Hệ tiên đề Hilbert và lớp các bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ———————o0o——————– TIỂU LUẬN HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Mơn: Hình học sơ cấp Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ĐƠNG Sinh viên: PHẠM HỒNG ĐĂNG NGƠ THỊ HƯƠNG QUỲNH Lớp: SƯ PHẠM TỐN K2015 ĐĂKLĂK, 01 - 2018 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Mục lục I Sơ lược hệ tiên đề Hilbert II Nội dung hệ tiên đề Hilbert Nhóm I - Các tiên đề liên thuộc Nhóm II - Các tiên đề thứ tự Nhóm III - Các tiên đề Nhóm IV - Tiên đề liên tục Nhóm V - Tiên đề song song III.Các dạng tập MỤC LỤC 3 15 15 18 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh I Sơ lược hệ tiên đề Hilbert Nhà tốn học Hilbert (người Đức) người thành cơng lịch sử cải thiện hệ tiên đề hình học Euclide Trong tác phẩm "Cơ sở hình học" xuất năm 1989, Hilbert đưa hệ tiên đề hồn thiện sáng sửa hình học Euclide Các khái niệm hệ gồm: - "Điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" (gọi chung "đối tượng bản"); - "Thuộc", "ở giữa", "bằng" (gọi chung "tương quan bản") Các tiên đề hệ chia làm năm nhóm: + Nhóm I chứa tiên đề "liên thuộc", + Nhóm II chứa tiên đề "thứ tự" + Nhóm III chứa tiên đề "bằng nhau", + Nhóm IV chứa tiên đề "liên tục", + Nhóm V chứa tiên đề "song song", Trong này, chúng em xin trình bày Hệ tiên đề Hilbert số kết thu từ hệ tiên đề thơng qua việc trình bày định lí, bên cạnh phần cuối số tập hình học thường gặp THPT mà giải ta sử dụng tiên đề kết suy từ I SƠ LƯỢC VỀ HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh II Nội dung hệ tiên đề Hilbert Nhóm I - Các tiên đề liên thuộc Tương quan nhóm tương quan "thuộc", có gọi qua Các tiên đề I1 Cho hai điểm A, B có đường thẳng thuộc chúng I2 Cho hai điểm A, B phân biệt có khơng q đường thẳng thuộc hai điểm I3 Mỗi đường thẳng thuộc hai điểm Có ba điểm khơng thuộc đường thẳng I4 Cho ba điểm A, B, C có mặt phẳng thuộc điểm Mỗi mặt phẳng thuộc điểm I5 Cho ba điểm A, B, C có mặt phẳng thuộc điểm Mỗi mặt phẳng thuộc điểm I6 Nếu hai điểm A, B thuộc đường thẳng a, đồng thời thuộc mặt phẳng α điểm nảo khác thuộc đường thẳng a thuộc mặt phẳng α Mỗi mặt phẳng thuộc điểm I7 Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có điểm chung thứ hai I8 Có bốn điểm không mặt phẳng Một số kết thu từ nhóm I: Định nghĩa Nếu điểm đường thẳng a thuộc đường thẳng α ta nói đường thẳnga thuộc mặt phẳng α mặt phẳng αthuộc đưởng thẳng a Định lí (Tương quan hai đường thẳng) Hai đường thẳng phân biệt có khơng q điểm chung Chứng minh: Nếu hai đường thẳng phân biệt có có hai điểm chung theo tiên đề chúng phải trùng nghĩa chúng hai đường thẳng phân biệt điều trái giả thiết II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hoàng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định lí (Tương quan đường thẳng mặt phẳng) Một mặt phẳng đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng có nhiều điểm chung Chứng minh: Nếu đường thẳng mặt phẳng có hai điểm chung theo tiên đề 6, đường thẳng thuộc mặt phẳng Điều trái với giả thiết chúng có nhiều điểm chung Định lí (Tương quan mặt phẳng với mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng có điểm chung