Định lý hahn – banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP TP Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, em xin bày tỏ biết ơn đến PGS TS Đậu Thế Cấp, người thầy, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô hướng dẫn, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho em suốt trình đào tạo Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè đồng nghiệp có ý kiến đóng góp cho luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tập hợp 1.2 Không gian vectơ 1.3 Không gian tôpô 1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương 1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn 1.6 Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp Chương ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1 Sơ chuẩn nửa chuẩn 10 2.2 Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng 11 2.3 Định lý Hahn – Banach tách tập lồi 20 2.4 Định lý Hahn – Banach dạng hình học 23 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1 Bất đẳng thức không tương thích 31 3.2 Hàm liên hợp 38 3.3 Các định lý đối ngẫu 42 3.4 Bài toán cực trị 47 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ÐẦU Lý chọn đề tài Nếu định lý Hahn – Banach cấu trúc giáo trình Giải tích hàm khác so với ngày ta biết Định lý Hahn – Banach ba định lý quan trọng Giải tích hàm, định lý mạnh tồn mà dạng đặc biệt thích hợp vấn đề tuyến tính với lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn – Banach định lý nhà Giải tích học ưa chuộng Mục đích luận văn trình bày hai lớp định lý biết rộng rãi có tên Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng (dạng giải tích) Định lý Hahn – Banach dạng tách – dạng hình học, chúng khẳng định chắn tồn phiếm hàm tuyến tính với đặc tính Cả hai dạng định lý Hahn – Banach tương đương mặt toán học Phần cuối luận văn trình bày số áp dụng định lý Hahn – Banach lý thuyết đối ngẫu toán cực trị Chúng chọn đề tài để tìm hiểu sâu định lý Hahn – Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dạng định lý Hahn – Banach, xem xét số ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn – Banach Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm giải tích hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm định lý Hahn – Banach Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tập hợp Cho tập X Y, ta gọi tích Descartes X Y tập X  Y   x, y  : x  X, y  Y Tích Descartes X  X , ký hiệu X , gọi bình phương Descartes X Ta gọi tập S X  Y quan hệ X Y; tập X quan hệ X Nếu S quan hệ thay cho cách viết  x, y   S ta viết xSy Quan hệ S X gọi là: Có tính chất phản xạ x  X có xSx; Có tính chất đối xứng x, y  X , xSy ySx; Có tính chất phản xứng x, y  X , xSy ySx x  y ; Có tính chất bắc cầu x, y, z  X , xSy ySz xSz Quan hệ S X gọi quan hệ thứ tự S có tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Nếu S quan hệ thứ tự thay cho cách viết xSy ta viết x  y viết x  y x  y x  y Tập X quan hệ thứ tự X gọi tập Nếu x, y  X ta có x  y y  x X gọi tuyến tính (hay toàn phần) Trong trường hợp khác X gọi phận Phần tử a  X gọi phần tử tối đại (tối tiểu) x  X , a  x (x  a) x a Cho E tập X Phần tử a  X gọi biên (dưới) E x  a (a  x) với x  E Nếu a biên (dưới) E a  E a gọi phần tử lớn (nhỏ nhất) E Một tập gọi tốt tập khác rỗng có phần tử nhỏ Bổ đề Zorn Nếu X tập mà tập tuyến tính X có biên X có phần tử tối đại 1.2 Không gian vectơ Trong luận văn ta ký