Hệ tiên đề Hilbert và lớp các bài toán liên quan

Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng thuộc mộtmặt phẳng α thì mọi điểm nảo khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ thuộc mặtphẳng α Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điể

TIỂU LUẬN

HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT

Môn: Hình học sơ cấp

Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ĐÔNG

Sinh viên: PHẠM HOÀNG ĐĂNG

NGÔ THỊ HƯƠNG QUỲNHLớp: SƯ PHẠM TOÁN K2015

ĐĂKLĂK, 01 - 2018

Mục lục

1 Nhóm I - Các tiên đề về liên thuộc 3

2 Nhóm II - Các tiên đề về thứ tự 5

3 Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau 9

4 Nhóm IV - Tiên đề liên tục 15

5 Nhóm V - Tiên đề về song song 15

I Sơ lược về hệ tiên đề Hilbert

Nhà toán học Hilbert (người Đức) là người thành công nhất trong lịch sử cải thiện

hệ tiên đề hình học của Euclide Trong tác phẩm "Cơ sở hình học" xuất bản năm

1989, Hilbert đã đưa ra một hệ tiên đề hoàn thiện và sáng sửa đối với hình học Euclide.Các khái niệm cơ bản trong hệ này gồm:

- "Điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" (gọi chung là các "đối tượng cơ bản");

- "Thuộc", "ở giữa", "bằng" (gọi chung là các "tương quan cơ bản")

Các tiên đề của hệ này được chia làm năm nhóm:

+ Nhóm I chứa 8 tiên đề về "liên thuộc",

+ Nhóm II chứa 4 tiên đề về "thứ tự"

+ Nhóm III chứa 5 tiên đề về "bằng nhau",

+ Nhóm IV chứa 2 tiên đề về "liên tục",

+ Nhóm V chứa 1 tiên đề về "song song",

Trong bài này, chúng em xin trình bày về Hệ tiên đề Hilbert và một số kết quảthu được từ hệ tiên đề này thông qua việc trình bày các định lí, bên cạnh đó ở phầncuối là một số bài tập hình học thường gặp ở THPT mà khi giải ta đã sử dụng cáctiên đề cũng như kết quả được suy ra từ đó

II Nội dung của hệ tiên đề Hilbert

1 Nhóm I - Các tiên đề về liên thuộc

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan "thuộc", có khi gọi là đi qua

Các tiên đề

I1 Cho hai điểm A, B bất kỳ bao giờ cũng có một đường thẳng thuộc chúng

I2. Cho hai điểm A, B phân biệt bao giờ cũng có không quá một đường thẳng thuộchai điểm đó

I3. Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm Có ít nhất ba điểm không cùng thuộcmột đường thẳng

I4. Cho ba điểm A, B, C bất kỳ bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm

I5 Cho ba điểm A, B, C bất kỳ bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm

I6. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng thuộc mộtmặt phẳng α thì mọi điểm nảo khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ thuộc mặtphẳng α Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm

I7. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một điểm chung thứ hainữa

I8. Có ít nhất bốn điểm không cùng một mặt phẳng

Một số kết quả thu được từ nhóm I:

Định nghĩa 1 Nếu mọi điểm của đường thẳnga đều thuộc đường thẳng αthì ta nóirằng đường thẳnga thuộc mặt phẳng α hoặc mặt phẳng αthuộc đưởng thẳng a.Định lí 1 (Tương quan giữa hai đường thẳng) Hai đường thẳng phân biệt có khôngquá một điểm chung

Chứng minh: Nếu hai đường thẳng phân biệt có có hai điểm chung thì theo tiên đề 2chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa

Định lí 2 (Tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng) Một mặt phẳng và mộtđường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung.

Chứng minh: Nếu đường thẳng và mặt phẳng có hai điểm chung thì theo tiên đề 6,đường thẳng đó sẽ thuộc mặt phẳng Điều này trái với giả thiết và do đó chúng có

Định lí 3 (Tương quan giữa mặt phẳng với mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng có mộtđiểm chung thì sẽ có một đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳngđó

Chứng minh: Giả sử hai nặt phẳng (α) và (β) có một

điểm chung là A.

