Sáng kiến kinh nghiệm THCS được hoàn thành với một số dạng bài tập như sau: Nhẩm, tính nghiệm của phương trình bậc hai; Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình; Lập phương trình bậc hai; Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng;...Mời các bạn cùng tham khảo!
UBND HUYỆN GIA LÂM TRƢỜNG THCS LỆ CHI SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM “NÂNG CAO HIỆU QUẢ CỦA HỆ THỨC VI–ÉT TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI AX2 + BX + C = " Tác giả: Đào Thị Hạnh Mơn: Tốn Cấp học: THCS Năm học 2018 - 2019 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Môc lôc Nội dung Trang PHẦN I: Lí chọn đề tài PhầN II: Nội dung i sở lý luận sở thực tiƠn: 1.C¬ së thùc tiƠn: 2 Thực trạng v nguyờn nhõn 2.1.Thc trng 2.2.Nguyên nhân III kiến thức cần nhớ 1.Phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) Hệ thức Viet ứng dụng IV CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhẩm, tính nghiệm phương trình bậc hai Dạng 2: Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình Dạng 3: Lập phương trình bậc hai Dạng 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 5: Tính giá trị biểu thức nghiệm Dạng 6: Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc (hay độc lập) với tham số Dạng 8: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho 11 12 Dạng 9: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai 14 Dạng 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 15 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a 0) V Kết thực nghiệm: 17 Phần III: học Kinh nghiệm 18 Phần IV: Kết luận KIN nghị - đề xuất 19 TI LIU THAM KHẢO 20 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình mơn tốn nhiều tập, đặc biệt thi vào THPT xuất nhiều dạng toán liên quan đến hệ thức VI-ÉT, thời lượng chương trình dành cho học vận dụng hệ thức VI-ÉT khơng nhiều Vì muốn học sinh đọc hiểu có khả vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức VI-ÉT nói riêng vào giải tập liên quan, phần khơng nhỏ phụ thuộc vào lịng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác đơn vị kiến thức thành hệ thống dạng tập để học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Chính nhận thấy tầm quan trọng việc khai thác có hệ thống đơn vị kiến thức theo dạng tập liên quan hướng dẫn giúp đỡ tận tình tập thể giáo viên dạy mơn Tốn nhà trường, mạnh dạn sâu suy nghĩ khai thác đúc kết thành kinh nghiệm "Nâng cao hiệu hệ thức VI-ÉT giải tốn liên quan đến phƣơng trình ax2 + bx + c = " giảng dạy SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN: Cơ sở thực tiễn: Đứng trước yêu cầu công đổi mới, giáo dục phải trước bước Muốn giáo dục đào tạo tồn phát triển, xứng đáng với vị trí xã hội giáo viên phải tự đổi mới, đề định hướng kịp thời Là giáo viên dạy toán THCS năm qua tơi đặt cho câu hỏi, trăn trở để từ tìm hiểu nghiên cứu tìm phương pháp dạy phù hợp Mơn tốn mơn học khó hấp dẫn bổ ích với em u thích Tốn học Nó giúp em bước phát triển lực tư Hình thành kĩ ứng dụng Tốn học vào thực tiễn vào việc học tập môn học khác Qua tìm hiểu tình hình thực tế kinh nghiệm thân thấy đa số học sinh lớp gặp khó khăn giải tốn có liên quan đến "Ứng dụng hệ thức VI-ÉT giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c =0" Trong chương trình lớp kiến thức đề cập sách giáo khoa Tuy nhiên tập liên quan đến lại nhiều đa dạng Là giáo viên dạy Toán trước thực trạng không khỏi băn khoăn trăn trở làm để giúp đỡ em bớt khó khăn, lúng túng việc giải tốn có liên quan đến hệ thức VI-ÉT phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0) Từ thực tiễn giảng dạy tơi xin trình bày ý kiến nhỏ, kinh nghiệm mà qua thử nghiệm thấy làm giảm bớt khó khăn cho em giải tốn có liên quan đến hệ thức VI-ÉT phương trình bậc hai Thực trạng nguyên nhân 2.1 Thực trạng Qua q trình dạy học mơn Tốn nhiều năm tơi nhận thấy, việc giải áp dụng hệ thức Vi-ét giải toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = học sinh khó khăn Điều ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng mơn tốn nói chung dạng tốn nói riêng, gây chán nản học tập học sinh Cụ thể, theo điều tra tình hình học tập mơn tốn SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” khối lớp nhà trường học chương III kết học kì II năm học 2018 -2019, cho thấy: Tình hình làm tập nhà: Tự giải: 35% Trao đổi giải: 13,21% Chép bài: 51,79% Học sinh hứng thú dạng toán Hứng thú: 25% Bình thường: 33,21% Khơng hứng thú: 41,79% Kết học sinh làm câu đề kiểm tra chương III - Đại số là: Đề bài: Ví dụ 2: Cho phương trình m x ( m ) x m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hồn chỉnh: 7,25% Nắm vững điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 42,33% Giải điều kiện: 16,00% Không làm được: 34,42% 2.2 Nguyên nhân Học sinh chưa có hứng thú học tập nội dung này, em chưa quan tâm mức áp dụng hệ thức VI-ÉT giải tốn liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = Học sinh vận dụng kiến thức học giải phương trình, phương trình bậc hai ẩn cịn hạn chế Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động; em nắm kiến thức, lí thuyết chưa biết cách vận dụng vào giải tốn Các em khơng tự tin giải dạng tốn nên khơng mạnh dạn phát biểu, đưa ý kiến thân trước tập thể Trình bày lời giải khơng khoa học, lập luận thiếu chặt chẽ, ngộ nhận II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) Các dạng cách giải Dạng 1: c = Dạng 2: b = x 1 a x b x x a x + b b x a 1 ax c x 2 c a SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” -Nếu c x c a a -Nếu c phương trình vơ nghiệm a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN b 4ac ' b ' ac 0: phương trình có nghiệm phân biệt x1 0: b 2a ; b x2 ' 0: x1 2a phương trình có nghiệm kép x1 x phương trình có nghiệm phân biệt b ' ' 0: ' x2 ; a ' a phương trình có nghiệm kép b x1 x 2a : phương trình vơ nghiệm b ' ' b ' a : phương trình vơ nghiệm Hệ thức VI-ÉT ứng dụng - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x1 x a P x x c a - Nếu có hai số u v cho u v S uv P S 4P u, v hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = - Nếu a – b+c = phương trình có nghiệm x1 =-1; x2 = c a c a IV PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải: Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x1 x b a ; x x c a SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Nhẩm: nghiệm x1 x m n b a ; x x m n c phương trình có a x1 m ;x n Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c a Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 =-1; x2 = c a Ví dụ 1: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x x (1) 2) x x 1 (2) HD: Ta thấy : 2 Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 x1 và x2 x2 3 11 Ví dụ 2: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x x 12 2) x x 12 HD: 1) Ta có + = 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm x1 ; x2 2) Ta có (-3) + (-4) = -7 (-3).(-4) = 12 nên phương trình có nghiệm x1 ; x Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: x x x 0 x 2 x x 4 x x 0 DẠNG 2: CHO PHƢƠNG TRÌNH CĨ HỆ SỐ CHƢA BIẾT, CHO TRƢỚC MỘT NGHIỆM, TÌM NGHIỆM CÕN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH Phương pháp giải: Thay nghiệm biết vào phương trình, giải phương trình tìm hệ số chưa biết Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại Vídụ: a) Phương trình x p x Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai 2 b) Cho phương trình : x 7x q , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” HD: a) Thay v phương trình ban đầu ta : x1 44p 5 p Từ x1 x suy x2 x1 b) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử ÉT ta có x1 x Suy , ta giải hệ sau: x1 x 1 x1 x 1 x1 x1 x x2 q x1 x Bài tập áp dụng: a) Phương trình x 5x q có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai b) Tìm q hai nghiệm phương trình : x qx 50 , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm DẠNG 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp: Tính tổng hai nghiệm: S x x tích hai nghiệm Phương trình có hai nghiệm x1, x2 X x1 ; x2 P x1 x SX P Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ : Cho theo VI- x1 ; x lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S x1 x HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó P x1 x x1 ; x nghiệm phương trình có dạng: x Sx P x x 2 Bài tập áp dụng: x1 = x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 