Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề tài Định lý tách Hahn - Banach và ứng dụng không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khóa luận khác... Trong chương này, chúng tôi
Tập affine - Tập lồi - Bao lồi
Tập affine
Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b trong không gian R n Tập tất cả các vector x∈ R n có dạng x = (1−λ)a+λb,∀λ ∈ R được gọi là đường thẳng nối a và b Tập
Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong không gian R^n được định nghĩa bằng công thức x = (1−λ)a + λb với mọi λ thuộc đoạn [0,1] Một tập hợp M được gọi là tập affine nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ trong M Nếu tập affine này chứa gốc, nó được xem là không gian con của R^n.
Mệnh đề 1.1 Một tập khác rỗng M là tập affine khi và chỉ khi
M = a+L, trong đó a ∈ M và L là không gian con của R n Định nghĩa 1.3 Không gian L ở trong mệnh đề 1.1 được gọi là không gian con song song (không gian nền của tập affine M).
Mỗi tập affine M chỉ có một không gian con song song duy nhất, dẫn đến việc dimL = dimM Đối với đường thẳng, số chiều là 1, trong khi siêu phẳng có số chiều là n−1.
Mệnh đề 1.2 Cho M là không gian con của R n có số chiều là r thì
M đều được biểu diễn dưới dạng M = {x∈ R n |Ax = b}, trong đó A là ma trận cấp (m×n), b ∈ R m và có hạng rankA = n−r Khi đó,
M chính là không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = b Ngược lại, mọi không gian nghiệm của phương trình Ax = b đều là tập affine có số chiều là r = n−rankA.
Hệ quả 1.1 Mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn dưới dạng tích vô hướng aãx = α, trong đú a ∈ R n \{0}, α ∈ R Ngược lại, tập cú dạng
Siêu phẳng H được định nghĩa bởi H = {x|aãx = α}, trong đó vector a là vector pháp tuyến của siêu phẳng Để xác định siêu phẳng H, vector a và giá trị α cần có bội chung khác không Đường thẳng {λa|λ ∈ R} cắt H tại điểm λa, với điều kiện a.λa = α, trong đó λ = ka α / 2k Khoảng cách từ gốc tọa độ đến siêu phẳng aãx = α được tính bằng |λ|kak, tương đương với kak |α| Như vậy, mỗi vector pháp tuyến a kết hợp với một giá trị α sẽ xác định một siêu phẳng duy nhất.
Nhận xét 1.2 Giao của họ các tập affine là tập affine Cho một tập
E ⊂ R n thì tồn tại ít nhất một tập affine chứa E ⊂ R n Khi đó, giao của tất cả các tập affine chứa E là tập affine nhỏ nhất chứa E và được
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA gọi là bao affine của tập E, kí hiệu là affE.
Mệnh đề 1.3 Bao affine của E là tập chứa tất cả các điểm có dạng x = λ 1 x 1 + + λ m x k sao cho x i ∈ E với i = 1,2, , m, λ 1 + λ 2 + + λ k = 1 và k là số tự nhiên.
Mệnh đề 1.4 Bao affine của tập gồm k phần tử x1, , xk(k > r) trong không gian có số chiều là r khi và chỉ khi ma trận
Hệ quả 1.2 cho biết rằng bao affine M của tập hợp k điểm độc lập x₁, , xₖ trong Rⁿ là một tập affine có số chiều là (k−1) Mỗi điểm x thuộc M có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng xₖ.
Hệ quả 1.3 Có một siêu phẳng duy nhất đi qua n điểm độc lập affine x 1 , , x n trong R n Mỗi điểm thuộc siêu phẳng này đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng x k
Tập lồi
Tập lồi là khái niệm cơ bản trong giải tích lồi, được định nghĩa là một tập C trong không gian R n nếu C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập đó.
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm {x 1 , , x k } nếu x k
Tương tự, x là tổ hợp affine của các điểm {x 1 , , x k } nếu x k
Tập hợp của các tổ hợp affine của {x 1 , , x k } thường được gọi là bao affine của các điểm này.
Mệnh đề 1.5 Tập C ⊂ R n là lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của nó Tức là, với mọi k ∈ N, λ 1 , , λ k > 0 ta có k
Mệnh đề 1.6 Giao của bất kì họ các tập lồi là tập lồi Nếu C và D là hai tập lồi thì C +D = {x+y|x ∈ C, y ∈ D}; αC = {αx|x ∈ C}
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA cũng là tập lồi (Vì thế, C −D = C + (−1)D cũng là tập lồi).
