ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Tập X được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu: i X là không gian vectơ trên trường K; ii X là không gian vectơ tôpô với

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

TP Hồ Chí Minh – 2009

LỜI CẢM ƠN

Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS TS Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có những

ý kiến đóng góp cho luận văn này

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tập hợp 2

1.2 Không gian vectơ 3

1.3 Không gian tôpô 4

1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 5

1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn 6

1.6 Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp 6

Chương 2 ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1 Sơ chuẩn và nửa chuẩn 10

2.2 Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng 11

2.3 Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi 20

2.4 Định lý Hahn – Banach dạng hình học 23

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1 Bất đẳng thức không tương thích 31

3.2 Hàm liên hợp 38

3.3 Các định lý đối ngẫu 42

3.4 Bài toán cực trị 47

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ÐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nếu không có định lý Hahn – Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàm rất khác so với ngày nay như ta đã biết Định lý Hahn – Banach là một trong ba định lý quan trọng và cơ bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồn tại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn – Banach là một định lý rất được các nhà Giải tích học ưa chuộng Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp định

lý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn – Banach dưới dạng mở rộng (dạng giải tích) và Định lý Hahn – Banach dưới dạng tách – dạng hình học, và chúng đều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng với những đặc tính nào đó Cả hai dạng của định lý Hahn – Banach tương đương nhau về mặt toán học Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của định

lý Hahn – Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị Chúng tôi chọn đề tài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn – Banach

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các dạng định lý Hahn – Banach, xem xét một số ứng dụng của nó

3 Đối tượng nghiên cứu

Định lý Hahn – Banach

4 Phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết hàm và giải tích hàm

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về định lý Hahn – Banach

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

X là một quan hệ trên X Nếu S là một quan hệ thì thay cho cách viết  x, y  S

ta sẽ viết là xSy Quan hệ S trên X gọi là:

Có tính chất phản xạ nếu mọi x X đều có xSx;

Có tính chất đối xứng nếu mọi x, y X , xSy thì ySx;

Có tính chất phản xứng nếu mọi x, y X , xSy và ySx thì x y ;

Có tính chất bắc cầu nếu mọi x, y,z X , xSy và ySz thì xSz

Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ viết x y và viết x y nếu x y và x y

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là tập được sắp Nếu mọi x, y X

ta đều có x y hoặc y x thì X được gọi là sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần) Trong trường hợp khác thì X gọi là sắp bộ phận

Phần tử a X gọi là phần tử tối đại (tối tiểu) nếu mọi x X , a x (x a)  thì

x a

Cho E là một tập con của X Phần tử a X gọi là biên trên (dưới) của E nếu

x a (a x)  với mọi x E Nếu a là biên trên (dưới) của E và a E thì a gọi là

1.2 Không gian vectơ

Trong luận văn này ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C

Không gian vectơ trên trường K là tập X, trong đó có một phép cộng

X X  và một phép nhân vô hướng K XX   , thỏa các điều kiện sau: Xa) x y   z x y z 

với mọi x, y,z X , mọi ,  K

Các phần tử của không gian vectơ gọi là các vectơ Nếu không có sự hiểu nhầm, không gian vectơ trên trường K, thường viết là không gian vectơ

Không gian vectơ con

Một tập con Y không rỗng của không gian vectơ X gọi là một không gian vectơ con (hay không gian con) của X nếu tổ hợp tuyến tính x    với y Ymọi x, y Y và mọi ,  K

Giao của một họ các không gian vectơ con của X là một không gian vectơ con của X Giao của tất cả các không gian vectơ con của X chứa tập con S của X

là không gian vectơ con bé nhất của X chứa S, gọi là bao tuyến tính của S (không gian con sinh bởi S) Ký hiệu không gian con sinh bởi S là S , S bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S Ta có   0

1.3 Không gian tôpô

Cho tập hợp X Một họ  các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) X và  thuộc  ;

ii) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ;

iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc 

Một tập X cùng với tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, ký hiệu là

X, Tập G  gọi là tập mở của X và F gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở 

Tập con V của X gọi là một lân cận của x thuộc không gian tôpô X nếu tồn

tại tập mở G sao cho x G  Nếu V mở thì ta nói V là lân cận mở V

Cho A là tập con của không gian tôpô X Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, ký hiệu hay intA Và ta gọi bao đóngcủa A

là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu là A

Điểm x được gọi là điểm trong của tập con A trong không gian tôpô X nếu x

có một lân cận V sao cho V A

Không gian tôpô gọi là tách (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm bất kỳ khác nhau, đều có hai lân cận rời nhau

