Định lý hahn banach và ứng dựng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP TP Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, em xin bày tỏ biết ơn đến PGS TS Đậu Thế Cấp, người thầy, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô hướng dẫn, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho em suốt trình đào tạo Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè đồng nghiệp có ý kiến đóng góp cho luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tập hợp 1.2 Không gian vectơ 1.3 Không gian tôpô 1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn 1.6 Tốn tử tuyến tính – Khơng gian liên hợp Chương ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1 Sơ chuẩn nửa chuẩn 10 2.2 Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng 11 2.3 Định lý Hahn – Banach tách tập lồi 20 2.4 Định lý Hahn – Banach dạng hình học 23 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1 Bất đẳng thức không tương thích 31 3.2 Hàm liên hợp 38 3.3 Các định lý đối ngẫu 42 3.4 Bài toán cực trị 47 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ÐẦU Lý chọn đề tài Nếu khơng có định lý Hahn – Banach cấu trúc giáo trình Giải tích hàm khác so với ngày ta biết Định lý Hahn – Banach ba định lý quan trọng Giải tích hàm, định lý mạnh tồn mà dạng đặc biệt thích hợp vấn đề tuyến tính với lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn – Banach định lý nhà Giải tích học ưa chuộng Mục đích luận văn trình bày hai lớp định lý biết rộng rãi có tên Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng (dạng giải tích) Định lý Hahn – Banach dạng tách – dạng hình học, chúng khẳng định chắn tồn phiếm hàm tuyến tính với đặc tính Cả hai dạng định lý Hahn – Banach tương đương mặt toán học Phần cuối luận văn trình bày số áp dụng định lý Hahn – Banach lý thuyết đối ngẫu tốn cực trị Chúng tơi chọn đề tài để tìm hiểu sâu định lý Hahn – Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dạng định lý Hahn – Banach, xem xét số ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn – Banach Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm giải tích hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm định lý Hahn – Banach Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tập hợp Cho tập X Y, ta gọi tích Descartes X Y tập X  Y   x, y  : x  X, y  Y Tích Descartes X  X , ký hiệu X , gọi bình phương Descartes X Ta gọi tập S X  Y quan hệ X Y; tập X quan hệ X Nếu S quan hệ thay cho cách viết  x, y   S ta viết xSy Quan hệ S X gọi là: Có tính chất phản xạ x  X có xSx; Có tính chất đối xứng x, y  X , xSy ySx; Có tính chất phản xứng x, y  X , xSy ySx x  y ; Có tính chất bắc cầu x, y, z  X , xSy ySz xSz Quan hệ S X gọi quan hệ thứ tự S có tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Nếu S quan hệ thứ tự thay cho cách viết xSy ta viết x  y viết x  y x  y x  y Tập X quan hệ thứ tự X gọi tập Nếu x, y  X ta có x  y y  x X gọi tuyến tính (hay tồn phần) Trong trường hợp khác X gọi phận Phần tử a  X gọi phần tử tối đại (tối