có đường thẳng chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Chứng minh: Giả sử hai nặt phẳng (α) (β ) có điểm chung A Theo I7 có điểm chung thứ B Theo I2 có đường thẳng a qua điểm A, B Ta chứng tỏ đường thẳng a chứa tất điểm chung (α), (β ) Thật giả sử có điểm chung C (α) (β ) không thuộc đường thẳng a Theo I5 khơng có qua mặt phẳng qua A, B, C nên (α) ≡ (β ) suy trái giả thiết Điều giả sử sai C phải thuộc đường thẳng a Định nghĩa 1) Hai đường thẳng gọi cắt hai đường thẳng có điểm chung, điểm chung gọi giao điểm hai đoạn thẳng cho 2) Đường thẳng mặt phẳng gọi cắt nếu đường thẳng mặt phẳng có điểm chung Điểm chcung gọi giao điểm đường thẳng mặt phẳng 3) hai mặt phẳng gọi cắt hai mặt phẳng có đường thẳng chung đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng cho trước Định lí Qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng Chứng minh: Cho đường thẳng a A, B thuộc a Điểm C không thuộc a Theo I5 có mặt phẳng thuộc ba điểm A, B, C hay qua đường thẳng a C có mặt phẳng II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định lí Mỗi mặt phẳng chứa ba điểm khơng thằng hàng Chứng minh: Theo I4 mặt phẳng (α) có điểm A Theo I8 có điểm B khơng thuộc (α) Theo I3 có điểm C khơng thuộc đường thẳngAB Theo I4 có mặt phẳng (ABC), theo I7 (ABC) (α) có điểm chung thứ hai D Theo I8 có điểm F khơng thuộc (ABC ) Theo I4 có mặt phẳng (BDF ), theo I7 (BDF ) (α) có điểm chung thứ hai E Vậy mặt phẳng (α) có điểm A, D, E khơng thẳng hàng Nhóm II - Các tiên đề thứ tự Ở có thêm tương quan "ở giữa" Các tiên đề II1 Nếu điểm B điểm A điểm C A, B, C ba điểm khác thuộc đường thẳng điểm B nằm A C II2 Cho hai điểm A, C có điểm B đường thẳng AC cho C nằm A B II3 Trong ba điểm thuộc đường thẳng khơng có q điểm hai điểm lại Định nghĩa Một cặp điểm A B gọi đoạn thẳng Ký hiệu AB BA Các điểm A B gọi điểm AB hay thuộc đoạn AB Hai điểm A, B gọi hai đầu mút đoạn thẳng Tất điểm cịn lại đường thẳng AB mà khơng thuộc đoạn thẳng AB hai đầu mút gọi điểm đoạn AB II4 Tiên đề Pát Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) khơng thuộc điểm ba điểm A, B, C Nếu đường thẳng a có điểm chung với đoạn AB cịn có điểm chung với đoạn AC đoạn BC Chú ý: II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh a) Tiên đề II1 cho biết tương quan "ở giữa" đặt ba điểm khác thẳng hàng tương quan không phụ thuộc vào thứ tự hai đầu mút b) Tiên đề II2 cho biết có điểm B ngồi đoạn AC , nghĩa đoạn thẳng có điểm nằm Do tiên đề ta biết thêm đường thẳng có ba điểm c) Tiên đề II3 cho biết ba điểm thẳng hàng có nhiều điểm nằm hai điểm cịn lại Các định lí: Định lí Bất kì đoạn thẳng AB có điểm hai điểm A B Chứng minh: Theo I3 có điểm D ∈ / A, B Theo II2 đường thẳng AD có điểm E cho D AvE Cũng theo II2 đườnng EB có điểm F cho B nằm E F Theo tiên đề II4 (Tiên đề Pát) ba điểm A, B, E không thẳng hàng, đường thẳng F D có điểm chung với đoạn AF D nên phải có điểm chung với đoạn AB EB Nếu F D có điểm chung với EB đường thẳng EF F D phải trùng theo I2 vơ lí D E hai điểm khác Vậy đường thẳng F D phải có điểm chung C với đoạn AB Ta nói F D cắt AB C C A B Định lí Trong ba điểm A, B, C đường thẳng có điểm nằm hai điểm