hj ) (g,Lj ) 2n+3 k=1 k=i,j f −1 (Hk ) với ≤ i < j ≤ 2n + (f, H1 ) (f, H2n+3 ) ≡ ··· ≡ (g, L1 ) (g, L2n+3 ) Hơn tồn biến đổi xạ ảnh L CP n cho L(f ) ≡ g L(Hj ) = Lj với j ∈ {1, , 2n + 3} Chứng minh Trước hết ta chứng minh (f, H1 ) (f, H2n+3 ) ≡ ··· ≡ (g, L1 ) (g, L2n+3 ) (3.1) Ta chia làm hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Tồn J := {j0 , , jn } ⊂ {1, , 2n + 3} cho (f, Hjn ) (f, Hj0 ) ≡ ··· ≡ (g, Lj0 ) (g, Ljn ) định nghĩa ≡ u Ta có u hàm chỉnh hình không triệt tiêu Do Hj0 , , Hjn vị trí tổng quát nên F := (f, Hj0 ) : · · · : (f, Hjn ) biểu diễn rút gọn ánh xạ chỉnh hình F từ Cm vào CP n Ta có TF (r) = Tf (r) + O(1) Giả sử (3.1) không Khi tồn i0 ∈ {1, , 2n+3}\{j0 , , jn } cho (f, Hi0 ) ≡ u (g, Li0 ) (3.2) 2n+3 i0 Do họ {Hj }2n+3 : j=1 {Lj }j=1 vị trí tổng quát, nên tồn H a0 ω0 + · · · + an ωn = 0, Li0 : b0 ω0 + · · · + bn ωn = CP n cho i0 (f, Hi0 ) ≡ (F, H i0 ), (g, Li0 ) ≡ b0 (g, Lj0 ) + · · · + bn (g, Ljn ) ≡ (F,Lu ) Khi (3.2) ta có (F, H i0 ) (f, Hi0 ) ≡ ≡ (F, Li0 ) u(g, Li0 ) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Vậy (f,Hj0 ) (f,Hi0 ) (F,H i0 ) −1 2n+3 (Hk ), = = u k=1 f (g,Lj0 ) (g,Li0 ) (F,Li0 ) k=i,j i0 (f,H ) (f,H ) ) −1 (Hk ) u = (g,Ljj1) = (g,Lii0) = u (F,H 2n+3 k=1 f i 0) (F,L k=i,j u= Do (F,H i0 ) (F,Li0 ) 2n+3 = k=1 k=i,j f −1 (Hk ) Suy q [1] N(f,Hk ) (r) ≤ N (F,H i0 ) −1 (F,Li0 ) k=1,k=i0 (r) ≤ T (F,H i0 ) (r) + O(1) ≤ TF (r) + O(1) = Tf (r) + O(1) (F,Li0 ) Do đó, theo Định lý thứ hai Cartan ta có 2n+3 2n+3 [1] N(f,Hk ) (r) Tf (r) + O(1) ≥ k=1,k=i0 ≥ k=1,k=i0 ≥ [n] N (r) n (f,Hk ) n+1 Tf (r) − o(Tf (r)) n Mâu thuẫn Vậy ta nhận (3.1) trường hợp Trường hợp 2: Với J ⊂ {1, , 2n + 3} với #J = n + 1, tồn cặp i, j ∈ J cho (f, Hi ) (f, Hj ) ≡ (g, Li ) (g, Lj ) Xét quan hệ tương đương L := {1, · · · , 2n + 3} sau: i ∼ j  (f, Hi )  det  (g, Li )  (f, Hj )   = (g, Lj ) Đặt {L1 , · · · , Ls } = L/ ∼ Khi đó, #Lk ≤ n với k ∈ {1, · · · , s} Khơng tính tổng qt giả sử Lk := {ik−1 +1, · · · , ik } (k ∈ {1, · · · , s}), = i0 < · · · < is = 2n + Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Xét ánh xạ σ : {1, · · · , q} → {1, · · · , 2n + 3} cho  i + n σ(i) = i + n − q i ≤ n + 3, i > n + Dễ ràng nhận thấy σ đơn ánh | σ(i) − i |≥ n Do i σ(i) thuộc hai tập phân biệt {L1 , · · · , Ls } Suy với i ∈ {1, , q}, ta có  (f, Hi )  Pi := det   (f, Hσ(i) )   = (g, Lσ(i) ) (g, Li ) Ta có 2n+3 [1] νPi ≥ min{ν(f,Hi ) , ν(g,Li ) } + min{ν(f,Hσ(i) ) , ν(g,Lσ(i) ) } + ν(f,Hj ) (3.3) j=1 j=i,σ(i) Mặt khác từ f −1 (Hk ) = g −1 (Lk ) ta có min{ν(f,Hk ) , ν(g,Lk ) } ≥ min{ν(f,Hk ) , n} + min{ν(g,Lk ) , n} − n min{ν(f,Hk ) , 1} [n] [n] [1] = ν(f,Hk ) + ν(g,Lk ) − nν(f,Hk ) , với k ∈ {i, σ(i)} Do từ (3.3) ta có [n] [n] [n] [n] νPi ≥ ν(f,Hi ) + ν(g,Li ) + ν(f,Hσ(i) ) + ν(g,Lσ(i) ) 2n+3 − [1] nν(f,Hi ) − [1] nν(f,Hσ(i) ) [1] + ν(f,Hj ) j=1 j=i,σ(i) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Vậy với i ∈ {1, , 2n + 3} ta có [p] [n] [n] [n] NPi (r) ≥ N(f,Hi ) (r) + N(g,Li ) (r) + N(f,Hσ(i) ) (r) + N(g,Lσ(i) ) (r) 2n+3 − [1] nN(f,Hi ) (r) − [1] nN(f,Hσ(i) ) (r) [1] N(f,Hj ) (r) + j=1 j=i,σ(i) (3.4) Từ cơng thức Jensen ta có log |Pi |σ + O(1) NPi (r) = S(r) log(|(f, Hi )|2 + |(f, Hσ(i) )|2 ) σ ≤ S(r) log(|(g, Li )|2 + |(g, Lσ(i) )|2 ) σ + O(1) + S(r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) Vì từ (3.4) với i ∈ {1, , q} ta có [n] [n] [n] [n] N(f,Hi ) (r) + N(g,Li ) (r) + N(f,Hσ(i) ) (r) + N(g,Lσ(i) ) (r) 2n+3 − [1] nN(f,Hi ) (r) − [1] nN(f,Hσ(i) ) (r) [1] + N(f,Hj ) (r) j=1 j=i,σ(i) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) (3.5) Do 2n+3 2n+3 [n] N(f,Hj ) (r) + [n] N(g,Lj ) (r) j=1 [1] + N(f,Hj ) (r) j=1 ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg (r) + O(1) (3.6) Mặt khác từ f −1 (Hj ) = g −1 (Lj ) ta có 2n+3 [n] N(f,Hj ) (r) j=1 + [n] N(g,Lj ) (r) + 2n+3 [1] [1] N(f,Hj ) (r) + N(g,Lj ) (r) j=1 ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg (r) + O(1) (3.7) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Do 2+ 2n 2n+3 [n] [n] N(f,Hj ) (r) + N(g,Lj ) (r) ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg (r) + O(1) j=1 (3.8) Từ (3.8) Định lý thứ hai cho f siêu phẳng Hj cho g siêu phẳng Lj ta có (n + 2)(2 + ) Tf (r) + Tg (r) ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg (r) 2n +o Tf (r) + Tg (r) Mâu thuẫn Vậy ta nhận (3.1) trường hợp Giả sử Hj : aj0 ω0 + · · · + ajn ωn = 0, Lj : bj0 ω0 + · · · + bjn ωn = (j = 1, , 2n + 3) Đặt  a10 a20 a1n a2n   b10 b20 b1n b2n           , B :=  , A :=          a(n+1)0 a(n+1)n b(n+1)0 b(n+1)n L = B −1 · A Từ (3.1), ta có A(f ) ≡ B(g) Vậy L(f ) ≡ g Đặt Hj∗ = (aj0 , , ajn ) ∈ Cn+1 , L∗j = (bj0 , , bjn ) ∈ Cn+1 Ta viết ∗ Hj∗ = αj1 H1∗ + · · · + αj(n+1) Hn+1 L∗j = βj1 L∗1 + · · · + βj(n+1) L∗n+1 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Từ (3.1) ta có αj1 (f, H1 ) + · · · + αj(n+1) (f, Hn+1 ) (f, H1 ) (f, Hn+1 ) ≡ ≡ ··· ≡ , βj1 (g, L1 ) + · · · + βj(n+1) (g, Ln+1 ) (g, L1 ) (g, Ln+1 ) với j ∈ {1, , 2n + 3} Kéo theo (αj1 − βj1 )(f, H1 ) + · · · + (αj(n+1) − βj(n+1) )(f, Hn+1 ) ≡ 0, (3.9) với j ∈ {1, , q} Mặt khác f không suy biến tuyến tính {Hj }n+1 j=1 vị trí tổng quát CP n Do từ (3.9) ta có (αj1 − βj1 )(ω, H1 ) + · · · + (αj(n+1) − βj(n+1) )(ω, Hn+1 ) = 0, (3.10) với ω j ∈ {1, , 2n + 3} Xét siêu phẳng αj : αj1 ω0 + · · · + αj(n+1) ωn = βj : βj1 ω0 + · · · + βj(n+1) ωn = (j = 1, , 2n + 3) Từ (3.10) ta có (A(ω), αj ) = (A(ω), βj ) (3.11) với ω j ∈ {1, , 2n + 3} Với j ∈ {1, , 2n + 3} ω ta có (ω, Hj ) = αj1 (ω, H1 ) + · · · + αj(n+1) (ω, Hn+1 ) = (A(ω), αj ) (3.11) = (A(ω), βj ) = (B · L(ω), βj ) = βj1 (L(ω), L1 ) + · · · + βj(n+1) (L(ω), Ln+1 ) = (L(ω), Lj ) Do L(Hj ) = Lj với j ∈ {1, , 2n + 3} Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: Trình bày số khái niệm kết Lý thuyết Nevanlinna Trình bày cách tường minh phép chứng minh Định lý thứ hai Cartan Lý thuyết Nevanlinna Trình bày ứng dụng Định lý thứ hai Cartan toán xác định ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Tài liệu tham khảo [1] Gerd Dethloff and Sy Duc Quang and Tran Van Tan (2011), A uniqueness theorem for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc Amer Math Soc [2] Hirotaka Fujimoto (1993), Value Distribution Theory of the Gauss Map of Minimal Surfaces in Rm , Aspects of Math E 21 [3] Noguchi (March 2004), Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation [4] Smiley (1983), Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math 25, pp 149-154 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... số khái niệm kết Lý thuyết Nevanlinna Trình bày cách tường minh phép chứng minh Định lý thứ hai Cartan Lý thuyết Nevanlinna Trình bày ứng dụng Định lý thứ hai Cartan tốn xác định ánh xạ chỉnh... thuyết Nevanlinna hai định lý bản, thứ thứ hai Trong Định lý thứ hệ trực tiếp công thức Jensen Định lý thứ hai cịn biết đến trường hợp Năm 1933 Cartan mở rộng kết Nevanlinna sang trường hợp ánh... Một số định lý mệnh đề Định lý thứ hai Cartan 2.1 Công thức Jensen 2.2 Bổ đề đạo hàm logarit 12 2.3 Định lý thứ hai Cartan