x2 = -104 x1 = x2 = 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Ví dụ: Cho phương trình : có nghiệm phân biệt x 3x x1 ; x Khơng giải phương trình trình, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y x1 y1 x x1 x2 HD: Theo hệ thức VI- ÉT ta có: S y1 y x P y1 y ( x x1 x1 x1 ) ( x1 x2 x2 x1 x ( x1 x ) 3 ( x1 x ) x2 x1 x 2 x1 ) x1 x Vậy phương trình cần lập có dạng: x1 x y Sy P hay y y Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình 11 3x 5x 2y 9y 9 2 có nghiệm phân biệt Khơng giải x1 ; x phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y2 x2 y x1 x2 x1 (Đáp số: y y 2) Cho phương trình : x 5x 1 có ẩn y thỏa mãn y x1 có nghiệm y2 x2 hay 6y 5y 3 ) x1 ; x Hãy lập phương trình bậc (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2x m phương trình bậc hai có nghiệm a) (Đáp số y x1 a) y2 x2 y 4y 3 m y1 ; y 2 y 727 y có nghiệm x1 ; x ) Hãy lập cho : b) y x1 b) y y (4m 2 y2 x2 3) ) DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHƯNG Phương pháp: Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình x S x P (điều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = Ví a + b = ab = nên a, b nghiệm phương trình : x x 2 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” giải phương trình trình ta x1 x2 Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Phương pháp: Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x x ) x x Ví dụ 1 a) x1 x ( x1 x1 x x ) x1 x ( x1 x ) x1 x b) x1 x c) x1 x ( x1 ) ( x ) d) 2 x1 x1 Ví dụ 2 x2 x1 x1 x x 2 2 2 x x2 x x x1 x x1 x 2 x1 x ( x1 x ) x1 x x1 x 2 2 x1 x x2 x1 x x1 x ? Ta biết x x2 x1 x2 x1 x x1 x x1 x2 x1 x Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 1) x x ( x x x x =…….) 2 2) x1 x ( = x 3) x1 x ( = x 4) x1 x (= 6 2 x1 x2 x1 x x 2 x2 x 2 x2 ( x1 ) ( x ) 3 x x x x1 x x1 x =…… ) x2 Bài tập áp dụng x x1 x x 2 = …… ) =…… ) SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” 5) 6) x1 x 6 7) x1 x 5 x1 x 7 8) x1 x2 Không giải phương trình, tính giỏ trị biểu thức nghiệm Ví dụ: Cho phương trình : x x Khơng giải phương trình, tính 1) 3) x1 x 2) x1 4) x 2 x2 x1 x2 x1 HD: 1) 34 2) x2 x2 3) 1) x1 1) x1 3) x 72 x 64 x2 2x 3x 1 2) x2 4) x 3x 2 x1 x1 x2 1 x2 x2 x2 x1 có nghiệm x1 ; x2 , Không giải phương x1 x1 x x 2 Q x1 x x1 c) Cho phương trình trình, tính 4) 46 Khơng giải phương trình, tính: x1 x 2 34 Khơng giải phương trình, tính: 2) b) Cho phương trình : 15 15 Bài tập áp dụng a) Cho phương trình : x1 x x1 x 3 DẠNG 6: ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = Loại 1: Phương trình vơ a b c nghiệm a Loại 2: Phương trình nhận x làm nghiệm a b c SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Loại 3: Phương trình có nghiệm a b c a b a Loại 4: Phương trình có nghiệm Loại 5: Phương trình có nghiệm kép a b a a Loại 6: Phương trình có nghiệm phân biệt a Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm m x ( m 1) x HD: Phương trình có nghiệm a b a TH1: a m m m b ( m 1) m TH2: m m a 2 ' m ( m 1) m Với m) Vậy pt có nghiệm m Với m = x x Ví dụ : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - = Tìm giá trị m để phương trình : a) Có nghiệm kép b) Có nghiệm phân biệt c) Vô nghiệm m 1 HD: a) m m m ' 10 (hpt vô nghiệm với SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” m m b) m ' ,m : Có nghiệm c) + m = +m : ' m DẠNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Phương pháp: Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m x m x m có nghiệm x ; x Lập hệ thức liên hệ x1 ; x 2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m HD: Để phương trình trình có nghiệm x1 x2 : m m m m ' 5m m ( m 1)( m ) m Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2m x x2 x x2 (1) m 1 m 1 x x m x x ( ) 2 m 1 m 1 Rút m từ (1) ta có: m 1 x1 x m x1 x (3) Rút m từ (2) ta có: m 1 x1 x m (4) x1 x Đồng vế (3) (4) ta có: x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x 11 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Ví dụ 2: Gọi x1 ; x nghiệm phương trình : m x minh biểu thức A x1 x x1 x 2mx m Chứng không phụ thuộc giá trị m HD: Để phương trình trình có nghiệm x1 x2 : m m m m ' 5m m ( m 1)( m ) m Theo