II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh Chứng minh: Giả sử A không B C ; C không A B Ta chứng minh B A C Theo I3 có điểm D khơng thuộc đường thẳng AC Theo II2 có điểm E cho D B, E Áp dụng II4 (Tiên đề Pát),ta có: Đường thẳng AD ba điểm D, E, C ta có F E C Đường thẳng CD ba điểm A, B, E ta có I A E Đường thẳng CI ba điểm A, F, E ta có D A F Đường thẳng ED ba điểm A, F, C ta có B A C Hệ quả:Với tiên đề II2 , II3 kết hợp với định lí ta có: a) Với đoạn thẳng AC đường thẳng AC ta có điểm đoạn AC b) Với ba điểm đường thẳng bao có điểm nằm hai điểm Định lí Nếu điểm B A C , điểm C B D điểm B C A D Chứng minh: Giả sử C nằm hai điểm A, D (A, D phân biệt) Theo I3 có điểm E khơng thuộc đường thẳng AD Theo II2 có điểm F cho E nằm C, F Áp dụng tiên đề II4 cho: Đường thẳng AE điểm F, B, C ta có I F, B Đường thẳng F B điểm A, E,D ta có B A, D Định lí Nếu điểm C A D, điểm B A C điểm B A D điểm C B D II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Chứng minh: Theo tiên đề I3 , có điểm G không thuộc đường thẳng AB Theo tiên đề II2 , đường thẳng BG có điểm F cho G B F Áp dụng tiên đề II4 ba điểm A, D, G đường thẳng CF suy H D G Áp dụng tiên đề II4 ba điểm B, D, G đường thẳng CF suy C B D Theo giả thiết ta có B A C ; theo chứng minh ta có C B D Do đó, áp dụng định lí ta có B A D Định lí 10 Nếu B điểm đoạn thẳng AC đoạn AB đoạn BC thuộc đoạn AC , nghĩa điểm đoạn AB đoạn BC thuộc đoạn AC Định lí 11 Nếu B điểm đoạn thẳng AC điểm đoạn thẳng AC khác với B phải thuộc đoạn AB đoạn BC Định lí 12 Nếu điểm B C A D điểm đoạn BC thuộc đoạn AD Định lí 13 Mỗi đường thẳng có vơ số điểm Chứng minh: Theo tiên đề I3 , đường thẳng có hai điiẻm A, B Theo định lí 6, A B có điểm C Cũng theo định lí , A C có điểm D Theo định lí ta suy điểm D A C , đồng thời D = C Cứ tiếp tục A B ta có vơ số điểm C, D, E Mặt khác, theo tiên đề II2 , đường thẳng AB có điểm C cho B A C Cũng theo tiên đề ta có thêm điểm D cho C A D Điểm D nằm đoạn thẳng AC nên khác với C tất nhiên khác với B tiếp tục đường thẳng AB ta có vơ số điểm nằm ngồi đoạn AB C , D , E điểm khác khác với điểm nằm đoạn AB Định nghĩa Cho ba điểm O, A, B thuộc đường thẳng Nếu điểm O khơng A B ta nói A B phía O Nếu điểm O giưa A B ta nói A B khác phía O Định lí 14 Một điểm O đường thẳng A chia tất điểm lại đường thẳng làm hai lớp khơng rỗng cho hai điểm thuộc lớp phía O hai điểm khác lớp khác phía O II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định nghĩa Một điểm O đường thẳng a chia tập hợp điểm đường thẳng làm hai lớp (theo định lí 14) Mỗi lớp nửa đường thẳng hay tia đọc O làm gốc Hai nửa đường thẳng hay hai tia gọi bù chúng có chung gốc tạo nên đường thẳng Định nghĩa Trên tia gốc O, điểm A gọi trước điểm B A thuộc đoạn OB Định nghĩa Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng Khi ba đoạn thẳng AB, BC, CA tạo nên hình gọi tam giác Các điểm A, B, C gọi đỉnh đoạn thẳng AB, BC, CA gọi cạnh tam giác Trong tam giác, đỉnh cạnh không thuộc gọi đỉnh cạnh đối diện Định lí 15 Mỗi đường thẳng a mặt phẳng α chia tất điểm không thuộc a α hai lớp không rỗng cho hai điểm A, B thuộc hai lớp khác đoạn AB chứa điểm đường thẳng a, hai điểm A, A thuộc lớp đoạn AA không chứa điểm a Định