1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương

Tập X được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu:

i) X là không gian vectơ trên trường K;

ii) X là không gian vectơ tôpô (với tôpô  ); tr16.ĐVL tr16.ĐVL

iii) Với tôpô  , phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục

Ta có nếu U là lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận) thì U x 0 là lân cận của x0 và nếu U là một lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận), thì U là một lân cận (với mọi  ) 0

Một tập con V x của tập hợp U x các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của x, nếu với mỗi U U x đều tồn tại V V x sao cho V U

Tập hợp con A của không gian vectơ X được gọi là hút nếu

x, y A ,   0,1 ta điều có 1 x   và gọi là tuyệt đối lồi nếu nó y Ađồng thời là lồi và cân, điều này tương đương, với mọi x, y A ta đều có

    khi     1

Nếu D, E là các tập lồi, a là một điểm,  là một số thực thì các tập (D + a), (D + E) và D cũng lồi Phần trong của tập lồi là lồi

Không gian vectơ tôpô X gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phương hay không gian lồi địa phương nếu X có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi

Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi

1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn

Cho X là không gian vectơ trên trường K, một hàm thực q : X R được gọi

là chuẩn nếu:

i) q x  với mọi x X0  , q x    ; 0 x 0

ii) q x y      q x q y với mọi x, y X ;

iii) q x   | | q x  với mọi x X và mọi K 

Chuẩn thường được viết là || ||

Cho X là một không gian vectơ trên trường K cùng với một chuẩn xác định

trên đó gọi là không gian định chuẩn trên trường K

Cho A tập con của không gian định chuẩn X Nếu A mở, x0 thì xX 0 + A cũng mở; A đóng, x0 thì xX 0 + A đóng; A mở, B là tập tùy ý thì A + B là mở;

A mở, số   thì A0  mở; A đóng, số   thì A0  đóng

1.6 Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp

Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, ánh xạ f : X gọi là Yánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu với mọi x, y Y và mọi ,  Kthì f    x y f x  f y 

Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ

X vào Y, thì f là liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc (A.P mđề1)Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ

X vào Y, thì f liên tục trên X khi và chỉ khi f bị chặn, tức là tồn tại số k 0 sao cho f x  k x với mọi x X

Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương và tách

Không gian liên hợp

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, toán tử tuyến tính f : X Kgọi là phiếm hàm tuyến tính Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là một không gian vectơ trên trường K, được ký hiệu bởi X , gọi là không gian liên hợp #

đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X X là không gian vectơ với các #

phép toán xác định bởi      x   x   x và    x   x với mọi

#

, X , x X, K

    

Giả sử X là không gian định chuẩn trên trường K, không gian L (X, K) tất cả

phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X Ký hiệu X , ta có * X là không gian con của * X #

Bất kỳ không gian định chuẩn X nào thì trên X cũng có một tôpô tự nhiên từ không gian đối ngẫu X* của nó, gọi là tô pô yếu, ký hiệu X,X*, đó là tôpô yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là liên tục Hiển nhiên tôpô yếu X,X* yếu hơn tôpô metric xác định bởi chuẩn trên X.173.Đ

Tôpô yếu X,X* là tách Và nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì tôpô yếu X,X* và tôpô mêtric xác định bởi chuẩn của X là trùng nhau Trang 173 Đỗ Văn Lưu

Với tôpô yếu X,X* ta có các khái niệm X,X* đóng, X,X* mở,

… sau đây ta sẽ gọi đơn giản là đóng yếu, mở yếu …

Tương tự ta cũng có tôpô yếu trên X* là X ,X* ** Trên X* còn một tôpô quan trọng hơn tôpô yếu, ta có một kết quả là XX**, cho nên trên X có thể *

xét tôpô X ,X* , gọi là tôpô * yếu Như vậy tôpô * yếu X ,X*  yếu hơn tôpô yếu X ,X* **

Nhắc lại, một không gian vectơ con được gọi là không gian con thực sự của không gian vectơ X nếu nó khác biệt không gian Ta gọi một siêu không gian là không gian con thực sự cực đại, tức là không gian con không chứa thực sự trong bất kỳ không gian con thực sự nào khác Dễ dàng chứng minh nhân N  

