Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hồn thành luận văn Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định tạo điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn T.S Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố cơng trình khoa học khác Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Đạo hàm Fréchet 10 1.4 Kết luận 13 Chương Phương pháp Newton - Kantorovich 14 2.1 Phương pháp làm trội 14 2.1.1 Toán tử khả vi 14 2.1.2 Tốn tử khơng khả vi 19 2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich 21 2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich 21 2.2.2 Một số định lý phương pháp Newton Kantorovich 22 2.3 Kết luận 30 Chương Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich iii giải phương trình vi phân thường 32 3.1 Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp 32 3.1.1 Xét toán Cauchy .32 3.1.2 Thuật tốn giải phương trình vi phân thường cấp theo phương pháp Newton - Kantorovich 34 3.2 Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp hai 40 3.3 Giải gần phương trình vi phân thường lập trình Maple 12 theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên 44 3.3.1 Giải gần phương trình vi phân thường cấp 44 3.3.2 Giải gần phương trình vi phân thường cấp hai .54 3.4 Kết luận 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C[a;b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] D[a;b] Tập tất hàm số xác định có đạo hàm liên tục đến cấp k [a, b] l2 cho Tập tất dãy số thực (hoặc phức) x = (xn) chuỗi ∞ xn | n=1 | hội tụ L(X, Y ) Tập tất toán tử tuyến tính từ X vào Y N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực Rk Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô θ Phần tử không "." Chuẩn Q Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều toán khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình có dạng: Ax = y (1) A tốn tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y Phương trình có dạng (1) gọi "phương trình tốn tử " Đã có nhiều nhà khoa học tiếng đề cập đến phương trình tốn tử dạng tổng quát phương trình (1) dạng đặc biệt, cụ thể A toán tử vi phân thường, tốn tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân, Tốn tử A tuyến tính phi tuyến tính, đơn trị đa trị Chính vậy, phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình tốn tử rộng lớn Phạm vi ứng dụng có hiệu lực với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử cơng trình nghiên cứu giải gần phương trình dạng (1) Khởi đầu ta nói đến cơng trình Newton phương pháp tiếp tuyến giải gần phương trình f (x) = Tiếp theo, ta kể đến cơng trình Kantorovich việc xây dựng phương pháp Newton - Kantorovich Mỗi phương pháp có cách tính tốn riêng để tìm nghiệm gần phương trình (1), việc xây dựng dãy xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao nhiều tác giả quan tâm Phương pháp Newton - Kantorovich nhằm giải phương trình (1) A toán tử phi tuyến, khả vi Bản chất phương pháp thay phương trình (1) phương trình tuyến tính, từ xây dựng dãy xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm phương trình (1) Trên cở sở lý thuyết phương pháp Newton Kantorovich, sâu vào nghiên cứu