nghĩa Mỗi lớp mặt phẳng α định lí 15 nửa mặt phẳng có đường biên đường thẳng a Hai điểm M1 M2 thuộc nửa mặt phẳng gọi phía đường thẳng a Hai điểm M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác gọi khác phía a Định nghĩa Một cặp tia h, k có gốc O gọi góc kí hiệu (h, k) Điểm O gọi đỉnh góc tia h, k gọi cạnh góc Nếu A, B hai điểm lấy tia h, k ta dùng kí hiệu góc AOB thay cho góc (h, k) Định lí 16 Nếu A, B hai điểm nằm hai cạnh h, k góc tia xuất phát từ gốc O thuộc miền góc cắt đoạn AB Ngược lại, tia nối đỉnh góc với điểm đoạn AB thuộc miền góc Nhóm III - Các tiên đề Tương quan nhóm tương quan "bằng" đoạn thẳng với đoạn thằng khác góc với góc khác Các tiên đề II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh III1 Nếu cho đoạn thẳng AB nửa đường thẳng có gốc A có điểm B cho đoạn thẳng A B đoạn thẳng AB ký hiệu A B = AB Đối với đoạn thẳng AB ta có AB = BA III2 Nếu A B = AB A B = AB A B = A B III3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với B A C ba điểm A , B , C thẳng hàng với B A C Nếu AB = A B , BC = B C AC = A C III4 Cho góc (h, k) nửa mặt phảng xác định đường thẳng chứa tia h Khi nửa mặt phẳng nói có tia k gốc với tia h cho góc (h, k) góc (h , k ) kí hiệu (h, k) = (h , k ) Đối với góc (h, k) ta có (h, k) = (h, k) (h, k) = (k, h) III5 Cho tam giác ABC tam giác A B C Nếu AB = A B , AC = A C BAC = B A C ta có ABC = A B C ACB = A C B Các định lí: Định lí 17 1) Nếu AB = A B AB = B A 2) Mọi đoạn thẳng AB nó, nghĩa AB = AB (phản xạ) 3) Nếu AB = A B A B = AB (đối xứng) 4) Nếu AB = A B A B = A B (bắc cầu) Chứng minh: 1) Theo giả thiết, AB = A B Theo tiên đề III1 , ta có B A = A B Do đó, theo tiên đề III2 ta có AB = B A 2) Theo tiên đề III1 , ta có AB = BA áp dụng phần định lý 17 ta có: AB = AB 3) Theo phần định lí 17 ta có A B = A B theo giả thiết ta có AB = A B Do áp dụng tiên đề III2 ta có A B = AB 4) Theo giả thiết A B = A B theo phần định lí 17 ta có A B = A B Mặt khác theo giả thiết ta có AB = A B áp dụng tiên đề III2 ta suy AB = A B II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 10 Phạm Hoàng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định lí 18 Nếu cho đoạn thẳng AB nửa đường thẳng gốc A có điểm B cho A B = AB Chứng minh: Ta dùng phản chứng Giả sử nửa đường thẳng gốc A cho định lí ta có hai điểm B1 B2 cho A B1 = AB A B2 = AB Trên nửa đường thẳng khác với gốc A (nhưng nửa đường thẳng không trùng không bù với nửa đường thẳng cho lúc đầu) ta lấy điểm C - Xét hai tam giác A CB1 A CB2 có: CA B1 = CA B2 (vì góc ln nó, theo tiên đề III4 ) A C = A C (theo phần định lí 17) A B1 = A B2 (do cách lấy B1 , B2 tiên đề III2 ) Do theo tiên đề III5 ta có A CB1 = A CB2 suy B1 trùng với B2 (theo tiên đề III4 ) Định nghĩa 10 Tam giác ABC gọi tam giác A B C AB = A B , AC = A C , BC = B C A = A , B = B , C = C Ta kí hiệu ∆ABC = ∆A B C Định lí 19 Nếu hai tam giác ABC A B C có AB = A B , AC = A C A = A tam giác ABC tam giác A B C (Ta thường kí hiệu trường hợp c.g.c) Chứng minh: Từ giả thiết theo tiên đề III5 ta có ABC = A B C , ACB = A C B Ta phải chứng minh BC = B C Giả sử, ngược lại BC không B C Theo tiên đề III1 tia B C có điểm D cho B D = BC II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 