a)Ví dụ :
Ví dụ 3.1.1: Tìm các khoảng tách nghiệm của phương trình:
x3 + 3x2 – 3 = 0 (3.1.1) Giải: Xét f(x) = x3 + 3x2 – 3 trên R. f’(x) =3x2 +6x = 0 x = -2 hoặc x = 0. Ta có bảng biến thiên x - -2 0 + f’(x) + 0 - 0 + f(x) Ta có f(-3) = -3; f(-2) = 1 f(-3).f(-2) < 0. Mà f đơn điệu trên [-3;-2]
[-3;-2] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.1.1) Ta có f(-1) =-1 f(-1).f(-2) < 0 ; mà f đơn điệu trên [-2;-1]
[-2;-1] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.1.1) +
1
-3
Ta có f(0) = -3 ; f(1) = 1
f(0) .f(1) = -3 < 0 ;mà f đơn điệu trên [0;1]
[0;1] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.1.1) Vậy phương trình (3.1.1) có các khoảng tách nghiệm là: [-3 ; -2] ; [-2 ; -1] ; [0 ; 1] .
Ví dụ 3.1.2 : Tìm các khoảng tách nghiệm của phương trình:
x – cos x - 1 = 0 (3.1.2)
Giải:
(3.1.2) x – 1 = cos x.
Nghiệm của (3.1.2) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị f(x) = x – 1 và g(x) = cos x. x 1 2 -1 0 /2 /2 y g(x) = cos x f(x) = x - 1
Trong hệ toạ độ Oxy vẽ hai đồ thị y = f(x) và y = g(x). Quan sát đồ thị ta có hai đồ thị cắt nhau tại một điểm duy nhất và hoành độ giao điểm của chúng
nằm trong đoạn [1;
2
].
Vậy ta có khoảng tách nghiệmcủa phương trình đã cho là [1;
2
].
b) Bài tập
Bài tập 3.1.1: Tìm khoảng tách nghiệm của các phương trình sau: a) x4 - 5x - 1 = 0.
b) x – sin x = 0.
c) Log10x – 10x + 9 = 0.
Bài tập 3.1.2: Chứng minh rằng: Nếu với x = a > 0 ta có bất đẳng thức f(a) > 0; f’(a) > 0;….; f(p)(a) thì phương trình:
f(x) = a0xp + a1.xp-1 +……+ap = 0. không có nghiệm lớn hơn a.
Bài tập 3.1.3: Chứng minh rằng: Phương trình sau có nghiệm dương duy nhất x* <2:
xp – xp-1 - … - x – 1 = 0 (p 2).
Bài tập 3.1.4: Hãy tìm khoảng tách nghiệm của các phương trình sau: x5 – 4x4 + (6 + a) x3 – 3x2 + 2x + b = 0 với a, b = 0; 1; 5.