hệ thức VI-ÉT ta có : 2m x x2 m 1 x x m m 1 thay vào A ta có: A x1 x x1 x Vậy A = Với 2m m 1 m 1 m m 4 m 1 8 m m ( m 1) m 1 m 1 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình : x m x m có nghiệm x ; x Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x 2) Cho phương trình : Tìm hệ thức liên hệ cho x1 ; x độc lập m x 4m 1 x m x1 x2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Phương pháp: Đối với toán dạng này, ta làm sau: Tìm điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 a 12 a ' SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : m x m x m Tìm giá trị tham số m để nghiệm x x2 thoả mãn hệ thức : x1 x x1 x Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x2 : m m 2 ' m m m ' m ( m ) m m m ' m m 1 Theo hệ th ức VI-ÉT ta có: ( m 1) x x2 m x x (m 3) m từ giả thiết: x1 x x1 x Suy ra: ( m 1) ( m 3) m ( m 1) ( m ) m m m m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x x1 x Ví dụ 2: Cho phương trình : Tìm m để nghiệm x1 x m 1 x m x2 thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm ' ( m 1) ( m 2 x1 x x1 x x1 & x : 2) 4m 4m 4m 4m m Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x m x1 x m Suy 13 từ giả thiết x1 x x1 x SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” 3(m ) ( m 1) 3m 3m 10m m (T M ) 10m m (KTM ) Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 thoả mãn hệ thức : x2 x1 x x1 x Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx m x m Tìm m để nghiệm Cho phương trình : x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x x m x 5m Tìm m để nghiệm Cho phương trình : x1 x2 thoả mãn hệ thức: x m x 3 m Tìm m để nghiệm x1 x2 x1 x thoả mãn hệ thức : x1 x Nhận xét: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ Ví dụ chỗ + Trong Ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x x tích nghiệm x1 x 2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Cũng tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x x tích nghiệm x x từ vận dụng 2 tương tự cách làm trình bày Ví dụ Ví dụ DẠNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: a x b x c (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 trái dấu x2 S x1 x P x1 x P0 S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 S0 0 0 ;P>0;S< Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x m x m m có nghiệm trái dấu 2 HD: Để phương trình có nghiệm trái dấu (3 m 1) ( m m m 6 P P 2 m 6) (m ) 0 m 2 m P ( m )( m ) Vậy với m phương trình có nghiệm trái dấu Bài tập tham khảo: m x m x m có nghiệm dấu 2 3m x m 1 x m m x 2x m có nghiệm âm có nghiệm khơng thỏa mãn DẠNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: Trong trường hợp ta ln phân tích được: A m C k B (*) Thì ta thấy : (trong A, B biểu thức khơng âm ; m, k số) C m (với A 0) (với B ) Ví dụ 1: Cho phương trình : x C k Gọi x1 x2 m ax C k B 2m 1 x m nghiệm phương trình Tìm m để : A x1 x x1 x 2 m in C m A có giá trị nhỏ HD: Theo VI-ÉT: x x ( m 1) x1 x m Theo đề : A x1 x x1 x 2 x1 15 x2 x1 x SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” m 1 8m 4m 12m (2 m 3) Suy ra: m in A m h a y m Ví dụ 2: Cho phương trình : x m x m Gọi x x nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá 2 trị lớn biểu thức sau: x1 x B x1 x x1 x 2 x1 x m x1 x m HD: Theo hệ thức VI-ÉT : B x1 x x1 x x1 x 2 x1 x ( x1 x ) 2 ( m 1) m 2m m Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: m m m 1 B m 2 Vì m 0 m m 1 1 m 1 m 2 2 0 B 1 Vậy m a x B = m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: m 2m B m m 2 m 2 m in B 1 2 Vì m Vậy 2 m 4m m 2 2 m 2 m 2 2m 2 2 m 2 0 B m 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m B 2m m Ta có: Bm 2m 2B (Với m ẩn, B tham số) B ( B 1) B B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m 16 (**) SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” hay 2 B B B B 2 B B 2B B B B 2B B 1 Vậy: m ax B = m = 1; 2B 1 B 1 B 2 1 m in B m 2 Bài tập áp dụng Cho phương trình : A x1 x 4m 1 x m Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ x2 Cho phương trình thỏa mãn điều kiện x x ( m 1) x m x2 10 Cho phương trình : có nghiệm x1 ; x 2 x 2(m 4) x m đạt giá trị lớn b) B x1 x x1 x đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : C x1 x 2 8 xác định m để phương trình thỏa mãn A x1 x x1 x biểu thức x1 ; x a) Tìm m cho nghiệm x ( m 1) x m 2 m Với giá trị m, dạt giá trị nhỏ V KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM: Sau dạy xong cho học sinh phần kiến thức kết hợp với việc rèn luyện giải số tập nhận thấy: - Học sinh nắm vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai hệ thức VI-ÉT - Học sinh biết phân biệt nhận dạng loại tập vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải toán - Học sinh làm trình bày khoa học, lập luận chặt chẽ - Điều tra tình hình học tập mơn tốn khối lớp nhà trường học chương III năm học 2018 -2019, cho thấy: - Tình hình làm tập nhà: Tự giải: 70% Trao đổi giải: 21,5% Chép bài: 8,5% - Học sinh hứng thú dạng toán Hứng thú: 59% Bình thường: 29,8% Khơng hứng thú: 10,2% 17 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM * Đối với giáo viên: Cần xác định rõ dạng toán đồng thời phài thấy mối quan hệ tập mà cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp lí lơgíc - Phải dẫn dắt học sinh từ dễ đến khó, từ đến nâng cao, tốn ta cho nhiều câu hỏi khác đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa dạng biết - Phải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu * Đối với học sinh: - Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ - Phải say sưa tìm hiểu nghiên cứu sáng tạo ttrong giải toán * Đối với nhà trường - Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp có phương pháp dạy hợp lí - Tổ chức buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi xây dựng chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm - Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm lớp để tìm phương pháp dạy hợp lí 18 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải tốn liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” PHẦN IV: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Trên số vấn đề ứng dụng hệ thức VI-ÉT giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = hay gặp Đại số lớp Tuy chưa phải đầy đủ song vấn đề bản, tảng cho việc suy nghĩ giải tốn có liên quan đến phương trình bậc hai - Định lí VI-ÉT Theo tơi nghĩ: - Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lượng phương trình bậc hai có chứa tham số Đưa thêm số tốn có ứng dụng hệ thức VI-ÉT vào sách giáo khoa - Đối với giáo viên: Cần định hướng cho học sinh thấy tầm quan trọng hệ thức VI-ÉT môn đại số ứng dụng giải tốn - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện mặt thời gian tài liệu để đồng chí giáo viên đầu tư vào công việc giảng dạy tốt Trong thực tế dạng tốn đa dạng Ví điều kiện thời gian tiếp nhận kiến thức học sinh lực thân nhiều hạn chế nên nội dung chuyên đề chưa phong phú Rất mong cấp lãnh đạo, ban giám khảo bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện hơn, có tính khả thi Tơi xin trân trọng cảm ơn! 19 SKKN: “Nâng cao hiệu hệ thức Vi-et giải toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)” TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 11 12 13 Các toán nâng cao Toán 9, NXb GD, 2009 Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9, Nxb GD, 2008 Sách giáo khoa mơn tốn lớp 9, NxbGD-2008 Sách tập mơn tốn lớp 9, NxbGD - 2008 Sách hướng dẫn giảng dạy mơn tốn lớp 9, Nxb GD- 2008 Trần Phương Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội – 2004 WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra trường THCS WWW.VNMATH.COM Số học, Nguyễn Vũ Thanh Toán chọn lọc cấp II, Lê Hải Châu Chuyên đề bồi dưỡng giỏi toán - Đinh Vũ Nhân - Vừ Thị Ái Nương Hoàng Chúng Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9- NXB Giỏo dục – 2004 Vũ Hữu Bình - Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 9- NXB Giáo dục – 2004 20 ... kiện chung ? ?0 ; P < (ho? ?c ac 0 ? ?0 ? ?0 ;P >0 S >0 P >0 ? ?0 ? ?0. .. S Tích P S = P =2 S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ C? ??A C? ?C BIỂU TH? ?C NGHIỆM... th? ?c đ? ?c kết thành kinh nghiệm "Nâng cao hiệu hệ th? ?c VI-ÉT giải toán liên quan đến phƣơng trình ax2 + bx + c = " giảng dạy SKKN: ? ?Nâng cao hiệu hệ th? ?c Vi-et giải toán liên quan đến phương trình