Lussa“ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH w — lộsp-T Bộ GIÁo Dưc VÀ ĐÀO TẠO Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH ĐỊNH LỸ HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Mã số Toán giải tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THÉ CẤP TP Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, em xin bày tỏ biết ơn đến PGS TS Đậu Thế Cấp, người thầy, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn quỷ thầy, cô hướng dẫn, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho em suốt trình đào tạo Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè đồng nghiệp có ý kiến đóng góp cho luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC co BẢN 1.1 Tập họp 1.2 Không gian vectơ .3 1.3 Không gian tôpô .4 1.4 Không gian vectơ tôpô - Không gian lồi địa phương 1.5 C huẩn - Không gian định chuẩn 1.6 T oán tử tuyến tính - Không gian liên họp Chương ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH 2.1 Sơ chuẩn nửa chuẩn 10 2.2 Định lý Hahn - Banach dạng mở rộng 11 2.3 Định lý Hahn - Banach tách tập lồi 20 2.4 Định lý Hahn - Banach dạng hình học 23 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH 3.1 Bất đẳng thức không tương thích 31 3.2 Hàm liên họp 38 3.3 Các định lý đối ngẫu .42 3.4 Bài toán cực trị 47 KẾT LUẬN .56 MỞ ĐÀU Lý chọn đề tài Neu định lý Hahn - Banach cấu trúc giáo trình Giải tích hàm khác so với ngày ta biết Định lý Hahn - Banach ba định lý quan trọng co Giải tích hàm, định lý mạnh tồn mà dạng đặc biệt thích hợp vấn đề tuyến tính với lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn - Banach định lý nhà Giải tích học ưa chuộng Mục đích luận văn trình bày hai lớp định lý biết rộng rãi có tên Định lý Hahn - Banach dạng mở rộng (dạng giải tích) Định lý Hahn - Banach dạng tách - dạng hình học, chúng khẳng định chắn tồn phiếm hàm tuyến tính với đặc tính Cả hai dạng định lý Hahn - Banach tương đương mặt toán học Phần cuối luận văn trình bày số áp dụng định lý Hahn - Banach lý thuyết đối ngẫu toán cực trị Chúng chọn đề tài để tìm hiểu sâu định lý Hahn - Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dạng định lý Hahn - Banach, xem xét số ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn - Banach Phạm vi nghiên cứu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC BẢN 1.1 Tập hợp Cho tập X Y, ta gọi tích Descartes X Y tập X X Y = {(x,y): X E X, y Y} Tích Descartes X X X, ký hiệu X2, gọi bình phương Descartes X Ta gọi tập s X X Y quan hệ X Y; tập X2 quan hệ X Neu s quan hệ thay cho cách viết (x,y) E s ta viết xSy Quan hệ s X gọi là: Có tính chất phản xạ xeX có xSx; Có tính chất đối xứng X, y X, xSy ySx; Có tính chất phản xứng X, y E X, xSy ySx X = y; Có tính chất bắc cầu x,y,z E X, xSy ySz xSz Quan hệ s X gọi quan hệ thứ tự s có tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Neu s quan hệ thứ tự thay cho cách viết xSy ta viết X < y viết X < y X < y X ^ y Tập X quan hệ thứ tự X gọi tập Nếu x,y E X ta có X < y y < X X gọi tuyến tính (hay toàn phần) Trong trường hợp khác X gọi phận Phần tử a E X gọi phần tử tối đại (tối tiểu) X E X, a < X (x < a) X = a Cho E tập X Phần tử a E X gọi biên (dưới) E X < a (a < x) với X E E Neu a biên (dưới) E a E E a gọi phần tử lớn (nhỏ nhất) E Một tập gọi tốt tập khác rỗng có phần tử nhỏ Bổ đề Zorn Nếu X tập mà tập tuyến tính X có biên X có phần tử tối đại 1.2 Không gian vectơ Trong luận văn ta ký hiệu K trường số thực R trường số phức c Không gian vectơ trường K tập X, có phép cộng XxX->X phép nhân vô hướng KxX^X, thỏa điều kiện sau: a) (x + y) + z = x + (y + z) b) x + y = y + x c) 30 X, X + = X d) 3(-x) e E, X + (-x) = e) X(x + y) = Xx + Xy f) (x + p)x = Xx + px g) (Xn)x = X.