ứng dụng việc giải phương trình vi phân thường Tính hữu dụng phương pháp Newton - Kantorovich không tốc độ hội tụ cao mà thiết lập thuật tốn, từ chúng tơi quan tâm đến việc lập trình máy tính điện tử giải phương trình vi phân thường Với lý trên, với hướng dẫn tận tình TS Khuất Văn Ninh, mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường" Mục đích nghiên cứu Trình bày lý thuyết phương pháp Newton – Kantorovich sau ứng dụng để giải phương trình vi phân thường, đồng thời nghiên cứu giải phương trình vi phân thường máy tính điện tử Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Phương pháp Newton – Kantorovich - Ứng dụng phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức Đóng góp luận văn - Giải phương trình vi phân thường máy tính điện tử Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ X → R, gọi chuẩn ký hiệu "." thỏa mãn tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) "αx" = |α| "x"; 3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" Số "x" gọi chuẩn véc tơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn} không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim n→∞ "xn − x" = Ký hiệu xn = x hay xn → x (n → ∞) lim n →∞ Định nghĩa 1.1.3 (Dãy bản) Dãy điểm {xn} không gian định chuẩn X gọi dãy "xn − xm " = lim n,m→∞ Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X [> Dothic2 := proc (n) local k, t, s, y, x, ψ; x [0] [t] := : x [0] [s] := : f (x [0] [t] , t) := : f (x [0] [s] , s) := : ψ (x [0] [t] , t) := exp (diff (f (x [0] [s] , s) , x) , s = t) ψ (x [0] [s] , s) := exp (diff (f (x [0] [t] , t) , x) , t = s) : : for k from to n x [k] [t] := x [k − 1] [t] − ψ [0] [t] int (1 (diff (x [k − 1] [s] , s) ψ[0][s] f (x [k − 1] [s] , s)) , s = t) − : x [k] [s] := x [k − 1] [s] − ψ [0] [s] intψ[0] ( (diff (x [k − 1] [t] , t) [t] f (x [k − 1] [t] , t)) , t = s) : − f (x [k] [t] , t) := : f (x [k] [s] , s) := : od : y[n][t] := int(x[n][t], t) : with(plots) : plot(y[n][t], t = 0.5, title =t Grapht) # Nhập khoảng giá trị t, giả sử t =0 end : [> V dc2(n); # Nhập số lần lặp n vào ngoặc đơn [> T ocdohoituc2(n); [> V dc2so(n); [> Dothic2(n); Ví dụ 3.3.4 Giải phương trình ytt = yt2 + t2, y (0) = 1; yt (0) = 0; t ∈ [0; 0, 5] Giải Trong lập trình ta nhập giá trị sau: f (x [0] [t] , t) := x [0] [t] + t2 : f (x [0] [s] , s) := x [0] [s] + s2 : f (x [k] [t] , t) := x [k] [t] + t2 : f (x [k] [s] , s) := x [k] [s] + s2 : λ := 0, : ηt := 0.25 + λ : ht := 0.5.(0.25 + λ) : t = 0.5 Nhập giá trị n ta kết sau: Với n = ta có: y1 (t) = 0.083333 t4 Tốc độ hội tụ là: 0.1335206052 Với n = ta có: y2 (t) = 0.0019841 t8 + 0.083333 t4 Tốc độ hội tụ là: 0.03449907416 Với n = ta có: y3 (t) = 0.0000010498 t16 +0.000080167 t12 +0.0019841 t8 +0.083333 t4 Tốc độ hội tụ là: 0.008913876002 Với n = ta có: y4 (t) = 2.8441 10−13 t32 + 4.2748 10−11 t28 + 2.6425 10−9 t24 + 1.0984 10−7 t20 + 0.3722 10−5 t16 + 0.80167 10−4 t12 + 0.0019841 t8 + 0.083333 t4 Tốc độ hội tụ là: 0.00230316863 Với n = ta có: y5 (t) = 2.0543 10−26t64 + 6.1545 10−24t60 + 8.3995 10−22t56 + 7.2325 10−20t52+4.5943 10−18t48+2.3187 10−16t44+9.5969 10−15t40+3.3947 10−13 t36 + 1.067 10−11t32 + 2.9973 