 

x X :  x 0Ker của một phiếm hàm tuyến tính  khác 0 trên X là một siêu không gian Cũng có: mọi siêu không gian là nhân của một hàm tuyến tính khác 0 nào đó Siêu phẳng là một sự tịnh tiến của một siêu không gian Nói cách khác, giả sử M là một siêu không gian của không gian vectơ X, thì tập a + M được gọi là siêu phẳng trong X Bản thân M là một siêu phẳng đi qua 0

Nếu H là một siêu phẳng thì tồn tại một hàm tuyến tính  và một vectơ a X sao cho H a N    Bây giờ giả sử rằng  a   Với mọi h H thì h 

r

H  x X :  x   và  Hl x X :  x   , được biết như là nửa không 

gian và gọi là nửa không gian con đóng của X liên kết với H (mặc dù không gian vectơ X không có khái niệm “tập con mở” hoặc “tập con đóng”) Tương tự những tập x X :  x  và x X :   x   được gọi là nửa không gian con mở của X liên kết với H

Nếu X là không gian vectơ tôpô thì siêu phẳng Hx X :  x   là đóng khi và chỉ khi  liên tục Điều đó suy ra từ kết quả sau: Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên một không gian vectơ tôpô, thì f liên tục khi và chỉ khi f1 0 là đóng

Chương 2 ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH

2.1 Sơ chuẩn và nửa chuẩn

Sơ chuẩn và nửa chuẩn

Cho X là không gian vectơ trên trường K và một hàm thực p : XR, khi đó:

p được gọi là một sơ chuẩn nếu

i) p x   p x  với mọi x X , và mọi  R với 0  ;

ii) p x y      p x p y với mọi x, y X

p được gọi là nửa chuẩn nếu

i) p x  , với mọi x X0  ;

ii) p x   | | p x  với mọi x X , với mọi K  ;

iii) p x y      p x p y với mọi x, y X

Ta có mọi chuẩn là nửa chuẩn và mọi nửa chuẩn đều là sơ chuẩn

a) Với mọi tập lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski p U là một sơ chuẩn

b) Với mọi tập tuyệt đối lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski p U là một nửa chuẩn

Chứng minh

a) Do U hút nên với mọi x X tồn tại t 0 để x tU suy ra 0 p U   hay p : XU  R

Lấy x, y X và   thì 0 pU   x p xU  và p x yU  p xU p yU , thật vậy, ta có pU  x inf   0: x Uinf 0:xU

  , thì x x , y   với x , y Uy   , sử dụng tính lồi của U ta có x y 

p y Vậy pU là sơ chuẩn

b) Để chứng minh pUlà nửa chuẩn, ta chỉ cần kiểm tra pU   x p xU 

với mọi K  và điều này có được là vì U cân nên x     U x U

2.1.1 Hệ quả. U lồi và hút thì x X p x : U   1 U x X p x : U 1 Chứng minh 2.Minkowski.RemarkE.1

Với x U ta có 1 t 0 : x tU  hay p xU  nên 1 x y X : p yU  1

Với x X : p xU  khi đó tồn tại 1 t 0,1 để x tU Đặt y t x U 1  , do

U lồi nên x ty  1 t 0 U  , vậy ta có điều phải chứng minh

2.2 Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng

Trong phần này, chúng ta giải quyết vấn đề sự mở rộng của một hàm tuyến tính trên không gian con Y đến một hàm tuyến tính trên toàn không gian X Kết quả sau đây có thể được xem như là phát biểu tổng quát nhất của định lý Hahn – Banach dạng mở rộng

2.2.1 Định lý (Định lý Hahn – Banach cho không gian vectơ thực)

Cho X là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn trên X và Y là một không gian con của X Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn

Nếu x D A thì tồn tại g A để x D g Đặt h x   g x , nếu cũng có x D g

thì do A được sắp tuyến tính nên g g hoặc g g Và vì x D g I Dg nên

Như vậy k x   p x với mọi x D Điều đó chứng tỏ k  X Bởi vì f k%

và f%k Ta gặp mâu thuẫn vì f% tối đại

2.2.2 Định lý (Định lý Hahn – Banach cho không gian vetơ trên trường K)

Cho X là một không gian vectơ trên trường K, p là nửa chuẩn trên X và Y là không gian con của X Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn

2.2.1 Bổ đề Hàm : f X  C là phiếm hàm tuyến tính trên X nếu và chỉ nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính thực f 1 trên X sao cho f x  f x1 if ix 1 

Ngược lại, vì f1 là tuyến tính thực nên hàm f x f x1 if ix1  thỏa mãn

Trở lại chứng minh cho trường hợp K C

Từ bổ đề 2.2.1, gọi f1 là phiếm hàm tuyến tính thực trên X để f x  f x1 

Thật vậy, do mọi x Y , f x f x1 if ix1 , kết hợp với 1 1

Có một câu hỏi đặt ra là các ánh xạ tuyến tính trên không gian con có được

mở rộng dễ dàng như những phiếm hàm tuyến tính hay không? Banach và Mazur

đã chứng minh điều này là không thể vào năm 1933 nhưng chứng minh đó không đúng Mãi đến năm 1950, Nachbin mới có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này

2.2.1 Hệ quả. Giả sử X là không gian vectơ trên trường K, a X , p là một 

nửa chuẩn trên X Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X thỏa

   

f a p a và f x   p x với mọi   x X 

Chứng minh

Gọi Y là không gian con của X sinh bởi a, Y     a : K, lấy x Y khi đó

x   (a  K) Ta định nghĩa f x1  p a (   K) Khi đó, f1 là phiếm hàm tuyến tính trên Y, đồng thời, f x1   f1 a   p a p a  p x  

Theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho f x f x1 

với mọi x Y và f x  p x  với mọi x X Và hiển nhiên f a   p a

2.2.2 Hệ quả (Định lý Hahn – Banach cho không gian định chuẩn)

Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian vectơ con của X Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục % f trên X sao cho

f x p x với mọi x Y Từ đó theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến

tính f% xác định trên X sao cho

  và do r 1 tùy ý nên g 1 Vậy g 1

Áp dụng hệ quả 2.2.2, tồn tại mở rộng tuyến tính liên tục f của g lên X sao cho f  Vì 1 f G  nên g f Y g ,f xY    0 g x0  

Lấy Y 0 trong hệ quả 2.2.3, khi đó d x ,Y 0  x0 Ta được hệ quả 2.2.4 như sau

2.2.4 Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, x0X và x0 0 Khi

đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f 1 và f x 0  x 0

Và như thế thì bất kỳ không gian định chuẩn khác không nào cũng có một hàm tuyến tính liên tục khác không

2.2.5 Hệ quả. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, và C là tập con tuyệt đối

lồi, mở và hút Nếu x0 X là điểm không thuộc C, thì tồn tại một phiếm hàm

tuyến tính liên tục f X:  R, sao cho f x 0 1 và f v 1, với mọi v C Chứng minh Bổ đề E1

Gọi Ytx : t0 R là không gian vectơ sinh bởi  x và định nghĩa phiếm hàm f0 1xác định bởi f tx1 0  với mọi t, x tx 0, tR Khi đó f1 là tuyến tính, và

Bây giờ áp dụng định lý 2.2.2 có một phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho

1

Y

f f và f x p xC  với mọi x X Khi đó f x 0 f x1 0  Và với 1

v C , vì C mở thì theo hệ quả 2.1.1 chúng ta có p vC  , suy ra 1 f v  với 1mọi v C Vấn đề còn lại là chứng minh f liên tục, để làm điều đó, do f là tuyến tính, chỉ cần chứng minh f liên tục tại 0

Với mọi 0  , ta sẽ tìm lân cận mở U sao cho f u    , với mọi u U  Lấy U  2 C I  2 C, chú ý rằng, với mọi u U  chúng ta có u 2 C   , hay    1

2    , thì từ hệ quả 2.1.1, nên u C     1 

C

p 2  u  hay 1 pC   u2 Do đó f    tức là u f u    , với mọi u U 

2.2.6 Hệ quả.Giả sử X là không gian lồi địa phương, Y là một không gian vectơ con của X Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục % f trên X sao cho

