Phương trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VẨ ĐẨO TẠO ĐẠIăH CăĐẨăN NG LÊăTHỊăKIMăÁNH PH NGăTRỊNHăVÔăĐỊNHăNGHIỆMăNGUYÊNă VẨăỨNGăDỤNG LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐƠăn ngă - Nĕmă2015 BỘ GIÁO DỤC VẨ ĐẨO TẠO ĐẠIăH CăĐẨăN NG LÊăTHỊăKIMăÁNH PH NGăTRỊNHăVƠăĐỊNHăNGHIỆMăNGUNă VẨăỨNGăDỤNG Chun ngành: Ph ngăphápătốnăs ăcấp Mƣăsố:ăă60.46.01.13 LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ng ờiăh ớngăd nă khoaăhọc:ăăTS.ăNGUYỄNă NG CăCHÂU ĐƠăn ngă Nĕmă2015 LỜIăCAMăĐOAN Tơiăxinăcamăđoanăluậnăvănănàyălàăcơngătrìnhănghiênăcứuăcủaăriêngătơi Cácă sốă liệu,ă kếtă quảă nêuă trongă luậnă vănă làă trungă thựcă vàă chưaă từngă đượcăaiăcơngăbốătrongăbấtăkỳăcơngătrìnhănàoăkhác Tácăgiảăluậnăvăn LêăThịăKimăÁnhă MỤCăLỤC M ăĐ U 1 LỦ chọn đ tƠi M c đích vƠ nhi m v nghên c u Đ i t Ph ng vƠ ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c u B c c c a lu n văn CH NGă1.ăăKI NăTHỨCăCHU NăBỊ 1.1 QUAN H CHIA H T TRÊN T P CÁC S NGUYÊN 1.2 QUAN H Đ NG D TRÊN T P CÁC S NGUYÊN 1.3 LIÊN PHÂN S 1.4 DẠNG TOẨN PH NG 10 1.4.1 Các khái ni m liên quan 10 1.4.2 Biểu di n s nguyên theo d ng toƠn ph CH NGă2.ăPH ng 11 NGăTRỊNHăVÔăĐỊNHăB CăNH T 15 2.1 PH NG TRỊNH VÔ Đ NH 15 2.2 PH NG TRỊNH VÔ Đ NH B C NH T HAI N 15 2.2.1 Các đ nh nghĩa vƠ đ nh lỦ t n t i nghi m 15 2.2.2 ụ nghĩa hình học c a ph 2.3 PH ng trình vơ đ nh b c nh t hai n 18 NG PHÁP TỊM NGHI M C A PH NG TRỊNH VÔ Đ NH B C NH T HAI N 18 2.3.1 Ph ng pháp dùng thu t toán Euclide 18 2.3.2 Ph ng pháp dùng liên phơn s 20 2.3.3 Ph ng pháp bi n s nguyên 21 2.3.4 Ph ng pháp hƠm Euler 23 2.3.5 Phương pháp đưa phương trình đồng dư 24 2.4 PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 25 2.4.1 Định nghĩa định lý tồn nghiệm 25 2.4.2 Phương pháp giải phương trình vơ định bậc nhiều ẩn 26 2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TỐN ỨNG DỤNG 28 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 36 3.1 PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH DẠNG TỒN PHƯƠNG 36 3.1.1 Các định nghĩa định lý 36 3.1.2 Phương pháp giải phương trình vơ định dạng tồn phương 39 3.2 PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 45 3.2.1 Một số khái niệm liên quan 45 3.2.2 Phương pháp giải phương trình vơ định bậc hai hai ẩn 46 3.2.3 Một cách giải khác phương trình dạng elip, phương trình dạng hyperbolic 52 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH PELL 59 4.1 PHƯƠNG TRÌNH PELL 59 4.1.1 Định nghĩa nhận xét 59 4.1.2 Sự tồn nghiệm cơng thức nghiệm phương trình Pell 60 4.1.3 Cách giải phương trình Pell liên phân số 65 4.2 MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH 69 4.2.1 Phương trình Pell loại 69 4.2.2 Phương trình Pell với tham số 75 4.3 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 80 