10−10t28 + 7.7545 10−9t24 +1.8485 10−7t20 + 0.3722 10−5t16 + 0.80167 10−4t12 + 0.0019841t8 + 0.083333t4 Tốc độ hội tụ là: 0.0005950930592 Với n = ta có: y6 (t) = 1.0634 10−52t128 + 6.3664 10−50t124 + 1.821 10−47t120 + 3.3454 10−45t116 + 4.4803 10−43t112 + 4.7032 10−41t108 + 4.0548 10−39t104 + 2.9638 10−37t100 + 1.8795 10−35t96 +1.0525 10−33t92 + 5.2786 10−32t88 + 2.3993 10−30t84+9.9816 10−29t80+3.8325 10−27t76+1.3673 10−25t72+4.5583 10−24 t68 +1.4267 10−22t64 +4.2113 10−21t60 +1.1777 10−19t56 +3.1347 10−18t52 + 7.9723 10−17t48 + 1.9431 10−15t44 + 4.5492 10−14t40 +1.0257 10−12t36 + 2.2341 10−11t32 + 4.7092 10−10t28 + 9.5663 10−9t24 + 1.8485 10−7t20 + 0.3722 10−5t16 + 0.80167 10−4t12 + 0.0019841t8 + 0.083333t4 Tốc độ hội tụ là: 0.0001537602347 Với n = ta có: y7 (t) = 2.8379 10−105 t256 + 3.3975 10−102 t252 + 1.9885 10−99 t248 + 7.6007 10−97 t244 +2.1388 10−94 t240 +4.736 10−92 t236 +8.6129 10−90 t232 + 1.3257 10−87 t228+1.7658 10−85 t224+2.0708 10−83 t220+2.1677 10−81 t216+ 2.0479 10−79 t212+1.7625 10−77 t208+1.3924 10−75 t204+1.0166 10−73 t200+ 6.8987 10−72 t196+4.3728 10−70 t192+2.6005 10−68 t188+1.4567 10−66 t184+ 93 7.7133 10−65 t180+3.8728 10−63 t176+1.8492 10−61 t172+8.4182 10−60 t168+ 3.6626 10−58 t164 +1.5262 10−56 t160 +6.103 10−55 t156 +2.3464 10−53 t152 + 8.6874 10−52 t148+3.1025 10−50 t144+1.0703 10−48 t140+3.571410−47 t136+ 1.1543 10−45 t132+3.6175 10−44 t128+1.1007 10−42 t124+3.2545 10−41 t120+ 9.3615 10−40 t116 + 2.622 10−38 t112 + 7.157 10−37 t108 + 1.9054 10−35 t104 + 4.9516 10−34 t100 + 1.257 10−32 t96 + 3.1192 10−31 t92 + 7.5724 10−30 t88 + 1.7997 10−28 t84 + 4.1904 10−27 t80 + 9.5655 10−26 t76 + 2.1422 10−24 t72 + 4.7092 10−23 t68 + 1.0168 10−21 t64 + 2.1577 10−20 t60 + 4.5018 10−19 t56 + 9.2403 10−18 t52 + 1.8669 10−16 t48 + 3.7151 10−15 t44 + 7.2882 10−14 t40 + 1.4105 10−12 t36 + 2.6954 10−11 t32 + 5.0926 10−10 t28 + 9.5663 10−9 t24 + 1.8485 10−7 t20 + 0.000003722 t16 + 0.000080167 t12 + 0.0019841 t8 + 0.083333 t4 Tốc độ hội tụ là: 0.0000397285927 Thay giá trị t = 0.1; t = 0.15; t = 0.2; t = 0.25; t = 0.33; t = 0.36; t = 0.46; t = 0.48; t = 0.5 ta có: y7 (0.1) = 0.000008333353174 y7 (0.15) = 0.00004218800852 y7 (0.2) = 0.000133338413 y7 (0.25) = 0.0003255511135 94 y7 (0.33) = 0.0009885466831 y7 (0.36) = 0.001400240124 y7 (0, 46) = 0.003735198245 y7 (0, 48) = 0.004429283149 y7 (0, 5) = 0.005216103458 Hình 3.4 Đồ thị nghiệm phương trình ứng với n = Ví dụ 3.3.5 Giải phương trình ytt − yt3 = yt2t2cost + 1; y (0) = 0; yt (0) = 0; ≤ t ≤ 0, Giải Trong lập trình ta nhập giá trị sau: f (x [0] [t] , t) := x [0] [t] + x [0] [t] t2.cos(t) + : f (x [0] [s] , s) := x [0] [s] + x [0] [s] s2.co(s) + : f (x [k] [t] , t) := x [0] [t] + x [0] [t] t2.cos(t) + : f (x [k] [s] , s) := x [0] [s] + x [0] [s] s2.cos(s) + : ηt := : ht := 0.0002 : t = 0.1 Nhập giá trị n ta kết sau: Với n = ta có: y1 (t) = 0.5 t2 Tốc độ hội tụ là: 0.000200040002 Với n = ta có: y2 (t) = 0.05 t5 − cos(t) t4 + sin(t) t3 + 0.5 t2 + 36 cos(t) t2 − 96 sin(t) t − 120 cos(t) Tốc độ hội tụ là: 4.00120012 10−8 Với n = ta có: y3 (t) = 0.0021463 t14 + 0.1875 cos(t)2 t12 + 3.6335 t12 − 0.85417 