Theo I7 có 1 điểm chung thứ 2 là B nữa

Theo I2 có 1 đường thẳnga duy nhất đi qua 2 điểmA, B

Ta sẽ chứng tỏ đường thẳng achứa tất cả các điểm chung

của (α), (β)

Thật vậy giả sử có điểm chung C của (α) và (β) không

thuộc đường thẳng a Theo I5 thì không có qua một mặt

phẳng đi qua cả A, B, C nên (α) ≡ (β) suy ra trái giả

thiết Điều giả sử sai vậy C phải thuộc đường thẳng a.

Định nghĩa 2

1) Hai đường thẳng được gọi là cắt nhau nếu hai đường thẳng chỉ có một điểmchung, và điểm chung đó được gọi là giao điểm của hai đoạn thẳng đã cho.2) Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu nếu đường thẳng và mặt phẳngchỉ có một điểm chung Điểm chcung đó gọi là giao điểm của đường thẳng vàmặt phẳng

3) hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu hai mặt phẳng đó chỉ có một đường thẳngchung và đường thẳng đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước.Định lí 4 Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó hoặc quahai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng

Chứng minh: Cho đường thẳng a và A, B thuộc a Điểm

C không thuộca.Theo I5chỉ có duy nhất một mặt phẳng

cùng thuộc ba điểm A, B, C hay qua đường thẳng a và C

bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng 

Định lí 5 Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm không thằng hàng.

Chứng minh: Theo I4 mặt phẳng (α) có một điểm A

Theo I8 có điểm B không thuộc (α)

Theo I3 có điểm C không thuộc đường thẳngAB

Theo I4 có mặt phẳng (ABC), theo I7 (ABC) và (α) có

điểm chung thứ hai là D

Theo I8 có điểm F không thuộc (ABC)

Theo I4 có mặt phẳng (BDF ), theo I7 (BDF ) và (α) có

điểm chung thứ hai là E

Vậy mặt phẳng(α)có ít nhất 3 điểmA, D, Ekhông thẳng

Định nghĩa 3 Một cặp điểm A và B gọi là một đoạn thẳng Ký hiệu AB hoặc

BA Các điểm ở giữaA và B gọi là điểm trong củaAB hay thuộc đoạnAB Haiđiểm A, B gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng đó Tất cả các điểm còn lại củađường thẳng AB mà không thuộc đoạn thẳng AB và hai đầu mút được gọi làđiểm ngoài của đoạn AB

II4. Tiên đề Pát

Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường thẳng

a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất kì điểm nào trong ba điểm

A, B, C cả Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn cómột điểm chung với đoạn AC hoặc đoạn BC

Chú ý:

a) Tiên đề II1 cho biết tương quan "ở giữa" chỉ đặt ra đối với ba điểm khác nhauthẳng hàng và tương quan này không phụ thuộc vào thứ tự của hai đầu mút.b) Tiên đề II2 cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài đoạnAC, nghĩa là mỗiđoạn thẳng có ít ra một điểm nằm ngoài.

Do tiên đề này ta biết thêm mỗi đường thẳng có ít ra là ba điểm

c) Tiên đề II3 cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì có nhiều nhất một điểmnằm giữa hai điểm còn lại

Các định lí:

Định lí 6 Bất kì một đoạn thẳng AB nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm ở giữahai điểm A và B đó

Chứng minh: Theo I3 có một điểm D / ∈ A, B

Theo II2 trên đường thẳngAD có một điểm E sao cho D

ở giữa AvE

Cũng theo II2 trên đườnngEB có một điểm F sao cho B

nằm giữa E và F

Theo tiên đề II4 (Tiên đề Pát) đối với ba điểm A, B, E

không thẳng hàng, đường thẳng F D có điểm chung với

đoạn AF tại D nên nó phải có điểm chung với đoạn AB

hoặcEB Nếu F Dcó điểm chung vớiEB thì đường thẳng

EF và F D phải trùng nhau theo I2 và vô lí vì D và E là

hai điểm khác nhau

Vậy đường thẳngF D phải có một điểm chung C với đoạn

AB Ta nói F D cắt AB tại C và như vậy C ở giữa A và

Định lí 7 Trong bất cứ ba điểm A, B, C nào trên một đường thẳng bao giờ cũng cómột điểm nằm ở giữa hai điểm kia

