✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ❚➯♥ ✤➲ t➔✐✿ ❈⑩❈ ✣➚◆❍ ▲Þ ✣➬◆● ❈❻❯ ◆❍➶▼ ❱⑨ Ù◆● ❉Ư◆● ●❱❍❉✿ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❈❤➙✉ ❙❱❚❍✿ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤✉➟♥ ▲ỵ♣ ✿ ✶✵❙❚ é ỵ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ♥❤â♠✱ ♥❣♦➔✐ ✈✐➺❝ ❦❤↔♦ s→t ♥ë✐ t↕✐ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝á♥ ❝â t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥â tr♦♥❣ ❝→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ♥❤â♠ ❦❤→❝✱ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♠ët ❝ỉ♥❣ ỗ õ r ỵ tt õ ỗ õ t ữủ t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝➜✉ tró❝ ♥❤â♠✳ t ỗ õ tổ t ỗ ♥❤â♠ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✧✳ ✷✲ ❇è ❝ö❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ♣❤➛♥✿ P❤➛♥ ✶✳ ❚r➻♥❤ ởt số t q ỵ t❤✉②➳t ♥❤â♠✱ ♥❤➡♠ ❧➔♠ t✐➲♥ ✤➲ ❝❤♦ ♣❤➛♥ ✷✱ ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ P❤➛♥ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ỗ õ ố ♥➔② ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✣à♥❤ ỗ õ tr ỵ tt õ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ t❤✉ë❝ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ữợ t tổ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ✤➲ t➔✐ ♥➔②✳ ✷ P❍❺◆ ✶✿ ❈❻❯ ❚❘Ĩ❈ ◆❍➶▼ P❤➛♥ ♥➔② s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❧÷đt ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝➜✉ tró❝ ♥❤â♠ ✤➸ ❧➔♠ ❝ì sð ❝❤♦ ♣❤➛♥ s❛✉✳ ❈→❝ ❝❤✐ t✐➳t ❧✐➯♥ q✉❛♥ õ t t tr t ỵ tt ♥❤â♠✳ ✶✳✶✳ ◆❤â♠✱ ♥❤â♠ ❝♦♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ● ởt t ủ ộ ì ữủ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❧✉➟t ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ✭❤❛② ♠ët ♣❤➨♣ t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣æ✐✮ tr➯♥ ●✳ ❷♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû ✭①✱ ②✮ ì ữủ ① ◦ ②✱ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ❤❛② ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ① ✈➔ ②✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ▼ët ♥❤â♠ ❧➔ ♠ët ❝➦♣ ✭●✱ ◦✮ tr♦♥❣ ✤â ● ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ré♥❣ ✈➔ ◦ ❧➔ ♠ët ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ tr➯♥ ●✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿ ✭●✶✮ ▲✉➟t ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❧➔ ❦➳t ❤ñ♣✱ tù❝ ❧➔ ✭① ◦ ②✮ ◦ ③ ❂ ① ◦ ✭② ◦ ③✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ②✱ ③ ∈ ●✳ ✭●✷✮ ❈â ♠ët ♣❤➛♥ tû ❡ ∈ ●✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣✱ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ① ◦ ❡ ❂ ❡ ◦ ① ❂ ①✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ●✳ ✭●✸✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ●✱ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ tû ①✬ ∈ ●✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ①✱ s❛♦ ❝❤♦ ① ◦ ①✬ ❂ ①✬ ◦ ① ❂ ❡✳ ✸ ◆➳✉ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ◦ ✤➣ rã ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ sđ ♥❤➛♠ ❧➝♥ ❣➻✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❝ơ♥❣ ♥â✐ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✳ ▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❬✺❪ ●✐↔ sû ✭●✱ ◦✮ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✭✐✮ P❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ● ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ●✱ ♣❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ① ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮ ●✐↔ sû ❡1✱ ❡2 ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ●✳ ❑❤✐ ✤â ❡1 ❂ ❡1 ◦ ❡2 ✭✈➻ ❡2 ❧➔ tr✉♥❣ ❧➟♣✮ ❂ ❡2 ✭✈➻ ❡1 ❧➔ tr✉♥❣ ❧➟♣✮✳ ✭✐✐✮ ●✐↔ sû ①1✱ ①2 ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ①✳ ❚❛ ❝â ①1 ❂ ①1 ◦ ❡ ❂ ①1 ◦ ✭① ◦ ①2✮ ❂ ✭①1 ◦ ① ◦ ①2✮ ✭❞♦ t➼♥❤ ❦➳t ❤ñ♣ ❝õ❛ ◦✮ ❂ ❡ ◦ ①2 ❂ ① ✳ ◆❤➟♥ ①➨t✿ ▲✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ❝→❝ ❞➜✉ ✳✱ ✰✱ ✯✱✳✳✳ ❑❤✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ✳✱ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❝➦♣ ♣❤➛♥ tû ✭①✱ ②✮ ì ữủ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ①②✱ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ① ✈➔ ②✳ P❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❡✳ P❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ① ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ①−1✳ ❑❤✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ✰✱ ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû ①✱ ② ❝õ❛ ● ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ① ✰ ② ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ① ✈➔ ②✳ P❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤ỉ♥❣✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ✵✳ P❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ① s➩ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤è✐✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ✭✲①✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭●✶✮ ✲ ✭●✷✮ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ✤÷đ❝ ✈✐➳t t❤➔♥❤ ✭① ✰ ②✮ ✰ ③ ❂ ① ✰ ✭② ✰ ③✮ ①✰✵❂✵✰①❂① ✹ ① ✰ ✭✲①✮ ❂ ✭✲①✮ ✰ ① ❂ ✵✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ◆❤â♠ ✭●✱ ◦✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✭❤❛② ❛❜❡❧✮ ♥➳✉ ① ◦ ② ❂ ② ◦ ①✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ●✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❈➜♣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ●✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ⑤●⑤✱ ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ● ♥➳✉ ● ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû✱ ✈➔ ❜➡♥❣ ∞ ♥➳✉ ● ❝â ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤æ♥❣ ré♥❣ ❙ ⊂ ● ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ♥➳✉ ❙ ❦❤➨♣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ tr♦♥❣ ● ✭tù❝ ❧➔ ①② ∈ ❙ ✈ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❙✮ ✈➔ ❦❤➨♣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❧➜② ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ● ✭tù❝ ❧➔ ①−1 ∈ ❙ ✈ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ❙✮✳ ❑➼ ❤✐➺✉✳ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❙ ≤ ● ✤➸ ❝❤➾ ❙ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♥❤â♠ ● ❜➜t ❦ý✱ ④❡⑥ ✈➔ ● ❧✉ỉ♥ ❧✉æ♥ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ❈→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❦❤→❝ ✭♥➳✉ ❝â✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ✭❤❛② ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✮ ❝õ❛ ●✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✼✳ ❬✼❪ ●✐↔ sû ❆ ❧➔ ♠ët ❜ë ♣❤➟♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ●✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❆✱ ①② ∈ ❆ ✈➔ ①−1 ∈ ❆✳ ✭✐✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❆✱ ①②−1 ∈ ❆✳ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✭✈ỵ✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ✈✐➳t t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➙♥✮✱ ✈➔ ❛ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ●✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ❧ô② t❤ø❛ ♥❣✉②➯♥ ❛m ✭♠ ∈ Z✮ ❝õ❛ ❛ ♥❤÷ s❛✉✿ ❛m ❂ a a ♥➳✉ ♠ ❃ ✵✱ ♠ ❧➛♥ ❛ ❂ ❡ ✭♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ ●✮✱ ✺ ❛m ❂ ✭❛−1✮−m ♥➳✉ ♠ ❁ ✵✳ ◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ♣❤➛♥ tû ❛✳✳✳❛ ✭♠ ❧➛♥✮ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞♦ t➼♥❤ ❦➳t ❤đ♣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ tr♦♥❣ ●✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ ♥❣❤✐➺♠ ❧↕✐ r➡♥❣ ❛r ✳ ❛s ❂ ❛r+s✱ ✭❛r ✮s ❂ ❛r.s✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ r✱ s ∈ Z õ r r r ú ỵ r ố ợ tỷ tũ ỵ ∈ ●✱ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❛❜ = ❜❛✳ ❉♦ ✤â✱ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✭❛❜✮r = ✭❛✮r ✳✭❜✮r ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tø ❧✉➟t ❦➳t ❤ñ♣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ tr♦♥❣ ● t❛ ❝â ❛r ✳❛s ❂ ❛s✳❛r ✈ỵ✐ ♠å✐ r✱ s ∈ Z✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳ ◆❤â♠ ● ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❛ s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ● ✤➲✉ ❜➡♥❣ ♠ët ❧ô② t❤ø❛ ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❛✳ P❤➛♥ tû ❛ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤÷ t❤➳ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ●✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾✳ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✈ỵ✐ ✤ì♥ ✈à ❡ ✈➔ ❛ ∈ ●✳ ◆➳✉ ❛m = ❡✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♠ ❃ ✵✱ t❤➻ t❛ ♥â✐ ❛ ❝â ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥✳ ◆➳✉ tr→✐ ❧↕✐✱ t❤➻ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ♠ s❛♦ ❝❤♦ ❛m ❂ ❡ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝➜♣ ❝õ❛ ❛✳ ❚❛ s➩ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ♦r❞✭❛✮ ✤➸ ❝❤➾ ❝➜♣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû ❛✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♦r❞✭❛✮ ❂ ✶ ⇔ ❛ ❂ ❡✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✳ ❬✺❪ ●✐↔ sû ❚ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❤ñ♣ ❙✭❚✮ t➜t ❝↔ ❝→❝ s♦♥❣ →♥❤ tr➯♥ ❚ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧➟♣ ♥➯♥ ♠ët ♥❤â♠✳ P❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ỗ t T tr ✻ P❤➛♥ tû ✤↔♦ ❝õ❛ α∈ ❙✭❚✮ ❝❤➼♥❤ ❧➔ →♥❤ ①↕ ♥❣÷đ❝ α−1 ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶✳ ◆❤â♠ ❙✭❚✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ ❚✳ ▼é✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ❙✭❚✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ t❤➳ tr➯♥ ❚✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ ❚ ❂ ④✶✱ ✷✱✳✳✳✱ ♥⑥ t❤➻ ♥❤â♠ ❙✭❚✮ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ ❙n ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ ♥ ♣❤➛♥ tû✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✷✳ ❬✺❪ ▼é✐ ♣❤➨♣ t❤➳ α∈ ⑤❙n⑤ ❂ ♥✦ ❂ ✶✳✷✳✳✳♥✳ ❙n ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ t❤à ♥❤÷ s❛✉✿ α ❂ n ✳ α✭✶✮ α✭✷✮ α✭♥✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ▼ët ♥❣❤à❝❤ t❤➳ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t❤➳ ❙n ❧➔ ♠ët ❝➦♣ ✐✱ ❥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ④✶✱ ✷✱✳✳✳✱ ♥⑥ s❛♦ ❝❤♦ ✐ ❁ ❥ ✈➔ α✭✐✮ ❃ α✭❥✮✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❚❛ ❣å✐ ♠ët ♣❤➨♣ t❤➳ ù♥❣ ♣❤➨♣ t❤➳ ❧➫✮ ♥➳✉ sè ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ t❤➳ ❝õ❛ ❧➔ ♠ët sè ❧➫✮✳ α α ∈ ❧➔ ♣❤➨♣ t❤➳ ❝❤➤♥ ✭t÷ì♥❣ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ α ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✺✳ ❈❤♦ α n ỵ s ❧➔ ✶ ♥➳✉ α ❧➔ ♣❤➨♣ t❤➳ ❝❤➤♥❀ ❧➔ ✲✶ ♥➳✉ α ❧➔ ♣❤➨♣ t❤➳ ❧➫✳ ✶✳✷✳ ◆❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ❬✺❪ ●✐↔ sû ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ●✱ t❛ ✤à♥❤ q tr t ữ s ợ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❆✱ ① ∼ ② ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ①−1② ∈ ❆✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ ∼ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∼ ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➻ ①−1 ① ❂ ❡ ∈ ❆✳ ∼ ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➻ ♥➳✉ ①−1 ② ∈ ❆ t❤➻ ②−1 ① ❂ ✭①−1 ②✮−1 ∈ ❆✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ∼ ❧➔ ❜➢❝ ❝➛✉ ✈➻ ♥➳✉ ①−1② ✈➔ ②−1③ ∈ ❆ t❤➻ ✼ ①−1③ ❂ ✭①−1②✮✭②−1③✮ ∈ ❆✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ① ∈ ●✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧ỵ♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝❤ù❛ ① ❧➔ x ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ë ỗ tỷ õ ✈ỵ✐ ❛ ❝❤↕② ❦❤➢♣ ❆ ❧➔ ①❆✱ tù❝ ❧➔ ①❆ ❂ ④①❛ ⑤ ❛ ∈ ❆⑥✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ❬✺❪ x ❂ ①❆✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ●✐↔ sû ② ∈ x✳ ❱➟② ① ∼ ②✱ tù❝ ❧➔ ①−1② ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❛ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❆✱ ❞♦ ✤â ② ❂ ①❛ ∈ ①❆✳ ❙✉② r❛ x ⊂ ①❆✳ ▲➜② ♠ët tỷ tũ ỵ õ ✈ỵ✐ ❛ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❆✳ ❚ø ② ❂ ①❛ s✉② r❛ ①−1② ∈ ❆✱ ✈➟② ① ∼ ②✱ tù❝ ❧➔ ② ∈ x✳ ❙✉② r❛ ①❆ ⊂ x✳ ❱➟② x ❂ ①❆✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❜ë ♣❤➟♥ ①❆ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ õ tr ữỡ tỹ ợ ❦➲ ♣❤↔✐ ❆① ❝õ❛ ❆ tr♦♥❣ ● ❧➔ ❝→❝ ❜ë ♣❤➟♥ ♠➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝â ❞↕♥❣ ❧➔ ❛① ✱ ✈ỵ✐ ❛ ∈ ❆✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✹✳ ❬✼❪ ●✐↔ sû tỷ tũ ỵ ♥❤â♠ ❳✱ t❤➳ t❤➻✿ ✭✐✮ ①❆ ❂ ②❆ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ①−1② ∈ ❆✳ ✭✐✐✮ ①❆∩②❆ ❂ ∅ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ①−1 ∈/ ❆✳ ❚➟♣ ❤đ♣ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ● tr➯♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ∼ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ● tr➯♥ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❆✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ●✴❆✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ●✴❆ ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ①❆✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺✳ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ t❤÷ì♥❣ ●✴❆ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾ sè ❝õ❛ õ tr ỵ ❆❪✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✻✳ ▼ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❆ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ● ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ①−1❛① ∈ ❆✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ❆ ✈➔ ① ∈ ●✳ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❆✁●✱ ✽ ✤➸ ❝❤➾ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ❬✼❪ ●✐↔ sû ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ♥❤â♠ ●✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ ❆ ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ✭✐✐✮ ①❆ ❂ ❆①✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ●✳ ❉♦ ▼➺♥❤ ✤➲ tr➯♥✱ ♥➳✉ ❆ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ t❤➻ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr ợ ữủ ❧ỵ♣ ❦➲ ❝õ❛ ❆✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✽✳ ❬✼❪ ❚r♦♥❣ ♠ët ♥❤â♠ ❛❜❡❧✱ ♠å✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ✤➲✉ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✾✳ ❬✼❪ ❈❤♦ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✱ ❦❤✐ ✤â t➟♣ ❩✭●✮ ❂ ④❣ ∈ ● ⑤ ❣① ❂ ①❣✱ ∀① ∈ ●⑥✱ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✱ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤â♠ ●✳ ❱➔ t➟♣ ◆B ❂ ④❣ ∈ ● ⑤ ❣❇ ❂ ❇❣⑥✱ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✱ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❤â❛ ❝õ❛ ❇ tr♦♥❣ ●✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✵✳ ❬✺❪ ❚➟♣ ❆n✱ ♥ ≥ ✷✱ ỗ tt t tr t ✷✱✳✳✳✱ ♥⑥ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝â ❝❤➾ sè ✷ ❝õ❛ ♥❤â♠ ❙n✱ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ t❤❛② ♣❤✐➯♥ tr➯♥ ♥ ♣❤➛♥ tû✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✶✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✱ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ✈➔ ❇ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❆❇ ❂ ④❛❜ ∈ ● ⑤ ❛ ∈ ●✱ ❜ ∈ ●⑥ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✷✳ ❬✼❪ ✭✣à♥❤ ❧➼ ▲❛❣r❛♥❣❡✮ ❈➜♣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ● ❤ú✉ ❤↕♥ ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ ❝➜♣ ❝õ❛ ♠å✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ♥â✳ ✾ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝â ❝➜♣ ♥✱ ✈➔ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ♥â✱ ❝â ❝➜♣ ♠✳ rữợ t t ự ợ tr ① ∈ ●✱ ✤➲✉ ❝â sè ♣❤➛♥ tû ❧➔ ♠✳ ▼✉è♥ ✈➟② t❛ ①➨t ❆ ❂ ④①1✱ ①2✱✳✳✳✱ ①m⑥ ✈➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ①①1✱ ①①2✱✳✳✳✱ ①①m ❈→❝ ♣❤➛♥ tû ♥➔② ❧➔ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✱ ✈➻ ♥➳✉ ❝â ①①1 ❂ ①①2 ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ t❤➻ ①1 ❂ ①2✳ ✣â ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ tỷ ợ tr ữ ❝â ♠ ♣❤➛♥ tû✳ ❱➻ ● ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ sè ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ①❆ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ❣å✐ ❧ ❧➔ sè ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ①❆✳ ❉♦ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ❧➔ rí✐ ♥❤❛✉ ♥➯♥ t❛ ❝â ♥ ❂ ♠❧✳ ữỡ tỹ t ụ õ số ợ ❦➲ ♣❤↔✐ ❆①✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✸✳ ❬✼❪ ❈➜♣ ❝õ❛ ♠ët tỷ tũ ỵ ởt õ ỳ ữợ ◆➳✉ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ♠ët õ t t tữỡ ự ợ ❝➦♣ ✭①❆✱ ②❆✮ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ①②❆ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ tø ●✴❆ × ●✴❆ ✤➳♥ ●✴❆✳ ✭✐✐✮ ●✴❆ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣ỉ✐ ✭①❆✱ ②❆✮ → ①②❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✱ ❣å✐ ❧➔ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ● tr➯♥ ❆✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② t➢❝ tr➯♥ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t❤➻ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ ①1❆ ❂ ①❆ ✈➔ ②1❆ ❂ ②❆ t❤➻ ①1②1❆ ❂ ①②❆✱ ❤❛② t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✹✳✱ ♥➳✉ ①−1①1 ∈ ❆ ✈➔ ②−1②1 ∈ ❆ t❤➻ ✭①②✮−1✭①1②1✮ ❂ ②−1①−1①1②1 ∈ ❆✳ ✶✵ ∀❛ ∈ ●✱ ✭❋◦π✮✭❛✮ ❂ ❋✭π✭❛✮✮ ❂ ❋✭❛◆✮ ❂ ❢✭❛✮ ⇒ ❋◦π ❂ ❢✳ ❙✉② r❛ ❋◦π ❂ ❢✳ ❱➟② tỗ t t ởt ỗ ●✬ s❛♦ ❝❤♦ ❋◦π ❂ ❢ ✭✈ỵ✐ π ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ tø ● ❧➯♥ ●✴◆✮✳ ■♠❋ ❂ ④❋✭❙✮ ⑤ ❙ ∈ ●✴◆⑥ ❂ ④❋✭❛◆✮ ⑤ ❛ ∈ ●⑥ ❂ ④❢✭❛✮ ⑤ ❛ ∈ ●⑥ ❂ ■♠❢✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ữủ ự ỗ ❝➜✉ t❤ù ♥❤➜t✮ ❬✽❪ ●✐↔ sû ❢✿ ● → ●✬ ởt ỗ õ õ r tỗ t ởt r → ■♠❢✱ ❝❤♦ ❜ð✐ ❛✭❑❡r❢✮ → ❢✭❛✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❱ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ❑❡r❢ s✉② r❛ ❢✭①✮ ❂ ❡G ✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ● t❛ ❝â ❢✭❛−1①❛✮ ❂ ❢✭❛−1✮❢✭①✮❢✭❛✮ ❂ ❢✭❛✮−1❢✭①✮❢✭❛✮ ❂ ❢✭❛✮−1❡G ❢✭❛✮ ❂ ❡G ⇒ ❛−1 ①❛ ∈ ❑❡r❢ ⇒ ❑❡r❢ ✁ ●✳ ❚❛ ❝â ❡✬ ❂ ❢✭❡✮ ∈ ■♠❢ ⇒ ■♠❢ = ∅❀ ∀① ∈ ■♠❢ ⇒ ∃✉ ∈ ●✿ ① ❂ ❢✭✉✮✱ ∀② ∈ ■♠❢ ⇒ ∃✈ ∈ ●✿ ② ❂ ❢✭✈✮ ⇒ ②−1 ❂ ❢✭✈✮−1 ❂ ❢✭✈−1 ✮ ①②−1 ❂ ❢✭✉✮❢✭✈✮−1 ❂ ❢✭✉✈−1✮ ⇒ ✉✈−1 ∈ ● ⇒ ❢✭✉✈−1✮ ∈ ■♠❢ ⇒ ①②−1 ∈ ■♠❢ ⇒ ■♠❢ ≤ ●✬✳ ❑➼ ❤✐➺✉ ◆ ❂ ❑❡r❢✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶✱ t❛ õ ởt ỗ õ ợ ỗ t❤í✐ ❑❡r❋ ❂ ④❛◆ ⑤ ❢✭❛✮ ❂ ❡✬⑥ ❂ ④❛◆ ⑤ ❛ ∈ ◆⑥ ❂ ④◆⑥ s✉② r❛ ❋ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❝➜✉✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ■♠❋ ❂ ❢✭●✮✱ ❞♦ ✤â t❛ ❝â ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ tø ●✴❑❡r❢ ❧➯♥ ■♠❢✳ ✣à♥❤ ữủ ự q ợ t♦➔♥ ❝➜✉ ❢✿ ❳ → ❨✱ tø ♠ët ♥❤â♠ ❳ ✤➳♥ ♠ët ♥❤â♠ ❨✱ t❛ ❝â ❳✴❑❡r❢ ∼ = ❨✳ ự ỗ ❝➜✉ t❤ù ♥❤➜t✮✱ t❛ ❝â ❳✴❑❡r❢ ∼ = ■♠❢✳ ▼➔ ❢ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ s✉② r❛ ■♠❢ ❂ ❨✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â ❳✴❑❡r❢ ∼ = ❨✳ ❍➺ q✉↔ ✤➣ ữủ ự ỗ t❤ù ❤❛✐✮ ❬✽❪ ●✐↔ sû r➡♥❣ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✈➔ ❆✱ ❇ ❧➔ ❤❛✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● t❤ä❛ ♠➣♥ ❆ ≤ ◆G✭❇✮✳ ❑❤✐ ✤â ❇ ✁ ❆❇✱ ❆∩❇ tỗ t ởt ❆❇✴❇✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❛✭❆∩❇✮ → ❛❇✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ❆✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❚❛ ❝â ❆✱ ❇ ≤ ● t❤ä❛ ♠➣♥ ❆ ≤ ◆G✭❇✮ s✉② r❛ ❛❇ ❂ ❇❛ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ❆✳ ∀① ∈ ❆❇ ① ❂ ❛❜✱ ❛ ∈ ❆✱ ❜ ∈ ❇ ⇒ ① ❂ ❛❜ ∈ ❛❇ ❂ ❇❛ ⇒ ① ❂ ❜✬❛ ∈ ❇❆ ⇒ ❆❇ ⊂ ❇❆✳ ∀② ∈ ❇❆ ⇒ ② ❂ ❜❛✱ ❛ ∈ ❆✱ ❜ ∈ ❇ ⇒ ② ❂ ❜❛ ∈ ❇❛ ❂ ❛❇ ⇒ ② ❂ ❛❜✬ ∈ ❆❇ ⇒ ❇❆ ⊂ ❆❇✳ ⇒ ❇❆ ❂ ❆❇✳ ⇒ ❚❛ ❝â✿ ✵G ∈ ❆❇ ⇒ ❆❇ = ∅ ∀① ∈ ❆❇ ⇒ ① ❂ ❛❜✱ ∀② ∈ ❆❇ ⇒ ② ❂ ❛✬❜✬❀ ①②−1 ❂ ✭❛❜✮✭❛✬❜✬✮−1 ❂ ❛❜❜✬−1❛✬−1 ❂ ❛❜❛1❜1 ❂ ❛❛2❜2❜1 ✭❞♦ ❆❇ ❂ ❇❆✮ ❂ ✭❛❛2✮✭❜2❜1✮ ∈ ❆❇ ⇒ ❆❇ ≤ ●✳ ❚ø ❆✱ ❇ ≤ ◆G✭❇✮ ≤ ● s✉② r❛ ❆❇ ≤ ◆G✭❇✮✳ ❚ø ❇ ✁ ◆G✭❇✮ ✈➔ ❇ ≤ ❆❇ s✉② r❛ ❇ ✁ ❆❇✳ ❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❇ ✁ ❆❇✳ ∀① ∈ ❆∩❇✱ ∀❛ ∈ ❆✱ ❛−1 ①❛ ∈ ❆ ⇒ ❛−1 ①❛ ∈ ❆∩❇✳ ❱➻ ♥➳✉ tr→✐ ❧↕✐ t❤➻ ❛−1①❛ ❂ ❛1 ∈ ❆\❇ ⇒ ① ❂ ❛❛1❛−1 ∈ ❆\❇ ổ ỵ ❱➻ ❇ ✁ ❆❇✱ t❛ ❝â t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ π✿ ❆❇ → ❆❇✴❇✱ ✤➦t ❢ ❂ π⑤A ✿ ❆ ởt ỗ ữủ → ❢✭❛✮ ❂ ❛❇✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ❆✳ ✶✼ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ❆ ✈➔ ❜ ∈ ❇✱ t❛ ❝â ❛❜❇ ❂ ❛✭❜❇✮ ❂ ❛❇ ❂ ❢✭❛✮✳ ❉♦ ✤â ❢ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉✳ ❚❛ ❝â ❑❡r❢ ❂ ④❛ ∈ ❆ ⑤ ❛❇ ❂ ❇⑥ ❂ ④❛ ∈ ❆ ⑤ ❛ ∈ ❇⑥ ❂ ❆∩❇✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ tự t tỗ t ởt ữủ ợ ♠å✐ ❛ ∈ ❆✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ỗ tự ●✐↔ sû r➡♥❣ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✈➔ ◆✱ ❍ ❧➔ ❤❛✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ● t❤ä❛ ♠➣♥ õ tỗ t ởt ữủ ợ ♠å✐ ❛ ∈ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❳➨t t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ π✿ ● → ●✴❍✱ ❦❤✐ ✤â ◆ ≤ ❍ r t tỗ t ởt t♦➔♥ ❝➜✉ ❢✿ ●✴◆ → ●✴❍✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❢✭❛◆✮ ❂ π✭❛✮ ❂ ❛❍✳ ❚❛ ❝â ❑❡r❢ ❂ ④❛◆ ⑤ ❢✭❛◆✮ ❂ ❍⑥ ❂ ④❛◆ ⑤ ❛❍ ❂ ❍⑥ ❂ ④❛◆ ⑤ ❛ ∈ ❍⑥ ❂ ❍✴◆✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ tự t tỗ t ởt ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✭●✴◆✮✴✭❍✴◆✮ → ●✴❍✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✭❛◆✮✭❍✴◆✮ → ợ ữủ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✲ ❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❚❤❡♦r❡♠✮ ❬✶❪ ❈❤♦ ϕ✿ ● → ❑ ❧➔ ♠ët ỗ ởt õ ởt õ ◆❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❍ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❙ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ❑ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ❑❡rϕ✳ ◆➳✉ ❙ ✁ ❑ t❤➻ ❍ ✁ ●✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❍1 ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❜➜t ❦ý ❦❤→❝ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ❑❡rϕ s❛♦ ❝❤♦ ϕ✭❍1✮ ❂ ❙✱ t❤➻ ❍1 ❂ ❍✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✰ ❍ ❂ ④❣ ∈ ● ⑤ ϕ✭❣✮ ∈ ❙⑥✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❍ ≤ ● ❚❛ ❝â✿ ϕ✭✶✮ ❂ ✶ ∈ ❑✳ ❉♦ ❙ ≤ ❑ ♥➯♥ ϕ✭✶✮ ∈ ❙ s✉② r❛ ✶ ∈ ❍ ⇒ ❍ = ∅ ✶✽ ∀❣✱ ❤ ∈ ❍ ⇒ ϕ✭❣✮ ∈ ❙✱ ϕ✭❤✮ ∈ ❙✱ ϕ✭❣❤−1 ✮ ❂ ϕ✭❣✮ϕ✭❤−1 ✮ ❂ ϕ✭❣✮ϕ✭❤✮−1 ∈ ❙✳ ❉♦ ✤â ❍ ≤ ●✳ ❱➻ ❙ ≤ ❑✱ ♥➯♥ ❑❡rϕ ⊆ ❍✳ ✰◆➳✉ ❙ ✁ ❑ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❍ ✁ ● ∀❣ ∈ ●✱ ∀❤ ∈ ❍✱ ϕ✭❣−1 ❤❣✮ ❂ ϕ✭❣−1 ✮ϕ✭❤✮ϕ✭❣✮ ❂ ϕ✭❣✮−1 ϕ✭❤✮ϕ✭❣✮✳ ❱➻ ϕ✭❤✮ ∈ ❙✱ ϕ✭❣✮ ∈ ❑ ♠➔ ❙ ✁ ❑ ♥➯♥ ϕ✭❣✮−1ϕ✭❤✮ϕ✭❣✮ ∈ ❙ ❤❛② ϕ✭❣−1 ❤❣✮ ∈ ❙ s✉② r❛ ❣−1 ❤❣ ∈ ❍✳ ❉♦ ✤â ❍ ✁ ●✳ ✰ ●✐↔ sû ❍1 ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ❑❡rϕ s❛♦ ❝❤♦ ϕ✭❍1✮ ❂ ❙✱ ❦❤✐ ✤â✱ ∀❤1 ∈ ❍1 ⇒ ϕ✭❤1✮ ∈ ❙ ⇒ ❤1 ∈ ❍ s✉② r❛ ❍1 ⊆ ❍ ✭✶✮ ∀❤ ∈ ❍ ⇒ ∃ s ∈ ❙ ✿ ϕ✭❤✮ ❂ s✱ ∃❤✬ ∈ ❍1 ✿ s ❂ ϕ✭❤✬✮ ✭✈➻ ❙ ❂ ϕ✭❍1 ✮✮✱ ❞♦ ✤â ϕ✭❤✮ ❂ ϕ✭❤✬✮ ⇒ ϕ✭❤✮ϕ✭❤✬✮−1 ❂ ✶✳ ϕ✭❤❤✬✮−1 ❂ ✶ ⇒ ❤❤✬−1 ∈ ❑❡rϕ ⊆ ❍1 ⇒ ❤ ∈ ❍1 ⇒ ❍ ⊆ ❍1 ✭✷✮ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛ ❍1 ❂ ❍✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ϕ✿ ● → ❑ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ● ❧➯♥ ♠ët ♥❤â♠ ❑✳ ❈❤♦ ❙ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ❑ ❝â ❝❤➾ sè ♥ ❁ ∞✳ ●å✐ ❍ ❧➔ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❙✱ ❦❤✐ ✤â ❍ ❝â ❝❤➾ sè ♥ tr♦♥❣ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ●✐↔ sû ❦1❙✱ ❦2❙✱✳✳✳✱ ❦n❙✱ ✈ỵ✐ ❦i ∈ ❑✱ ✐ ❂ 1, n✱ ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ ❙ tr♦♥❣ ❑✳ ❉♦ t tỗ t tỷ ❣1✱ ❣2✱✳✳✳✱ ❣n ❝õ❛ ● s❛♦ ❝❤♦ ϕ✭❣i ✮ ❂ ❦i ✱ ✐ ❂ 1, n✳ ●å✐ ❍i ❂ ❣i ❍✱ ✐ ❂ 1, n✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ❍1✱ ❍2✱✳✳✳✱ ❍n ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ ❍ tr♦♥❣ ●✳ ✰ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❣i❍ ❂ ❣j ❍❀ ✐✱ ❥ ❂ 1, n ⇒ ❣j −1 ❣i ∈ ❍ ⇒ ϕ✭❣j −1 ❣i ✮ ❂ ϕ✭❣j −1 ✮ϕ✭❣i ✮ ❂ ϕ✭❣j ✮−1 ϕ✭❣i ✮ ∈ ❙ ⇒ ❦j −1 ❦i ∈ ❙ ⇒ ❦j ❙ ❂ ❦i ❙ ⇒ ✐ ❂ ❥✳ ❉♦ ✤â ❍1✱ ❍2✱✳✳✳✱ ❍n ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✶✾ ✰ ❈❤♦ ❣ ∈ ●✱ ❦❤✐ ✤â ϕ✭❣✮ ∈ ❑ s✉② r❛ ϕ✭❣✮ ∈ ❦i❙✱ ✐ ❂ 1, n ⇒ ∃s ∈ ❙ ✿ ϕ✭❣✮ ❂ ❦i s✳ ✣➦t ① ❂ ❣i −1 ❣✱ ✐ ❂ 1, n ⇒ ϕ✭①✮ ❂ ϕ✭❣i −1 ❣✮ ❂ ϕ✭❣i ✮−1 ϕ✭❣✮ ❂ ❦i −1 s❦i s❂ ❦i −1 ❦i s ❂ s ∈ ❙ ❉♦ ✤â ❣i−1❣ ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❙ s✉② r❛ ❣i−1❣ ∈ ❍ ⇒ ❣ ∈ ❣i❍ ❱➟② ❍1✱ ❍2✱✳✳✳✱ ❍n ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ tr→✐ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ ❍ tr♦♥❣ ●✳ ❍➺ q✉↔ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✽✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ◆ ✁ ●✱ ❝❤♦ ▲ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✴◆✳ ❑❤✐ ✤â ❝â t❤➸ ✈✐➳t ▲ ❂ ❍✴◆✱ ✈ỵ✐ ❍ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ◆✳ ◆➳✉ ▲ ✁ ●✴❍ t❤➻ ❍ ✁ ●✳ ◆➳✉ ❍1✴◆ ❂ ❍✴◆✱ ✈ỵ✐ ❍1✱ ❍ ❧➔ ❤❛✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ◆✱ t❤➻ ❍1 ❂ ❍✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❳➨t t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ π✿ ● → ●✴◆✱ ❝❤♦ ❍ ❂ π−1✭▲✮ ❂ ④❣ ⑤ π✭❣✮ ∈ ▲⑥✳ ❑❤✐ ✤â ❞ü❛ ✈➔♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ t❛ ❝â✱ ♥➳✉ ▲ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✴◆ s✉② r❛ ❍ ≤ ●✱ ♥➳✉ ▲ ✁ ●✴◆ t❤➻ ❍ ✁ ●✱ ✈➔ ▲ ❂ π✭❍✮❀ π✭❍✮ ❝❤ù❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ ❤◆✱ ❤ ∈ ❍✳ ❱➻ ❑❡rπ ❂ ◆ ⊆ ❍✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ ❍✴◆ ❝❤ù❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦➲ ❤◆✱ ❤ ∈ ❍✳ ❉♦ ✤â ❍✴◆ ❂ π✭❍✮ ❂ ▲✳ ◆➳✉ ◆ ⊆ ❍1 ✈➔ ❍1✴◆ ❂ ❍✴◆✱ ❦❤✐ ✤â π✭❍1✮ ❂ ▲✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ s✉② r❛ ❍1 ❂ ❍✳ ❍➺ q✉↔ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ỗ tự tữ ❢ ✿ ● → ●✬ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉✳ ❑❤✐ õ õ ởt tỗ s ④❆ ⑤ ❑❡r❢ ≤ ❆ ≤ ●⑥→④❇ ⑤ ❇≤ ●✬⑥✱ ợ ữủ ữ r❛ ❜ð✐ ❇ → ❢−1✭❇✮✳ ❜✮ ❈❤♦ ❑❡r❢ ≤ ◆ ≤ ●✳ ❑❤✐ ✤â ◆ ● ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❢✭◆✮ ●✬ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❝â ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ●✴◆ → ●✬✴❢✭◆✮✱ ❝❤♦ ❜ð✐ ❛◆ → ❢✭❛✮❢✭◆✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❛ ∈ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ✷✵ ❛✮ ●✐↔ sû ❢ ởt ỗ t ý ❑❡r❢ ⊆ ❢−1✭❇✮ ✈➔ ❇ ⊆ ❢✭❢−1✭❇✮✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❇ ≤ ●✬✳ ◆➳✉ ❢ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ t❤➻ ❇ ❂ ❢✭❢−1✭❇✮✮✳ ❆ ≤ ● t❤➻ ❆ ⊆ ❢−1✭❢✭❆✮✮✳ ◆➳✉ ❑❡r❢ ⊆ ❆ t❤➻ ❆ ❂ ❢−1✭❢✭❆✮✮✳ ❜✮ ◆❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ ủ ỗ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ ❝â ❑❡r❢−1✭❢✭◆✮✮ ❂ ◆✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✷✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ỗ õ s ỗ õ ự ởt số t q tr ỵ tt õ ✤➲ ✷✳✷✳✶ ❬✺❪ ❱ỵ✐ ♥ ≤ ✷✱ ♥❤â♠ t❤❛② ♣❤✐➯♥ ❆n ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝❤➾ sè ✷ ❝õ❛ ♥❤â♠ ❙n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❳➨t ♥❤â♠ ④✲✶✱ ✶⑥ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ♥❤➙♥✱ ✈➔ →♥❤ ①↕ s❣♥✿ ❙n α ④✲✶✱ ✶⑥ s s ởt ỗ ợ α, β ∈ ❙n✱ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ (αβ)(i) s❣♥✭αβ ✮ ❂ Π (αβ)(j)j − −i − α(β(i)) β(j)) − β(i) ❂ Π α(β(j)) Π ❂ s❣♥✭α✮s❣♥✭β ✮✳ β(j) − β(i) j−i ❘ã r➔♥❣ s❣♥ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ ●å✐ ❆n ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➨♣ t❤➳ ❝❤➤♥ ❝õ❛ ❙n✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❆n ❂ ❑❡r✭s❣♥✮ ✷✶ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝â ❙n ∼ = ④✲✶✱ ✶⑥✳ ❙✉② r❛ ❬❙n ✿ ❆n ❪ ❂ ✷✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❬✸❪ ▼å✐ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝â ❝ị♥❣ ❝➜♣ t❤➻ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ●✐↔ sû ● ❂ ❁❛❃ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❛✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ ϕ✿ Z → ●✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♥ → ❛n✱ ❦❤✐ ✤â rã r➔♥❣ ϕ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ →♥❤✳ ∀♠✱ ♥ ∈ Z✱ t❛ ❝â ϕ✭♠ ✰ ♥✮ ❂ ❛m+n ❂ ❛m ✳❛m ❂ ϕ✭♠✮✳ϕ✭♥✮✱ ❞♦ ✤â ϕ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝â Z✴❑❡rϕ ❂ ●✳ ∀❦ ∈ ❑❡rϕ ⇔ ϕ✭❦✮ ❂ ❡✳ ◆➳✉ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝➜♣ ♠✱ t❤➻ ♦r❞✭❛✮ ❂ ♠✳ ❚❛ ❝â ❛k ❂ ❡ ⇔ ❦ ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ ♠✱ s✉② r❛ ❑❡rϕ ⊂ ♠Z✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ∀❦ ❂ ♠q ∈ ♠Z✱ q ∈ Z✱ t❛ ❝â ϕ✭❦✮ ❂ ❛k ❂ ❛mq ❂ ❡q ❂ ❡ s✉② r❛ ❦ ∈ ❑❡rϕ✱ ❞♦ ✤â ♠Z ⊂ ❑❡rϕ✳ ❱➟② ❑❡rϕ ❂ ♠Z✳ ◆➳✉ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ✈æ ❤↕♥✱ t❛ ❝â ❛k ❂ ❡ ⇔ ❦ ❂ ✵✳ ❉♦ ✤â ❑❡rϕ ❂ ④✵⑥✳ ◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝➜♣ ♠ t❤➻ ● ∼ = Z✴♠Z✱ ♥➳✉ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ t❤➻ ● ∼ = Z✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ❬✸❪ ❈❤♦ ❢✿ ● → ❑ ❧➔ ởt ỗ õ tứ ởt õ ỳ ✤➳♥ ♠ët ♥❤â♠ ❑✳ ❑❤✐ ✤â ❝➜♣ ❝õ❛ ● ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ ❝➜♣ ❝õ❛ ❢✭●✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝â ●✴❑❡r❢ ∼ = ❢✭●✮✳ ❱➻ ● ❧➔ õ ỳ r ởt ữợ ❝õ❛ ❝➜♣ ❝õ❛ ●✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✷ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✹✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✳ ❑❤✐ ✤â ●✴❩✭●✮ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♥❤â♠ ❝→❝ tü ✤➥♥❣ ❝➜✉ tr♦♥❣ ❝õ❛ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❳➨t →♥❤ ①↕ ϕ✿ ● ❛ → → ■♥♥✭●✮ ϕ✭❛✮ ❂ ❢a ✳ ❚❛ ❝â✿ ∀❛✱ ❜ ∈ ●✱ ϕ✭❛❜✮ ❂ ❢ab ❂ ❢a❢b ❂ ϕ✭❛✮ϕ✭❜✮✱ ❞♦ ✤â ❝➜✉ ♥❤â♠✳ ❘ã r➔♥❣ ϕ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ ❙✉② r❛ ϕ t♦➔♥ ❝➜✉✳ ❱➔ ❑❡rϕ ❂ ④❛ ∈ ● ⑤ ϕ✭❛✮ ❂ ✶G⑥ ❂ ④❛ ∈ ● ⑤ ❢a ❂ ✶G⑥ ❂ ④❛ ∈ ● ⑤ ❛①❛−1 ❂ ①✱ ∀① ∈ ●⑥ ❂ ④❛ ∈ ● ⑤ ❛① ❂ ①❛✱ ∀① ∈ ●⑥ ❂ ❩✭●✮✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝â ●✴❩✭●✮ ∼ = ■♥♥✭●✮✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✺✳ n ợ ỗ n ✱ ❍ ❂ ❁σ ❃ ✈➔ σ❂ n ❆n ❧➔ ♥❤â♠ t❤❛② ♣❤✐➯♥ tr➯♥ ♥ ♣❤➛♥ tû✳ ❑❤✐ ✤â ❍❆n✴❆n ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❚❛ ❝â σ ❧➔ ♣❤➨♣ t❤➳ ❧➫✱ ❞♦ ✤â σ ∈/ ❆n✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♦r❞✭σ✮ ❂ ✷✱ ♥➯♥ ❍ ❂ ④σ✱ ❡⑥✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❍∩❆n ❂ ④❡⑥✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✹✱ t❛ ❝â ❍❆n✴❆n ∼ = ❍✴❍∩❆n ✱ s✉② r❛ ❍❆n✴❆n ∼ = ❍✴④❡⑥ ∼ = ❍✳ ❱➻ ❍ ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✷ ♥➯♥ ❍❆n✴❆n ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✷✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✻✳ ❬✶❪ ◆➳✉ ❍ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❣✐❛♦ ✷✸ ❤♦→♥ tû ❬●✱ ●❪✱ t❤➻ ❍ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❳➨t t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ π✿ ● → ●✴❬●✱ ●❪✳ ❱➻ ❬●✱ ●❪ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ tû ❝õ❛ ● ♥➯♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✻✱ t❛ ❝â ●✴❬●✱ ●❪ ❧➔ ♥❤â♠ ❛❜❡❧✱ ✈➔ ♠å✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✴❬●✱ ●❪ ✤➲✉ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ ❞♦ ✤â ❙ ❂ π✭❍✮ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr♦♥❣ ●✴❬●✱ ●❪✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ t❛ ❝â ❍ ❧➔ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❙✱ ✈➔ ❞♦ ❙ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✴❬●✱ ●❪✱ ♥➯♥ ❍ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✼✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ϕ✿ ● → ❑ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ ♥❤â♠✱ ❑ ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✶✵✳ ❑❤✐ ✤â ● ❝â ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝â ❝❤➾ sè ✷✱ ✺ ✈➔ ✶✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ●✐↔ sû ❑ ❂ ❁❦❃✱ ❦10 ❂ ❡✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❑1 ❂ ④❡⑥✱ ❑2 ❂ ❦5✱ ❑3 ❂ ❦2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❑ ❝â ❝❤➾ sè ✶✵✱ ✺ ✈➔ ✷✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ t❛ ❝â ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❑1 ✱ ❑2 ✱ ❑3 ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr♦♥❣ ●✱ ✈➔ t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼ t❤➻ ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❑1✱ ❑2✱ ❑3 ❝â ❝❤➾ sè ❧➔ ✶✵✱ ✺ ✈➔ ✷✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✽✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ❍ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝â ❝❤➾ sè ♥ tr♦♥❣ ●✱ ✈➔ π✿ ● → ❑ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ ❧➯♥ ♥❤â♠ ❑✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ ❑❡rπ ⊆ ❍ t❤➻ π✭❍✮ ❝â ❝❤➾ sè ♥ tr♦♥❣ ❑✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❙ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ❑✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❙ ❂ π✭❍✮ ❝â ❝❤➾ sè ❤ú❛ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❑✱ t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼✳ ◆➳✉ ❣1❍✱ ❣2❍✱✳✳✳✱ ❣n❍ ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❝õ❛ ❍ tr♦♥❣ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ π✭❣1✮❙✱ π✭❣2✮❙✱✳✳✳✱ π✭❣n✮❙ ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ ❙ tr♦♥❣ ❑✳ ●✐↔ sû π✭❣i✮❙ ❂ π✭❣j ✮❙✱ ✈ỵ✐ ✐✱ ❥ ❂ 1, n✳ ❑❤✐ ✤â π✭❣i✮π✭❣j ✮−1 ❂ π✭❣i✭❣j ✮−1✮ ∈ ❙✳ ❉♦ ✤â ❣i✭❣j ✮−1 ∈ ❍✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ✷✹ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ t❛ ❝â ❍ ❧➔ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ❙ tr♦♥❣ ❑✳ ❉♦ ✤â π✭❣i✮❙ ❂ π✭❣j ✮❙✱ ✈ỵ✐ ✐✱ ❥ ❂ 1, n t÷ì♥❣ ù♥❣ ✐ ❂ ❥✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✾✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✈➔ ◆ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ●✐↔ sû ▲✱ ▼ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✴❍✳ ❑❤✐ ✤â ✰ ▲ ❂ ❍✴◆✱ ✈➔ ▼ ❂ ❑✴◆✱ ✈ỵ✐ ❍✱ ❑ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ◆✳ ✰ ◆➳✉ ▲ ⊆ ▼ t❤➻ ❍ ⊆ ❑❀ ✈➔ ♥➳✉ ▲ ✁ ▼ t❤➻ ❍ ✁ ❑✳ ✰ ◆➳✉ ▲ ⊆ ▼ ✈➔ ❬▼ ✿ ▲❪ ❂ ♥ ❁ ∞✱ t❤➻ ❬❑ ✿ ❍❪ ❂ ♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❙û ❞ö♥❣ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✽✳✱ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼✳ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✳ ✰ ❚❛ ❝â ◆ ✁ ●✱ ✈➔ ▲✱ ▼ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✴❍ t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✽✳ ❦❤✐ ✤â ❝â t❤➸ ✈✐➳t ▲ ❂ ❍✴◆✱ ✈➔ ▼ ❂ ❑✴◆✱ ✈ỵ✐ ❍✱ ❑ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ❝❤ù❛ ◆✳ ✰ ◆➳✉ π ❧➔ ♠ët ỗ tỹ õ ● ⑤ π✭❣✮ ∈ ▲⑥ ✈➔ ④❣ ∈ ● ⑤ π✭❣✮ ∈ ▼⑥✳ ❉♦ ✤â ♥➳✉ ▲ ⊆ ▼ t❤➻ t ỗ ❢ ✿ ❑ → ❑✴◆ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❢✭❦✮ ❂ π✭❦✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❦ ∈ ❑✳ ◆➳✉ ❢ ❂ π⑤K ✳ ❘ã r➔♥❣ ❢✭❑✮ ❂ ❑✴◆ ✈➔ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ▲ ❧➔ ❍✱ ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ❝õ❛ ▼ ❧➔ ❑✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✻✱ ♥➳✉ ▲ ✁ ▼ t❤➻ ❍ ✁ ❑✳ ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼ t❛ ✤÷đ❝ ▲ ⊆ ▼ ✈➔ ❬▼ ✿ ▲❪ ❂ ♥ ❁ ∞✱ t❤➻ ❬❑ ✿ ❍❪ ❂ ♥✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✵✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ♠ët ♥❤â♠ ● ❝❤ù❛ ❤❛✐ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ▼ ✈➔ ◆❀ ❍ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❍▼✴▼ ∼ = ❍◆✴◆ ♥➳✉ ❍∩▼ ❂ ❍∩◆✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✹✱ t❛ ❝â ❍▼✴▼ ∼ = ❍✴✭❍∩▼✮ ❂ ❍✴✭❍∩◆✮ ∼ = ❍◆✴◆✳ ✷✺ ❉♦ ✤â ❍▼✴▼ ∼ = ❍◆✴◆ ♥➳✉ ❍∩▼ ❂ ❍∩◆✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✶✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❜➜t ❦ý✳ F1(G) ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✭♥➳✉ ❝â✮ ❝õ❛ ●✳ Fn+1(G) ❂ ④t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥❤â♠ Fi(G)⑥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝ư t❤➸ ● ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ✱ t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❦❤æ♥❣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ tr♦♥❣ ∞ Fi (G), tù❝ ❧➔ i=1 F1 (G) ∪ F1 (G) ∪ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ①➨t