Một tập con M của không gian R^n được xem là nón nếu với mọi x ∈ M và λ > 0, thì λx cũng thuộc M Gốc tọa độ 0 có thể nằm trong M hoặc không Tập a + M được gọi là tịnh tiến của nón M, trong đó a là một điểm thuộc không gian R^n.
Nón R n, hay còn gọi là nón có đỉnh tại a, được định nghĩa là nhọn khi không chứa đường thẳng nào Trong trường hợp này, điểm 0 cũng được xem là đỉnh của nón M, và a + M tạo thành một nón mới với đỉnh tại a.
Mệnh đề 1.7 Giả sử M là tập con của R n , Khi đó, M là một nón lồi khi và chỉ khi λM ⊂ M và M +M ⊂M, ∀λ > 0.
Hệ quả 1.4 Tập con M ⊂ R n là một nón lồi khi và chỉ khi M chứa tất cả tổ hợp tuyến tính dương các phần tử của nó.
Hệ quả 1.5 Cho E là một tập lồi thì tập {λx|x ∈ E, λ > 0} là nón lồi nhỏ nhất chứa E.
Phần trong tương đối và bao đóng tương đối
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu trên R n là không gian thực nchiều cùng với chuẩn Euclidean kxk = pPn i=1|x i | 2 và tích vô hướng xãy = x1y1+ã ã ã+xnyn với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈
R n Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp
Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp
Bao đóng của tập C, ký hiệu là clC, bao gồm tất cả các tập đóng chứa C Trong khi đó, phần trong của tập C, ký hiệu là intC, được xác định là hợp của tất cả các tập mở chứa trong C.
Điểm a thuộc vào tập đóng clC nếu và chỉ nếu mọi hình cầu có tâm tại a đều chứa ít nhất một điểm thuộc tập C Ngược lại, điểm a thuộc vào tập mở intC nếu tồn tại một hình cầu có tâm tại a hoàn toàn nằm trong tập C.
Hệ quả 1.6 Một điểm a của một tập lồi C ⊂ R n là một điểm trong của C nếu với mỗi x ∈ R thì tồn tại α > 0 sao cho a+α(x−a) ∈ C.
Mệnh đề 1.8 Một tập lồi bất kì khác rỗng C ⊂ R n đều có một phần trong tương đối khác rỗng.
Nhận xét 1.5 Số chiều của tập lồi được định nghĩa bằng số chiều của bao affine của nó.
Mệnh đề 1.9 chỉ ra rằng bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi luôn là lồi Theo định nghĩa 1.5, nếu C là một tập con lồi chứa gốc tọa độ trong không gian R n, thì hàm ρC : R n → R, với ρC(x) = inf{λ > 0|x ∈ λC}, được gọi là hàm cỡ hoặc hàm Minkowski của C.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA
Mệnh đề 1.10 đề cập đến hàm cỡ ρ C của một tập lồi C ⊂ R n chứa phần tử 0, với các điều kiện sau: i Hàm ρ C thỏa mãn tính chất đồng nhất dương, tức là ρ C (αx) = αρ C (x) với mọi x ∈ R n và α ≥ 0; ii Hàm ρ C có tính chất dưới cộng tính, nghĩa là ρ C (x+y) ≤ ρ C (x) + ρ C (y) với mọi x, y ∈ C; iii Hàm ρ C liên tục; iv Phần trong của tập C được xác định bởi intC = {x|ρ C (x) < 1} nằm trong C và C nằm trong phần đóng clC = {x|ρ C (x) ≤ 1}.
Hệ quả 1.7 chỉ ra rằng nếu a thuộc phần trong của tập lồi C và b thuộc phần bù của C, thì điểm x = (1 − λ)a + λb sẽ nằm trong phần trong của C với mọi λ thuộc đoạn [0, 1] Ngoài ra, nếu tập lồi C có phần trong không rỗng, thì ta có cl(intC) = clC và int(clC) = intC Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng một vector y khác không được gọi là phương lùi xa của tập lồi C trong không gian R^n.
{x+ λy|λ ≥ 0} ⊂ C, ∀x ∈ C. Định nghĩa 1.7 Nón lồi gồm tất cả các phương lùi xa và vector không được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu là recC.
Mệnh đề 1.11 cho biết rằng đối với một tập lồi C ⊂ R n chứa một điểm a trong phần trong của nó, nếu x khác a, thì nửa đường thẳng Γ(x, a) sẽ nằm hoàn toàn trong C hoặc cắt biên ∂C tại một điểm duy nhất σ(x) Hơn nữa, mọi điểm trên đoạn [a, σ(x)] (trừ điểm σ(x)) đều là điểm trong của C Ánh xạ σ(x) cũng được xác định và liên tục trên tập R n \(a+M).