11 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Khi hai tia A C A D phải khác Áp dụng tiên đề III5 hai tam giác ABC A B D Có ABC = A B D , AB = A B , BC = B D nên ta có BAC = B A D Theo giả thiết ta cịn có BAC = B A C Điều mâu thuẫn với tính nói tiên đề III4 Do BC = B C Định lí 20 Nếu hai tam giác ABC A B C có AB = A B , A = A , B = B tam giác ABC tam giác A B C (Ta thường kí hiệu trường hợp g.c.g) Chứng minh: Định lí 21 Nếu tam giác ABC có AC = CB CAB = CBA CBA = CAB Chứng minh: Định nghĩa 11 Tam giác ABC có AC = CB gọi tam giác cân C Hai góc đỉnh A B (Hai góc theo định lí 21) gọi hai góc đáy tam giác cân Định lí 22 Giả sử h, k, l ba tia chung gôc thuộc mặt phẳng, giả sử h , k , l ba tia chung gốc thuộc mặt phẳng Nếu xếp ba tia h, k, l giống xếp ba tia h , l , k (chẳng hạn l thuộc miền góc (h, k) l thuộc miền góc (h , k )) (h, l) = (h , l ), (l, k) = (l , k ) (h, k) = (h , k ) Định lí 23 Nếu hai tam giác ABC A B C có AB = A B , AC = A C , BC = B C tam giác ABC tam giác A B C (Trường hợp ta thường kí hiệu c.c.c) Định lí 24 Nếu ta có (h, k) = (h , k ), (h, k) = (h , k ) (h , k ) = (h , k ) Định nghĩa 12 II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 12 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh a) Hai góc có chung đỉnh cạnh, cạnh thứ hai hai tia bù gọi hai góc bù b) Hai góc có chung đỉnh cịn cạnh chúng tia bù gọi hai góc đối đỉnh c) Một góc góc bù gọi góc vng Định lí 25 Nếu hai góc mà góc bù chúng Chứng minh: Giả sử (h, k) = (h , k ), O O đỉnh góc Gọi h1 tia bù tia h h1 tia bù tia h Trên tia h, k, h1 lấy điểm A, B, C Theo tiên đề III3 tia h , k , h1 có điểm A , B , C cho O A = OA, O B = OB O C = OC (hình dưới) Xét hai tam giác OAB tam giác O A B có OB = O B , OA = O A AOB = A O B nên theo tiên đề III5 ta có CAB = C A B Theo định lí 19 ta có AB = A B Xét hai tam giác ABC A B C có AB = A B , CAB = C A B AC = A C nên theo định lý 19 ta có ∆ABC = ∆A B C BC = B C Hai tam giác OBC O, B C có cạnh tương ứng nên theo định lí 23 ta có ∆OBC = ∆O B C , BOC = B O C hay (k, h1 ) = (k , h1 ) Định lí 26 Hai góc đối đỉnh Chứng minh: Do hai góc đối đỉnh có góc bù, nên theo định lí 25 suy hai góc Định lí 27 Tất góc vng Định lí 28 Một đoạn thẳng có điểm chia làm hai đoạn Điểm gọi trung điểm đoạn thẳng cho II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 13 Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh Chứng minh Xét đoạn thẳng AB Có điểm C khơng thuộc đường thẳng AB (Tiên đề I3 ) Theo tiên đề III4 ta có tia Bx nằm khác phía C cho xBA = CAB Trên tia Bx ta lấy điểm D cho AC = BD (theo tiên đề III1 ) ∆CAB = ∆DBA (c.g.c) BC = DA từ lai suy ∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ACO = BDO suy ∆ACO = ∆BDO OA = OB , theo III4 có điểm O Định lí chứng minh Định nghĩa 13 Cho hai đoạn thẳng AB A B Nếu đoạn AB ta có điểm C cho AC = A B ta nói đoạn AB lớn đoạn A B hay đoạn A B bé đoạn AB Ta kí hiệu AB > A B hay A B < AB Định nghĩa 14 Cho hai góc (h, k) (h , k ) Nếu xuất phát từ gốc O góc (h, k) ta có tia l nằm góc cho (h, l) = (h , k ) nói góc (h, k) lớn góc (h , k ) hay góc (h , k ) bé góc (h, k) Kí hiệu (h, k) > (h , k ) hay (h , k ) < (h, k) Định lí 29 Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với Chứng minh Gọi ACm góc ngồi ∆ABC Ta chứng minh ACm > BAC Trên AC lấy điểm M nằm A C cho M A = M C (định lí 28) Trên tia đối tia BM lấy điểm D cho M B = M D (tiên đề III1 ) ∆M AB ∆M CD có M A = M C , M B = M D, AM B = CM D (hai góc đối đỉnh) nên ∆M AB = ∆M CD (c.g.c) Suy BAC = ACD Mà ACD < ACm tia CD nằm góc ACm Vậy ACm > BAC Tương tự ta chứng minh ACm > BAC Định lí chứng minh II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 14 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định lí 30 Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn có góc lớn ngược lại đối diện với cạnh lớn có góc lớn Chứng minh Ta chứng minh phần đảo định lí Giả sử tam giác ABC có AB > AC Trên tia AB lấy điểm C cho AC = AC (tiên đề III1 ) Do tam giác ACC tam giác cân A, ta có ACC = AC C Theo định lí 29 ta có CC A > C BC Vì AC < AB nên AC < AB , C nằm A, B suy ACB > ACC , mà ACC > ABC (do ACC = AC C định lí 29 áp dụng vào tam giác BCC ) Do ACB > ABC Định nghĩa 15 Cho hai tập hợp T T Nếu điểm hai tập hợp có liên hệ − (song ánh) cho với hai điểm A, B T hai điểm tương ứng A , B T ta có AB = A B , ta nói có phép dời hình f biến T thành T (và phép dời hình đảo ngược f −1 biến T thành T ) Nhóm IV - Tiên đề liên tục Nhóm gồm tiên đề, ta kí hiệu chúng IV1 IV2 IV1 (Tiên đề Archimedes) Cho hai đoạn thẳng AB CD tồn số hữu hạn điểm A1 , A2 , , An thuộc đường thẳng AB cho A1 A A2 ,A2 A1 A3 , ,An−1 An−2 An , B An−1 An , cho đoạn AA1 , A1 A2 , , An−1 An đoạn CD IV2 (Tiên đề Cantor) Cho dãy vô sô đoạn thẳng A1 B1 , A2 B2 , , An Bn , mà đầu mút thuộc đường thẳng a Nếu dãy đường thẳng thỏa mãn hai điều kiện dây có điểm X thuộc tất đoạn thẳng dãy 1) Mỗi đoạn dãy chứa đầu mút đoạn liền sau 2) Cho trước đoạn thẳng có số tự nhiên n cho đoạn An Bn dãy bé đoạn thẳng cho trước Nhóm V - Tiên đề song song Định nghĩa 16 Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng có điểm chung gọi hai đường thẳng song song với Nếu a, b hai đường thẳng song song với ta kí hiệu a b II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 15 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Định lí 31 Cho a, b, c ba đường thẳng nằm mặt phẳng c cắt a, b tạo nên hai góc sole a b song song với Chứng minh Gọi giao điểm c với a, b A B Để chứng minh a, b khơng có điểm chung ta giả sử ngược lại chúng có điểm O chung Khi tam giác ABO có góc ngồi aAB với góc OBA khơng kề với điều trái với định lí 29 Vậy a, b song song với Hệ quả: Trong mặt phẳng hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với Chứng minh Vì c tạo với a, b góc vng sole trong, mà theo định lí refs góc vng từ theo định lí 31 a b Định lí 32 Qua điểm khơng thuộc đường thẳng cho trước có đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Chứng minh Từ A dựng đường thẳng vng góc với a H Từ A dựng đường thẳng b vng góc với AH Theo hệ ta có a song song với b Tiên đề V hay tiên đề song song Cho đường thẳng a điểm A khơng thuộc a Khi mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng a có nhiều đường thẳng qua A khơng cắt a Định lí 33 Hai đường thẳng song song tạo với cát tuyến sole Chứng