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) M ăĐ U LỦădoăchọnăđ ătƠi Ph vƠ ph ng trình vơ đ nh (cịn gọi lƠ ph ng trình Diophantus) nói chung ng trình vơ đ nh nghi m ngun nói riêng có m t vai trị quan trọng khơng đ i s mƠ c toán học vƠ thực t , b i v y đƣ đ nhƠ toán học th giới nghiên c u từ r t lơu Ph ph ng trình đ i s với h s ngun vƠ s trình, nghi m c a đ s ngun d n th c ng trình vơ đ nh lƠ ng nhi u h n s ph ng c tìm m t t p h p s nƠo nh : s nguyên, ng, s hữu t ,ầ Nhi u ph ng trình vơ đ nh phát biểu r t đ n gi n nh ng đ n ch a có cách gi i hữu hi u Ngay từ th i th ph ng cổ, nhƠ toán học đƣ quan tơm gi i ng trình vơ đ nh Chẳng h n, từ th kỷ th XVII tr ớc cơng ngun, nhƠ tốn học Ba-bi-lon đƣ bi t gi i ph ng trình x2 + y2 = z2 (ph Pythagore) ph m vi s nguyên Ng ph ng trình i đ u tiên nghiên c u có h th ng ng trình vơ đ nh lƠ nhƠ tốn học Hy L p Diophantus, s ng th kỷ th III tr ớc công nguyên Diophantus đƣ bi t cách gi i m t s d ng ph vô đ nh ph m vi s hữu tỷ d Nhằm tìm hiểu ph ch ng trình ng ng trình vơ đ nh vƠ ng d ng c a ng trình tốn b c phổ thơng, tơi chọn đ tƠi: “Ph ng trình vơ đ nh nghi m ngun vƠ ng d ng” cho lu n văn th c sĩ c a M căđíchăvƠănhi măv ănghênăc u - Kh o sát, nghiên c u t n t i nghi m c a ph - Tìm hiểu cách gi i ph 3.ăĐốiăt ng d ng ph ng trình vơ đ nh ng trình vơ đ nh để gi i m t s lớp bƠi toán ngăvƠăph măviănghiênăc u - Ph ng trình vơ đ nh ng trình vơ đ nh nghi m nguyên b c nh t - Ph ng trình vơ đ nh nghi m ngun b c hai, hai n - M t s bƠi toán dơn gian 4.ăPh ngăphápănghiênăc u - Thu th p, tổng h p, h th ng tƠi li u có n i dung liên quan đ n đ tƠi lu n văn, đặt bi t lƠ bƠi toán dơn gian gi i đ c ph ng tình vơ đ nh - Phân tích, nghiên c u tƠi li u để thực hi n đ tƠi lu n văn - Trao đổi, th o lu n, tham kh o Ủ ki n c a ng i h ớng d n, c a chuyên gia vƠ c a đ ng nghi p 5.ăBốăc căc aălu năvĕn NgoƠi ph n m đ u vƠ k t lu n, n i dung c a lu n văn dự đ thành b n ch Ch c chia ng: ng Ki n th c chu n b Đểălàmăcơăsởăchoăcácăchươngăsau,ăphầnăđầuăchươngănàyătrìnhăbàyămộtă sốătínhăchấtăsốăhọcătrênătậpăcácăsốăngun,ăcụăthểălàăquanăhệăchiaăhết,ăquanăhệă đồngădưătrênătậpăcácăsốăngun.ăPhầnătiếpătheoăgiớiăthiệuăkháiăniệmăliênăphână sốăvàăphầnăcuốiăcủaăchương trìnhăbàyămộtăsốăkháiăniệmăliênăquanăđếnădạngă tồnăphươngăcủaăhaiăbiến.ăCácăchiătiếtăliênăquanăcóăthểăxemătrongă[3],ă[8] Ch ng Ph ng trình vô đ nh b c nh t Chươngă nàyă giớiă thiệuă cácă phươngă phápă tìmă nghiệmă ngună củaă phươngătrìnhăvơăđịnhăbậcănhất.ăPhầnăcuốiăcủaăchươngătrìnhăbàyăứngădụngă củaăphươngătrìnhăvơăđịnhăđểăgiảiămộtăsốăbàiătốnădânăgian,ăbàiătốnăsốăhọcăvàă đạiăsố Ch ng Ph ng trình vơ đ nh b c hai hai n Chươngănàyăgiớiăthiệuăcáchăgiảiăphươngătrìnhăvơăđịnhăbậcăhaiăhaiăẩn.