t➟♣ F1(G)✳ ❱➻ ♥➳✉ L ∈ F2(G) t❤➻ ▲❂▼✴◆❀ M ∈ F1(G)✳ ◆❤÷♥❣ ▼❂●✴❑ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ F1(G)✱ ❞♦ ✤â ▲ ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët t❤÷ì♥❣ ✳ ❉♦ ✤â t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✺ t❤➻ ♥â ✤➥♥❣ ❝➜✉ ợ ởt õ tữỡ ú t t số ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ●✳ ❚➜t ❝↔ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ● ✤÷đ❝ ❜✐➳t ✤➳♥✳ ● ❝â ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ ❝➜♣ ✶✱ ✷✱ 22, 23, 24 ✈➔ 25✳ ❈→❝ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ s➩ ❝❤♦ ❝➜♣ 25, 24, 23, 22, ✈➔ ✶✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ s➩ ❧➔ ❝②❝❧✐❝✳ ❉♦ ✤â ● ❂ ❁❛❃ ✈➔ ◆ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● t❤➻ ❁❛◆❃ ❂ ●✴◆✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✷✳ ❬✶❪ ❈❤♦ ỗ ởt õ ✤â✱ ❢✭●✮ ❧➔ ❝②❝❧✐❝✱ ✈➔ ♥➳✉ ⑤●⑤ ❁ ∞✱ ⑤❢✭●✮⑤ ❝❤✐❛ ❤➳t ⑤●⑤✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♥➳✉ ❍ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❜➜t ❦➻ s❛♦ ❝❤♦ ⑤❍⑤ ❝❤✐❛ ❤➳t ⑤●⑤✱ ❝â ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ tø ● ❧➯♥ ❍✳ ◆➳✉ ● ❧➔ ❝②❝❧✐❝ ✈æ ❤↕♥✱ t❤➻ ❝â ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ tø ● ✈➔♦ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ✈æ ❤↕♥ ❜➜t ❦➻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ◆➳✉ ● ❂ ❁①❃✱ t❤➻ ● ❂ ④①r ⑤ r ∈ ❩⑥✱ ✈➔ ❢✭●✮ ❂ ④❢✭①r ✮ ⑤ r ∈ ❩⑥ ❂ ④✭❢✭①✮✮r ⑤ r ∈ ❩⑥ ❂ ❁✭❢✭①✮✮❃✳ ❉♦ ✤â ❢✭●✮ ❧➔ ❝②❝❧✐❝✳ ✷✻ ◆➳✉ ⑤●⑤ ❁ ∞✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝â ❢✭●✮ ❂ ●✴◆✱ ◆ ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ●✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ▲❛❣r❛♥❣❡✱ t❛ ❝â ⑤❢✭●✮⑤ ❂ ⑤●⑤✴⑤◆⑤ ✈➔ ⑤❢✭●✮⑤ ❝❤✐❛ ❤➳t ⑤●⑤✳ ●✐↔ sû ❍ ❧➔ ❝②❝❧✐❝✱ ❍ ❂ ❁②❃✱ ✈➔ ❝➜♣ ♠ ❝õ❛ ❍ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝➜♣ ❝õ❛ ● ❂ ❁①❃✳ ❑❤✐ ✤â ⑤●⑤ ❂ r♠✳ ❈❤♦ ◆ ❂ ❁①m❃✳ ❑❤✐ ✤â ◆ ❂ ④✶✱ ①m✱✳✳✳✱ ✭①m✮r−1⑥✱ ⑤◆⑤ ❂ r✱ ✈➔ ◆ ❝â ❝❤➾ sè ♠✳ ❱➻ ● ❧➔ ♥❤â♠ ❛❜❡♥✱ ●✴◆ ❝â ❝➜♣ ♠✳ ◆❤÷♥❣ ● ❧➔ ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ♥➯♥ ●✴◆ ❧➔ ❝②❝❧✐❝✳ ❉♦ ✤â ●✴◆ ❂ ❍✱ ✈➔ ❍ ỗ ✈æ ❤↕♥ t❤➻ ❬● ✿ ●n❪ ❂ ♥✱ ♥➳✉ ●n ❂ ❁①n❃✳ ●n ✁ ●✱ ●✴●n ❝â ❝➜♣ ♥✳ ◆❤÷♥❣ n ỗ ởt õ õ õ õ õ ỗ ❝➜✉ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ❝➜♣ ♥ ❜➜t ❦ý✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥➳✉ ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝②❝❧✐❝ ✈æ ❤↕♥ t❤➻ õ ụ õ ỗ ởt õ ❜➜t ❦ý✳ ❱➟② ▼➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✼ ỗ õ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ♠ư❝ t✐➯✉ ✤➣ ✤➲ r❛✳ ❈ö t❤➸ ❧➔✿ ✶✮ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ỗ õ ũ ự ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ✷✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ✣à♥❤ ỗ õ ự ởt số t q ỵ tt õ r ổ ởt t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ♥➯♥ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳✳ ❍② ✈å♥❣ r➡♥❣ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ tỵ✐✱ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ t✐➳♣ tư❝ ✤÷đ❝ ❜ê s✉♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✱ ♥❤➡♠ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ t➛♠ q✉❛♥ trå♥❣ t q ỗ õ tr ỵ tt õ ❬✶❪✳ ❇❛✉♠s❛❣ ❛♥❞ ❇✳ ❈❤❛♥❞❧❡r ✭✶✾✻✽✮✱ ●r♦✉♣ ❚❤❡♦r❡♠✱ ▼❝✳ ●r❛✇ ✲ ❍✐❧❧✱ ❜♦♦❦ ❝♦♠♣❛♥②✳ ❬✷❪✳ ●❛rr❡tt ❇✐r❦❤♦❢❢✱ ❙❛✉♥❞❡rs ▼❛❝❧❛♥❡ ✭✶✾✼✾✮ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ✤↕✐ sè ❤✐➺♥ ✤↕✐✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➺♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪✳ ❇ị✐ ❍✉② ❍✐➲♥ ✭✷✵✵✾✮✱ ❇➔✐ t➟♣ ✤↕✐ sè ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❉ư❝✳ ❬✹❪✳ ❇ị✐ ❍✉② ❍✐➲♥✱ P❤❛♥ ❉♦➣♥ ❚❤♦↕✐✱ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ❍♦❛♥ ✭✶✾✽✺✮✱ ❇➔✐ t➟♣ ✤↕✐ sè ✈➔ sè ❤å❝✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❉ö❝✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✺❪✳ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ❱✐➺t ❍÷♥❣ ✭✶✾✾✽✮✱ ✣↕✐ sè ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❉ö❝✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✻❪✳ ❙❡r❣❡ ▲❛♥❣ ✭✶✾✼✸✮✱ ✣↕✐ sè✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➺♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✼❪✳ ❍♦➔♥❣ ❳✉➙♥ ❙➼♥❤ ✭✶✾✾✽✮✱ ✣↕✐ sè ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ♥❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❉ư❝✳ ❬✽❪✳ ❲✇✇✳♠❛t❤✳✉✐❝✳❡❞✉✴ r❛❞❢♦r❞✴♠❛t❤✺✶✻❢✵✻✴✐s♦❚❤♠s✳♣❞❢✳ ✷✾ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ▼Ð ✣❺❯ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷ ✶✲ ỵ t ố ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷ P❤➛♥ ✶✿ ❈❻❯ ❚❘Ó❈ ◆❍➶▼ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✳✶✳ ◆❤â♠✱ ♥❤â♠ ❝♦♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✳✷✳ ◆❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t õ tữỡ ỗ õ ✼ ✶✷ P❤➛♥ ✷✿ ❈⑩❈ ✣➚◆❍ ▲➑ ✣➬◆● ❈❻❯ ◆❍➶▼ ệ ỗ ❝➜✉ ♥❤â♠ ✈➔ ❤➺ q✉↔ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✻ ✷✳✷✳ ▼ët sè ự ỗ õ ✷✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✽ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✾ ✸✵