tiểu) x  X , a  x (x  a) x a Cho E tập X Phần tử a  X gọi biên (dưới) E x  a (a  x) với x  E Nếu a biên (dưới) E a  E a gọi phần tử lớn (nhỏ nhất) E Một tập gọi tốt tập khác rỗng có phần tử nhỏ Bổ đề Zorn Nếu X tập mà tập tuyến tính X có biên X có phần tử tối đại 1.2 Khơng gian vectơ Trong luận văn ta ký hiệu K trường số thực R trường số phức C Không gian vectơ trường K tập X, có phép cộng X  X  X phép nhân vô hướng K  X  X , thỏa điều kiện sau: a)  x  y   z  x   y  z  b) x  y  y  x c)  X, x    x d)   x   E, x    x    e)   x  y   x  y f)      x  x  x g)    x    x  h) 1.x  x với x, y, z  X , ,   K Các phần tử không gian vectơ gọi vectơ Nếu khơng có hiểu nhầm, không gian vectơ trường K, thường viết không gian vectơ Nếu x  X A  X , x  A  x  a : a  A Nếu A  X B  X , A  B  a  b : a  A,b  B Nếu   K A  X , A  a : a  A Chú ý rằng: A  B  B  A A + A khơng 2A Độc lập tuyến tính Giả sử M tập không gian vectơ X M gọi hệ độc lập tuyến tính, với hệ hữu hạn x1 , , x n hệ 1 , ,  n  K khơng đồng thời 0, ta có n  x i 1 i n i  Vectơ y    i x i gọi tổ hợp tuyến i 1 tính hữu hạn vectơ x1 , , x n Không gian vectơ Một tập Y không rỗng không gian vectơ X gọi không gian vectơ (hay khơng gian con) X tổ hợp tuyến tính x  y  Y với x, y  Y ,   K Giao họ không gian vectơ X không gian vectơ X Giao tất không gian vectơ X chứa tập S X không gian vectơ bé X chứa S, gọi bao tuyến tính S (không gian sinh S) Ký hiệu không gian sinh S S , S bao gồm tất tổ hợp tuyến tính S Ta có   0 1.3 Khơng gian tôpô Cho tập hợp X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: i) X  thuộc  ; ii) Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ; iii) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Một tập X với tôpô  X gọi không gian tôpô, ký hiệu  X,  Tập G   gọi tập mở X F gọi tập đóng X\F tập mở Tập V X gọi lân cận x thuộc không gian tôpô X tồn tập mở G cho x  G  V Nếu V mở ta nói V lân cận mở Cho A tập không gian tôpô X Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, ký hiệu hay intA Và ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, ký hiệu A Điểm x gọi điểm tập A không gian tơpơ X x có lân cận V cho V  A Không gian tôpô gọi tách (hay không gian Hausdorff) hai điểm khác nhau, có hai lân cận rời 1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Tập X gọi không gian vectơ tôpô trường K nếu: i) X không gian vectơ trường K; ii) X không gian vectơ tôpô (với tôpô  ); tr16.ĐVL tr16.ĐVL iii) Với tôpô  , phép cộng phép nhân vô hướng ánh xạ liên tục Ta có U lân cận điểm gốc (gọi tắt lân cận) U  x lân cận x0 U lân cận điểm gốc (gọi tắt lân cận), U lân cận (với   ) Một tập V x tập hợp U x lân cận x gọi sở lân cận x, với U  U x tồn V  V x cho V  U  Tập hợp A không gian vectơ X gọi hút UnA  X ; gọi n 1 cân x  A , với   K ,   có x  A , gọi lồi x, y  A ,    0,1 ta điều có 1    x  y  A gọi tuyệt đối lồi đồng thời lồi cân, điều tương đương, với x, y  A ta có x  y  A     Nếu D, E tập lồi, a điểm,  số thực tập (D + a), (D + E) D lồi Phần tập lồi lồi Không gian vectơ tôpô X gọi không gian vectơ tôpô lồi địa phương hay không gian lồi địa phương X có sở lân cận gồm tập lồi Vì tịnh tiến tập lồi ta lại tập lồi nên không gian lồi địa phương điểm có sở lân cận lồi 1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn Cho X không gian vectơ trường K, hàm thực q : X  R gọi chuẩn nếu: i) q  x   với x  X , q  x    x  ; ii) q  x  y   q  x   q  y  với x, y  X ; iii) q  x   |  | q  x  với x  X   K Chuẩn thường viết || || Cho X không gian vectơ trường K với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn trường K Cho A tập không gian định chuẩn X Nếu A mở, x  X x0 + A mở; A đóng, x  X x0 + A đóng; A mở, B tập tùy ý A + B mở; A mở, số   A mở; A đóng, số   A đóng 1.6 Tốn tử tuyến tính – Khơng gian liên hợp Cho X Y hai không gian vectơ trường K, ánh xạ f : X  Y gọi ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính với x, y  Y ,   K f  x  y   f  x   f  y  b) Giả sử f1, …, fm hàm lồi thường; tồn x0  I m i 1 domfi ; trừ hàm, lại liên tục x0 Khi  f1   f m  *  f1*   f m* , (1) nữa, với x*  dom  f1   f m  , tồn xi  domfi * (i  1, , m) cho * x*  x1*   xm* ,  f1   f m   x*   f1*  x1*    f m*  xm*  * Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp m  Trường hợp tổng quát dễ dàng suy quy nạp   a) Ta có  f1  f   x *   sup x *  x   inf f1  x  z   f  z  * x z  sup x *  y   f1  y   x *  z   f  z   f1*  x *   f 2*  x *  y,z Do bất đẳng thức Joung – Fenchel, f1*  x1*   f 2*  x *2    x1*  x *2   x   f1  x   f  x  với x1* , x *2  X* , x  X Suy f1*  x1*   f 2*  x *2    f1  f   x1*  x *2  * (2) Bất đẳng thức (2) với x1* , x *2 mà x1*  x *2  x * Vì f1*  f 2*   f1  f  * (3) b) Vì hàm f1, f2 hàm lồi thường, dom  f1  f  *    f1  f   x *    với x * nên f1*  f 2*   f1  f  Kết hợp với (3) * * suy (1) f1*  f 2*   f1  f  * Xét trường hợp: dom  f1  f    , giả sử  f1  f   x *0      f1 liên * * tục điểm thuộc domf Khi đó, dom  f1  f    suy  f1  f   x *  *   với x *  X* suy    f1  f   x *0      * Xét tập hợp A   x,    X  R :   x *0  x   f  x     , đó, A lồi Theo bổ đề 3.3.1 int  epif1    Ta chứng minh A I int  epif1    Thật vậy, A I int  epif1    , tồn  x,    A I int  epif1  Khi f1  x     x *0  x  f  x    suy   x *0  x   f1  x   f  x    f1  f   x *0  , mâu thuẫn với *  f1  f  *  x    Suy * 0 A I int  epif1    Áp dụng hệ 2.4.1, tồn  y ,   thuộc X  R tách A epif , tức (4) sup  y  x    :  x,    epif   inf  y  x    :  x,    A Rõ ràng   Nếu   , y khác 0,  y ,    Từ (4) suy y * * * * * * * tách domf1 domf Nhưng điều xảy được, int  domf1  I domf   , hệ 2.4.2 Vì vậy,   , chia hai vế (4) cho  đặt x1*   y* , ta f1*  x1*   sup x1*  x   f1  x  : x  X  sup x1*  x    :  x,    1 epif1  inf x1*  x   :  x,    A  inf  x *  x *0   x   f  x  : x domf    f 2*  x *0  x1*      f1*  f 2*  x *0   f1*  x1*   f 2*  x *0  x1*      f1  f   x *0  * Kết hợp với mục a) ta có kết Như phép cộng tổng chập hàm lồi thường đối ngẫu lẫn Giả sử X, Y không gian lồi địa phương;  : X  Y tốn tử tuyến tính, f hàm xác định Y g hàm xác định X Ta xác định hàm f g sau  