Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH LỜI CẢM ƠN Khoá luận em hoàn thành với giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội – người dạy dỗ, bảo chúng em trình học tập để chúng em có thêm nhiều kĩ năng, kiến thức trưởng thành Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – người trực tiếp hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em thời gian em thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Thị Lam LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu người trước với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Em xin cam đoan kết nghiên cứu khoá luận kết nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu riêng thân em, trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Thị Lam LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH MỞ ĐẦU Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nói đến toán học ứng dụng không nói đến Giải tích số Giải tích số khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình; toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Vấn đề tìm nghiệm phương trình f(x) = 0, f(x) hàm số đại số siêu việt toán thường gặp kĩ thuật lý thuyết; vấn đề nghiên cứu quan trọng giải tích số Chính vậy; em lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp em là: “Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến.” LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUNG 1.1 Một số kiến thức không gian hàm: 1.1.1 Không gian mêtric: * Định nghĩa 1.1.1: Ta gọi không gian mêtric tập hợp X ≠ Ø với ánh xạ d từ tích Đềcác X x X vào tập hợp số thực thỏa mãn tiên đề sau đây: i)  x,yX : d(x,y) ≥ ; d(x,y) = x = y ii)  x,yX : d(x,y) = d(y,x) iii)  x,y,zX : d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) Ánh xạ d gọi mêtric X; số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Không gian mêtric kí hiệu :M = (X,d) * Định nghĩa 1.1.2: Không gian mêtric M = (X,d) gọi không gian đủ dãy không gian hội tụ * Định nghĩa 1.1.3: Cho hai không gian mêtric M1 = (X,d1); M2 = (X,d2) Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 gọi ánh xạ co tồn số ; ≤  cho :  AxY ≤ C. xX ; xX * Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương toán tử tuyến tính liên tục): Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 thuộc X 3) A bị chặn Chứng minh: 1)2) Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa; toán tử A liên tục điểm x X; toán tử A liên tục điểm x0 X 2)3) Giả sử toán tử A liên tục điểm x0X; toán tử A không bị chặn Khi (nN*) ( xnX) : Axn > nxn Ta có xn  0; đặt yn= xn yn = →0 (n→) nghĩa yn→0 n n || xn || n→  yn + x0→ x0 (n→) Theo giả thiết ta có ||A(yn+x0) - Ax0||→ (n→) Nhưng ||Ayn||= ||A( xn )|| = || Ax n || > 1.(Điều mâu thuẫn với n || xn || n || xn || chứng minh ) Vậy toán tử A liên tục điểm x0  X bị chặn 3)1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa  C > ||Ax|| ≤ C||x||; x  X LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN (*) KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Lấy điểm xX dãy điểm tùy ý (xn)  X hội tụ tới x Nhờ hệ thức (*) ta có : ||Axn - Ax||= ||A(xn - x)|| ≤ C ||xn - x|| → (n→) Do A liên tục điểm x Do x thuộc X  A liên tục X 1.1.3.Không gian Hilbert: * Định nghĩa 1.1.6: Cho không gian tuyến tính X trường K (K trường số thực trường số phức ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Đềcac XxX vào trường K ký hiệu < , > thỏa mãn tiên đề : 1) ( x, y  X) : = ; 2) ( x,y,z  X): = + ; 3) ( x,y  X);(  K) : =  ; 4) (x  X) :  ; =  x =  * Định nghĩa 1.1.7: Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y, z,… không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1) H không gian tuyến tính trường K; 2) H trang bị tích vô hướng < , > ; 3) H không gian Banach với chuẩn || x || =  x, x  ; x  X Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H * Định lý 1.1.3: (Định lý đẳng thức Paseval): Cho (en)n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H Năm mệnh đề sau tương đương: 1) Hệ (en)n1 sở trực chuẩn không gian H; LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH 2)  x  H : x=   x, e  en ; n n 1 3)  x , y  H : < x , y > =   x , e n   e n , y  (đẳng thức n 1 Paseval); 4)  x  H : || x ||2 = |2 (phương trình đóng); | x, e n n1 5) Bao tuyến tính hệ (en)n1 trù mật khắp nơi