M = rec(int)C = rec(cl)C là một nón lồi đóng.
Nhận xét 1.6 Nếu C không đóng cũng không mở thì recC có thể là tập con thực sự của rec(intC) = rec(clC).
Hệ quả 1.8 Một tập lồi khác rỗng C ⊂ R n bị chặn khi và chỉ khi nón lùi xa của nó chỉ chứa điểm 0.
Bao lồi và định lý Carathedory
Bao lồi, bao affine, bao nón lồi
Bao lồi của một tập E, ký hiệu là coE, được định nghĩa là giao của tất cả các tập lồi chứa E Bao affine của E, ký hiệu là affE, là giao của tất cả các tập affine chứa E Ngoài ra, bao nón lồi của tập E, hay còn gọi là nón lồi sinh bởi E, được ký hiệu là coneE, là giao của tất cả các nón lồi chứa E.
Giao của các tập lồi, bao gồm tập affine và nón lồi, cũng là một tập lồi, do đó bao lồi, bao affine và bao nón lồi được xác định một cách duy nhất Chiều của một tập E bất kỳ được xác định là chiều của bao affine của nó, tức là dimE = dim(affE).
Mệnh đề 1.12 Cho E là một tập lồi, Khi đó, coneE = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0}.
Mệnh đề 1.13 Cho E là một tập bất kỳ Khi đó:
Khóa luận tốt nghiệp của Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA đề cập đến ba khái niệm quan trọng trong không gian hình học: Tập coE, là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc E; Tập affE, bao gồm các tổ hợp affine của các điểm thuộc E; và Tập coneE, là tập hợp các tổ hợp không âm của các điểm thuộc E.
Định lý Caratheodory
Theo định lý 1.1, mọi phần tử x thuộc tập hợp coE đều có thể được biểu diễn như một tổ hợp lồi của tối đa (k+1) phần tử từ tập E, trong trường hợp tập E nằm trong một không gian affine có số chiều k Số lượng phần tử của E tham gia vào tổ hợp lồi này sẽ phụ thuộc vào từng điểm x cụ thể.
Trong giải tích cổ điển, các khái niệm điểm trong, điểm biên và tập compact rất quan trọng Một điểm a thuộc tập E ⊆ R^n được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận mở U(a) của a sao cho U(a) nằm hoàn toàn trong E, ký hiệu tập hợp các điểm trong là intE Điểm a được gọi là điểm biên của E khi mọi lân cận của a đều chứa cả điểm thuộc E và điểm không thuộc E Tập E được coi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, trong khi đó, tập E được gọi là tập đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của mình Cuối cùng, một tập E được xem là compact nếu nó vừa là tập đóng vừa bị chặn, và một điểm a thuộc bao đóng của E nếu mọi lân cận của a đều chứa ít nhất một điểm thuộc E.
Nếu E là một tập hợp compact trong R n, thì bao lồi đóng của E, ký hiệu là coE, cũng sẽ là một tập hợp compact Bao lồi đóng của tập E được định nghĩa là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa E.
Tính chất lồi của một tập luôn được bảo toàn với việc lấy bao đóng và lấy phần trong theo mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.14 Nếu E là một tập lồi thì E , intE và riE cũng là các tập lồi.
Mệnh đề 1.15 Bao lồi đóng của một tập E trùng với bao đóng của bao lồi của E, tức là coE = coE.
Chương 2 Định lý tách Hahn - Banach
Siêu phẳng tách trong R n
Siêu phẳng tựa
Một tập hợp A khác rỗng trong R^n được gọi là tựa bởi một siêu phẳng tại điểm x₀ ∈ R^n nếu tồn tại một điểm p ∈ R^n sao cho pãa ≥ pãx₀ với mọi a ∈ A Định lý 2.1 khẳng định rằng nếu A là một tập con khác rỗng và lồi trong R^n, và x₀ không thuộc tập A˚, thì A sẽ được tựa bởi một siêu phẳng tại x₀.
Chứng minh Ta chia thành hai trường hợp x 0 ∈/ A và x 0 ∈ A.
Trường hợp 1 Nếu x 0 ∈/ A, ta áp dụng bổ đề 2.1 trên tập A và tại điểm x 0 Suy ra A là đóng và lồi Khi đó, tồn tại một điểmp 6= 0thuộc
R n sao cho pãa ≥c > pãx 0 , với mọi a ∈ A Do đú, ta cú pãa > pãx 0 , với mọi a ∈ A.