(nx) h) l.x = x với x,y,zeX,mọi X,peK Các phần tử không gian vectơ gọi vectơ Nếu hiểu nhầm, không gian vectơ trường K, thường viết không gian vectơ Nếu xeX A cz X, x + A = {x + a:aeA} Nếu AczX B Y gọi ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính với X, y E Y X, p E K b) Giả sử fi, , fm hàm lồi thưòng; tồn xữ e Ị m_ domfị; trừ hàm, lại liên tục x0 Khỉ đỏ w ( ) hon nữa, với X* e d o m ( f y + + /m) , tồn X e domf* (i = 1, ,m) Sứỡ c/zơ X* = X,' + + x‘m ,(/ + + /J‘ (x* ) = f' (x,* ) + + /; (xl) Chửng minh Ta chứng minh cho trường hợp m = Trường hợp tổng quát dễ dàng suy quy nạp a) Ta có (f, ©f2) (x*) = supịx*(x)-infỊf1(x-z) + f2(z)Ịj Xl z ) = sup{x’ (y) - f, (y)+X* (z) - f2 (z)Ị = f,'(x*) + f2’ (x') y,z Do bất đẳng thức Joung - Fenchel, f*(xj j + f2*(x*)>(x*+ x*)(x)-fj(x)f2(x) với Xj,x2 eX*,x EX Suy f,*(x;)+f2*(x;)>(f1+f2)*(x;+x;) (2) Bất đẳng thức (2) với Xj,x2 mà Xj + x2 = X* Vì f;®f2'>(f1+f2)\ (3) b) Vì hàm fi, f2 hàm lồi thường, dom(fj + f2) = (fj + f2) (x*) = +00 với X* nên f* ® f2 < (fj + f2) Kết họp với (3) suy (1) f * ® f2 =(f, + f2) Xét trường hợp: dom(f1 + f2 )**0,giả sử (f1+f2)*(xj) = a0 < +00 fj liên tục điểm thuộc domf2 Khi đó, dom(fj + f2) + suy (fj + f2) (x*) > —GO với X* E X* suy -00 < (fj + f2) (xj ] = a0 < +00 Xét tập hợp A = Ị(x,a)eXxR:a f** Do f (ộ(x)) > f**(ộ(x)) suy x*(x)-f**((ị)(x)) bổ đề > x*(x)-(f (fộ) • b) Đe chứng minh phần b), ta cần chứng minh: f liên tục điểm thuộc Imộ x*edom(f(|)) (ộ*f*)(x*j x*(x-x),VxeXỊ Giả sử X không gian vectơ, tập K c= X, gọi nón có đỉnh với X E K, X > suy Ầx e K K gọi nón có đỉnh Xo, K - Xo nón có đỉnh Nón K có đỉnh gọi nón lồi, K tập lồi, có nghĩa với X, y E K, X, p > suy Xx + py E K Giao tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa tập A điểm nón lồi gọi nón lồi sinh tập A, ký hiệu KA X không gian lồi địa phương, vectơ X* E X*, gọi vectơ pháp tuyến tập lồi A X E A, X* (x - x) < với xeA Tập tất vectơ pháp tuyến tập lồi A X E A gọi nón pháp tuyến A X, ký hiệu N(x IA) Như N(x IA) = |x* E X*: x*(x -x) < với xeAỊ Nón pháp tuyến tập lồi A X E A lồi đóng X E A +00 X Ể Và ỗ(-1A) hàm lồi A Cho hàm đặc trưng f(x) = 8(*|A) A tập lồi khác Khi đó, vói xeA, X* eổf(x) = ổô(x| A)ô(x| A)>s(x| A) + x*(x-x) với xeX x*(x-x) ỡ/ (x) + +ôfm (x) Hon nữa, điểm ĩel dom/ị, tất hàm /p liên tục (cỏ thể i= trừ hàm), ỡ(/ + + fm )(x) = dfx (x) + + (x) Chửng minh Ta chứng minh cho trường họp m = 2, trường hợp tổng quát dùng quy nạp Chứng minh ổ(fj +f2)(x)=)ổfj(x) + ổf2(x) (1) Lấy X* eổfị(x) (i = 1,2), đó, với zeX x*(z-x) 0, tồn lân cận u mở X cho |f1(x)-f1(x)|fj(x) + 8, x e Ị c epifj A mở nên int(epifj) ^ Lấy X* eổ(fị +f2)(x) Xéttập Cj = j(z,a)eXxR:a>f1(x + z) + f,(x)Ị C2 = Ị(z,oc)eXxR:a“)eC2 (5) Rõ ràng p < 0, p > cận (5) +00 cận -00 HOTI nữa, p * 0, p = (5) có dạng: sup x*(z)< inf x*(z) zedomf|-x zedomf2-x ' Mặt khác, X* *0, p = íx*,p) + Do đó, x*(x-x) < sup x*(z) < sup x*(z)suyra inf x*(z) < x*(x-x) < sup x*(z), mâu thuẫn với (6) ze domí] - X zedomf2-x zedomf|-x (6) zeU-x Vì vậy, [3^0 ta có p < Không tính