Định lý tách hahn banach và ứng dụng

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề tài Định lý tách Hahn - Banach và ứng dụng không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khóa luận khác... Trong chương này, chúng tôi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Thanh Nga

ĐỊNH LÝ TÁCH HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội – Năm 2018

Lời cảm ơn 2

1.1 Tập affine - Tập lồi - Bao lồi 8

1.1.1 Tập affine 8

1.1.2 Tập lồi 11

1.1.3 Phần trong tương đối và bao đóng tương đối 12

1.2 Bao lồi và định lý Carathedory 15

1.2.1 Bao lồi, bao affine, bao nón lồi 15

1.2.2 Định lý Caratheodory 16

2 Định lý tách Hahn - Banach 18 2.1 Siêu phẳng tách trong Rn 18

2.1.1 Siêu phẳng tựa 22

2.1.2 Siêu phẳng tách yếu và mạnh 23

2.1.3 Bổ đề Farkas 24

2.2 Định lý tách Hahn - Banach 27

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

3.1 Ứng dụng tồn tại của phép cầu phương 36

3.2 Ứng dụng liên quan tới loại kết quả Farkas 38

3.3 Ứng dụng về tính xấp xỉ dạng bảo toàn 40

Một số ký hiệu sử dụng trong Khóa luận này

R Tập tất cả các số thực

Rn Tập tất cả các vector có n chiều

x · y Tích vô hướng giữa hai phần tử x và y

cl C Bao đóng của C

int C Phần trong của C

co E Bao lồi của E

cone E Nón sinh bởi tập E

ri C Phần trong tương đối của tập C

aff D Bao affine của tập D

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn người đã tận tình

hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy

cô giáo trong khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tôi

tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia

đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt

quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận của tôi được hoàn thành dựa trên các bài báo [2] và [3],

cùng với sự tổng hợp, tham khảo và kế thừa thành quả của các nhà

khoa học khác Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề

tài Định lý tách Hahn - Banach và ứng dụng không có sự trùng lặp

với kết quả của các đề tài khóa luận khác

Mở đầu

Giải tích lồi là ngành toán học nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi

cùng với những vấn đề liên quan Ngày nay, nó có vai trò quan trọng

trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và ứng dụng, đặc biệt là

trong tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải

tích không trơn và giải tích phi tuyến, các định lý tách hai tập lồi

có một vai trò trung tâm Vào năm 1920, Hahn và Banach đã độc lập

chứng minh và công bố kết quả "Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến

tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M# thỏa mãn

f (m) ≤ ϕ(m), ∀m ∈ M

Khi đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

i Mở rộng F |M = f ;

ii Giá trị F (x) ≤ ϕ(x), với mọi x ∈ X

Trong đó X# := L(X, R) là không gian các phiếm hàm tuyến tínhtrên X"

Sau này, người ta đã chứng minh được kết quả trên tương đương

với định lý tách Để ghi nhận công lao của Hahn và Banach, các nhà

toán học đã đặt tên hai Ông cho kết quả đó Nối tiếp tư tưởng của

Hahn và Banach, Murray đã mở rộng bài toán trên trong trường hợp

số phức bằng cách thay f (x) bởi Ref (x) − iRef (ix) Ngày nay, các

định lý tách cũng như định lý tách Hahn - Banach vẫn đang được

nhiều nhà khoa học nghiên cứu Hơn nữa, ứng dụng của nó ngày càng

đa dạng từ lý thuyết đến các vấn đề thực tế như là chẩn đoán trong

y học hoặc dự đoán sự phát triển của các doanh nghiệp,

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý tách Hahn - Banach

cũng như ứng dụng của nó để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân phục

vụ công tác học tập, giảng dạy sau này cùng với sự động viên và tận

tình giúp đỡ của thầy cô, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với

sự đam mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Định

lý tách Hahn - Banach và ứng dụng" Khóa luận của tôi được

hoàn thành dựa trên các bài báo [2] và [3] Trong đó, hệ thống lại

khối kiến thức cơ bản về siêu phẳng tách yếu, siêu phẳng tách mạnh,

định lý tách Hahn - Banach Ngoài ra Khóa luận còn trình bày một

vài ứng dụng của định lý tách Hahn - Banach Trong phần ứng dụng

này, chúng tôi có đưa ra một định lý quan trọng là "Định lý hằng số

về phép cầu phương" như sau:

Cho Pnlà kí hiệu tập các đa thức có bậc là n, ta coi nó là không giancon của C[a, b] thì Pn được cung cấp cho kxk = max{|x(t)||a ≤ t ≤ b}.Định nghĩa hàm tuyến tính x∗t trên X := Pn bởi

x∗(x) :=

Z b a

x(t)dt, ∀x ∈ X

và

x∗t(x) := x(t), ∀x ∈ X

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

Định lý hằng số phép cầu phương Cho X = Pn thì tồn tại m ≤ n + 1điểm a ≤ t1 < t2 < < tm ≤ b và m vô hướng wi > 0 sao cho

Dựa trên các kết quả đã có và các tài liệu tham khảo có liên quan tới

định lý tách Hahn - Banach Trong Khóa luận này, tôi đã nghiên cứu

và trình bày khóa luận trong ba chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi

đi trình bày một số định nghĩa, tính chất và định lý về tập affine, tập

lồi, điểm trong và bao đóng tương ứng Đây là những lý thuyết mở

đầu làm cơ sở và nền tảng xây dựng chương 2

Chương 2 Định lý tách Hahn - Banach Chương này nghiên cứu về

siêu phẳng tách yếu và mạnh, siêu phẳng tựa, định lý Hahn - Banach

đối với không gian định chuẩn và hai định lý tách Hahn - Banach quan

trọng

Chương 3 Một vài ứng dụng của định lý tách Hahn - Banach Ở

chương 3 này, chúng tôi có đưa ra ba ứng dụng có liên quan tới định

lý tách Hahn - Banach đó là: ứng dụng tồn tại của phép cầu phương;

ứng dụng liên quan tới loại kết quả Farkas và ứng dụng về tính xấp

xỉ dạng bảo toàn

Mặc dù khóa luận hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song

do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi,

nên trong quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu

sót Tôi kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các

bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán trường

đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn

đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận

Hà Nội, Ngày 21 tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Thanh Nga

[a, b] = {x = (1 − λ)a + λb, ∀λ ∈ [0, 1]} ⊂ Rnđược gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a, b.

Định nghĩa 1.2 Cho M là tập con của Rn Ta nói M là tập affinenếu M chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó Tập affine

chứa gốc được gọi là không gian con của Rn

Mệnh đề 1.1 Một tập khác rỗng M là tập affine khi và chỉ khi

M = a + L, trong đó a ∈ M và L là không gian con của Rn

Định nghĩa 1.3 Không gian L ở trong mệnh đề 1.1 được gọi là không

gian con song song (không gian nền của tập affine M )

Nhận xét 1.1 Mỗi một tập affine M có một và chỉ một không gian

con song song với nó Khi đó, ta có dim L = dim M Đường thẳng có

số chiều là 1, siêu phẳng có số chiều là n − 1

Mệnh đề 1.2 Cho M là không gian con của Rn có số chiều là r thì

M đều được biểu diễn dưới dạng M = {x ∈ Rn|Ax = b}, trong đó A

là ma trận cấp (m × n), b ∈ Rm và có hạng rank A = n − r Khi đó,

M chính là không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = b Ngược

lại, mọi không gian nghiệm của phương trình Ax = b đều là tập affine

có số chiều là r = n − rank A

Hệ quả 1.1 Mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn dưới dạng tích vô

hướng a · x = α, trong đó a ∈ Rn\{0}, α ∈ R Ngược lại, tập có dạng

H = {x|a · x = α}

là một siêu phẳng Vector a được gọi là vector pháp tuyến của siêu

phẳng H Tất nhiên a và α được xác định là có bội chung khác không

trong siêu phẳng H Đường thẳng {λa|λ ∈ R} giao với H tại điểm

λa sao cho a.λa = α, λ = kaα2 k Nên khoảng cách từ 0 đến siêu phẳng

a · x = α và α = |λ|kak bằng kak|α| Như vậy, cứ một vector pháp tuyến

a và một giá trị α thì ta xác định một siêu phẳng

Nhận xét 1.2 Giao của họ các tập affine là tập affine Cho một tập

E ⊂ Rn thì tồn tại ít nhất một tập affine chứa E ⊂ Rn Khi đó, giaocủa tất cả các tập affine chứa E là tập affine nhỏ nhất chứa E và được

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

gọi là bao affine của tập E, kí hiệu là aff E

Mệnh đề 1.3 Bao affine của E là tập chứa tất cả các điểm có dạng

x = λ1x1 + + λmxk sao cho xi ∈ E với i = 1, 2, , m, λ1 + λ2 + + λk = 1 và k là số tự nhiên