Nếu x₀ không thuộc A, thì x₀ thuộc biên của A, tức là x₀ ∈ ∂A Với mọi ε > 0, tồn tại zₑ ∈ Bε(x₀) ∪ Aᶜ, do đó có một dãy (zₙ) trong Aᶜ hội tụ tới x₀ Xét tập A - {zᵢ}, theo mệnh đề 1.6, tập này là đóng và lồi Vì zᵢ không thuộc A, nên 0 không thuộc A - {zᵢ} Áp dụng bổ đề 2.1 cho tập A - {zᵢ} và điểm 0, tồn tại pᵢ ∈ A - {zᵢ} sao cho pᵢ(a - zᵢ) > pᵢ(0) = 0 với mọi a ∈ A Điều này dẫn đến pᵢ(a) > pᵢ(zᵢ) với mọi a ∈ A Đặt p̂ᵢ = kpᵢk, thì p̂ᵢ ∈ {x ∈ Rⁿ | kxk = 1} là một tập compact, nên p̂ᵢ(a) > p̂ᵢ(zᵢ) Mỗi pᵢ thuộc một tập compact, do đó dãy (p̂ₙ) có một dãy con hội tụ có giới hạn trong {x ∈ Rⁿ | kxk = 1}, được ký hiệu là p Vì (zₙ) hội tụ tới x₀ và do tính liên tục của tích khi một đối số được cố định, ta có p(a) ≥ p(x₀) với mọi a ∈ A, từ đó bất đẳng thức này đúng với mọi a ∈ A.
Siêu phẳng tách yếu và mạnh
Định lý siêu phẳng tách yếu khẳng định rằng, đối với hai tập con lồi A và B trong không gian R^n, nếu A và B không giao nhau, thì có thể tồn tại một siêu phẳng tách biệt chúng Điều này có nghĩa là có thể tìm ra một siêu phẳng mà tất cả các điểm của A nằm ở một phía và tất cả các điểm của B nằm ở phía còn lại.
Chứng minh Xét tập Z = A−B Từ mệnh đề 1.6 ta có Z là tập lồi do A và B là hai tập lồi Mặt khác, chú ý rằng A và B là rời nhau,
Do đó, 0 không thuộc Z Theo định lý siêu phẳng tựa, tồn tại một điểm p trong R n sao cho p.z ≥ pã0 = 0 với mọi z thuộc Z Hơn nữa, mọi z thuộc Z đều có dạng a−b với a thuộc A, b thuộc B, dẫn đến p.z = pã(a − b) ≥ 0 và pã a ≥ pãb với mọi a thuộc A, b thuộc B Vì vậy, inf a∈A{pãa} ≥ sup b∈B.
{pãb} và ta biết rằng a∈Ainf{pãa} > −∞ vỡ nú bị chặn dưới bởi pãb0, ở đú b0 là điểm bất kỡ trên B Tương tự, ta có sup b∈b
{pãb} < ∞ Vỡ thế, ta cú thể chọn c là số thực bất kì giữa sup b∈B
Định lý 2.3, hay còn gọi là định lý siêu phẳng tách mạnh, khẳng định rằng nếu A và B là hai tập con lồi khác rỗng trong R^n, với A là tập đóng và B là tập compact, thì nếu A và B không giao nhau, chúng có thể được tách biệt một cách mạnh mẽ bởi một siêu phẳng Cụ thể, tồn tại một siêu phẳng phân chia sao cho mọi điểm trong A đều nằm về một phía của siêu phẳng, trong khi mọi điểm trong B nằm về phía còn lại.
Chứng minh Xét tập Z = A − B Do A là tập đóng và B là tập compact nên Z là tập lồi và đóng Ta lại có, 0∈/ Z vìA và B rời nhau.
Áp dụng bổ đề 2.1 trên tập Z và điểm 0, tồn tại một điểm p ∈ R n sao cho p.z ≥ k > pã 0 = 0 với mọi z ∈ Z Để đạt được bất đẳng thức chặt p.z > k 2 > 0, cần lưu ý rằng mọi z ∈ Z có thể được biểu diễn dưới dạng a−b với a ∈ A và b ∈ B, do đó pã(a−b) > k 2 > 0.
Khóa luận tốt nghiệp của Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA trình bày rằng pã a > k 2 + pã b > pã b với mọi a ∈ A, b ∈ B Chuỗi bất đẳng thức này luôn đúng cho mọi b ∈ B và vẫn giữ nguyên tính đúng đắn khi thay thế số hạng ở giữa bằng cận trên đúng của nó Do B là tập hợp compact và tích ở trên liên tục khi một đối số được cố định, ta có sup b∈B.