hiệu K trường số thực R trường số phức C Không gian vectơ trường K tập X, có phép cộng X  X  X phép nhân vô hướng K  X  X , thỏa điều kiện sau: a)  x  y   z  x   y  z  b) x  y  y  x c)  X, x    x d)   x   E, x    x    e)   x  y   x  y f)      x  x  x g)    x    x  h) 1.x  x với x, y, z  X , ,   K Các phần tử không gian vectơ gọi vectơ Nếu hiểu nhầm, không gian vectơ trường K, thường viết không gian vectơ Nếu x  X A  X , x  A  x  a : a  A Nếu A  X B  X , A  B  a  b : a  A,b  B Nếu   K A  X , A  a : a  A Chú ý rằng: A  B  B  A A + A không 2A Độc lập tuyến tính Giả sử M tập không gian vectơ X M gọi hệ độc lập tuyến tính, với hệ hữu hạn x1 , , x n hệ 1 , ,  n  K không đồng thời 0, ta có n  x i 1 i n i  Vectơ y    i x i gọi tổ hợp tuyến i 1 tính hữu hạn vectơ x1 , , x n Không gian vectơ Một tập Y không rỗng không gian vectơ X gọi không gian vectơ (hay không gian con) X tổ hợp tuyến tính x  y  Y với x, y  Y ,   K Giao họ không gian vectơ X không gian vectơ X Giao tất không gian vectơ X chứa tập S X không gian vectơ bé X chứa S, gọi bao tuyến tính S (không gian sinh S) Ký hiệu không gian sinh S S , S bao gồm tất tổ hợp tuyến tính S Ta có   0 1.3 Không gian tôpô Cho tập hợp X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: i) X  thuộc  ; ii) Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ; iii) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Một tập X với tôpô  X gọi không gian tôpô, ký hiệu  X,  Tập G   gọi tập mở X F gọi tập đóng X\F tập mở Tập V X gọi lân cận x thuộc không gian tôpô X tồn tập mở G cho x  G  V Nếu V mở ta nói V lân cận mở Cho A tập không gian tôpô X Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, ký hiệu hay intA Và ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, ký hiệu A Điểm x gọi điểm tập A không gian tôpô X x có lân cận V cho V  A Không gian tôpô gọi tách (hay không gian Hausdorff) hai điểm khác nhau, có hai lân cận rời 1.4 Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Tập X gọi không gian vectơ tôpô trường K nếu: i) X không gian vectơ trường K; ii) X không gian vectơ tôpô (với tôpô  ); tr16.ĐVL tr16.ĐVL iii) Với tôpô  , phép cộng phép nhân vô hướng ánh xạ liên tục Ta có U lân cận điểm gốc (gọi tắt lân cận) U  x lân cận x0 U lân cận điểm gốc (gọi tắt lân cận), U lân cận (với   ) Một tập V x tập hợp U x lân cận x gọi sở lân cận x, với U  U x tồn V  V x cho V  U  Tập hợp A không gian vectơ X gọi hút UnA  X ; gọi n 1 cân x  A , với   K ,   có x  A , gọi lồi x, y  A ,    0,1 ta điều có 1    x  y  A gọi tuyệt đối lồi đồng thời lồi cân, điều tương đương, với x, y  A ta có x  y  A     Nếu D, E tập lồi, a điểm,  số thực tập (D + a), (D + E) D lồi Phần tập lồi lồi Không gian vectơ tôpô X gọi không gian vectơ tôpô lồi địa phương hay không gian lồi địa phương X có sở lân cận gồm tập lồi Vì tịnh tiến tập lồi ta lại tập lồi nên không gian lồi địa phương điểm có sở lân cận lồi 1.5 Chuẩn – Không gian định chuẩn Cho X không gian vectơ trường K, hàm thực q : X  R gọi chuẩn nếu: i) q  x   với x  X , q  x    x  ; ii) q  x  y   q  x   q  y  với x, y  X ; iii) q  x   |  | q  x  với x  X   K Chuẩn thường viết || || Cho X không gian vectơ trường K với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn trường K Cho A tập không gian định chuẩn X Nếu A mở, x  X x0 + A mở; A đóng, x  X x0 + A đóng; A mở, B tập tùy ý A + B mở; A mở, số   A mở; A đóng, số   