f  x   f  x  ,  g  y   inf g  x  : x  X, x  y hàm f g gọi tương ứng nghịch ảnh hàm f ảnh hàm g qua ánh xạ  3.3.2 Định lý a) Giả sử  : X  Y tốn tử tuyến tính liên tục; g hàm xác định X; f hàm xác định Y Khi đó,  g   g * * ,  f     * f * * * b) Nếu f hàm lồi, liên tục điểm thuộc Im ,  f     * f * * Hơn nữa, với x*  dom  f   tồn y*  Y * cho x*   * y* , *  f * x  *  f *  y*  Chứng minh tr98GTL   a) Ta có:  g   x *   sup x *  x   inf g  y   sup sup x *  x   g  y   sup * x  y  x  y  x x y x    y    g  y   sup x    y   g  y   g    x    g   x  Suy * * * * * * * * * y  g  *  g**  (5)  Do  *f *   x   sup x *  x    *f *   x  ta * x*   f  x   x  x     f   x   X suy   f  x   x  x    f    x  Theo bổ đề * * với x  X, x * * * * * * * * * * * ** 3.2.2 f  f ** Do f    x    f **    x   suy x *  x   f **    x    x *  x    f  x  nên *f *   f  * b) Để chứng minh phần b), ta cần chứng minh: f liên tục điểm thuộc Im  x *  dom  f   *f *  x *    f   x *  * * Đặt    f   x *  ,  domf  I  Im     , hàm f nhận giá trị hữu hạn, * nghĩa hàm  f  lớn  điểm Như vậy,    * Xét đa tạp tuyến tính M   y,    X  R : x  X,   x *  x    , y  x X  R , ta có M I int  epif    , (6) thật vậy, M I int  epif    , tồn  y,    M I int  epif  Do có x  X cho f    x    x *  x      x *  x   f    x     f   x *    , * điều vô lý, tức (6) Áp dụng hệ 2.4.1, tồn  y* ,    thuộc X*  R cho sup  y*  y    :  y,    epif   inf  y*  y    :  y,    M (7) Rõ ràng   Nếu   , y*  y* tách domf Im  , điều mâu thuẫn với int  domf  I  Im     , vậy,   Chia hai vế (7) cho   đặt y*0   y* ta nhận f *  y*0   inf  y*0  y    :  y,    M  inf y*0    x   1  x *  x    : x  X   Do f *  y*    (với y* ) ta suy x *  * y*0 , thật vậy, x *      *  y*0  inf y*0    x    x *  x   inf *  y*0   x *  x    nên x *  Im * , x x   x *  *  y*0  Khi đó,  *f *  x *   inf f *  y*  : y*  Y* , *  y*   x *  f *  y*0      f   x *  Như ta có điều mong muốn * 3.4 Bài toán cực trị Giả sử f hàm lồi không gian lồi địa phương X Phiếm hàm x *  X* gọi gradient hàm f x  X , f  x   f  x   x *  x  x  với x  X Tập tất gradient f x gọi vi phân f x ký hiệu f  x  , tức f  x   x *  X* : f  x   f  x   x *  x  x  , x  X Giả sử X không gian vectơ, tập K  X , gọi nón có đỉnh với x  K ,   suy x  K K gọi nón có đỉnh x0, K – x0 nón có đỉnh Nón K có đỉnh gọi nón lồi, K tập lồi, có nghĩa với x, y  K , ,   suy x  y  K Giao tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa tập A điểm nón lồi gọi nón lồi sinh tập A, ký hiệu KA X không gian lồi địa phương, vectơ x *  X* , gọi vectơ pháp tuyến tập lồi A x  A , x *  x  x   với x  A Tập tất vectơ pháp tuyến tập lồi A x  A gọi nón pháp tuyến A x , ký hiệu N  x | A  Như N  x | A   x *  X* : x *  x  x   với x  A Nón pháp tuyến tập lồi A x  A lồi đóng 0 x  A Hàm đặc trưng    | A  tập lồi A  X :   x | A     x  A Và    | A  hàm lồi Cho hàm đặc trưng f  x      | A  A tập lồi khác  Khi đó, với x  A , x *  f  x     x | A     x | A     x | A   x *  x  x  với x  X  x *  x  x   với x  A Điều có nghĩa x * vectơ pháp tuyến A x Như