Ta cúpãa > k 2 +pãb > pãb, với mọi a ∈ A, b ∈ B Ta cú tậpc = k 2 +pãb 0 , từ đú ta cú bất đẳng thức pãa > c > pãb, với mọi a ∈ A, b ∈ B.
Bổ đề Farkas
Trong phần này, chúng ta viết lại khái niệm tách hai tập C và D khác rỗng, ta nói:
Siờu phẳng aãx = α tỏch C và D nếu aãx ≤ α ≤ aãy,∀x ∈ C,∀y ∈ D (2.1)
Siờu phẳng aãx = α tỏch chặt C và D nếu aãx < α < aãy,∀x ∈ C,∀y ∈ D (2.2)
Siờu phẳng aãx = α tỏch mạnh C và D nếu sup x∈C aãx < α < inf y∈Daãy (2.3)
Nhận xét 2.1 Điều kiện một trong hai tập là compact trong định lý siêu phẳng tách mạnh là không thể bỏ được Xét ví dụ trong đó
Hai tập lồi C và D có thể không có điểm chung nhưng không thể tách biệt hoàn toàn Nếu hai tập nằm trong cùng một siêu phẳng, chúng có thể được tách bằng siêu phẳng đó Để giải quyết vấn đề này, khái niệm "tách đúng" được giới thiệu, nghĩa là hai tập C và D được tách đúng bởi siêu phẳng x = α nếu phương trình (2.1) được thỏa mãn và cả hai tập không nằm hoàn toàn trong siêu phẳng tách Đặc biệt, nếu A và B là hai tập lồi với phần biên giao không rỗng, chúng vẫn có thể tách, nhưng không thể tách đúng theo mệnh đề đã nêu.
Mệnh đề 2.1 Cho hai tập lồi, khác rỗng A và B Điều kiện cần và đủ để hai tập này tách đúng được là riAT riB 6= ∅.
Chứng minh Trước hết ta đi chứng minh điều kiện đủ Cho riA ∩ riB = ∅ Khi đó, 0 ∈/ (riA−riB) = ri(A−B) Ta xét hai trường hợp.
Xét trường hợp int(A−B) khác rỗng, ta có 0 thuộc int(A−B), do đó tồn tại t khác 0, với tãx < tãy, cho mọi x thuộc intA và y thuộc intB Đặt β là inf{tãy | y thuộc intB} và α là sup{tãx | x thuộc intA} Khi đó, siêu phẳng tãx = γ sẽ tách A.
B nhưng không thể đồng thời chứa cả A và B.
Trong trường hợp int(A − B) = ∅, ta đặt C = A − B và F là không gian con song song với bao affine của C Áp dụng lập luận đã nêu cho không gian F, sẽ tồn tại một siêu phẳng H₀ trong F có khả năng tách biệt.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA đúng A và B Gọi t 0 là phiếm hàm tuyến tính từ xác định siêu phẳng
H 0 và F ⊥ là không gian vuông góc với F Đối với mỗi x ∈ R n, hàm t(.) là hàm hợp giữa t 0 và ánh xạ chiếu p xuống không gian con F Do p là tuyến tính, t và t 0 cũng sẽ là tuyến tính, tạo thành siêu phẳng t tách biệt hai tập A và B Để chứng minh điều kiện cần, giả sử siêu phẳng tãx = γ tách A và B, tức là t 0 ãx ≤ γ ≤ tãy với mọi x ∈ A và y ∈ B Nếu siêu phẳng này không chứa B, thì tãy > γ với mọi y ∈ riB, dẫn đến riA∩riB = ∅.
Hệ quả 2.1 Cho A là một ma trận thực cấp m ×n và A ⊂ R n Khi đó, trong hai hệ dưới đây chỉ có duy nhất một hệ có nghiệm
Một cách phát biểu tương đương dưới ngôn ngữ hình học của bổ đề Farkas là
Nửa khụng gian {x|aãx ≥ 0} chứa nún {x|Ax ≥0} khi và chỉ khi vector a nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A Tức là
Bổ đề này khẳng định rằng nón lồi, đóng {x|Ax ≥ 0} nằm trong nửa không gian {x|a^Tx ≥ 0} khi và chỉ khi vector pháp tuyến a nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A Để chứng minh, giả sử (2.4) có một nghiệm y nào đó Nếu Ax ≥ 0, từ A ta có y = a, nhờ tích vô hướng với x, dẫn đến a^Tx = y^TAx ≥ 0, vì Ax ≥ 0 và y ≥ 0 Do đó, (2.4) không thể có nghiệm Tiếp theo, giả sử hệ (2.5) không có nghiệm, ta sẽ xem xét tập
Tập hợp C được định nghĩa là {x| ∃y ≥ 0 Aãy = x}, và rõ ràng C là tập lồi, đồng thời 0 thuộc C Do (2.5) không có nghiệm, nên a không thuộc C Theo định lý tách mạnh, tồn tại một vector p khác 0 và một số a trong R^n sao cho pã a < α < pãx với mọi x thuộc C, dẫn đến α < 0 vì 0 thuộc C Thay x = Aãy với y ≥ 0, ta có α ≤ pãAãy = yãAp Nếu x thuộc C, thì ξx cũng thuộc C với mọi ξ ≥ 0, và x = Aãy dẫn đến ξx = Aãξy Do đó, các tọa độ của y có thể lớn tùy ý, từ bất đẳng thức α ≤ pãAãy = yãAp suy ra Ap ≥ 0 Điều này chứng tỏ sự tồn tại của một vector p sao cho Ap ≥ 0 và aãp < 0, từ đó khẳng định rằng hệ (2.4) có nghiệm.