sin(t) t12 − 0.11111 sin(t)3 t12 − 21.25 cos(t) t11 + 6.6667 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t11 − 7.5 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t11 + 0.14943 t11 − 0.0625 cos(t) t10 − 16 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t10 − 0.25 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t10 + 0.33333 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t10 − 328.22 t10 + 469 sin(t) t10 − 42.562 cos(t)2 t10 +18.667 sin(t)3 t10+4.1944 sin(t) t9+6302.1 cos(t) t9− 2.6667 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t9 − 1.4375 t9 +0.74074 sin(t)3 t9 − cos(t)2 t9 − 411.85 (−0.333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t9 − 42.667 cos(t)3 t9 + 699 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t))t9 +10802 t8 − 18 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t8 + 3.375 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t8 + 1.2083 cos(t) t8 + 2259.8 cos(t)2 t8 − 7.1111 cos(t)3 t8 − 693.04 sin(t)3 t8 −76351 sin(t) t8 + 992 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t8 −7.388 105 cos(t) t7+16.222 sin(t) t7+140.44 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t7 − 23864 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t7 − 31.5 cos(t)2 t7 − 26.074 sin(t)3 t7 + 1550.2 cos(t)3 t7 + 9137.8 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t7 − 333.38 t7 + 2176.1 cos(t) t6 − 52106 cos(t)2 t6 + 317.04 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t6 + 698.25 (0.5 t+0.5 cos(t) sin(t)) t6+195.56 cos(t)3 t6+6.1662 106 sin(t) t6 −18795 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t6 + 10286 sin(t)3 t6 − 1.6151 105 t6 +7191.6 t5 +2052 cos(t)2 t5 −87702 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) −0.66667 cos(t)) t5 + 301.04sin(t)3 t5 + 4.2597 107 cos(t) t5 + 3.7514 105 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t5 − 1947.3 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t5 − 19729 sin(t) t5 − 18593 cos(t)3 t5 + 9.7726 105 t4 −64504 sin(t)3 t4 − 2145.6(−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.6667 cos(t)) t4 − 1.4781 105 cos(t) t4 − 2.4175 108 sin(t) t4 − 16435 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t4 − 1575.8 cos(t)3 t4 + 5.4717 105 cos(t)2 t4 + 1.348 105 (0.33333 cos(t)2 sin(t)+0.66667 sin(t)) t4 +8662.9 (0.33333 cos(t)2 sin(t) +0.6667 sin(t)) t3 + 7.5447 105 sin(t) t3 − 34753 t3 − 1.0804 109 cos(t) t3 + 3.3726 105 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t3 − 2.5017 106 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t3−1238.2 sin(t)3 t3 +80043 cos(t)3 t3 −23474 cos(t)2 t3 +93268 (0.5 t + 0.5 cos(t) sin(t)) t2 + 3.5834 109 sin(t) t2 − 2.111 106 cos(t)2 t2 + 1.4114 105 sin(t)3 t2 + 4760.5 (−0.33333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t2+2.7924 106 cos(t) t2+3674.2 cos(t)3 t2−1.2903 106 t2− 3.1434 105(0.3333 cos(t)2 sin(t)+0.66667 sin(t)) t2 −3.5355 105(−0.3333 sin(t)2 cos(t) − 0.66667 cos(t)) t − 8921.7 (0.33333 cos(t)2 sin(t) + 0.66667 sin(t)) t+4.6916 106 (0.5 t+0.5 cos(t) sin(t)) t−86346 cos(t)3 t +58489 cos(t)2 t+1290.3 sin(t)3 t+7.8492 109 cos(t) t−6.6002 106sin(t) t+6.8288 