Chứng minh: Giả sử A không ở giữa B và C; C không ở

giữa A và B Ta chứng minh rằng B ở giữa A và C

Theo I3 có một điểm D không thuộc đường thẳng AC

Theo II2 có một điểm E sao cho D ở giữa B, E

Hệ quả:Với các tiên đề II2, II3 kết hợp với định lí 6 và 7 ta có:

a) Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta cũng có nhữngđiểm ở trong và ở ngoài đoạn AC

b) Với ba điểm trên một đường thẳng bao cũng có một và chỉ một điểm nằm giữahai điểm kia

Định lí 8 Nếu điểm B ở giữa A và C, điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C

đều ở giữa A và D

Chứng minh: Giả sửCnằm giữa hai điểmA, D(A, D

phân biệt)

Theo I3 có điểm E không thuộc đường thẳng AD

Theo II2 có điểm F sao cho E nằm giữa C, F

Chứng minh: Theo tiên đề I3, có một điểm G không

thuộc đường thẳng AB

Theo tiên đề II2, trên đường thẳngBG có một điểm

F sao cho G ở giữa B và F

Áp dụng tiên đề II4 đối với ba điểmA, D, Gvà đường

thẳng CF suy ra H ở giữa D và G

Áp dụng tiên đề II4đối với ba điểmB, D, Gvà đường

thẳng CF suy ra C ở giữa B và D

Theo giả thiết ta có B ở giữa A và C; theo chứng

minh trên ta có C ở giữa B và D Do đó, áp dụng

định lí 8 ta có B ở giữa A và D 

Định lí 10 Nếu B là một điểm của đoạn thẳng AC thì đoạn AB và đoạn BC đềuthuộc đoạn AC, nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB hoặc đoạn BC đều thuộc đoạn AC.Định lí 11 Nếu B là một điểm của đoạn thẳng AC thì mỗi điểm của đoạn thẳng AC

khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC

Định lí 12 Nếu mỗi điểm B và C đều ở giữa A và D thì mọi điểm của đoạn BC đềuthuộc đoạn AD.

Định lí 13 Mỗi đường thẳng có vô số điểm

Chứng minh: Theo tiên đề I3, trên mỗi đường thẳng có ít ra là hai điiẻm A, B Theođịnh lí 6, giữa A và B có ít ra là một điểm C Cũng theo định lí 6 , giữa A và C có ít

ra là một điểm D Theo định lí 9 ta suy ra rằng điểm D ở giữa A và C, và đồng thời

D 6= C Cứ tiếp tục như vậy thì giữa A và B ta có vô số điểm C, D, E

Mặt khác, theo tiên đề II2, trên đường thẳng AB có ít nhất một điểm C0 sao cho B ởgiữa A và C0 Cũng theo tiên đề này ta có thêm điểm D0 sao cho C0 ở giữa A và D0.Điểm D0 nằm ngoài đoạn thẳng AC0 nên khác với C0 và tất nhiên cũng khác với B cứtiếp tục như vậy thì trên đường thẳng AB ta cũng có vô số điểm nằm ngoài đoạn AB

và C0, D0, E0 . các điểm này khác nhau và khác với các điểm nằm trong đoạn AB.Định nghĩa 4 Cho ba điểmO, A, B cùng thuộc một đường thẳng Nếu điểmO không

ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở cùng phía đối với O Nếu điểm O ở giưa A và

B thì ta nói rằng A và B ở khác phía đối với O

Định lí 14 Một điểm O của đường thẳng A chia tất cả các điểm còn lại của đườngthẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớpthì ở cùng phía đối với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O

Định nghĩa 5 Một điểm O trên đường thẳng a chia tập hợp các điểm trên đườngthẳng này ra làm hai lớp (theo định lí 14) Mỗi lớp là một nửa đường thẳng hay mộttia đọc O làm gốc Hai nửa đường thẳng hay hai tia gọi là bù nhau nếu chúng cóchung gốc và tạo nên một đường thẳng.