ă Tuyă nhiênă đểătránhăđộădàiăcủaăchươngăqălớn,ănênămộtălớpăphươngătrìnhă dạngăđặcăbiệt:ăPhươngătrìnhăPell,ăchưaăđượcăđềăcậpăđến,ămàăsẽăđượcătrìnhă bàyătrongăchươngăkếătiếp Ch ng Ph ng trình Pell Chươngă nàyă trìnhă bàyă vềă phươngă trìnhă Pell,ă mộtă dạngă đặcă biệtăcủaă phươngătrìnhăvơăđịnhăbậcăhaiăhaiăẩn.ăPhầnăcuốiăcủaăchươngăgiớiăthiệuămộtăsốă bàiătốnăứngădụngăliênăquanăđếnăphươngătrìnhăPell CH NGă1 KI Nă THỨCăCHU Nă BỊ Đểălàmăcơ sở choăcácăchươngăsau,ăphầnăđầuăchươngănàyătrìnhăbàyămộtăsốătínhă chấtăsốăhọcătrênătậpăcácăsốăngun,ăcụăthểălàăquanăhệăchiaăhết,ăquanăhệăđồngădưătrênă tậpă cácă sốăngun.ăPhầnătiếpătheoăgiớiăthiệuăkháiăniệmăliênăphânăsốăvàăphầnăcuốiă củaă chương trìnhă bàyă mộtă sốă kháiă niệmăliênăquanăđếnădạngătồnăphươngăcủa hai biến.ăCácăchiătiếtăliênăquanăcóăthểăxemătrongă[3],ă[8] 1.1.ăQUANăHỆăCHIAăH TăTRÊNăT PăCÁCăS Ta kỦ hi u nhiên s l n l t lƠ t p s nguyên vƠ t p s tự Đ nhănghĩaă1.1 Ta nói s a  kỦ hi u lƠ a NGUYÊN chia h t cho s b  , b  0, b hay b a , n u t n t i s nguyên q cho a  bq Khi b gọi lƠ ớc s c a a hay a lƠ b i c a b, s q gọi lƠ th phép chia a cho b N u a không chia h t cho b ta kỦ hi u lƠ b | a Đ nhălỦă1.1 [3] Vớiămọi a  Vớiămọiă a  , a  suy a ng c a a , a Sốă chiaăhếtăchoămọiăsốănguyên a khác Nếuă a , b, c  Nếuă b a c ,b a c b c a  b  c  a a c a Nếuă b a  b  c  Nếuă b a a Nếuă b a bc a b a  b hoặcă a   b a vớiămọiă c  Đ nhănghĩaă1.2 Cho hai s nguyên a b nh t m t s khác không S d ng d đ c gọi lƠ ớc chung lớn nh t c a a b n u th a mƣn hai u ki n sau: d a , d b (d lƠ ớc chung c a a b) N u c a , c b c d Nói cách khác, d đ c gọi lƠ ớc chung lớn nh t c a a b n u d lƠ ớc chung c a a b đ ng th i lƠ s lớn nh t ớc chung c a a b, kỦ hi u: d   a , b  N u  a , b   ta nói hai s a b lƠ nguyên t Đ nhălỦă1.2 [3] Nếuă  a , b   bc a c a Nếuă  a , b    a , c    a , bc   Nếuăp | a p làăsốănguyênătốăthìă  a , p   Nếuă pălàăsốănguyênătốăvàă ab p thìăhoặcă a p hoặcă b p Mọiă sốă tựă nhiênă n cóă thểă biểuă diễnă nhưă tíchă củaă nhữngă thừaă sốă nguyên tốă n  p11 p22 pkk , ởăđây 1, , , k  Đ nhălỦă1.3 [3] Nếuă  a , b   d thìătồnătại haiăsốănguyênă p q cho ap  bq  d H ă qu Nếuă  a1, a , , a n   d thìătồnătạiănăsốănguyên x1 , x2 ,ă…,ă xn cho a1x1  a x2   a n xn  d Đ nhălỦă1.4ă[3] Vớiăhaiăsốănguyênăbấtăkỳăăaăăvàăăbăăsaoăchoă b  tồnă tạiăduyănhấtănhữngăsốănguyênăăqăăvàăărăăthỏaămãnă a  bq  r  r  b Sốăărăgọiălàăsốădưătrongăphépăchiaăăaăăchoăbă(nếuă r  , aăchiaăhếtăchoăb) Bổ đ [3] Giả sử a, b, q, r số thỏaă mãnă đẳng thức a  bq  r Khiăđóă  a , b    b, r  Dựa vào bổ đ trên, để tìm ớc s chung lớn nh t c a hai s nguyên a b khác 0, ta chia a cho b ( a  b ): a  bq  r , với  r  b N u r  dừng l i N u r  ta chia b cho r nh n đ c đẳng 74     x  c  n  c  n  c u  v d 1 2  n   yn  d11n  d 22n  d1 u  v d  2n 2n   c2 u  v d    d2 u  v d 2n  2n với c1, c2 , d1, d2 th a mƣn u ki n ban đ u Từ suy c1  u v d u  v d u  v