Mệnh đề 1.4 Bao affine của tập gồm k phần tử x1, , xk(k > r)trong không gian có số chiều là r khi và chỉ khi ma trận

Hệ quả 1.3 Có một siêu phẳng duy nhất đi qua n điểm độc lập affine

x1, , xn trong Rn Mỗi điểm thuộc siêu phẳng này đều được biểu diễnduy nhất dưới dạng

1.1.2 Tập lồi

Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi, nó được định

nghĩa như sau

Định nghĩa 1.4 Một tập C trong không gian Rn được gọi là một tậplồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó Tức là,

Mệnh đề 1.6 Giao của bất kì họ các tập lồi là tập lồi Nếu C và D

là hai tập lồi thì C + D = {x + y|x ∈ C, y ∈ D}; αC = {αx|x ∈ C}

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

cũng là tập lồi (Vì thế, C − D = C + (−1)D cũng là tập lồi)

Nhận xét 1.3 Một tập con M của không gian Rn được gọi là nónnếu x ∈ M, λ > 0 thì λx ∈ M Gốc tọa độ 0 có thể thuộc hoặc không

thuộc M Tập a + M được gọi là tịnh tiến của nón M bởi a thuộc

Rn, còn được gọi là nón với đỉnh tại a Một nón M không chứa đườngthẳng nào thì ta nói là nhọn Trong trường hợp này 0 cũng được gọi

là đỉnh của M và a + M là một nón với đỉnh tại a

Mệnh đề 1.7 Giả sử M là tập con của Rn, Khi đó, M là một nónlồi khi và chỉ khi

1.1.3 Phần trong tương đối và bao đóng tương đối

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu trên Rn là không gian thực

n chiều cùng với chuẩn Euclidean kxk = pPni=1|xi|2 và tích vô hướng

x · y = x1y1+ · · · + xnyn với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈

Rn Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp

B = {x ∈ Rn| kx − ak < r}

Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp

B = {x ∈ Rn| kx − ak ≤ r}

Bao đóng của của tập C là giao của tất cả các tập đóng chứa C, kí

hiệu là cl C Phần trong của tập C là hợp của tất cả các tập mở chứa

trong C, kí hiệu là int C

Nhận xét 1.4 Điểm a ∈ cl C nếu và chỉ nếu mọi hình cầu tâm a

đều chứa ít nhất một điểm của C Điểm a ∈ int C nếu và chỉ nếu tồn

tại hình cầu tâm a nằm hoàn toàn trong C

Hệ quả 1.6 Một điểm a của một tập lồi C ⊂ Rn là một điểm trongcủa C nếu với mỗi x ∈ R thì tồn tại α > 0 sao cho a + α(x − a) ∈ C.Mệnh đề 1.8 Một tập lồi bất kì khác rỗng C ⊂ Rn đều có một phầntrong tương đối khác rỗng

Nhận xét 1.5 Số chiều của tập lồi được định nghĩa bằng số chiều

của bao affine của nó

Mệnh đề 1.9 Bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi là

lồi

Định nghĩa 1.5 Giả sử C là một tập con lồi chứa gốc tọa độ của

không gian Rn Hàm ρC : Rn → R sao cho

ρC(x) = inf{λ > 0|x ∈ λC}

được gọi là hàm cỡ hay hàm Minkowski của C

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

Mệnh đề 1.10 Cho hàm cỡ ρC của một tập lồi C ⊂ Rn có phầntrong chứa phần tử 0 thỏa mãn

i Với mọi x ∈ Rn thì ρC(αx) = αρC(x), ∀α ≥ 0 (thuần nhấtdương);

ii Với mọi x, y ∈ C thì ρC(x + y) ≤ ρC(x) + ρC(y) (dưới cộng tính);iii Hàm ρC(·) liên tục;

iv Phần trong int C = {x|ρC(x) < 1} ⊂ C ⊂ cl C = {x|ρC(x) ≤ 1}

Hệ quả 1.7 Nếu a ∈ int C, b ∈ cl C thì x = (1 − λ)a + λb ∈ int C

với mọi λ ∈ [0, 1] Nếu một tập lồi C có phần trong khác rỗng thì

cl(int C) = cl C và int(cl C) = int C

Định nghĩa 1.6 Cho C là tập lồi của không gian Rn Một vector

y 6= 0 gọi là phương lùi xa của C nếu

{x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, ∀x ∈ C

Định nghĩa 1.7 Nón lồi gồm tất cả các phương lùi xa và vector không

được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu là rec C

Mệnh đề 1.11 Cho C ⊂ Rn là tập lồi chứa một điểm a nằm trongphần trong của nó Khi đó,:

i Với mỗi x 6= a thì nửa đường thẳng Γ(x, a) = {a+λ(x−a)|λ > 0}

nằm toàn bộ trong C hay cắt biên ∂C tại một điểm duy nhất σ(x),

sao cho mỗi điểm nằm trên đoạn [a, σ(x)] trừ điểm σ(x) đều là điểm

trong của C

ii Ánh xạ σ(x) xác định và liên tục trên tập Rn\(a + M ) trong đó

M = rec(int)C = rec(cl)C là một nón lồi đóng

Nhận xét 1.6 Nếu C không đóng cũng không mở thì rec C có thể là

tập con thực sự của rec(int C) = rec(cl C)

Hệ quả 1.8 Một tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn bị chặn khi và chỉ khinón lùi xa của nó chỉ chứa điểm 0

1.2.1 Bao lồi, bao affine, bao nón lồi

Định nghĩa 1.8 Bao lồi của một tập E là giao của tất cả các tập lồi

chứa E, kí hiệu là co E

Định nghĩa 1.9 Bao affine của E là giao của tất cả các tập affine

chứa E, kí hiệu là aff E

Định nghĩa 1.10 Bao nón lồi của tập E (còn gọi là nón lồi sinh bởi

E) là giao của tất cả các nón lồi chứa E, kí hiệu là cone E

Nhận xét 1.7 Giao của các tập lồi (tập affine, nón lồi) cũng là tập

lồi (tập affine, nón lồi) nên bao lồi, bao affine và bao nón lồi được xác

định một cách duy nhất Nhắc lại rằng, chiều của một tập E bất kỳ

được định nghĩa như là chiều của bao affine của nó Tức là

dim E = dim(aff E)

Mệnh đề 1.12 Cho E là một tập lồi, Khi đó,

cone E = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0}

Mệnh đề 1.13 Cho E là một tập bất kỳ Khi đó:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

i Tập co E là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc E;

ii Tập aff E là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc E;

iii Tập cone E là tập hợp các tổ hợp không âm của các điểm thuộc

E

1.2.2 Định lý Caratheodory

Theo mệnh đề trên, mọi phần tử x thuộc co E đều là tổ hợp lồi

của các phần tử thuộc E Số phần tử của E tham gia trong tổ hợp

lồi này dĩ nhiên phụ thuộc vào mỗi điểm x Định lý sau nói rằng nếu

dim E ≤ k thì mọi điểm thuộc co E đều biểu diễn được như là một tổ

hợp lồi của nhiều nhất là (k + 1) phần tử của E

Định lý 1.1 Cho E là một tập được chứa trong một tập affine có số

chiều là k Khi đó, mọi x ∈ co E đều có thể biểu diễn như là tổ hợp

lồi của nhiều nhất (k + 1) phần tử của E

Ta nhắc lại các khái niệm điểm trong, điểm biên, tập compact,

trong giải tích cổ điển

i Cho E ⊆ Rn, điểm a được gọi là điểm trong của E nếu tồn tạimột lân cận mở U (a) của a sao cho U (a) ⊂ E Kí hiệu tập hợp các

điểm trong của tập E là int E và B là hình cầu đơn vị, tâm ở gốc Khi

đó, theo định nghĩa ta có

intE = {x| ∃r > 0, x + rB ⊂ E}

ii Điểm a được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của a đều

có điểm thuộc E và điểm không thuộc E

iii Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm

trong của E

iv Tập E được gọi là tập đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó

v Tập E được gọi là một tập compact nếu E là một tập đóng và

bị chặn Ta nói điểm a thuộc bao đóng của tập E nếu mọi lân cận của

a đều chứa điểm thuộc E

Hệ quả 1.9 Nếu E ⊂ Rn là một tập compact thì co E cũng compact.Định nghĩa 1.11 Bao lồi đóng của một tập E là tập lồi đóng nhỏ

nhất chứa E Kí hiệu bao lồi đóng của một tập E là coE

Tính chất lồi của một tập luôn được bảo toàn với việc lấy bao đóng

và lấy phần trong theo mệnh đề sau

Mệnh đề 1.14 Nếu E là một tập lồi thì E , int E và ri E cũng là

các tập lồi

Mệnh đề 1.15 Bao lồi đóng của một tập E trùng với bao đóng của

bao lồi của E, tức là coE = co E

Ta có siêu phẳng trong R2 là đường thẳng, siêu phẳng trong R3

là mặt phẳng Hơn nữa, các siêu phẳng H(p, c) chia không gian Rnthành hai nửa không gian Chúng ta kí hiệu:

O(p, c) = {x ∈ Rn|p · x > c};

Định nghĩa 2.2 cho chúng ta khái niệm về siêu phẳng tách

Định nghĩa 2.2 i Ta nói rằng hai tập A và B khác rỗng trong Rn

là tách bởi một siêu phẳng nếu tồn tại p ∈ Rn khác không và một hằng

số c ∈ R sao cho p · a ≥ c ≥ p · b với mọi a ∈ A, b ∈ B

ii Ta nói rằng hai tập A và B khác rỗng trong Rn là tách mạnh bởimột siêu phẳng nếu tồn tại p ∈ Rn khác không và một hằng số c ∈ Rsao cho p · a > c > p · b với mọi a ∈ A, b ∈ B

Định nghĩa trên xác định A và B nằm ở trong hai không gianO(p, c) và P(p, c) và hai không gian O(p, c) và P(p, c) (trường hợptách mạnh) Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh kết quả tách đầu tiên

Bổ đề 2.1 Cho A là một tập con đóng, lồi và khác rỗng của không

gian Rn Giả sử x0 là một điểm trong Rn sao cho x0 ∈ A, Khi đó, tồn/tại một điểm a0 ∈ A và p ∈ Rn khác không sao cho p · x ≥ c = p · a0 >

p · x0 với mọi a ∈ A

Chứng minh Giả sử a0 ∈ A là khoảng cách tối thiểu từ một điểm bất

kì trong A tới x0 Tức là a0 ∈ A, ta có kx0 − a0k ≤ kx0 − ak, với mọi

a ∈ A

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGA

Đầu tiên chú ý rằng, chuẩn Euclidean k.k là liên tục Mặt khác,

A 6= ∅ Vì thế, tồn tại một điểm z ∈ A Cho Z = A ∩ Bkz−x0k(x0),trong đó Bkz−x0k(x0) là hình cầu đóng với bán kính kz − x0k, tâmtại x0 Do Z là tập đóng thực sự và bị chặn nên Z là compact Chú

ý rằng x0 ∈ Z, do đó, chúng ta sử dụng định lý giá trị cực (mỗi/hàm giá trị thực liên tục trên tập compact đạt được giá trị cực trên

tập đó), tìm được một điểm thuộc Z mà khoảng cách từ x0 tới điểm

đó là tối thiểu, ta gọi điểm này là a0 Do A\Z khác rỗng nên a0 làkhoảng cách nhỏ nhất từ x0 tới tập A, nghĩa là a0 là một điểm saocho kx0 − a0k ≤ kx0 − ak, với mọi a ∈ A

Giả sử p = a0 − x0 và c = p · a0 thì ta có p 6= 0 vì x0 ∈ A nhưng/

a0 ∈ A Ta cần chứng tỏ rằng có giá trị thỏa mãn p · x0 < c và p · a ≥ c,với mọi a ∈ A Bất đẳng thức đầu tiên ta dễ dàng chứng minh được

Cuối cùng, ta cần chứng minh p · a ≥ c, với mọi a ∈ A Từ tính

lồi của A, ta có w = ta + (1 − t)a0 ∈ A, với mọi t ∈ [0, 1] và với mọi

Tiếp tục các thao tác trên, ta có với t đủ nhỏ thì 2p.(a0−a) > tka0−ak2

là đúng Suy ra kx0 − a0k2 − kx0 − wk2 > 0 với t đủ nhỏ Hay, ta có

kx0 − a0k > kx0 − wk Điều này chứng tỏ rằng khoảng cách từ w tới

x0 nhỏ hơn khoảng cách từ a0 tới x0, mâu thuẫn vì a0 là khoảng cáchtối thiểu từ một điểm bất kì trong A tới x0 Vì thế, ta có p · a ≥ c,với mọi a ∈ A Do đó, ta có p · a ≥ c = p · a0 > p · x0, với mọi a ∈ A.Định lý đã được chứng minh