A đóng 1.6 Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp Cho X Y hai không gian vectơ trường K, ánh xạ f : X  Y gọi ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính với x, y  Y ,   K f  x  y   f  x   f  y  Nếu X Y không gian vectơ tôpô f ánh xạ tuyến tính từ X vào Y, f liên tục X f liên tục điểm gốc (A.P mđề1) Nếu X Y không gian vectơ tôpô f ánh xạ tuyến tính từ X vào Y, f liên tục X f bị chặn, tức tồn số k  cho f  x   k x với x  X Không gian định chuẩn không gian lồi địa phương tách Không gian liên hợp Giả sử X không gian vectơ trường K, toán tử tuyến tính f : X  K gọi phiếm hàm tuyến tính Tập tất phiếm hàm tuyến tính X không gian vectơ trường K, ký hiệu X # , gọi không gian liên hợp đại số hay không gian đối ngẫu đại số X X # không gian vectơ với phép toán xác định      x     x     x     x     x  với ,   X # , x  X,   K Giả sử X không gian định chuẩn trường K, không gian L (X, K) tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) X Ký hiệu X* , ta có X* không gian X # Bất kỳ không gian định chuẩn X X có tôpô tự nhiên từ không gian đối ngẫu X* nó, gọi tô pô yếu, ký hiệu   X,X*  , tôpô yếu X làm cho tất phiếm hàm tuyến tính X liên tục Hiển nhiên tôpô yếu   X,X*  yếu tôpô metric xác định chuẩn X 173.Đ Tôpô yếu   X,X*  tách Và X không gian định chuẩn hữu hạn chiều tôpô yếu   X,X*  tôpô mêtric xác định chuẩn X trùng Trang 173 Đỗ Văn Lưu Với tôpô yếu   X,X*  ta có khái niệm   X, X*   đóng,   X, X*   mở, … sau ta gọi đơn giản đóng yếu, mở yếu … Tương tự ta có tôpô yếu X*   X* , X**  Trên X* tôpô quan trọng tôpô yếu, ta có kết X  X** , X* xét tôpô   X* , X  , gọi tôpô * yếu Như tôpô * yếu   X* , X  yếu tôpô yếu   X* , X**  Nhắc lại, không gian vectơ gọi không gian thực không gian vectơ X khác biệt không gian Ta gọi siêu không gian không gian thực cực đại, tức không gian không chứa thực không gian thực khác Dễ dàng chứng minh nhân N     x  X :   x   0  Ker phiếm hàm tuyến tính  khác X siêu không gian Cũng có: siêu không gian nhân hàm tuyến tính khác Siêu phẳng tịnh tiến siêu không gian Nói cách khác, giả sử M siêu không gian không gian vectơ X, tập a + M gọi siêu phẳng X Bản thân M siêu phẳng qua Nếu H siêu phẳng tồn hàm tuyến tính  vectơ a  X cho H  a  N    Bây giả sử   a    Với h  H h  a  y với y  N    Do   h     a     y    Mặt khác, giả sử x  X cho   x    Cho y  x  a   y   , nghĩa y  N    x  a  y  a  N     H Như chứng minh với siêu phẳng H, có phiếm hàm tuyến tính khác không  số thực  cho H  x  X :   x    Mỗi siêu phẳng H chia toàn không gian thành hai tập lồi H r  x  X :   x    H l  x  X :   x    , biết nửa không gian gọi nửa không gian đóng X liên kết với H (mặc dù không gian vectơ X khái niệm “tập mở” “tập đóng”) Tương tự tập x  X :   x    x  X :   x    gọi nửa không gian mở X liên kết với H Nếu X không gian vectơ tôpô siêu phẳng H  x  X :   x    đóng  liên tục Điều suy từ kết sau: Nếu f phiếm hàm tuyến tính không gian vectơ tôpô, f liên tục f 1   đóng Chương ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1 Sơ chuẩn nửa chuẩn Sơ chuẩn nửa chuẩn Cho X không gian vectơ trường K hàm thực p : X  R , đó: p gọi sơ chuẩn i) p  x   p  x  với x  X ,   R với   ; ii) p  x  y   p  x   p  y  với x, y  X p gọi nửa chuẩn i) p  x   , với x  X ; ii) p  x   |  | p  x  với x  X , với   K ; iii) p  x  y   p  x   p  y  với x, y  X Ta có chuẩn nửa chuẩn nửa chuẩn sơ chuẩn