d u v d ; c2  ; d1  ; d2   2 d d  Do v y  u  v d x   n   u  v d  yn     Suy xn  yn d  u  v d     u  v d 2n   2n   xn , n  1, 2n    1 (4.15)  2n   n  1,  1 ng trình Pell lo i Đ o l i, gi sử  x, y lƠ nghi m nguyên d có x2  dy2   Xét 2n  , xn  yn d  u  v d xn2  dyn2   u  dv2  yn  lƠ nghi m c a ph  d Nhơn v hai đẳng th c ta có: Vì th   u  v d  2n  ng tùy Ủ c a (4.11), hay ta  x  y d u  v d    xu  dyv   xv  yu  đơy s  xu  dyv , t  xv  yu d  st d , Ta có s  dt  ( xu  dyv)2  d ( xv  yu)2   x2  dy2  u  dv2    1 1  V y  s, t  nghi m c a ph ng trình Pell liên k t: x2  dy2  Do  a , b  lƠ nghi m nh nh t c a nên theo cơng th c nghi m c a ph trình Pell, t n t i n  cho: ng 75     d  u  v d    u  v d  s  t d  a  b d x  y  hay x  y d  u  v d  n1 n 1 n 1  xn  yn d Suy  x, y   xn , yn  Đi u có nghĩa nghi m tùy Ủ c a ph đ ph c biểu di n b i cơng th c nghi m đ ng trình Pell lo i đ u c xác đ nh nh Đ nh lỦ Nh v y công th c (4.15) cho ta t t c nghi m nguyên d ng c a ng trình Pell lo i đƣ bi t đ c nghi m nguyên d ng bé nh t Víăd ă4.3 Tìm t t c nghi m nguyên, không ơm c a ph x2  y2   Lờiăgi i Nh đƣ bi t nguyên d ví d tr ớc, ph ng trình x2  y2  có nghi m ng nh nh t lƠ  9,  Xét h ph  x2  y2   2 xy  H nƠy có nghi m nguyên d nghi m nguyên d ng trình ng lƠ (2, 1) Vì th ph ng trình đƣ cho có dƣy ng lƠ  x0  2, x1  38, xn2  18 xn1  xn , n   y0  1, y1  17, yn2  18 yn1  yn 4.2.2.ăPh ng trình Pell với tham s n lƠ ph x2  dy2  n d lƠ m t s nguyên d nguyên ngătrìnhăPellăvớiăthamăsố Đ nhănghĩaă4.3 Ph d ng: ng trình ng khơng ph ng trình có (4.16) ng, n lƠ m t s 76 ng trình Pell: x2  dy2  đ Ph với ph ng trình Pell liên k t ng trình Pell với tham s (4.16) N u n  n   t ph c gọi lƠ ph ng ng ta có ph ng trình Pell vƠ ng trình Pell lo i Đ nhă lỦă 4.5ă [9] Phươngă trìnhă (4.16) hoặcăvơănghiệm,ăhoặcăcóăvơăsốă nghiệm Ch ngăminh Rõ rƠng ta ch c n ch ng minh n u (4.16) có nghi m s có vơ s nghi m Gi sử  xk , yk  lƠ m t nghi m c a ph Gọi  a , b  lƠ nghi m c a ph ng trình (4.16) ng trình Pell liên k t với ph (4.16), ta có a  db2  Do ta có  x k  axk Đặt ng trình  dyk2  a  db   n  dbyk   d  bxk  ayk   n  xk 1  axk  dbyk   yk 1  bxk  ayk (4.17) xk21  dyk21  n Do v y,  xk1 , yk1  lƠ nghi m c a (4.16) xk  xk1 ; yk  yk1 V y công th c cho ta vô s nghi m kh i đ u lƠ  x1 , y1  nghi m c a (4.16) n u có Nh nă xétă 4.5 Nếuă n   1, vàă taă chọnă nghiệmă khởiă đầuă làănghiệmă ngun dươngănhỏănhấtăthìăcơngăthứcăă(4.17) vétătấtăcảăcácănghiệm Tuy nhiên, với n   công th c (4.17) đƣ vét c n h t t t c nghi m c a (4.16) ch a, v n đ nƠy ch a tr l i đ Thay cho khái ni m nghi m nguyên d c ng nh nh t, ph ng trình Pell với tham s ta đ a đ nh nghĩa sau: Đ nhă nghĩaă 4.4 d ng  x, y đ Gi sử (4.16) có nghi m, nghi m nguyên c gọi lƠ m t nghi m c b n c a ph ng trình nƠy n u: 77  na  y2  max nb ,   