vậy,   x | A  nón pháp tuyến A x tức   x | A   N  x | A  Để ý rằng, x  A   x | A    3.4.1 Định lý (Định lý Moreau – Rookafellar) Giả sử f1 , , f m hàm lồi thường X Khi đó, với x  X ,   f1   f m   x   f1  x    f m  x  m Hơn nữa, điểm x  I domfi , tất hàm f1 , , f m liên tục (có thể i 1 trừ hàm),   f1   f m   x   f1  x    f m  x  Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp m  , trường hợp tổng quát dùng quy nạp Chứng minh   f1  f  x   f1  x   f  x  (1) Lấy x *i  f i  x  (i  1,2) , đó, với z  X x *i  z  x   f i  z   fi  x  (i  1,2) suy  x1*  x *2   z  x   f1  z   f  z    f1  x   f  x    x1*  x *2   f1  f  x  Suy kết (1) Ta chứng minh f1 liên tục x  domf ,   f1  f  x   f1  x   f  x  (2) Ta có int  epif1    , thật vậy, với   , tồn lân cận U mở x cho f1  x   f1  x    với x  U suy A   x,    X  R :   f1  x   , x  U  epif1 A mở nên int  epif1    Lấy x *   f1  f  x  Xét tập C1   z,    X  R :   f1  x  z   f1  x  C2   z,    X  R :   x *  z   f  x  z   f  x  , C1  epif1   x,f1  x   suy C1 lồi int C1   Ta lại kiểm tra tính lồi C2 , lấy  z1 , i   C2 (i  1,2)    0,1 ta có i  x *  zi   f  x  zi   f  x  (i  1,2) (3) f    x  z1   1    x  z    f  x  z1   1    f  x  z  (4) Bởi f hàm lồi, Từ (3) (4) ta suy 1  1      x *  z1  1    z   f    x  z1   1    x  z    f  x  nên   z1 , 1   1    z , x   C2 , tức C2 lồi Ta có C1 I C2   , thật vậy, tồn  z , x   C1 I C2 x *  z   f  x  z   f  x   f1  x  z   f1  x  suy x *  z   f1  x  z   f  x  z    f1  x  f  x   , điều mâu thuẫn với x *    f1  f  x  Áp dụng hệ 2.4.1, tồn x1* X* , tồn  R với  x1* ,    : sup x1*  z     inf  z, C2  z, C1 x  z    * (5) Rõ ràng   ,   cận (5)  cận  Hơn nữa,   ,   (5) có dạng: sup x *  z   inf zdomf1  x zdomf  x x1*  z  (6) Mặt khác, x1*  ,    x1* ,    Do đó, x1*  x  x   sup x1*  z   zU  x sup x1*  z  suy zdomf1  x inf zdomf  x x1*  z   x1*  x  x   sup x1*  z  , mâu thuẫn với (6) zdomf1  x Vì vậy,   ta có   Khơng tính tổng quát xem   1 Vậy, C1 C2 tách siêu phẳng H   z,    X  R : x1*  z    0 Từ (5) suy sup x1*  z   f1  x  z   f1  x   inf z z  x *   x *   z   f  x  z   f  x  (7) Để ý với z = 0, biểu thức ngoặc hai vế (7) Do đó, đặt x *2  x *  x1* , ta nhận f1  x  z   f1  x   x1*  z  với z  X f  x  z   f  x   x *2  z  với z  X suy x1* f1  x  (i  1,2) Suy (2), điều cần chứng minh Giả sử X không gian lồi địa phương, hàm f xác định X, tập Q  X Xét toán  P1  f  x  : x  Q Điểm x  Q gọi điểm chấp nhận (P) Bài toán lồi khơng có ràng buộc Giả sử X khơng gian lồi địa phương, f hàm lồi X, toán:  P1  f  x   Để x  X nghiệm toán (P1), điều kiện cần đủ  f  x  Chứng minh x nghiệm (P1) f  x   f  x  với x  X   x  x   f  x   f  x  với x  X  f  x  Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức Giả sử f hàm lồi không gian lồi địa phương X, C đa tạp tuyến tính song song với khơng gian M X Xét toán  P2  f  x  : x  C 3.4.2 Định lý a) Giả sử f liên tục điểm C, x nghiệm toán (P2) Khi f  x  I M    (8) M    x*  X * : x*  x   với x  M  b) Giả sử (8) x  C Khi x nghiệm toán (P2) Chứng minh a) Xét hàm