Định nghĩa 6 Trên một tia gốc O, điểm A gọi là đi trước điểmB nếu A thuộc đoạn

Định lí 15 Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng α chia tất cả các điểm không thuộc a

của α ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếuđoạn AB chứa một điểm của đường thẳng a, còn hai điểm A, A0 bất kì thuộc cùng mộtlớp nếu đoạn AA0 không chứa điểm nào của a cả

Định nghĩa 8 Mỗi lớp của mặt phẳng α trong định lí 15 là một nửa mặt phẳng cóđường biên là đường thẳng a Hai điểmM 1 và M 2 thuộc cùng một nửa mặt phẳng gọi

là cùng phía đối với đường thẳng a Hai điểm M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khácnhau gọi là khác phía đối với a

Định nghĩa 9 Một cặp tiah, k có cùng gốcO gọi là một góc và được kí hiệu là [(h, k).Điểm O gọi là đỉnh và góc tia h, k gọi là cạnh của góc Nếu A, B là hai điểm lần lượtlấy trên tia h, k thì ta có thể dùng kí hiệu góc [AOB thay cho góc [(h, k)

Định lí 16 Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnhh, k của một góc thì mọi tia xuấtphát từ gốc O và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB Ngược lại, mọi tia nốiđỉnh của góc với một điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc miền trong của góc

3 Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan "bằng" của một đoạn thẳng vớimột đoạn thằng khác và của một góc với một góc khác

Các tiên đề

III1. Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A0 bao giờcũng có một điểm B0 sao cho đoạn thẳng A0B0 bằng đoạn thẳng AB và được kýhiệu là A0B0 = AB.

Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có AB = BA

(h, k) = (h\0, k0) Đối với mọi góc [(h, k) ta đều có [(h, k) = (h, k)[ và [(h, k) = (k, h)[.III5. Cho tam giác ABC và tam giác A0B0C0 Nếu AB = A0B0, AC = A0C0 và [BAC =

Định lí 18 Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên nửa đường thẳng gốcA0 có duy nhấtmột điểm B0 sao cho A0B0= AB.

Chứng minh: Ta dùng phản chứng Giả sử trên nửa đường thẳng gốc A0 đã chotrong định lí ta có hai điểm B10 và B20 sao cho A0B01 = AB và A0B20 = AB Trên mộtnửa đường thẳng khác cũng với gốc A0 (nhưng nửa đường thẳng này không trùng vàkhông bù với nửa đường thẳng đã cho lúc đầu) ta lấy một điểm C

- Xét hai tam giác A0CB10 và A0CB20 có:

\

CA0B10 =CA\0 B20 (vì mỗi góc luôn bằng chính nó, theo tiên đề III4)

A0C = A0C (theo phần 2 của định lí 17)

A0B10 = A0B02 (do cách lấy B10, B20 và do tiên đề III2)

Do đó theo tiên đề III5 ta có \A 0 CB10 = A\0 CB20 suy raB10 trùng với B20 (theo tiên đềIII4)

Định nghĩa 10 Tam giác ABC được gọi là bằng tam giác A0B0C0 nếu AB = A0B0,

AC = A0C0, BC = B0C0 và A =b Ab0, B =b Bb0, C =b Cb0 Ta kí hiệu ∆ABC = ∆A0B0C0.Định lí 19 Nếu hai tam giác ABC và A0B0C0 có AB = A0B0, AC = A0C0 và A =b Ab0thì tam giác ABC bằng tam giác A0B0C0 (Ta thường kí hiệu trường hợp này là c.g.c)Chứng minh: Từ giả thiết và theo tiên đề III5 thì ta có [ABC = A\0B0C0, [ACB =

\

A0C0B0 Ta còn phải chứng minh BC = B0C0

Giả sử, ngược lạiBC không bằngB0C0 Theo tiên đề III1 trên tia B0C0 có duy nhấtmột điểm D0 sao cho B0D0= BC

Khi đó hai tia A0C0 và A0D0 phải khác nhau Áp dụng tiên đề III5 đối với haitam giác ABC và A0B0D0 Có [ABC = A\0 B 0 D 0, AB = A0B0, BC = B0D0 nên ta có[