d    a , b  lƠ nghi m nguyên d k t với ph ng trình (4.16) Gi sử nguyên d ng nh nh t c a ph  x1, y1  lƠ m t nghi m c ng nh nh t c a ph cặp s nguyên d ng trình Pell liên b n c a (4.16),  a , b  lƠ nghi m ng trình Pell liên k t với Khi đó, t p h p ng  xk1 , yk1  đ c xác đ nh theo công th c (4.17), c gọi lƠ h nghi m sinh b i nghi m c b n  x1 , y1  Ta với k  , đ nói nghi m  xk1 , yk1  đ c sinh từ nghi m c b n  x1 , y1  Ta có đ nh lỦ sau: Đ nhălỦă4.6ă[4] Mọiănghiệmăngunădươngă(nếuăcó)ăcủaăphươngătrìnhă (4.16) đềuăđượcăsinhăraătừămộtănghiệmăcơăbảnăcủaăphươngătrìnhănày Ch ngăminh Gi sử  x, y lƠ m t nghi m nguyên d ph  na  N u y2  max nb ,   d   ng trình (4.16) Gi sử ng ng c a ph  x, y c l i, y2  nb2 y2   ng trình (4.16) lƠ m t nghi m c na , ta đặt: d u1  ax  dby  v1  ay  bx (4.18) Khi  u1 , v1  lƠ m t nghi m nguyên d ng c a ph (4.16) Th t v y, ta có: u12  dv12   ax  dby   d  ay  bx  a x2  d 2b y2  d  a y2  b x2  b n c a   a  db  x2  dy2   1.n  n ng trình 78 Mặt khác, theo gi thi t a   db2 x2  n  dy2 , từ ta có m t dƣy phép bi n đổi sau: na y    dy2   na  n  1  db   n  dy2   ndb d  x2   ndb  x2   db  x2  dy2   1  db  x2  d 2b y2  a x2  d 2b2 y2 Vì a, b, x, y đ u d T ng nên ax  dby Từ suy u1  ax  dby  ng tự, ta có: y2  nb2  b2  x2  dy2   a y2  b2 x2  1  db  y  2  b2 x2 ay  bx Từ suy v1  ay  bx  H n nữa, từ h th c (4.18) ta có au1  a x  daby bu1  abx  db y   2 av1   abx  a y dbv1   db x  daby Từ suy bu1  av1   a  db2  y  y au1  dbv1   a  db2  x  x Vy  x  au1  dbv1 ,  y bu av    1 (4.19) rõ ràng v1  y Nh v y, xu t phát từ m t nghi m  x, y c a ph không ph i lƠ nghi m c b n, ta tìm đ c a ph ng trình (4.16) c m t nghi m nguyên d ng  u1 , v1  ng trình nƠy cho hai nghi m  x, y ,  u1 , v1  liên h với b i h th c (4.19) v1  y L i áp d ng lí lu n với nghi m  u1 , v1  (n u  u1 , v1  ch a ph i lƠ 79 nghi m c b n), ta đ (4.16) cho: c nghi m nguyên d u1  au2  dbv2  v1  bu2  av2 ng  u2 , v2  c a ph v2  v1 L p l i lí lu n sau hữu h n b ớc ta đ nguyên d c m t dƣy nghi m ng trình (4.16):  u1, v1 ,  u2 , v2 , ,  u,m vm  ng c a ph uk  auk 1  dbvk 1 ,  v bu av   k 1 k 1  k cho ng trình k  um , vm  lƠ m t nghi m c b n  1, 2, , m Đặt xi1  umi , yi1  vmi , i  0, 1, , m  1, ta có h th c với đ  x1, y1   xi 1  axi  dbyi ,    y bx ay i i  i 1   um , vm  lƠ m t nghi m c i  1  x, y b n vƠ   xm1, ym1  c sinh từ nghi m c b n nƠy  xm1  axm  dbym (vì  xm , ym    u1, v1  )   ym1  bxm  aym Đ nh lí đ c ch ng minh Nh nă xétă4.6 TừăĐịnhălýă4.6,ătaărútăraăđượcăcơngăthứcănghiệmăcủaă phươngătrìnhăPellăvớiăthamăsốănănhưăsau:ăă Giả sửăphươngătrìnhă(4.16) cóănghiệm,ăvàăgọiă 1 , 1  ;  , 2  ; …;ă  m , m  làă tấtă cảă cácă nghiệmă cơă bảnă củaă (4.16) Xét m dãy  xk ,i , yk ,i  , i  1, m ,ăđượcăxácăđịnhănhưăsau:  x0,i   i , y0,i  i   xk 1,i  axk , i  dbyk , i , k    yk 