Định lý tách tập lồi và ứng dụng trong tối ưu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNPHÙNG THU HƯỜNG ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI−2017... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÙNG THU HƯỜNG

ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

HÀ NỘI−2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÙNG THU HƯỜNG

ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI−2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi.Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực Kết quảnghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước

đó Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Phùng Thu Hường

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 1

1 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI 3

1.1 Tập lồi – hàm lồi 3

1.1.1 Không gian vectơ tôpô lồi địa phương 3

1.1.2 Tập lồi 4

1.1.3 Hàm lồi 8

1.2 Định lý tách 14

1.2.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 14

1.2.2 Định lý tách 1 15

1.2.3 Định lý tách mạnh 15

2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG TỐI ƯU HÓA 20 2.1 Cực trị hàm lồi 20

2.2 Bài toán tối ưu 24

2.2.1 Phát biểu bài toán 24

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm 25

2.2.3 Điều kiện tối ưu 26

2.3 Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi 34

2.3.1 Đạo hàm theo hướng 34

2.3.2 Dưới vi phân hàm lồi 38

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi là môn cơ bản của giải tích hiện đại, có vai trò quan trọngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng nói chung, và trong tối

ưu hóa nói riêng Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là cácđịnh lý tách Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử cóthuộc tập lồi hay không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây

là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học Ta có thể hình dungtập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, tích phân,tậpnghiệm của một bài toán tối ưu, Nếu phần tử đó thuộc tập lồi, thì vấn đềliên thuộc được giải quyết Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điềugì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và

là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đốitượng trong nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác nhau

Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách

và ứng dụng quan trọng của nó vào tối ưu hóa

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi Chúng lànhững công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luậnvăn Sau đó tác giả trình bày hai định lý tách và hệ quả

Chương 2 Trình bày một số ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa: Điềukiện cực trị, điều kiện tối ưu, tính đạo hàm của hàm lồi

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH

Lê Dũng Mưu, Viện toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với Giáo sư

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn với các thầy cô giáo trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quýbáu, sự giúp đỡ tận tình cho tác giả trong suốt thời gian vừa qua

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoaToán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HàNội đã tạo điều kiện về thủ tục hành chính thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập tại trường

coA bao lồi của A

af f (A) bao affine của tập A

ri(A) tập điểm trong tương đối của A

coA bao lồi đóng của A

intA tập các điểm trong của A

coreA lõi của tập A

f |M hạn chế của f trên tập M

H, K không gian Hilbert thực

k.k chuẩn trên không gian Hilbert

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

f∗ hàm liên hợp của f

f ⊕ f∗ tổng trực tiếp của f và f∗

domf miền hữu dụng của hàm f

∇f (x) đạo hàm của f tại x

span{x0} không gian căng bởi x0

Chương 1

ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Chương 1 trình bày lại các khái niệm cơ bản của giải tích lồi như khônggian vectơ tôpô, tập lồi, hàm lồi trong không gian véc tơ tô pô Các kiến thứctrong chương này được tổng hợp từ tài liệu [1] và [4]

1.1.1 Không gian vectơ tôpô lồi địa phương

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ τ ⊂ ℘(X) đượcgọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈ τ ,

ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,

iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Định nghĩa 1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊂ τ được gọi là một

cơ sở lân cận của τ nếu mọi tập U ∈ τ đều biểu diễn được dưới dạng hợp cáctập thuộc B

Một họ ν ∈ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọilân cận U của x0 đều tồn tại V ∈ ν sao cho x0 ∈ U ⊆ V

Định lý 1.1 Cho X là một không gian véctơ

a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc

ν gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ

b) Ngược lại, nếu ν0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau:

ν =

(ε

là cơ sở lân cận gốc của một tôpô địa phương nào đó Hơn nữa, tôpô này

là Hausdorff khi và chỉ khi:

\

V ∈ν 0 ;ε>0

εV = {0}

Ví dụ 1.1 Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi

họ chỉ gồm một tập: ν0 = {B(0, 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là :

ν = {εB(0, 1)|ε > 0} = {B(0, ε)|ε > 0}

1.1.2 Tập lồi

Định nghĩa 1.3 Cho X là một không gian véctơ, hai điểm x, y ∈ X

i) Một đường thẳng đi qua hai điểm x, y là tập hợp có dạng:

1) Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi;

2) coA = {x|x là tổ hợp lồi các véctơ thuộc A};

3) C là tập lồi ⇔ C = coC;

4) A, B là các tập lồi và α ∈ R ⇒ A + B, αA cũng là tập lồi

Định nghĩa 1.7 Siêu phẳng trong không gian X là một tập hợp các điểm códạng

ii) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X

Cho A và B là hai tập con của không gian véctơ X Một phiếm hàm tuyến tính

f ∈ X] \ {0} được gọi là tách A và B nếu:

f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B

Tức là tồn tại một số α ∈ R sao cho:

f (a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, b ∈ B

Lúc đó ta nói siêu phẳng: H(f ; α) = f−1(α) = {x ∈ X|f (x) = α} tách A và B.Như vậy: Siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất

Chứng minh Đặt M = span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) = λ, ∀λ ∈

R Lúc đó g ∈ M], hơn nữa do pC(x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC(m), ∀m ∈ M

Áp dụng định lý Hahn – Banach tồn tại f ∈ X] sao cho f |M = g và f (x) ≤

- Gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón

- Một nón không nhất thiết phải là tập lồi

Ví dụ 1.2 Tập C := {x ∈ R|x 6= 0} là nón nhưng không lồi

Định nghĩa 1.9 Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi

Ví dụ 1.3 Cho X = Rn, bα ∈ Rn(α ∈ I)

Khi đó tập K = {x ∈ Rn : hx, bαi ≤ 0; ∀α ∈ I} là một nón lồi vì K = T

α∈I

Kα,trong đó Kα = {x ∈ Rn : hx, bαi ≤ 0} là nón lồi

Mệnh đề 1.1 Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C có các tính chất:

i) λC ⊆ C, ∀λ > 0

ii) C + C ⊆ C

Chứng minh

(⇒) Giả sử C là một nón lồi Do C là nón lồi nên ta có i)

Do C là một tập lồi nên với ∀x, y ∈ C thì 1

Giả sử X là không gian lồi địa phương, f : X → R ∪ {±∞}

Định nghĩa 1.12 Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu epif , được định nghĩa nhưsau:

epif = {(x, r) ∈ X × R|f (x) ≤ r}

Định nghĩa 1.13 Miền hữu hiệu của f kí hiệu là domf , được định nghĩa:

Nhận xét: f lồi ⇒ domf là tập lồi

Thật vậy, ta có domf là hình chiếu trên x của epif

domf = {x ∈ X|f (x) < +∞} = {x : ∃r : (x, r) ∈ epif }

Như vậy domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính Do đó, domflồi

Ví dụ: Giả sử A là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên tập lồi, mở

A ⊂ Rn Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian Qz = ∂

2f

∂xi∂xj

!

nửa xác định dương ∀x ∈ A, tức là hz, Qx(z)i ≥ 0(∀z ∈ Rn, ∀x ∈ A)

Ví dụ: Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn

kxk = p

hx, xi = qx21+ x22+ + x2

n trong đó (x1, x2, , xn) ∈ Rn.Định lý 1.4 Giả sử D là tập lồi trong không gian X, f : X → (−∞, +∞] Khi

đó f lồi trên D khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0, 1]; ∀x, y ∈ D (1.1)

Chứng minh

(⇒) Giả sử f là hàm lồi, không mất tổng quát có thể xem λ ∈ (0, 1) không thểxảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ)y) = +∞bởi vì domf thì [x, y] ⊂ domf

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y);(lấy r = f (x), s = f (y))

(⇐) Giả sử (1.1) đúng, lấy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] ta chứng minhλ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif

Thật vậy, (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r, f (y) ≤ s

Hơn nữa, vì f là hàm thuần nhất dương cho nên nếu (x, r) ∈ epif thì

f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr, (0 < r < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epif

Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng

⇒ epif là một nón lồi Như vậy f là hàm lồi

Định lý 1.6 Giả sử f1, f2, , fm là các hàm lồi, chính thường trên X Khi

(i) f bị chặn trên trong một lân cận của x ∈ X

ii) f liên tục tại x ∈ X

iii) Int(epif ) = ∅

iv) Int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ) Đồng thời

int(epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} (1.4)

Bây giờ ta chứng minh |f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ Vε.



f (0) (do f lồi)

⇒ f (x) ≤ ε

cc = ε (1)Mặt khác, x ∈ −ε

x +

εc

1 + εc

f (x) +

εc

1 +εc

f (x) +

εc

1 + εcc

⇒ f (x) ≥ −ε (2)

Từ (1) và (2) suy ra |f (x)| ≤ ε ⇒ f liên tục tại 0

3 (iv ⇒ i) Hiển nhiên

4 (i ⇒ iii) Nếu f (x) ≤ µ0, ∀x ∈ U thì

{(x, µ) ∈ X × R : x ∈ U, µ > µ0} ⊂ epif ⇒ int(epif ) 6= ∅

5 (iii ⇒ iv) Giả sử int(epif ) 6= ∅ Khi đó, (x, µ) ∈ int(epif ) thì f bị chặntrong một lân cận của x Theo chứng minh trên f liên tục tại x Suy raint(domf ) = {x ∈ X : ∃µ ∈ R; (x, µ) ∈ int(epif )}.