Phiếm hàm Minkowski Trong không gian vectơ X, cho tập C pC  x   inf t  0:x  tC , xác định hàm từ X vào R , gọi phiếm hàm Minkowski C, inf t   t 2.1.1 Định lý a) Với tập lồi hút U, phiếm hàm Minkowski pU sơ chuẩn b) Với tập tuyệt đối lồi hút U, phiếm hàm Minkowski pU nửa chuẩn Chứng minh a) Do U hút nên với x  X tồn t  để x  tU suy  p U   hay p U : X  R Lấy x, y  X   p U  x   p U  x  p U  x  y   p U  x   p U  y  ,    thật vậy, ta có p U  x   inf   0:x  U  inf   0:x  U   inf t  0:    x  tU  inf t  0:x  tU  p U  x  (với t   ) Và với x  U , y U (,    0) , x  x, y  y với x, y  U , sử dụng tính lồi U ta có x  y      x  y       U Từ theo định nghĩa p U  x  y               với ,   thỏa mãn x  U , y U p U  x  y   p U  x   p U  y  Vậy pU sơ chuẩn b) Để chứng minh p U nửa chuẩn, ta cần kiểm tra p U  x    p U  x  với   K điều có U cân nên x  U   x  U 2.1.1 Hệ U lồi hút  x  X : pU  x   1  U   x  X : pU  x   1 Chứng minh 2.Minkowski.RemarkE.1 Với x  U ta có 1 t  : x  tU hay p U  x   nên x   y  X : p U  y   1 Với x  X : p U  x   tồn t   0,1 để x  tU Đặt y  t 1x  U , U lồi nên x  ty  1  t   U , ta có điều phải chứng minh 2.2 Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng Trong phần này, giải vấn đề mở rộng hàm tuyến tính không gian Y đến hàm tuyến tính toàn không gian X Kết sau xem phát biểu tổng quát định lý Hahn – Banach dạng mở rộng 2.2.1 Định lý (Định lý Hahn – Banach cho không gian vectơ thực) Cho X không gian vectơ thực, p sơ chuẩn X Y không gian X Khi phiếm hàm tuyến tính f Y thỏa mãn f  x   p  x  với x  Y , tồn phiếm hàm tuyến tính % f X cho % f  f % f  x   p  x  với x  X Y Chứng minh TS.ĐTC Ta gọi mở rộng f phiếm hàm tuyến tính g không gian Dg X chứa Y cho g Y  f g  x   p  x  với x  Dg Xét tập X gồm tất mở rộng f Do f  X nên X   Ta viết g  h Dg  D h h D  g Dễ dàng thấy  thứ tự X g Giả sử A tập tuyến tính X Đặt D A  UgA D g , ta xác định hàm h : D A  R cách sau: Nếu x  D A tồn g  A để x  Dg Đặt h  x   g  x  , có x  Dg A tuyến tính nên g  g g  g Và x  Dg I Dg nên g  x   g  x  Vậy h xác định Lấy tùy ý x, y  DA ,  R , tồn g g thuộc A để x  Dg , y  Dg Ta giả thiết g  g , x, y  Dg x  y  Dg  D A Vậy DA không gian X Ngoài h  x  y   g  x  y   g  x   g  y   h  x   h  y  , h hàm tuyến tính DA Hiển nhiên h  x   p  x  với x  D A nên h  X g  h với g  A Vậy h biên tập A Từ theo bổ đề Zorn X tồn phần tử tối đại % f : G  R Để hoàn tất chứng minh ta G  X Giả sử trái lại, tồn y  X \ G , xét không gian D sinh y G, tức D  y  z :   R,z  G Với u, v  G ta có % f u  % f  v  % f u  v  p u  v  p  u  y   p  v  y  , từ p  u  y   % f u   p v  y  % f  v  Vì u v tùy ý    f  u   inf p  v  y   % f  v  , hai số hữu nên sup p  u  y   % uG  vG  f  u  , xác định hàm k : D  R k  y  z   hạn Đặt   sup  p  u  y   % uG   % f  z  với   R , z  G Hiển nhiên k tuyến tính k  z   % f  z  với z  G Ta chứng minh k  y  z   p  y  z  với   R , z  G f  z   p  z  với z  G Nếu   k  y  z   Nếu   k  z   %   z  z    z  % z   z    % f z     % f     p  y   % f    f     p   y   p  y                 f u , z  với z  G Cuối     , để ý   inf p  u  y   % uG     z  z    z  % z   f  z       % f     p  y   % f    f    ta có k  y  z     %               z  p   y   p  z  y   p  y  z    f k Như k  x   p  x  với x  D Điều chứng tỏ k  X Bởi % f  k Ta gặp mâu thuẫn % f tối đại % 2.2.2 Định lý (Định lý Hahn – Banach cho không gian vetơ trường K) Cho X không gian vectơ trường K, p nửa chuẩn X Y không gian X Khi phiếm hàm tuyến tính f Y thỏa mãn f  x   p  x  với x  Y , tồn phiếm hàm tuyến tính % f X cho % f  x   p  x  với x  X f  f % Y Chứng minh TS.