1,i  bxk , i  ayk , i ởăđâyă  a , b  làănghiệmăngunădươngănhỏănhấtăcủaăphươngătrìnhăPellăliênă 80 kếtăvớiăphươngătrìnhă(4.16) Khiă đóă cácă dãyă  xk ,i , yk ,i  sẽă vétă cạnă hếtă nghiệmă ngunădươngăcủaă phươngătrìnhăPellăvớiăthamăsố Víăd ă4.4 Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình x2  y2  54 Lờiăgi i Ph ng trình Pell liên k t với ph Ph ng  a, b ng trình đƣ cho: x2  y2  trình nƠy   2, 1 Khi có nghi m nguyên d ng nh nh t lƠ   na  54.22   max nb2 ; max 54.1 ;     54 d     T t c s nguyên d Xét ph ng  th a mƣn   54   1, 2, 3, 4, 5, 6, ng trình x2  y2  54 n u y  x   32 , y  1, 2, 4, 5, 6, 54  3y2 khơng ph i lƠ m t s ph ng Nh th cách thử trực ti p nh trên, ta th y nghi m (9, 3) lƠ m t nghi m c b n c a ph V y ph ng trình đƣ cho ng trình đƣ cho có nghi m nguyên d  x0  9, xn1  xn  yn , n     y 3, y x y n 1 n n  4.3.ăCÁCăBẨIăTỐNăỨNGăDỤNG Bài tốn Gi i ph Lờiăgi i ng trình vơ đ nh sau ng th a 3x2  xy  y2  Ta có a  3, b   3, c  2, m  D  b2  ac  Ta tìm 81 V2  D s nguyên không ơm V, nh h n 2, cho  m kiểm tra trực ti p, ch có V  lƠ th a mƣn u ki n D th y x0  0, y0  lƠ m t nghi m riêng c a ph Bằng cách ng trình đƣ cho vƠ nghi m nƠy thu c V  Áp d ng H qu , suy nghi m c a ph ng trình s nguyên t lƠ  x   2u , với t  3u    y  t  3u Ph ng trình t  3u  lƠ m t ph ng trình Pell Gi i ph ng trình Pell c nghi m lƠ  t , u  ,  t , u  ,  t ,  u  ,  t ,  u  , với t u đ nƠy ta đ c xác đ nh theo h th c truy h i t0  1, t1  2, tn2  4tn1  tn , u0  0, u1  1, un2  4un1  un ng với nghi m  t , u  , ta có nghi m c a ph  x, y đ c xác đ nh theo h th c truy h i  x0  0, x1   2, xn2  xn1  xn ,   y0  1, y1   1, yn2  yn1  yn ng với nghi m  t , u  , ta có nghi m c a ph  x', y ' đ  x'', ng trình đƣ cho lƠ ng trình đƣ cho lƠ c xác đ nh theo h th c truy h i  x '0  0, x '1   2, x 'n2  4' xn1  x 'n ,   y '0   1, y '1   5, y 'n2  4' yn1  y 'n ng với nghi m  t ,  u  , ta có nghi m c a ph ng trình đƣ cho lƠ ng với nghi m  t ,  u  , ta có nghi m c a ph ng trình đƣ cho lƠ y '' đ  x ''    u    x ' c xác đ nh   y ''  t   u    y ' 82  x''', y ''' đ  x '''    u    x c xác đ nh   y '''   t   u    y V y nghi m c a ph   x', ng trình đƣ cho lƠ  y ' với  x, y  x ', y ' đ  x, y ,   x,  y ,  x', y ' , c xác đ nh theo h th c truy h i  x0  0, x1   2, xn2  xn1  xn   y0  1, y1   1, yn2  yn1  yn  x '0  0, x '1   2, x 'n2  4' xn1  x 'n ,   y '0   1, y '1   5, y 'n2  4' yn1  y 'n ng n cho 3n  Bài tốn Tìm t t c s nguyên d 4n  lƠ s ph ng Lờiăgi i Vì  3n  1, 4n  1  , nên 3n  4n  đ ng th i lƠ s ph ng vƠ ch  3n  1 4n  1  y2 , 12n2  7n   y2  , suy Đặt x  24n  7, ta có ph D th y  x, y dãy  xn  ,  yn  cho ph  24n  y   , từ ta có *    48 y2  ng trình Pell lƠ: x2  48 y4    7, 1 lƠ nghi m nguyên d ng trình, v y ph ng nh nh t c a ng trình có nghi m ngun d ng lƠ hai x0  1; x1  