tổng quát xem p = -1 Vậy, Cj C2 tách siêu phẳng H = |(z,a) E X X R: X* (z) -a = 0] Từ (5) suy sup{x; (z) - f| (x + z) + f, (x)} < inf {(x| - x‘)(z) + f2(x + z) - f2 (x)Ị (7) Để ý với z = 0, biểu thức ngoặc hai vế (7) Do đó, đặt x2=x*-x*, ta nhận f1(x + z)-f1(x)>x*(z) với zeX f2(x + z) -f2(x) >x*(z) với zeX suy X* Eổfj(x) (i = l,2) Suy (2), điều cần chứng minh Giả sử X không gian lồi địa phương, hàm f xác định X, tập Q c= X Xét toán (Pj) min|f (x): X E QỊ Điểm X E Q gọi điểm chấp nhận (P) Bài toán lồi ràng buộc Giả sử X không gian lồi địa phương, f hàm lồi X, toán: (Pj) f (x) —» Đe X E X nghiệm toán (Pi), điều kiện cần đủ Chửng minh X nghiệm (Pi) f (x) < f (x) với X E X = 0(x-x)fị(x) (i = l, Suy (|a0, ,|im) eC=>intR^+1 c= c, từ intc * Do f0, lồi, nên tập c lồi Hơn nữa, Ể c, thật vậy, E c tồn X E A thỏa f0(x) fi(x)^ (i = l, ,m) Do đó, X không nghiệm (P3), mâu thuẫn với giả thiết, Ể c Áp dụng hệ 2.4.1, tách tập c {0} phiếm hàm tuyến tính khác không, tức tồn số X0, không đồng thời cho ỵ\ịit > với (|i0, ,nm)eC i=0 (13) Do intR™+1 (i = 0, Lấy xe A, P; = fị(x) (i = l, ,m), p0 —»(f0(x)-f0(x)) từ (13) nhận ^À,.f.(x)> A,0f0(x) với x e A i=0 (14) Do X điểm chấp nhận được, ta có f (x) < (i = 1, ,m) Neu tồn ie{l,m}:f.(x) = -a0, = f0( x ) - f 0( x ) < 8, f j ( x ) < 0 (do 13 cho —> 0), suy X < => X■ = (doX > 0) Như f (x) ( x ) , suy (11): L(x;Ầ0, ,Xm) = minL(x;Ằ0, ,Xm) i=0 i=0 XeA Bây giờ, giả sử điều kiện Slater Khi đó, ^0 = số m m A,p ,Xm phải có X > Do ^x f (x) < = ^x f ( x ) , điều i=0 i=0 mâu thuẫn với (11) Vậy À,0 ^ tức A0 > b) Giả sử X điểm chấp nhận thỏa mãn (11) (12), vói ^0=1, X > (i = 1, ,m) Lấy X chấp nhận được, tức X e A, fị (x) < (i = 1, ,m) Khi đó, f0 (x) = f0 (x) + X Vi (x) < f0 (x) + i=l toán (P3) (x) ^ f0 (x) • Suy X nghiệm i=l nhân tử Lagrange 3.4.4 Định lý Giả sử hàm fo, , fm tập Ả ỉà lồi; fo, fm liên tục điểm A; X điểm chấp nhận toán (P3) Khi đó, a) Neu X nghiệm (P3), tồn nhân tử Lagrange Ảị > (i = 1, ,m) không đồng thời cho ifi(x)+s(xiA) i=0 5(-|A) hàm đặc trưng tập A Do X nghiệm (P3), ta thu điều kiện cần dạng (11), (12) định lý 3.4.3 Vì thế, hàm L^-^o, ,A,m) đạt cực tiểu X Theo toán (Pi), OeổL^xAo.-Am) Bởi ổô(x IA) = N(x IA) nên theo định lý 3.4.1 (Moreau - Rockaíellar) ta có E Vf0 (x) + - + (x) + N(x I A) b) Giả sử (15), (16) thỏa mãn với A,0 = Khi đó, tồn X * eỡf,(x) (1 = 0, , m+1 ( m+1 X N(x IA) cho X * + ^ ^ ị X * =0 suy = xl + ^ X ị X * (x-x)< i=l \ i=l f0(x)-f0(x) + ^Xi(fi(x)-fi(x)) với xe A, suy f0(x) + X^í(x) i=l m f0(x) + ^A,.f.(x) với X G A Từ định lý 3.4.3b), suy X nghiệm toán (P3) i=l KẾT LUẬN Luận văn trình bày đầy đủ định lý Hahn - Banach đồng thời giới thiệu số ứng dụng Một điểm đáng lưu tâm tầm quan trọng định lý đề cập là, hạn chế định lý, tất phát biểu định lỷ Hahn - Banach khẳng định tồn hàm tuyến tính mà chứng minh trình bày cách xác định hàm tuyến tính mà định lý khẳng định, chí không gian vectơ có số chiều hữu hạn Sự hạn chế gần phổ biến cho nhiều định lý Giải tích hàm Hướng phát triển luận văn, nghiên cứu ứng dụng định lý số lĩnh vực giải tích như: chứng minh tồn hàm Green, ứng dụng lý thuyết điều khiển, ứng dụng quy hoạch lồi, ứng dụng lý thuyết game, nhiệt động lực học Khi thực luận văn này, tác giả có nhiều cố gắng với hiểu biết hạn chế nên tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp từ quỷ thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Đậu