Định lý tách Hahn - Banach
Ánh xạ ϕ: X −→ R được gọi là phiếm hàm dưới tuyến tính nếu nó thỏa mãn hai điều kiện chính: thứ nhất, ϕ(x+ y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X, tức là tính chất dưới cộng tính; thứ hai, ϕ(λ(x)) = λϕ(x) với mọi λ > 0 và x ∈ X, thể hiện tính thuần nhất dương Đối với một tập X, một quan hệ R trên X được định nghĩa là một tập con của X × X Quan hệ R được gọi là phản xạ nếu (x, x) ∈ R với mọi x ∈ X; là bắc cầu nếu (x, y) ∈ R và (y, x) ∈ R thì (x, z) ∈ R; và là đối xứng nếu (x, y) ∈ R và (y, x) ∈ R thì x phải bằng y.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA nghiên cứu về quan hệ thứ tự R phản xạ, đối xứng và bắc cầu trên tập X Trong đó, ký hiệu x 4 y được sử dụng khi (x, y) ∈ R là một quan hệ thứ tự và x ≺ y khi x khác y Hai phần tử x và y trong tập X được coi là so sánh được nếu x 4 y hoặc y 4 x Một tập con C của tập X với quan hệ thứ tự 4 được gọi là một dãy nếu mọi cặp phần tử trong dãy đều so sánh được, tức là với mọi x, y ∈ C ta có x 4 y hoặc y 4 x Ngoài ra, một phần tử x ∈ X được gọi là bị chặn trên bởi tập con Y.
X nếu y ≺ x với mọi y ∈ Y. ix Một phần tử x ∈ X được gọi là phần tử tối đại của X nếu x ≺ y chỉ khi y = x.
Bổ đề Zorn khẳng định rằng nếu P là một tập hợp có thứ tự không rỗng và mọi dãy trong P đều bị chặn trên, thì P sẽ chứa ít nhất một phần tử tối đại Định lý Hahn - Banach cho biết rằng nếu ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên không gian X và M là một không gian con của X, thì tồn tại một hàm f thuộc M sao cho f(m) ≤ ϕ(m) với mọi m trong M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X # sao cho i Mở rộng F| M = f; ii Giá trị F(x) ≤ ϕ(x), với mọi x ∈ X.
Trong đó X # := L(X,R) là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.
Chứng minh Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp
(Y, g) trong đó M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y # , g| M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y Trên U ta xác định quan hệ hai ngôi ≺ xác định bởi
Có thể kiểm chứng (U, g) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắp thẳng đều tồn tại phần tử cận trên Theo bổ đề Zorn, trong
U tồn tại phần tử tối đại (Y, g) Để chứng minh định lý ta sẽ chỉ ra
Y = X Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X\Y Với mọi cặp y, z ∈ Y ta có g(y)−g(z) =g(y −z) ≤ϕ(y −z) ≤ϕ(y +v) +ϕ(−z −v),
Đối với mỗi y ∈ Y và t ∈ R, chúng ta định nghĩa h(y + tv) = g(y) - tλ Có thể dễ dàng kiểm tra rằng h thuộc Z#, với Z = Y + span{v}, và h|Y = g Hơn nữa, h(y + tv) không vượt quá ϕ(y + tv) cho mọi y + tv ∈ Z Cụ thể, khi t > 0, từ điều kiện λ ≥ g(yt) - ϕ(yt + v), ta có h(y + tv) = g(y) - tλ ≤ g(y) - t(g(yt) - ϕ(yt + v)).