7; xn2  14 xn1  xn , y0  0; y1  1; yn2  14 yn1  yn Bằng quy n p ta ch ng minh đ lẻ, nk  Ta có x2 k1  24 x2k3  14 x2 k2  x2 k1 c xk   mod 24  vƠ ch k 83  14 14 x2 k1  x2 k   x2 k 1  195 x2 k 1   x2 k 1  x2 k 1   194 x2 k 1  x2 k 1 Suy 24nk1   194  24nk     24nk1   nk1  194nk  nk1  56, k  hay V y t t c s nguyên d quy lu t nk1  194nk  nk1  56, x3   56 24 n1  * ng n c n tìm thu c dƣy nk  tuân theo  k  ; * n0  x1   0, 24 mà 3n  4n  đềuălàăcácăsốăchính Nh nă xétă4.7 Nếuă n  phươngă thìă nă ă chiaă hếtă choă56 (Đượcăchứngăminhăbằngăphươngăphápăquyă nạp) ng k, m cho k  m Bài tốn Tìm t t c s nguyên d    k   k  1   k     m Lờiăgi i Ta có    k   k  1   k     m nên 1    k      m , Suy hay k  k  1  2k  2k  m2  m m m  1   2k  1    2m  1 Đặt 2m   x 2k   y ta có ph x2  y2   Ph ng trình Pell liên k t với ph trình nƠy có nghi m ngun d ng trình Pell lo i 2: ng trình là: x2  y2  , ph ng nh nh t lƠ  x; y   3;  ng 84 H u; v ph  1; 1 Do ph ng trình u  2v2   2uv  ch có m t nghi m lƠ ng trình Pell lo i có nghi m xác đ nh b i dƣy x0  1; x1  7; xn2  xn1  xn , y0  1; y1  5; yn2  yn1  yn D th y xk  yk   mod  , v y s sau: m, k c n tìm cho b i dƣy m1  3, m2  20, , mn2  6mn1  mn  2, k1  2, k2  14, , kn2  6kn1  kn  Bài tốn [8] Xét m t tam giác có s đo đ dƠi ba c nh lƠ ba s nguyên liên ti p lớn h n vƠ s đo di n tích lƠ s nguyên Ch ng minh t n t i m t đ ng cao c a tam giác đƣ cho mƠ chia tam giác thƠnh hai tam giác nh cho s đo đ dƠi c nh c a c hai tam giác nh lƠ s nguyên Lờiăgi i Xét tam giác ABC với BC = a, AB = a  , AC = a  Từ suy góc ABC lƠ góc lớn nh t Ta có a   a  1   a  1  a  4a  (4.20) a  (4.21) B t đẳng th c (4.21) theo gi thi t nên b t đẳng th c (4.20) Suy tam giác ABC lƠ tam giác nhọn vƠ chơn c a đ ng cao AH nằm đo n BC Từ AC2  HC2  AB2  HB2 suy HC2  HB2  AC2  AB2   a  1   a  1  4a nên HC  HB  (vì HB  HC  a) 85 Do HC = Suy HA  SABC a  a  , HB  2 AC2  HC2  3 a   , nên   a a2   HA.BC  (4.22) N u a lẻ tử s c a (4.22) không chia h t SABC khơng ngun Do a ph i chẵn Đặt a  2b lúc SABC  b 3 b2  1 ph i lƠ s nguyên Suy b2   3c , với b, c  Ta có ph Do ph b  7, ng trình Pell: b2  3c  ng trình có vô s * nghi m nguyên d ng, chẳng h n c  Khi a  14 , S  3bc  84, HA  3c  12 , HC  b   9, HB  b   đ u lƠ s nguyên V y t n t i đ ng cao AH c a tam giác ABC chia tam giác thƠnh hai tam giác nh ABH vƠ ACH mƠ s đo đ dƠi c nh c a c hai tam giác nh lƠ s nguyên 86 K TăLU N đ Lu n văn: “Ph ng trình vơ đ nh nghi m ngun vƠ ng d ng” đƣ đ t c m c tiêu vƠ nhi m v đ ra, c thể lu n văn đƣ thực hi n đ c v n đ sau: 1) Ch ng minh t n t i nghi m vƠ m t s ph nguyên c a ph ng pháp tìm nghi m ng trình vơ đ nh b c nh t 2) Trình bƠy ph ng pháp tìm nghi m nguyên c a ph ng trình vô đ nh b c hai hai n 3) Giới thi u ph m r ng 4) ng d ng ph toán thu c ch ng pháp gi i ph ng trình Pell, ph