Vì vậy int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf )

Cuối cùng công thức (1.4) là hiển nhiên: Nếu (x, µ) ∈ int(epif ) thì rõ ràng

x ∈ int(domf ) và f (x) < µ Ngược lại, nếu f liên tục trên int(domf ), x ∈int(domf ) và f (x) < µ thì (x, µ) ∈ int(epif )

Hàm liên hợp

Cho X là không gian tôpô lồi địa phương, X∗ là không gian liên hợp của

X, X∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Định nghĩa 1.17 Cho hàm f : X → R Ta gọi hàm f∗ : X∗ → R được xácđịnh như sau:

f∗(x∗) = sup{hx∗, xi − f (x)|x ∈ X} = suphx∗, xi − f (x) ∈ domf }

1.2.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Cho X là không gian tôpô lồi địa phương Ta kí hiệu X] là không gian cácphiếm hàm tuyến tính trên X Với mỗi f ∈ X] và α ∈ R tập hợp:

H(f, α) = {x ∈ X|f (x) = α} = f−1(α)

là một siêu phẳng trong X, song song với với không gian con ker f = f−1(0)

Mệnh đề 1.4 Siêu phẳng H(f, α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục

Hệ quả 1.1 Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêuphẳng trong X đều đóng, nói cách khác X∗ = X]

Mệnh đề 1.5

i) Nếu siêu phẳng H(f, α) để A về một phía thì: H(f, α) ∩ coreA = ∅

ii) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng

1.2.3 Định lý tách mạnh

Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f 6= 0 và các

số γ > β sao cho A ⊂ H−(f, β) và B ⊂ H+(f, γ) Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) tacũng nói siêu phẳng H(f, α) tách mạnh A và B

Định lý 1.12 (Định lý tách mạnh)

Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và Bcompact Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B

Chứng minh Đặt C = A − B ta có C là tập lồi, đóng và không chứa gốc Do

đó tồn tại lân cận lồi gốc lồi V sao cho V ∩ C = ∅ Do Định lý 1.2.2 tồn tạiphiếm hàm liên tục f tách C và V , nên tách mạnh A và B

Để tiện ứng dụng định lý tách cho Chương 2 ta bổ sung thêm phátbiểu và cách chứng minh hai định định lý tách trong không gian véc tơ Rn

Định lý 1.13 Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng trong Rn sao cho A∩B = ∅.Khi đó có một siêu phẳng tách A và B

Bổ đề 1.2 Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng Giả sử x0 ∈ C Khi đó tồn/tại t ∈ Rn, t 6= 0 thỏa mãn:

Định lý 1.14 Cho A và B là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho A ∩ B = ∅.Giả sử có ít nhất một tập là compact Khi đó hai tập này có thể tách mạnh bởimột siêu phẳng.

Bổ đề 1.3 Cho C ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và khác rỗng sao cho 0 /∈ C Khi

đó tồn tại một véctơ t ∈ Rn, t 6= 0 và α > 0 sao cho:

Giả sử A là compact Ta chỉ ra tập A − B là đóng

Thật vậy, giả sử zk ∈ (A − B) và zk → z Ta có zk = xk− yk với xk ∈ A, yk ∈ B

Vì A là compact nên tồn tại một dãy con xkj → x khi j → +∞

Vậy ykj = zkj − xkj → z − x ∈ B Vậy z = x − y ∈ (A − B)

Chứng tỏ A − B là tập đóng Mà 0 /∈ (A − B) , nên theo Bổ đề 1.3, tồn tại

t 6= 0, sao cho ht, x − yi ≥ α > 0 với ∀x ∈ A, y ∈ B

Chú ý: Điều kiện một trong hai tập là tập compact trong định lý là không thể

bỏ được Chẳng hạn chọn

C := {(t, x) ∈ R2|x ≥ 0, t ≤ 0}; D :=

(t, x) ∈ R2|t ≥ 1

x, t > 0, x > 0



Rõ ràng hai tập trên là lồi, đóng và không có điểm chung, nhưng chúng khôngthể tách mạnh được

Hình 1.1: Tách nhưng không không tách mạnh

DTy = a, nhân tích vô hướng với x, và do Dx ≥ 0, y ≥ 0, ta có aTx = yTDx ≥ 0.Vậy (1) không thể có nghiệm.