= ϕ(y+ tv), còn nếu t < 0 thì do λ ≤ g( y t ) +ϕ(− y t −v) ta có h(y +tv) =g(y)−tλ ≤g(y)−t g(y t) +ϕ(−y t −v)
Tóm lại, (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) ≺ (Z, h), mâu thuẫn với giả
Khóa luận tốt nghiệp của Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA nghiên cứu về phần tử tối đại (Y, g), trong đó Y = X và F = g là phiếm hàm cần xác định Theo định nghĩa 2.6, trong một không gian vector định chuẩn V, một hàm tuyến tính F được coi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho
|F(v)| ≤Mkvk với mọi v ∈ V. Định nghĩa 2.7 Cho V là một không gian vector tuyến tính định chuẩn và F là một hàm tuyến tính bị chặn trên V Khi đó, chuẩn của
F được định nghĩa bởi kFk = sup kvk≤1
Bổ đề 2.3 khẳng định rằng trong không gian vector định chuẩn V, một hàm tuyến tính F là bị chặn nếu và chỉ nếu nó liên tục Định lý 2.5, hay còn gọi là định lý Hahn-Banach, cho biết rằng nếu U là không gian vector con của V và f là hàm tuyến tính bị chặn định nghĩa trên U với chuẩn kfk U, thì tồn tại một hàm tuyến tính bị chặn F mở rộng từ f trên toàn bộ không gian V sao cho kFk = kfk U.
Hệ quả 2.2 Cho V là một không gian vector định chuẩn, v0 ∈ V khác không Khi đó, có một hàm tuyến tính bị chặn F trên V sao cho kfk = 1 và kv 0 k= F(v0).
Định lý tách 3.1 khẳng định rằng nếu K1 và K2 là hai tập con lồi đóng trong không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương L, với K1 là tập compact, thì tồn tại một hàm tuyến tính liên tục f trên L thỏa mãn bất đẳng thức sup x∈K2 f(x) ≤ inf i∈K1 f(y) Trong chương này, chúng tôi chủ yếu áp dụng định lý 3.2, một trường hợp đặc biệt của định lý 3.1 khi K1 là điểm riêng lẻ Cụ thể, L được xác định là không gian đối ngẫu X* của không gian Banach X, nơi X* được trang bị tô pô yếu * Đặc biệt, hàm tuyến tính liên tục yếu * trên X* được định nghĩa bởi dạng xˆ cho mỗi x ∈ X, được xác định qua công thức ˆx(x*) := x*(x) với mọi x* ∈ X*.
Rõ ràng X và Xˆ := {ˆx|x ∈ X} ⊂ X ∗∗ là đẳng cự X được gọi là phản xạ nếu Xˆ = X ∗∗ Định lý 3.2 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, Γ là
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA một nón lồi đóng yếu ∗ trong X ∗ và x ∗ ∈ X ∗ \Γ Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho: sup y ∗ ∈Γ y ∗ (x) = 0 < x ∗ (x) (3.3)
Chứng minh Từ định lý 3.1 (với L = X ∗ được cấp cho với tô pô yếu ∗
K1 = Γ, K2 = x ∗ ) ta có thể kết luận rằng tồn tại x ∈ X sao cho: sup y ∗ ∈Γ y ∗ (x) < x ∗ (x) (3.4)
Trong một nón Γ, với 0 ∈ Γ, ta có sup y ∗ ∈ Γ y ∗ (x) ≥ 0 Nếu sup y ∗ ∈ Γ y ∗ (x) > 0, tồn tại y ∗ 0 ∈ Γ sao cho y ∗ 0 > 0 Do Γ là một nón và ny 0 ∗ ∈ Γ, nên với mỗi n ∈ N, lim n→∞ny 0 ∗ (x) = ∞ Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với việc biểu thức này bị chặn trên bởi x ∗ (x), dẫn đến bất đẳng thức (3.4).
Nhắc lại về nón ngẫu nhiên trong X ∗ của một tập S ⊂ X kí hiệu là S (S ⊥ ), được xác định bởi
Rõ ràng S (S ⊥ ) là một nón lồi đóng yếu ∗ (không gian con) trong
X ∗ Tương tự nếu Γ ⊂ X ∗ thì nón đối ngẫu trong X của Γ, kí hiệu là Γ (Γ ⊥ ) được xác định bởi Γ := {x∈ X|x ∗ (x) ≤ 0,∀x ∗ ∈ Γ}.
Rõ ràng, Γ (Γ ⊥ ) là một nón lồi đóng trong không gian con X Bao nón của một tập S ⊂ X, được ký hiệu là cone(S), là nón lồi nhỏ nhất chứa S, tức là giao của tất cả các nón lồi chứa S Do đó, ta có cone(S) := { n.