không gian H Chứng minh: 1)2) x  H ta có | x, e n |2  x (Bất đẳng thức Bessel) n 1  Chuỗi   x, e n  en hội tụ H với x thuộc H n 1 Kí hiệu tổng chuỗi z Khi  m  N  k  m ta có: = - k  lim k    x, e n  en , em   x, em  n 1  x, em    x, em  Nghĩa z – x trực giao với sở trực chuẩn (en)n1 Do z = x Vì x    x, e n  e n n 1 2)3) Áp dụng tính chất liên tục tích vô hướng ta LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH k k  x, y  lim   x, en  en , lim   y, e j  e j k  k  n 1 k k   x, e  lim n k  n 1 k j 1  en ,   y , e j  e j j 1 k  lim   x, en   y , e j   en , e j  x  n 1 j 1 k  lim   x, en   y , en     x, en   en , y  x  n 1 n 1 3)  4) Cho y = x ta x  x, x    x, en  n 1 4) 5) Ta có chuỗi   x, e n  en hội tụ không gian H n 1 phần tử x  H, vì: || < x, en >.en || = | < x, en > |  n  Khi k k k x    x, en  en , x    x, en  en  x  x,   x, en  en n 1  n 1   x, e n  en , x  n 1 n 1   x, e n n 1  en ,   x, en  en n 1  x   | x, en |2   | x, en |2   | x, en |2 n 1 n 1 n 1 = Vì x =   x, e n  e n Từ suy với x  H có: n 1 k x  lim   x, en  en k  n 1 LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH nghĩa x giới hạn dãy tổ hợp tuyến tính số hữu hạn phần tử thuộc hệ (en)n1 Vì bao tuyến tính hệ (en)n1 trù mật không gian H 4)  1) Giả sử x  H x  en (n =1, 2, 3,….)  x trực giao với bao tuyến tính hệ (en)n1 Mà bao tuyến tính hệ (en)n1 trù mật khắp nơi không gian H  x = ( phần tử không H)  Hệ trực chuẩn (en)n1 sở trực chuẩn không gian H ( Định lý chứng minh ) 1.2 Số gần sai số: 1.2.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối: * Định nghĩa 1.2.1.1: Ta gọi a số gần a* a không sai khác a* nhiều Kí hiệu a  a* Đại lượng : = |a – a*| gọi sai số thực a Do a* nên ta  Tuy nhiên ta tìm số a  0, gọi sai số tuyệt đối a, thoả mãn điều kiện: |a – a*|  a (1.2.1) hay a - a  a*  a + a Một số gần a số a* với sai số tuyệt đối a viết đơn giản là: a* = a  a Khi ta có sai số tương đối a số, kí hiệu a , xác định bởi:  a : a a (1.2.2) Chú ý: Độ xác phép đo thường phản ánh qua sai số tương đối LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 10 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH PHỤ LỤC : GIẢI NHỮNG VÍ DỤ BẰNG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH PASCAL Trên sở chương chương ta giải ví dụ chương trình Pascal sau 1) Giải ví dụ 3.2.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.2.1: Giải gần phương trình sau phương pháp chia đôi với sai số không vượt 10-1: x3 + 3x + = (3.2.1) Giải: Program Giaividu3.2.1; Var a,b,c,s:real; Function f(x:real):real; Begin f:=x*x*x + 3*x + 5; End; Begin Write (‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write (‘Nhap so a,b:’); readln(a,b); Repeat c:=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > then a:=c else b:=c; Until (b – a < s) Writeln (‘ Vay nghiem xap xi cua pt la:’,c:2:5); Readln; End LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 43 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Kết quả: Nhap sai so s=0.1 Nhap a,b: -2 -1 Vay nghiem xap xi cua pt la: -1,15625 2) Giải ví dụ 3.2.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.2.1: Giải gần phương trình sau phương pháp chia đôi với sai số không vượt 10-2: x3 – x – = (3.2.2) Giải: Program Giaividu3.2.2; Var a,b,c,s:real; Function f(x:real):real; Begin f:=x*x*x – x – 1; End; Begin Write (‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write (‘Nhap so a,b:’); readln(a,b); Repeat c:=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > then a:=c else b:=c; Until (b – a < s) Writeln (‘ Vay nghiem xap xi cua pt la:’,c:2:5); Readln; End Kết quả: Nhap sai so s=0.01 Nhap a,b: LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 44 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Vay nghiem xap xi cua pt la: -1.15625 3) Giải ví dụ 3.3.