Y 

%

Trước khi chứng minh ta xét bổ đề sau

2.2.2 Bổ đề. Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ X Nếu

  , điều này mâu thuẫn với giả thiết

Trở lại với chứng minh hệ quả 2.2.6

Do f liên tục trên Y, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi và hút U (của 0) sao cho

f x p x   nên f% liên tục tại 0 Do đó f% liên tục

2.2.7 Hệ quả. Cho X là không gian lồi địa phương, Hausdorff, v X và 0



v Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f v 1

Chứng minh Xem Q17 5.0.2

Gọi Y v là không gian vectơ con sinh bởi v và định nghĩa phiếm hàm f1 xác định bởi f1    Khi đó v f là phiếm hàm tuyến tính trên Y Do tính 1Hausdorff của X nên có thể chọn U là lân cận tuyệt đối lồi sao cho v U Với mọi 0  , v  thì U f1 v   nên f liên tục trên Y Khi đó sự tồn tại hàm f 1thỏa f v  do hệ quả 2.2.6 1

2.3 Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi

Bây giờ xét bài toán tồn tại phiếm hàm tuyến tính tách hai tập con lồi không giao nhau Nói cách khác, với hai tập lồi không giao nhau trong không gian vectơ, khi nào có thể tìm thấy một siêu phẳng sao cho hai tập lồi này nằm trên hai miền đối diện của siêu phẳng đó?

Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian vectơ thực X được gọi là tách các tập lồi D và E của X nếu   x E  

Nếu f  thì 0 Hx X : f x    là một siêu phẳng Trường hợp này ta cũng 

nói siêu phẳng H tách D và E Và nếu f x   với mọi x D và  f x  với mọi x E thì ta nói f tách ngặt D và E

Một điểm a của tập D trong không gian X gọi là điểm bọc nếu với mỗi vectơ

b X đều có số   sao cho toàn đoạn thẳng nối a0   với ab   chứa trong b

D Ta nhận xét rằng nếu D có a là điểm bọc thì D – a là tập hút

Tập con V của không gian vectơ X gọi là đa tạp tuyến tính nếu tồn tại a V sao cho V – a là không gian con Và không gian con này gọi là không gian song

song với đa tạp tuyến tính V

Mỗi tập lồi D có một đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó, ký hiệu affD, X

đó là giao tất cả các đa tạp tuyến tính chứa D

Nếu X là không gian định chuẩn thì mỗi tập con của X là một không gian metric, với metric xác định bởi chuẩn Một điểm a D gọi là một điểm trong tương đối của D nếu a là điểm trong của D xét trong không gian metric affD Tập hợp các điểm trong tương đối của D được ký hiệu riD

Trước tiên, chúng ta đề cập đến vấn đề tách hai tập lồi không giao nhau bởi một hàm tuyến tính (siêu phẳng), tức là không đòi hỏi một tính chất nào khác cho không gian vectơ X

Ta thừa nhận các bổ đề sau trong chứng minh định lý 2.3.1

2.3.1 Bổ đề. Nếu một tập lồi D có điểm trong a và nếu b D thì mọi điểm 

1 

c a  b với 0  1 cũng là điểm trong của D (chú ý: 0 ) Và khi

đó mọi điểm bọc của D cũng là điểm trong

2.3.2 Bổ đề. Một tập lồi D trong không gian Rk bao giờ cũng có ít nhất một điểm trong tương đối (nói cách khác D ri  )

2.3.1 Định lý. Cho X là không gian vectơ thực hữu hạn chiều, D và E là các tập con lồi không giao nhau của X Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X tách D và E

Trường hợp 1

Nếu affC X , khi đó c là điểm bọc của C nên C  C c nhận 0 là điểm bọc Xét phiếm hàm Minkowski pC x , khi đó pC là một sơ chuẩn và pC x  với 1mọi x C Vì 0 C nên c C  , do đó pC   Xét c 1 Y   R là  c : 

không gian con sinh bởi c, và xét phiếm hàm tuyến tính f1 trên Y xác định bởi

Nếu affC X , thì đa tạp ấy nằm trong siêu phẳng Hx X : f x    , (f 

tuyến tính, khác không), nào đó và có thể giả sử   (vì nếu trái lại thì chỉ việc 0thay f bằng –f), cho nên f sẽ là phiếm hàm tuyến tính tách C với điểm gốc 0, tức

là f x y   (hay 0 f x   f y ) với mọi x D và y E Vậy f tách D và E

2.3.2 Định lý Cho X là không gian vectơ thực, D và E là các tập con lồi không giao nhau của X, D (hoặc E) có điểm bọc Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính trên X tách D và E