BAC = B\0 A 0 D 0 Theo giả thiết ta còn có [BAC = B\0 A 0 C 0.Điều này mâu thuẫn với tínhduy nhất được nói trong tiên đề III4 Do đó BC = B0C0 Định lí 20 Nếu hai tam giác ABC và A0B0C0 có AB = A0B0, A =b Ab0, B =b Bb0 thì tamgiác ABC bằng tam giác A0B0C0 (Ta thường kí hiệu trường hợp này là g.c.g)

Chứng minh:

Định lí 21 Nếu tam giác ABC có AC = CB thì [CAB = CBA[ và [CBA = CAB[.Chứng minh:

Định nghĩa 11 Tam giác ABC có AC = CB được gọi là tam giác cân tại C

Hai góc đỉnh A và B của nó (Hai góc này bằng nhau theo định lí 21) được gọi là haigóc ở đáy của tam giác cân này

Định lí 22 Giả sử h, k, l là ba tia chung gôc và cùng thuộc một mặt phẳng, và giả sử

h0, k0, l0 cũng là ba tia chung gốc và cùng thuộc một mặt phẳng Nếu sự sắp xếp của

ba tia h, k, l giống sự sắp xếp của ba tia h0, l0, k0 (chẳng hạn khi l thuộc miền trong củagóc [(h, k) thì l0 thuộc miền trong của góc \(h0, k0)) và d(h, l) = (h\0, l0), d(l, k) = \(l0, k0) thì[

(h, k) =(h\0 , k0)

Định lí 23 Nếu hai tam giác ABC và A0B0C0 có AB = A0B0, AC = A0C0, BC = B0C0

thì tam giác ABC bằng tam giác A0B0C0 (Trường hợp này ta thường kí hiệu là c.c.c)Định lí 24 Nếu ta có [(h, k) = (h\0 , k 0 ), [(h, k) = (h\00 , k 00 ) thì \(h 0 , k 0 ) = (h\00 , k 00 )

Định nghĩa 12

a) Hai góc có chung đỉnh và một cạnh, còn các cạnh thứ hai là hai tia bù nhau gọi

là hai góc bù nhau

b) Hai góc có chung đỉnh còn các cạnh của chúng là các tia bù nhau gọi là hai gócđối đỉnh

c) Một góc bằng một góc bù của nó được gọi là góc vuông

Định lí 25 Nếu hai góc mà bằng nhau thì các góc bù của chúng cũng bằng nhau

Chứng minh: Giả sử [(h, k) = (h\0, k0), O và O0 là các đỉnh của 2 góc đó Gọih 1 là tia bùcủa tia h và h01 là tia bù của tia h0 Trên các tia h, k, h1 lần lượt lấy các điểm A, B, C.Theo tiên đề III3 thì trên các tia h0, k0, h01 có các điểm lần lượt là A0, B0, C0 sao cho

O0A0= OA, O0B0 = OB và O0C0 = OC (hình dưới)

Xét hai tam giácOAB và tam giácO0A0B0cóOB = O0B0,OA = O0A0 và [AOB = A\0 O 0 B 0

nên theo tiên đề III5 ta có [CAB = C\0A0B0 Theo định lí 19 ta có AB = A0B0 Xét haitam giác ABC và A0B0C0 có AB = A0B0, [CAB = C\0A0B0 và AC = A0C0 nên theo định

lý 19 ta có ∆ABC = ∆A0B0C0 do đó BC = B0C0 Hai tam giác OBC và O, B0C0 cócác cạnh tương ứng bằng nhau nên theo định lí 23 ta có ∆OBC = ∆O0B0C0, do đó[

BOC = B\0O0C0 hay \(k, h1) = (k\0, h01) Định lí 26 Hai góc đối đỉnh bằng nhau

Chứng minh: Do hai góc đối đỉnh có cùng một góc bù, nên theo định lí 25 suy ra haigóc đó bằng nhau

Định lí 27 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau

Định lí 28 Một đoạn thẳng có một điểm duy nhất chia nó làm hai đoạn bằng nhau.Điểm đó được gọi là trung điểm của đoạn thẳng đã cho