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.3.1: Giải phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn xác đến 10-4: x7 + 9x + = (3.3.1) Giải: Program Giaividu3.3.1; Var x0,x1,s,e,q: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:= -1/9 (sqr(sqr(x))* sqr(x) * x + 8); End; Begin Write(‘nhap q =’); readln(q); Write(‘nhap sai so s =’); readln(s); Write(‘chon xap xi ban dau x0 =’); readln(x0); Writeln(‘cac xap xi tiep theo la:’); i:=1; e:=0; Repeat Begin x1:=f(x0); Writeln(‘x[‘,i,’x[=’,x1:2:9); e:=abs(x1 – x0); i:=i+1; End; LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 45 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Until (e < s*q/(1 – q)); Writeln( ‘Vay nghiem xap xi cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap q = 0.777 Nhap sai so s = 0.001 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = -0.8888888889 x[2] = -0.840170846 x[3] = -0.8560543636 x[4] = -0.851454831 x[5] = -0.8528402569 x[6] = -0.8524276571 x[7] = -0.8525509563 x[8] = -0.8525141477 Vay nghiem xap xi cua pt la: -0.8525141477 4) Giải ví dụ 3.3.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.3.2: Giải phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn xác đến 10-3: x – sin x = 0,25 (3.3.2) Giải: Program Giaividu3.3.2; Var x0,x1,s,e,q: real; i: byte; LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 46 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:=sin (x) + 0.25; End; Begin Write(‘nhap q =’); readln(q); Write(‘nhap sai so s =’); readln(s); Write(‘chon xap xi ban dau x0 =’); readln(x0); Writeln(‘cac xap xi tiep theo la:’); i:=1; e:=0; Repeat Begin x1:=f(x0); Writeln(‘x[‘,i,’x[=’,x1:2:9); e:=abs(x1 – x0); i:=i+1; End; Until (e < s*q/(1 – q)); Writeln( ‘Vay nghiem xap xi cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap q = 0.5403 Nhap sai so s = 0.001 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 1.091470985 LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 47 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH x[2] = 1.137306264 x[3] = 1.157505311 x[4] = 1.165804029 x[5] = 1.169105432 x[6] = 1.170907057 x[7] = 1.170907057 Vay nghiem xap xi cua pt la: 1.170907057 5) Giải ví dụ 3.4.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.4.1: Giải phương trình sau phương pháp Newton với sai số tuyệt đối không vượt 10-5: 3x – cos x – = (3.4.1) Giải: Program Giaividu3.4.1; Uses crt; Var x0,x1,s,e: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:= 3*x – cos (x) – 1; end; Function dhf(x:real): real; Begin dhf:= + sin (x); End; Begin Write(‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 48 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Write(‘ Chon xap xi ban dau x0 = ‘); readln (x0); Writeln( ‘ Cac xap xi tiep theo la: ‘); i:=1; e:= 0; Repeat Begin x1:= x0 – f(x0)/dhf(x0); writeln(‘ x[ ‘,i, ‘]= ‘, x1:2:9); e:= abs(x1 – x0); x0:= x1; i:= i + 1; End; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem xap xi cua pt la :’, x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap sai so s = 10-5 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.6200159522 x[2] = 0.6071206581 x[3] = 0.6071016481 Vay nghiem xap xi cua pt la : 0.6071016481 6) Giải ví dụ 3.4.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.4.2: Giải phương trình sau phương pháp Newton với sai số tuyệt đối không vượt 10-3: LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 49 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH 2x3 + 3x2 – = (3.4.2) Giải: Program Giaividu3.4.2; Uses crt; Var x0,x1,s,e: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:= 2*x*x*x + 3*sqr(x) – ; end; Function dhf(x:real): real; Begin dhf:= 6*sqr(x) + 6*x; End; Begin Write(‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write(‘ Chon xap xi ban dau x0 = ‘); readln (x0); Writeln( ‘ Cac xap xi tiep theo la: ‘); i:=1; e:= 0; Repeat Begin x1:= x0 – f(x0)/dhf(x0); writeln(‘ x[ ‘,i, ‘]= ‘, x1:2:9); e:= abs(x1 – x0); x0:= x1; i:= i + 1; End; Until (e < s); LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 50 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Writeln (‘Vay nghiem xap xi cua pt la :’, x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap sai so s = 10-5 Chon xap xi ban dau x0 = 0.5 Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.94444444444 x[2] = 0.8209461562 x[3] = 0.8066290937 x[4] = 0.8064439631 Vay nghiem xap xi cua pt la : 0.8064439631 7) Giải ví dụ 3.5.