Bây giờ ta giả sử hệ (2) không có nghiệm Lấy tập C = {x|∃y > 0 : DTy = x}.Hiển nhiên C là tập lồi, đóng và 0 ∈ C Do (2) không có nghiệm, nên a /∈ C.Theo định lý tách mạnh, tồn tại p 6= 0 và một số α ∈ R sao cho pTa < α < pTxvới mọi x ∈ C Do 0 ∈ C nên α < 0 Thay x = DTy với y ≥ 0, ta viết được:

α ≤ pTDTy = yTDp

Nếu x ∈ C, thì ξx ∈ C với mọi ξ ≥ 0, vì x = DTy, có ξx = DTξy Vậy các tọa

độ của y có thể lớn tùy ý, nên từ bất đẳng thức α ≤ pTDTy = yTDp suy ra

Dp ≥ 0 Vậy ta đã chỉ ra sự tồn tại của một véctơ p sao cho Dp ≥ 0 và aTp < 0.Chứng tỏ hệ (1) có nghiệm

Chương 2

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TÁCH

TRONG TỐI ƯU HÓA

Chương 2 trình bày các ứng dụng các định lý tách trong tối ưu hóa, cụthể hơn là nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu, đạo hàm củahàm lồi và điều kiện cực trị Kiến thức được tổng hợp từ các tài liệu [1],[2] và[5] Trước tiên, chúng ta xét bài toán về cực trị của hàm lồi

Định nghĩa 2.1 Cho C ⊆ Rn khác rỗng và f : Rn → R Một điểm x∗ ∈ Cđược gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một lân cận U của x∗sao cho

thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C, và nếu

f (x) ≤ f (x∗), ∀x ∈ C

thì x∗ được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C

Cực tiểu hàm lồi Mệnh đề sau đây sẽ cho thấy mọi điểm cực tiểu địaphương của hàm lồi trên một tập lồi cũng chính là điểm cực tiểu tuyệt đối

Mệnh đề 2.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi Khi đó mọi điểm cực tiểu địaphương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục Hơn nữa tập hợp cácđiểm cực tiểu của f là một tập lồi Nếu f lồi chặt, tồn tại điểm cực tiểuthìđiểm cực tiểu sẽ là duy nhất

Chứng minh Cho C ⊆ Rn Giả sử x∗ là điểm cực tiểu địa phương của f trên

C Khi đó tồn tại lân cận U của x∗ sao cho

và do f lồi, nên

f (z∗) ≤ λf (x∗) + (1 − λ)f (y∗) ≤ f (x)

Suy ra z∗ cũng là điểm cực tiểu của f trên C là lồi Dễ thấy rằng tập hợp điểmcực tiểu này chỉ có duy nhất một điểm khi hàm f là lồi chặt

Ta hãy xét một bài toán tìm cực tiểu của một hàm lồi trên tập lồi có dạngsau:

min f (x)

Với x ∈ D := {x ∈ X : gj(x) ≤ 0, hi(x) = 0, j = 1, , m; i = 1, , k}

Trong đó X ⊆ Rn là một tập lồi đóng khác rỗng và f, gj(j = 1, , m) là cáchàm lồi hữu hạn trên X,còn hi(i = 1, , k) là các hàm a-phin hữu hạn trêntập a-phin của X Ta sẽ luôn giả sử rằng X có điểm trong và các hàm a-phin

hi(i = 1, , k) độc lập tuyến tính trên X, theo định nghĩa, nếu

k

P

i=1

µihi(x) = 0với mọi x ∈ X thì µi = 0, ∀i

Bài toán này được gọi là bài toán quy hoạch lồi Hàm f được gọi là hàm mụctiêu Các điều kiện x ∈ X, gj(x) ≤ 0(j = 1, , m); hi(x) = 0, (i = 1, , k)được gọi là các ràng buộc

Tập x ∈ D := {x ∈ X : gj(x) ≤ 0, hi(x) = 0, j = 1, , m; i = 1, , k} đượcgọi là miền chấp nhận được Một điểm x ∈ D được gọi là điểm chấp nhận đượccủa bài toán trên Do X là tập lồi, các hàm gj(j = 1, , m) lồi trên X và hàm

hi(i = 1, , k) a-phin, nên D là một tập lồi Điểm cực tiểu của f trên D cũngđược gọi là nghiệm tối ưu của bài toán

Cực đại hàm lồi Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tínhchất cực tiểu của nó Cụ thể ta thấy rằng cực đại địa phương của một hàm lồikhông nhất thiết là cực đại tuyệt đối Ví dụ hàm f (x) = x2 có điểm cực đại địaphương trên đoạn [−1, 2] là x = −1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2.Dưới đây nếu không nói gì thêm thì ta luôn hiểu cực đại là cực đại tuyệt đối

Từ định nghĩa hàm lồi, ta thấy rằng, nếu f lồi chính thường trên một tập lồi

C và a, b ∈ C thì với mọi x ∈ (a, b), tức là x = λa + (1 − λ)b, 0 < λ < 1 ta có

f (x) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) ≤ max{f (a), f (b)}

Từ đây ta suy ra rằng cực đại của một hàm lồi f trên một đoạn [a, b] đạt tại