Chứng minh HT.tr264

Giả sử a là điểm bọc của D, lấy b bất kỳ thuộc E, đặt c a b  , thì D a 

D b a b D b  Nói cách khác c là điểm bọc của D – b Mà D bc 

D E

  nên c cũng là điểm bọc của D E C 

Tương tự chứng minh của định lý 2.3.1 ta có kết quả của định lý

Tiếp theo ta xem xét việc tách những tập lồi này không phải bằng một phiếm hàm tuyến tính (siêu phẳng) bất kỳ mà bởi một phiếm hàm tuyến tính liên tục (siêu phẳng đóng), tức là xét thêm một số tính chất cho không gian vectơ X

2.3.1 Bổ đề. Cho phiếm hàm tuyến tính f trên không gian định chuẩn thực và một số thực  sao cho, f x  với mọi x thuộc một tập lồi D có điểm trong Khi đó f liên tục.

Chứng minh HT.tr267

Nếu a là điểm trong của D, thì có một hình cầu đóng x a   nằm trọn trong D Như vậy f(x) bị chặn bởi số  trong lân cận nói trên của a, cho nên f là liên tục

Từ bổ đề 2.3.1 và định lý 2.3.2 ta có ngay hệ quả sau

2.3.1 Hệ quả Nếu hai tập lồi D, E không giao nhau trong không gian định chuẩn thực và D (hoặc E) có điểm trong thì có một phiếm hàm tuyến tính liên tục tách chúng

2.4 Định lý Hahn – Banach dạng hình học

2.4.1 Định lý. Cho X là không gian định chuẩn thực, D là tập con lồi và mở của X và V là đa tạp tuyến tính không giao D Khi đó tồn tại một siêu phẳng đóng H của X chứa V, không giao D

Chứng minh HT.tr267

Vì V là đa tạp tuyến tính nên V lồi Áp dụng hệ quả 2.3.1 cho không gian định chuẩn thực, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục khác không f tách D với V, tức là   x V  

x D

supf x inf f x



Giả sử V E a  với E là không gian con Hiển nhiên a V vì 0 E Với mọi x V ta có f x a   vì nếu có x V0  nào đó với f x a   thì lấy  0

có  đủ lớn và có dấu thích hợp thì f a  x a  f a  f x a    Mặt khác vì a V, x V nên a x a  , điều này là vô lý Vậy V nằm trọn  Vtrong siêu phẳng đóng f x   với f a   và  

x D

supf x

   Ngoài ra nếu có x D với f x   thì do f khác không nên tồn tại y với

Chứng minh HT.tr266

Nếu f x  tại một điểm a Y D0  I thì, theo bổ đề 2.4.2, f x  với mọi 0

x Y Do đó có thể lấy f x% 0 với mọi x X Giả sử rằng f x  với mọi 0

x Y D I , khi đó không gian con Ex Y : f x  0 không có điểm chung với D Vậy theo định lý 2.4.1, E nằm trọn trong một siêu phẳng đóng H không giao D Siêu phẳng này đi qua gốc 0 (vì 0 E ) nên có dạng Hx X :

  

g x 0 với g là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên toàn X

Chọn a Y D I , vì a H nên g a  , vả lại 0 f a  Ta xác định 0 f% như sau: f x  f a     g x

2.4.3 Định lý. Giả sử D là một tập con lồi, mở trong không gian lồi địa phương X Y là không gian vectơ con của X, Y không giao D Khi đó, tồn tại siêu phẳng H đóng chứa Y và không giao D Định lý 3.1 tr68 GTL

H X , hoặc là H H

2.4.4 Bổ đề. Giả sử A là tập lồi mở trong không gian lồi địa phương thực X,

H là một không gian vectơ con của X và không giao A Khi đó

a) Hoặc tồn tại x không thuộc H sao cho không gian vectơ con, sinh bởi H 0

và x 0, không giao A.

b) Hoặc H là một siêu phẳng qua 0 (tức là không gian con cực đại của X)

Chứng minh Mệnh đề 3.2 tr65 GTL

Đặt C H U0A thì C mở,   C H U0A

Hơn nữa, CI  C   Thật vậy, nếu tồn tại x C I  C , thì x h    a

h  với h,h H; a  a,a A ; ,   Do H lồi nên  0  a   aH

      Tương tự do A lồi,  a  aA