minh Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a, b A B Theo định lí 32 qua điểm B có đường thẳng b song song với a theo định lí 31 c tạo với a b góc sole Theo tiên đề V b trung với b Định lí 34 Trong tam giác tổng góc hai góc vng II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 16 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Chứng minh Xét tam giác ABC Gọi d đường thẳng qua C song song với AB Lấy d điểm M cho M A hai phía khác đường thẳng BC Lấy d điểm N cho N B hai phía khác đường thẳng AC Theo định lí 33 BAC = N CA, ABC = M CB Do ABC + BAC + ACB = M CB + N CA + ACB = vuông II NỘI DUNG CỦA HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT 17 Phạm Hoàng Đăng - Ngô Thị Hương Quỳnh III Các dạng tập Bài tập Cho tứ diện S.ABC Trên cạnh SA lấy điểm M , canh SC lấy điểm N , cho M N không song song với AC CHo điểm O nằm tam giác ABC Tìm điểm mặt phẳng OM N với đường thẳng AC , BC AB Bài giải: Ta có M N cắt AC H H ∈ AC , mà H ∈ M N ⊂ (SM N ) {H} = AC ∩ (OM N ) Trong mp (ABC): OH ∩ BC = {K}, mà OH ⊂ (OM N ) nên {K} = BC ∩ (OM N ) Ta có OH ∩ AB = {G}, mà OH ⊂ (OM N ) nên {G} = AB ∩ (OM N ) Bài tập Cho S điểm khơng thuộc mp (ABCD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Bài giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có S ∈ (SBC) ∩ (SBD) O ∈ BD ⊂ (SBD) O ∈ AC ⊂ (SAC) Suy (SAC) ∩ (SBD) = SO Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) đường thẳng SO III CÁC DẠNG BÀI TẬP 18 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Bài tập Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối cảu tia CB lấy điểm D cho CD = BC Vẽ DE vuông góc với CA E Chứng minh AB = DE Bài giải: Xét ∆ABC vuông A ∆EDC vng E , ta có BC = CD, ACB = ECD (đối đỉnh) Do ∆ABC = ∆EDC (g.c.g) Do AB = DE Bài tập Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC điểm S (α) Gọi D, E điểm thuộc đoạn SA, SB cho DE không song song với AB 1) Xác đinh giao tuyến hai mặt phẳng (CAB) (CDE); 2) P điểm thay đổi đoạn SC Giả sử đường thẳng P D P E cắt đường thẳng CA CB M N Chứng minh đường thẳng M N qua mọt điểm cố định Bài giải: Theo giả thiết đường thẳng AB DE cắt gọi F giao điểm chúng Ta có C ∈ (CAB) ∩ (CDE) F ∈ (CAB) ∩ (CDE) (theo cách dựng điểm F ) nên đường thẳng CF giao tuyến mặt phẳng (CAB) (CDE) Ta có M ∈ (CAB) ∩ (P DE) N ∈ (CAB) ∩ (P DE) (theo cách xác định M N,) Mặt khác, F giao điểm AB DE nên F ∈ (CAB) ∩ (P DE) III CÁC DẠNG BÀI TẬP 19 Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh Do điểm M, N, F thuộc đường thẳng giao tuyến mặt phẳng (CAB) (P DE) Suy đường thẳng M N qua điểm F cố định III CÁC DẠNG BÀI TẬP 20 ... lược hệ tiên đề Hilbert II Nội dung hệ tiên đề Hilbert Nhóm I - Các tiên đề liên thuộc Nhóm II - Các tiên đề thứ tự Nhóm III - Các tiên đề Nhóm IV - Tiên đề liên tục Nhóm V - Tiên đề song... VỀ HỆ TIÊN ĐỀ HILBERT Phạm Hồng Đăng - Ngơ Thị Hương Quỳnh II Nội dung hệ tiên đề Hilbert Nhóm I - Các tiên đề liên thuộc Tương quan nhóm tương quan "thuộc", có gọi qua Các tiên đề I1 Cho hai... bày Hệ tiên đề Hilbert số kết thu từ hệ tiên đề thơng qua việc trình bày định lí, bên cạnh phần cuối số tập hình học thường gặp THPT mà giải ta sử dụng tiên đề kết suy từ I SƠ LƯỢC VỀ HỆ TIÊN ĐỀ