108 t−48738 sin(t)3+34279 cos(t)2sin(t)+507.57 sin(t)2cos(t) +1.2903 106 cos(t)2 − 8.5323 109 sin(t) − 35172 cos(t) sin(t) − 7.6281 106 cos(t) − 1166.1 cos(t)3 Tốc độ hội tụ là: 8.00320048 10−12 Thay giá trị t = 0.1; t = 0.2; t = 0.31; t = 0.44; t = 0.55; t = 0.68; t = 0.74; t = 0.83; t = 0.96; t = ta được: y3 (0.1) = −6.338946953 106 y3 (0.2) = −6.338947967 106 y3 (0.31) = −6.338946653 106 y3 (0.44) = −6.338946934 106 y3 (0.55) = −6.3389464 106 y3 (0.68) = −6.338944467 106 y3 (0.74) = −6.338946079 106 y3 (0.83) = −6.338947432 106 y3 (0.96) = −6.338945861 106 y3 (1) = −6.338946 106 Hình 3.5 Đồ thị nghiệm phương trình ứng với n = 3.4 Kết luận Trong chương này, ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich việc giải phương trình vi phân thường, cụ thể phương trình vi phân phi tuyến cấp một, cấp hai khuyết y Ưu điểm phương pháp Newton - Kantorovich tìm nghiệm gần phương trình vi phân dạng biểu thức giải tích, với tốc độ hội tụ cao Nhược điểm việc tính tích phân phức tạp, đòi hỏi biểu thức sau bước lặp phải tính tích phân Tuy nhiên, với việc ứng dụng cơng nghệ thơng tin hạn chế khắc phục việc thiết lập chương trình giải gần phương trình vi phân thường theo phương pháp Newton - Kantorovich phần mềm Maple 12 KẾT LUẬN Rất nhiều toán thực tế dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình tốn tử Ax = y Nhiều phương pháp đời, điển phương pháp: phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến (Newton), Đặc biệt Kantorovich quan tâm đến việc giải phương trình tốn tử A toán tử phi tuyến, khả vi Dựa vào tư tưởng phương pháp tiếp tuyến (Newton), Kantorovich xây dựng phương pháp Newton - Kantorovich Xuất phát từ xấp xỉ ban đầu tương đối tốt phương pháp Newton - Kantorovich tìm nghiệm gần gần nghiệm phương trình, với tốc độ hội tụ cao Luận văn sâu vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường, thiết lập thuật tốn phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường; đồng thời nghiên cứu giải phương trình vi phân thường máy tính điện tử Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm , Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [5] Phan Huy Điển (2002),Tính tốn, Lập trình giảng dạy tốn học maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [6] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [7] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội 68 [B] Ti liu ting Anh [8] Endre Suăli and David Mayers (2003), An introduction to numerical analysis, Cambridge University Press [9] Klaus Schmitt, Russell C Thompson (2004), Nonlinear Analysis and Differential Equations An Introduction, Department of MathUniversity ematics and Statistics Utah State ... vi phân thường cấp theo phương pháp Newton - Kantorovich 34 3.2 Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp hai 40 3.3 Giải gần phương trình vi phân thường lập trình. .. Newton – Kantorovich giải phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu... nghiệm phương trình (1) Trên cở sở lý thuyết phương pháp Newton Kantorovich, sâu vào nghiên cứu ứng dụng vi c giải phương trình vi phân thường Tính hữu dụng phương pháp Newton - Kantorovich khơng