ĐTC Trường hợp K  R Để ý f  y   f  y   p  y  với y  Y , áp dụng định lý 2.2.1 có % f : X  R với % f  x   p  x  với x  X Suy f  f % Y f  x   p  x  với x  X % f x  % f   x   p   x   p  x  với x  X Nên % Trường hợp K  C Mọi không gian vectơ phức X coi không gian vectơ thực (phép nhân vô hướng R  X  X thu hẹp phép nhân vô hướng C  X  X ) Ta gọi phiếm hàm tuyến tính thực không gian phức X phiếm hàm tuyến tính X coi X không gian vectơ thực nói Trước hết ta chứng minh bổ đề sau 2.2.1 Bổ đề Hàm f : X  C phiếm hàm tuyến tính X tồn phiếm hàm tuyến tính thực f1 X cho f  x   f1  x   if1  ix  với x  X Chứng minh.TS.ĐTC Giả sử f : X  C phiếm hàm tuyến tính, đặt f  x   f1  x   if  x  f1  x   Ref  x  f  x   Im f  x  Ta phiếm hàm tuyến tính thực f1, f2 X Bởi f  ix   f1  ix   if  ix  f  ix   if  x   i  f1  x   if  x    if1  x   f  x  nên ta có f  x   f1  ix  Suy f  x   f1  x   if1  ix  , tức f1 phiếm hàm tuyến tính muốn tìm Ngược lại, f1 tuyến tính thực nên hàm f  x   f1  x   if1  ix  thỏa mãn f  x  y   f  x   f  y  với x, y  X Với x  X     i C ta có f  x   f1  x   if1  ix   f1     i  x   if1  i    i  x   f1  x   f1  ix   if1  ix   i f1  x      i  f1  x   i    i  f1  ix     f1  x   if1  ix    f  x  , f hàm tuyến tính phức Trở lại chứng minh cho trường hợp K  C Từ bổ đề 2.2.1, gọi f1 phiếm hàm tuyến tính thực X để f  x   f1  x   if1  ix  Bởi f1  y   f  y   p  y  , với y  Y , áp dụng định lý cho f1 : X  R cho % f1  f1 % f1  x   p  x  với trường hợp K  R tìm % Y x  X Ta chứng minh % f, % f x  % f1  x   if%1  ix  với x  X , phiếm hàm cần tìm Thật vậy, x  Y , f  x   f1  x   if1  ix  , kết hợp với % f1  f1 dẫn đến Y % f  f Mặt khác % f  x   % f x  % f  x  ei (  R phụ thuộc vào x) nên Y % f  x   e  i% f x  % f  e  i x  Mà % f  e  i x  số thực nên % f  e  i x   % f1  e  i x  Vì % f x  % f  e i x   % f1  e  i x   p  e  i x   e  i p  x   p  x  Có câu hỏi đặt ánh xạ tuyến tính không gian có mở rộng dễ dàng phiếm hàm tuyến tính hay không? Banach Mazur chứng minh điều vào năm 1933 chứng minh không Mãi đến năm 1950, Nachbin có câu trả lời xác cho câu hỏi 2.2.1 Hệ Giả sử X không gian vectơ trường K, a  X , p nửa chuẩn X Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính f X thỏa f  a   p  a  f  x   p  x  với x  X Chứng minh Gọi Y không gian X sinh a, Y  a :   K , lấy x  Y x  a (  K) Ta định nghĩa f1  x   p  a  (  K) Khi đó, f1 phiếm hàm tuyến tính Y, đồng thời, f1  x   f1  a    p  a   p  a   p  x  Theo định lý 2.2.2 tồn phiếm hàm tuyến tính f X cho f  x   f1  x  với x  Y f  x   p  x  với x  X Và hiển nhiên f  a   p  a  2.2.2 Hệ (Định lý Hahn – Banach cho không gian định chuẩn) Cho X không gian định chuẩn Y không gian vectơ X Khi phiếm hàm tuyến tính liên tục f Y, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục % f X cho % f  f % f  f Y Chứng minh TS.ĐTC Đặt p  x   f x với x  X , p nửa chuẩn X f  x   p  x  với x  Y Từ theo định lý 2.2.2 tồn phiếm hàm tuyến tính % f xác định X cho % f  f % f  x   p  x   f x với x  X Y Do % f liên tục % f  f Vì % f  sup % f  x   sup f  x   f nên % f  f xX, x 1 xY, x 1 2.2.3 Hệ Cho X không gian định chuẩn, Y không gian vectơ X vectơ x0  X điểm không thuộc Y cho d  x0 , Y  