Thế Cấp (2009), Giải Tích hàm, Nxb Giáo dục Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải Tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Hoàng Tụy (2003), Hàm Thực Giải Tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội A.p Robertson W.J Robertson (Người dịch Phan Đức Chính) (1977), Không Gian Vectơ Tỏpỏ, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp C.R Alexander Belton (2004, 2006), Functional Analysỉs s Serfaty (2004), Functional Analysỉs Notes Fall V Richard Kadison John R Ringrose (1983), Fundamentals ofThe theory of operator algebras, volume (1), Elementary Theory T Arbogast and J.L Bona, Methods of Applied Mathematỉcs T.B Ward, Functional analysỉs lecture notes, School of Mathematics, Ưniversity of East Anglia, Nonvich NR4 7TJ, Ư.K 10 w Rudin (1986), Real and Complex Analysis, Mc Graw - Hill Book Company New York [...]... trong không gian định chuẩn thực và D (hoặc E) có điếm trong thì có một phiếm hàm tuyến tính liên tục tách chủng 2.4 Định lý Hahn - Banach dạng hình học 2.4.1 Định lý Cho X là không gian định chuẩn thực, D là tập con lồi và mở của X và V là đa tạp tuyến tính không giao D Khi đó tồn tại một siêu phang đỏng H của X chứa V, không giao D Chứng minh Vì V là đa tạp tuyến tính nên V lồi Áp dụng hệ quả 2.3.1... a (Ằ,eK) Ta định nghĩa fj(x) = >ip(a)(À,EK) Khi đó, fj là phiếm hàm tuyến tính trên Y, đồng thời, |fj (x)| = |fị (A,a)| = |A,|p(a) = p(A,a) = p(x) Theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho f(x) = fj(x) với mọi XE Y và |f(x)| 0 sao cho ||f(x)|| 0; ii) p(x + y) < p(x)+ p(y) với mọi x,yeX p được gọi là nửa... đó H sẽ giao mọi tập mở trong đó có A, điều này là vô lý Vậy định lý 2.4.3 được chứng minh cho trường hợp X là không gian vectơ thực Đe chứng minh phần còn lại của định lý 2.4.3 ta cần bổ đề sau 2.4.5 Bổ đề Giả sử X là không gian vectơphức; H là một siêu phẳng thực trong X Khỉ đó, HI (///) là một siêu phang phức Chứng minh Giả sử a Ể HI (iH) , và chang hạn a Ể H Khi đó, ia không thuộc siêu phang thực... ư), tức là f (y) < f(x0)+f(z) vói mọi yeD, mọi zeư Do f khác không, ta có -£ = inff(z)0:xEtư} hay pư (x) < 1 nên X E |y E X: pư (y) < l} Với X E X: pư (x) < 1 khi đó tồn tại t E (0,1) để X E tu Đặt y = t_1x E Ư, do u lồi nên x = ty + (l-t)ƠEƯ, vậy ta có điều phải chứng minh 2.2 Định lý Hahn - Banach dạng mở rộng... trên không gian vectơ thực triệt tiêu tại một điểm bọc a của tập D và có dấu không đoi (chang hạn luôn luôn lớn hon hoặc bằng 0) trên tập đó thì đồng nhất với 0 2.4.2 Định lý (Định lý Krein) Cho không gian định chuẩn thực X, một tập con lồi, mở D và một không gian con Y của X sao cho DI 7^0 Neu f là một phiếm hàm tuyến tính trên Y và f (x) > 0 trên DI Y, thì f có thể mở rộng thành một hàm tuyến tính ... Định lý Hahn - Banach ba định lý quan trọng co Giải tích hàm, định lý mạnh tồn mà dạng đặc biệt thích hợp vấn đề tuyến tính với lượng lớn ứng dụng thực tiễn quan trọng Định lý Hahn - Banach định. .. Banach dạng mở rộng 11 2.3 Định lý Hahn - Banach tách tập lồi 20 2.4 Định lý Hahn - Banach dạng hình học 23 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH 3.1 Bất đẳng thức không...Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Anh Quang ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH ĐỊNH LỸ HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Mã số Toán giải