Bao đóng của nón cone(S) được ký hiệu là cone(S) Nếu S là tập con của X ∗, thì bao đóng yếu ∗ của nón cone(S) được ký hiệu là w ∗ −cl(cone(S)) Định nghĩa 3.1 nêu rõ rằng, cho tập con Γ của X ∗, một phần tử x ∗ thuộc X ∗ được coi là dương tương đối với Γ nếu x thuộc X và y ∗ (x) ≥ 0 đối với mọi y ∗ thuộc Γ, hoặc x ∗ (x) ≥ 0.
Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, khi thay thế dấu ≥ bằng ≤ trong định nghĩa 3.1, ta có khái niệm âm tương đối với Γ Định lý 3.3 khẳng định rằng với Γ ⊂ X ∗ và x ∗ ∈ X ∗, các mệnh đề sau đây là tương đương: điểm x ∗ dương tương đối với Γ, điểm x ∗ âm tương đối với Γ, tập Γ ⊂ (x ∗), và điểm x ∗ thuộc w ∗ −cl(cone(Γ) là bao nón đóng yếu ∗ của Γ.
Hơn nữa, nếu X là phản xạ thì mỗi mệnh đề trên là tương đương với v Điểm x ∗ ∈ coneΓ là bao nón lồi đóng của Γ.
Chứng minh Ta chứng minh i suy ra ii Giả sử i đúng ta có z ∈ X và y ∗ (z) ≤ 0, với mọi y ∗ ∈ Γ Khi đó, y ∗ (−z) ≥ 0, với mọi y ∗ ∈ Γ.
Từ i ta có x ∗ (−z) ≥ 0 hay x ∗ (z) ≤ 0 Do đó, ii đúng Nếu x ∈ Γ
Trong khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA, ta chứng minh rằng y ∗ (x) < 0 với mọi y ∗ ∈ Γ tương đương với các mệnh đề khác Giả sử mệnh đề ii đúng, nếu x ∈ Γ thì y ∗ (x) ≤ 0 với mọi y ∗ ∈ Γ, từ đó suy ra x ∗ (x) ≤ 0 và x thuộc (x ∗) Ngược lại, nếu mệnh đề iii đúng thì ii cũng đúng Tiếp theo, nếu iv sai, thì x ∗ không thuộc w ∗ −cl(cone(Γ)), dẫn đến tồn tại x ∈ X sao cho sup{y ∗ (x)|y ∗ ∈ cone(Γ)} = 0 < x ∗ (x), từ đó suy ra ii sai Để chứng minh iv tương đương với i, nếu iv đúng, ta có (y α ∗ ) ∈ cone(Γ) sao cho x ∗ (x) = lim α y ∗ α(x) với mọi x ∈ X Nếu z ∈ X và y ∗ (z) ≥ 0 với mọi y ∗ ∈ Γ, thì y ∗ α(z) ≥ 0 với mọi α, dẫn đến x ∗ (z) = lim α y ∗ α(z) ≥ 0, từ đó x ∗ dương tương đối với Γ Cuối cùng, giả sử rằng X là phản xạ, ta chứng minh rằng cone(Γ) = w ∗ −cl(cone(Γ)).
Trong không gian Hilbert H, tích vô hướng của hai vector x và y được ký hiệu là xãy, và chuẩn của vector x được tính bằng kxk = √(xãy) Định nghĩa 3.2 nêu rõ rằng một vector x trong không gian Hilbert H được coi là dương tương đối với tập Γ ⊂ H nếu với mọi vector y thuộc H và mọi vector z trong tập Γ, điều kiện xãy ≥ 0 được thỏa mãn.
Trong không gian Hilbert H, chúng ta chỉ cần một khái niệm duy nhất về nón đối ngẫu Cụ thể là, nếu S ⊂H thì
Trong không gian Hilbert H với Γ ∈ H và x ∈ H, các mệnh đề sau đây là tương đương: Điểm x được coi là dương tương đối với Γ, trong khi nếu điểm x là âm tương đối với Γ thì tập Γ thuộc vào (x) và điểm x thuộc vào coneΓ.
Bổ đề 3.1 Cho K là một tập con lồi của một không gian tuyến tính định chuẩn X thì
Hệ quả 3.2 Nếu C là một tập con khác rỗng của X thì C là một nón lồi đóng của X khi và chỉ khi
Bổ đề 3.2 khẳng định rằng, trong không gian tuyến tính định chuẩn X, một tập con C khác rỗng là nón lồi đóng nếu và chỉ nếu tồn tại một tập Γ thuộc X∗.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA iii Tồn tại một tập Γe ⊂ X ∗ sao cho