Các định lý đồng cấu nhóm và ứng dụng

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✤â ❡1 ❂ ❡1 ◦ ❡2 ✭✈➻ ❡2 ❧➔ tr✉♥❣ ❧➟♣✮ ❂ ❡2 ✭✈➻ ❡1 ❧➔ tr✉♥❣ ❧➟♣✮✳ ✭✐✐✮ ●✐↔ sû ①1✱ ①2 ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ①✳ ❚❛ ❝â ①1 ❂ ①1 ◦ ❡ ❂ ①1 ◦ ✭① ◦ ①2✮ ❂ ✭①1 ◦ ① ◦ ①2✮ ✭❞♦ t➼♥❤ ❦➳t ❤ñ♣ ❝õ❛ ◦✮ ❂ ❡ ◦ ①2 ❂ ① ✳ ◆❤➟♥ ①➨t✿ ▲✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ❝→❝ ❞➜✉ ✳✱ ✰✱ ✯✱✳✳✳ ❑❤✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ✳✱ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❝➦♣ ♣❤➛♥ tû ✭①✱ ②✮ ì ữủ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ①②✱ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ① ✈➔ ②✳ P❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❡✳ P❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ① ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ①−1✳ ❑❤✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ✰✱ ❤đ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû ①✱ ② ❝õ❛ ● ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ① ✰ ② ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ① ✈➔ ②✳ P❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❧➟♣ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤ỉ♥❣✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ✵✳ P❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ① s➩ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤è✐✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ✭✲①✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭●✶✮ ✲ ✭●✷✮ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ✤÷đ❝ ✈✐➳t t❤➔♥❤ ✭① ✰ ②✮ ✰ ③ ❂ ① ✰ ✭② ✰ ③✮ ①✰✵❂✵✰①❂① ✹ ① ✰ ✭✲①✮ ❂ ✭✲①✮ ✰ ① ❂ ✵✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ◆❤â♠ ✭●✱ ◦✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✭❤❛② ❛❜❡❧✮ ♥➳✉ ① ◦ ② ❂ ② ◦ ①✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ●✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❈➜♣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ●✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ⑤●⑤✱ ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ● ♥➳✉ ● ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû✱ ✈➔ ❜➡♥❣ ∞ ♥➳✉ ● ❝â ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤æ♥❣ ré♥❣ ❙ ⊂ ● ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ● ♥➳✉ ❙ ❦❤➨♣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ tr♦♥❣ ● ✭tù❝ ❧➔ ①② ∈ ❙ ✈ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❙✮ ✈➔ ❦❤➨♣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❧➜② ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ● ✭tù❝ ❧➔ ①−1 ∈ ❙ ✈ỵ✐ ♠å✐ ① ∈ ❙✮✳ ❑➼ ❤✐➺✉✳ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❙ ≤ ● ✤➸ ❝❤➾ ❙ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♥❤â♠ ● ❜➜t ❦ý✱ ④❡⑥ ✈➔ ● ❧✉ỉ♥ ❧✉æ♥ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ❈→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❦❤→❝ ✭♥➳✉ ❝â✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♥❤â♠ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ✭❤❛② ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✮ ❝õ❛ ●✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✼✳ ❬✼❪ ●✐↔ sû ❆ ❧➔ ♠ët ❜ë ♣❤➟♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ ●✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ●✳ ✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❆✱ ①② ∈ ❆ ✈➔ ①−1 ∈ ❆✳ ✭✐✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ①✱ ② ∈ ❆✱ ①②−1 ∈ ❆✳ ●✐↔ sû ● ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ✭✈ỵ✐ ❧✉➟t ❤đ♣ t❤➔♥❤ ✈✐➳t t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➙♥✮✱ ✈➔ ❛ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ●✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ❧ô② t❤ø❛ ♥❣✉②➯♥ 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