ng trình Pell ng trình vơ đ nh để gi i m t s bƠi toán dơn gian, bƠi ng trình phổ thơng trung học Hy vọng n i dung c a lu n văn ti p t c đ c bổ sung vƠ hoƠn thi n h n nữa, nhằm lƠm m t tƠi li u tham kh o cho học sinh, sinh viên, nh ng i quan tơm đ n ph ng trình vơ đ nh TẨIăLIỆUăTHAMăKH O [1] Doƣn Minh C ng, Nguy n Huy Đoan, Ngô Xuơn S n, Đ Đ c Thái (1986), Nhữngăbàiătoánăsơăcấp chọn lọc tập 1, NXB Đ i học Trung c p chuyên nghi p [2] Tr n Xuơn Đáng (2010), “M t s bƠi toán lên quan đ n ph ng trình nghi m ngun”, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (số 401), tr.9-11 [3] Nguy n Hữu Điển (2004), Giảiă phươngă trìnhă vơă định nghiệm ngun, NXB Đ i học qu c gia Hà N i [4] Nguy n Hữu Hoan (2010), Lý thuyết số, NXB Đ i học S Ph m [5] Hà Huy Khoái (2006), Số học, NXB Giáo d c [6] Nguy n Vũ L ng, Nguy n L u S n, Nguy n Ngọc Thắng, Ph m Văn Hùng (2006), Các giảng số học tập 2, NXB Đ i học Qu c gia Hà N i [7] Võ Đ i Mau (1998), Tuyển tập 250 toán bồiă dưỡng học sinh giỏi toán cấp - Phần Số học, NXB Trẻ [8] Nguy n Văn M u, Tr n Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ru n (2008), Một số vấnăđề số học chọn lọc, NXB Giáo d c [9] Nguy n Văn M u, Bùi Công Hu n, Đặng Hùng Thắng, Tr n Nam Dũng, Đặng Huy Ru n (2004), Một số chuyênăđề Toán học chọn lọc bồiădưỡng học sinh giỏi, Tr ng Đ i học Khoa học Tự nhiên, Đ i học Qu c gia Hà N i [10] Nguy n Ti n Tài (2007), Giáoătrìnhăphươngătrìnhănghiệm nguyên, NXB Đ i học S ph m [11] Vũ D ng Th y, Nguy n Văn Nho, Tr n Hữu Nam (2004), Lý thuyết số, cácăđịnhălýăcơăbản tập chọn lọc, NXB Giáo d c [12] Vũ D ng Th y, Tr ng Công ThƠnh, Nguy n Ngọc Đ m (1987), 400 toánăĐại số chọn lọc dung cho lớp cấp 2, NXB Giáo d c [13] Bùi Quang Tr ng (1995), Tìm tịi lời giảiă cácă phươngă trìnhă vơă định, NXB Giáo d c [14] https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/mot-sophuong-phap-giai-phuong-trinh-nghiem-nguyen [15] https://boxmath.wordpress.com/2014/02/09/phuong-trinh-pell-va-motso-ung-dung/ ... 2.4.2 Phương pháp giải phương trình vơ định bậc nhiều ẩn 26 2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TỐN ỨNG DỤNG 28 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 36 3.1 PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH DẠNG TỒN PHƯƠNG... NGăTRỊNHăVÔăĐỊNHăB CăNH T Chươngă nàyă giớiă thiệuă cácă phương? ? phápă tìmă nghiệm? ? nguyên? ? củaă phương? ? trình? ?vơ? ?định? ?bậcănhất.ăPhầnăcuốiăcủaăchương? ?trình? ?bày? ?ứng? ?dụng? ?của? ?phương? ?trìn h vơ? ?định? ?đểăgiảiămộtăsốăbàiătốnădânăgian,ăbàiătốnăsốăhọc? ?và? ?đạiăsố... tìmă nghiệm? ? ngună củaă phương? ?trình? ?vơ? ?định? ?bậcănhất.ăPhầnăcuốiăcủaăchương? ?trình? ?bày? ?ứng? ?dụng? ? của? ?phương? ?trình? ?vơ? ?định? ?đểăgiảiămộtăsốăbàiătốnădânăgian,ăbàiătốnăsốăhọc? ?và? ? đạiăsố Ch ng Ph ng trình