L  x   f  x     x | C  , hiển nhiên L hàm lồi X Rõ ràng x nghiệm toán (P2) hàm L đạt cực tiểu x Áp dụng tốn (P1)  L  x  Do tính liên tục f nên áp dụng định lý 3.4.1 (Moreau – Rockafellar) nhận  L  x   f  x     x | C  Ta lại có   x | C   N  x | C   M  Như có (8): f  x  I M    b) Giả sử (8) x  C , tồn x * f  x  I M  Bởi với x  C, x  x  M ,  x*  x  x   f  x   f  x  với x  C Do đó, x nghiệm toán (P2) Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Giả sử X không gian lồi địa phương Hausdorff; f0, …, fm hàm hữu hạn X; tập A  X Xét toán:  P3  m min f  x   f i  x   (i  1, ,m) x  A  (9) (10) Hàm số L  x;  , ,  m     i fi  x  gọi hàm Lagrange toán (P3) i 0 3.4.3 Định lý (Định lý Kuhn – Tucker) Giả sử hàm f0, …, fm tập A lồi; x điểm chấp nhận toán (P3) (tức thỏa mãn (9) (10)) Khi đó, a) Nếu x nghiệm tốn (P3), tồn i  (i  0, , m) không đồng thời cho L  x ; 0 , , m   L  x; 0 , , m  , (11) i fi  x   (i  0, , m) (12) xA Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn, tồn x0  A : fi  x0   (i  0, , m)   xem 0  b) Nếu (4) (5) thỏa mãn với 0  , x nghiệm tốn (P3) Chứng minh a) Giả sử x nghiệm (P3) Đặt C    , ,  m   R m1 : x  A,f  x   f  x    , f1  x   1 , ,f m  x    m  Ta có int R m1  C , thật vậy, lấy   , ,  m   int R m 1 Khi i  (i  0, ,m) Với x  x , ta có   f  x   f  x   , i   f i  x  (i  1, , m) Suy   , ,  m   C  int R m1  C , từ int C   Do f , ,f m lồi, nên tập C lồi Hơn nữa,  C , thật vậy,  C tồn x  A thỏa f  x   f  x  ,f i  x   (i  1, ,m) Do đó, x khơng nghiệm (P3), mâu thuẫn với giả thiết,  C Áp dụng hệ 2.4.1, tách tập C {0} phiếm hàm tuyến tính khác không, tức tồn số  , ,  m không đồng thời cho m   i 0 i i  với   , ,  m   C (13) Do int R m1  C , ta suy  i  (i  0, ,m) Lấy x  A, i  f i  x  (i  1, … , m) ,    f  x   f  x   từ (13) nhận m   f  x    f  x  với x  A i 0 i i (14) 0 Do x điểm chấp nhận được, ta có f i  x   (i  1, ,m) Nếu tồn i  1,m : f i  x     , với   ,  f  x   f  x   , f j  x     ( j  1, ,i  1,i  1, ,m) Suy  , , , , , ,    C (  vị trí thứ i) suy  i   (do 13 cho   ), suy  i    i  (do  i  0) Như f i  x    i  , đó,  i f i  x   (i  1, ,m) Vì từ (14) ta nhận m m i 0 i 0  ifi  x    ifi  x  , suy (11): L  x; 0 , ,  m   L  x; 0 , ,  m  xA Bây giờ, giả sử điều kiện Slater Khi đó,   số 1 , ,  m phải có  i  Do m m   f  x      f  x  , điều i0 i i i 0 i i mâu thuẫn với (11) Vậy   tức   b) Giả sử x điểm chấp nhận thỏa mãn (11) (12), với   ,  i  (i  1, ,m) Lấy x chấp nhận được, tức x  A, f i  x   (i  1, ,m) Khi đó, m m i 1 i 1 f  x   f  x     i fi  x   f  x     i f i  x   f  x  Suy x nghiệm toán (P3) Chú ý: (11) gọi điều kiện Kuhn – Tucker;  , ,  m gọi nhân tử Lagrange 3.4.4 Định lý Giả sử hàm f0, …, fm tập A lồi; f0, …, fm liên tục điểm A; x điểm chấp nhận tốn (P3) Khi đó, a) Nếu x nghiệm (P3), tồn nhân tử Lagrange i  (i  1, , m) không đồng thời cho  0f  x    mf m  x   N  x | A  , (15) i fi  x   (i  1, , m) , (16) N  x | A  nón pháp tuyến A x Hơn nữa, điều kiện Slater đúng, 0  xem 0  b) Nếu (15), (16) thoả mãn với 0  , x nghiệm (P3) Chứng minh m a) Xét hàm Lagrange (P3) có dạng L1  x;  , ,  m     i f i  x     x | A  i 0    | A  hàm đặc trưng tập A Do x nghiệm (P3), ta thu điều kiện cần dạng (11), (12) định lý 3.4.3 Vì thế, hàm L1   ,  , ,  m  đạt cực tiểu x Theo toán (P1),  L1  x ,  , ,  m  Bởi   x | A   N  x | A  nên theo định lý 3.4.1 (Moreau – Rockafellar) ta có   0f  x     m f m  x   N  x | A  b) Giả sử (15), (16) thỏa mãn với   Khi đó, tồn x *i  f i  x  (i  0, , m), x * m 1  * m 1 *   N  x | A  cho x    i x  suy   x    i x i   x  x   i 1   i 1 * m 1 * i m m i 1 i 1 f  x   f  x     i  f i  x   f i  x   với x  A , suy f  x     if i  x   m f  x     i f i  x  với x  A i 1 Từ định lý 3.4.3b), suy x nghiệm tốn (P3) KẾT LUẬN Luận văn trình bày đầy đủ định lý Hahn – Banach đồng thời giới thiệu số ứng dụng Một điểm đáng lưu tâm ngồi tầm quan trọng định lý đề cập là, hạn chế định lý, tất phát biểu định lý Hahn – Banach khẳng định tồn hàm tuyến tính mà chứng minh khơng có trình bày cách xác định hàm tuyến tính mà định lý khẳng định, chí khơng gian vectơ có số chiều hữu hạn Sự hạn chế gần phổ biến cho nhiều định lý Giải tích hàm Hướng phát triển luận văn, nghiên cứu ứng dụng định lý số lĩnh vực giải tích như: chứng minh tồn hàm Green, ứng dụng lý thuyết điều khiển, ứng dụng quy hoạch lồi, ứng dụng lý thuyết game, nhiệt động lực học… Khi thực luận văn này, tác giả có nhiều cố gắng với hiểu biết cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp từ q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp (2009), Giải Tích hàm, Nxb Giáo dục Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải Tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Hoàng Tụy (2003), Hàm Thực Giải Tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội A.P Robertson W.J Robertson (Người dịch Phan Đức Chính) (1977), Khơng Gian Vectơ Tơpơ, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp C.R Alexander Belton (2004, 2006), Functional Analysis S Serfaty (2004), Functional Analysis Notes Fall V Richard Kadison John R Ringrose (1983), Fundamentals of The theory of operator algebras, volume (1), Elementary Theory T Arbogast and J.L Bona, Methods of Applied Mathematics T.B Ward, Functional analysis lecture notes, School of Mathematics, University of East Anglia, Norwich NR4 7TJ, U.K 10 W Rudin (1986), Real and Complex Analysis, Mc Graw – Hill Book Company New York ... biết Định lý Hahn – Banach ba định lý quan trọng Giải tích hàm, định lý mạnh tồn mà dạng đặc biệt thích hợp vấn đề tuyến tính với lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn – Banach định. .. để tìm hiểu sâu định lý Hahn – Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dạng định lý Hahn – Banach, xem xét số ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn – Banach Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm giải... dạng mở rộng 11 2.3 Định lý Hahn – Banach tách tập lồi 20 2.4 Định lý Hahn – Banach dạng hình học 23 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1 Bất đẳng thức khơng