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.5.1: Giải gần phương trình sau nhờ phương pháp dây cung: x4 – 6x + = (3.5.1) Giải: Program Giaividu3.5.1; Var x0, x1, s, e, a, b, m: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x: real): real; Begin f:= x*x*x*x – 6*x + 4; End; LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 51 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Begin Write (‘ Nhap a,b : ’); readln(a, b); Write (‘ Nhap m = ’); readln(m); Write (‘ Nhap sai so s = ’); readln(s); Write (‘ Chon x0 = ’); readln(x0); Writeln (‘Cac xap xi tiep theo la’) i:=1; e:= 0; Repeat If f(a) > then x1:= x0 – f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 – f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)); Writeln(‘ x[ ‘,i,’ ]= ’,x1: 2: 9); e:= abs (x1 – x0); x0:= x1; i:= i+1; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap a,b: Nhap m = Nhap sai so s = 0.001 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.8 x[2] = 0.7288629738 x[3] = 0.7126570468 LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 52 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH x[4] = 0.7094644357 x[5] = 0.7088555864 Vay nghiem cua pt la: 0.7088555864 8) Giải ví dụ 3.5.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.5.2: Tìm nghiệm dương phương trình sau nhờ phương pháp dây cung với độ xác đến   0, 03 : ( x  1)  e x  (3.5.2) Giải: Program Giaividu3.5.2; Var x0, x1, s, e, a, b: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x: real): real; Begin f:= 2*(x – 1) – 1/2 * exp(x); End; Begin Write (‘ Nhap a,b : ’); readln(a, b); Write (‘ Nhap sai so s = ’); readln(s); Write (‘ Chon x0 = ’); readln(x0); Writeln (‘Cac xap xi tiep theo la’) i:=1; e:= 0; Repeat If f(a) > then x1:= x0 – f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 – f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)); LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 53 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Writeln(‘ x[ ‘,i,’ ]= ’,x1: 2: 9); e:= abs (x1 – x0); x0:= x1; i:= i+1; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap a,b: Nhap sai so s = 0.03 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.2689414214 x[2] = 0.07559782528 x[3] = 1.782031246 x[4] = 0.9568940865 x[5] = 0.2346810378 Vay nghiem cua pt la: 0.2346810378 LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 54 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH KẾT LUẬN Khoá luận có mục đích giới thiệu số phương pháp giải phương trình phi tuyến việc vận dụng phương pháp vào giải ví dụ cụ thể Trong luận văn, em trình bày nội dung phương pháp giải, thực hành giải ví dụ cụ thể lập trình Pascal tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến Do thời gian trình độ có hạn, khoá luận em không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý quý thầy cô bạn sinh viên LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 55 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001) Giải tích số NXB Giáo dục Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn (2003) Giải tích số NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội Phạm Kì Anh (1996) Giải tích số NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002) Phương pháp tính thuật toán NXB Giáo dục Hoàng Xuân Huấn (2004) Giáo trình phương pháp số NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2005) Giải tích hàm NXB Khoa học Kĩ thuật LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 56 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: Các kiến thức chung 1.1 Một số kiến thức không gian hàm 1.2 Số gần sai số………………………………………………10 1.3 Khoảng tách nghiệm phương trình 15 1.4 Tỷ sai phân 17 Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 19 2.1 Phương pháp tách nghiệm 19 2.2 Phương pháp chia đôi 20 2.3 Phương pháp lặp đơn 22 2.4 Phương pháp Newton 23 2.5 Phương pháp dây cung 24 2.6 Phương pháp parabol 26 Chương 3: Những ví dụ cụ thể tập 29 3.1 Ví dụ tập phương pháp tách nghiệm 29 3.2 Ví dụ tập phương pháp chia đôi 31 3.3 Ví dụ tập phương pháp lặp đơn 34 3.4 Ví dụ tập phương pháp Newton 36 3.5 Ví dụ tập phương pháp dây cung 40 3.6 Ví dụ tập phương pháp parabol 42 PHỤ LỤC 45 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 57 [...]... KHUẤT VĂN NINH CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình một biến số: f(x) = 0 (1) trong đó f(x) là hàm số đại số hay siêu việt Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình đại số bậc 1, 2, 3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói chung là không có một công thức tính đúng... Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết theo một phương pháp giải gần đúng Bước này được gọi là bước kiện toàn nghiệm Sau đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu các phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến (1) 2.1 .Phương pháp tách nghiệm Nội dung phương pháp: Phương pháp tách nghiệm là phương pháp chỉ ra đoạn [a,b] mà [a,b] chỉ chứa một nghiệm của phương trình f(x) = 0 (2.1.1) LÊ THỊ LAM – K34C... sai số sau: a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý tưởng hoá bài toán thực tế.Sai số này không loại trừ được b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số d) Sai số tính toán: Các số. .. hệ số của f(x) trong nhiều trường hợp là số gần đúng Cho nên vấn đề giải đúng phương trình trên cũng không thật sự cần thiết Vì vậy việc tìm ra những phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến cũng như việc đánh giá độ chính xác của nghiệm gần đúng có một vai trò quan trọng Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) gồm hai bước sau: Bước 1: Tìm khoảng (a, b) đủ nhỏ sao cho phương trình. .. chính xác ; bởi công thức (2.3.5)  Chú ý: Trong thực tế người ta thường dừng quá trình tính khi |xn – xn-1| <  với  là sai số cho phép c) Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính 2.4 Phương pháp Newton a) Nội dung phương pháp: Xét phương trình f(x) = 0 (2.4.1) Phương pháp Newton áp dụng để giải phương trình (2.4.1), trong đó f là hàm khả vi liên tục, được mô tả như sau: LÊ THỊ LAM... 2.2 Phương pháp chia đôi a)Nội dung phương pháp: Xét phương trình: f(x) = 0 (2.2.1) Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.2.1) Phương pháp chia đôi là phương pháp thu nhỏ dần khoảng tách nghiệm của phương trình đã cho * Trước hết ta chia đôi [a,b] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia c ab 2 + Nếu f(c) = 0 thì x* = c chính là nghiệm đúng của (2.2.1) + Nếu f(c)  0 Gọi [a1,b1] là một. .. số không vượt quá δ thì phải tiến hành đến bước lặp  ln(b  a)  ln   lần thứ N với N = integer   1 2   LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 20 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH 2.3 Phương pháp lặp đơn a)Nội dung phương pháp: Xét phương trình: f(x) = 0 (2.3.1) Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1) Để giải phương trình (2.3.1) ta đưa nó về dạng: x = φ(x) (2.3.2) Chọn một. .. dụng một thuật toán nào đó để tìm nghiệm của phương trình (2.1.1) với một độ chính xác theo yêu cầu Khi tách nghiệm của phương trình (2.1.1) cố gắng để đoạn [a,b] có độ dài càng nhỏ càng tốt Có thể tách nghiệm bằng đồ thị: Tìm nghiệm của phương trình (2.1.1) nghĩa là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành Nếu vẽ đồ thị hàm số y = f(x) gặp khó khăn thì có thể biểu diễn phương trình. .. f(xn) Khi đó phương trình (2.6.3) có dạng: an.zn2 + bn.zn +cn = 0 Nghiệm của (2.6.4) có dạng : z (1,2) n  (2.6.4) bn  bn2  4an cn 2an Nghiệm có môđun nhỏ nhất trong hai nghiệm zn(1); zn(2) ta kí hiệu xn 1  xn  zn zn và (2.6.5) Để tránh việc giải phương trình bậc hai; ta có thể thay đạo hàm bởi tỷ sai phân, có thể cải biên phương pháp parabol, thay phương trình (2.6.3) bởi phương trình tuyến tính... NGHIỆP 32 GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH 3.3 Ví dụ và bài tập về phương pháp lặp đơn a) Ví dụ: Ví dụ 3.3.1: Tìm một nghiệm của phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn: x7 + 9x + 8 = 0 (3.3.1) Giải: Đặt f(x) = x7 + 9x + 8 Ta có f(-1) = -2; f(0) = 8  f(0).f(-1) < 0  [-1;0] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.3.1) Ta có các cách đưa phương trình (3.3.1) về dạng x = φ(x) như sau : i) x  7 9 x  8 ... NINH CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Trong chương này, nghiên cứu số phương pháp giải phương trình biến số: f(x) = (1) f(x) hàm số đại số hay siêu việt Phương trình trên,... hiểu phương pháp giải gần phương trình phi tuyến (1) 2.1 .Phương pháp tách nghiệm Nội dung phương pháp: Phương pháp tách nghiệm phương pháp đoạn [a,b] mà [a,b] chứa nghiệm phương trình f(x) = (2.1.1)... thực tế.Sai số không loại trừ b) Sai số phương pháp: Các toán thường gặp phức tạp giải mà phải sử dụng phương pháp gần Sai số nghiên cứu cho phương pháp cụ thể c) Sai số số liệu: Các số liệu thường