CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN

Chương CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN 3.1 Bài toán đòn 3.1.1.Định nghĩa “ Đòn vật rắn quay quanh trục cố định, chịu tác dụng lực nằm mặt phẳng vuông góc với trục quay.” 3.1.2.Điều kiện cân Ổ trục O có phản lực liên kết Ro uu r uu r uu r uu r uur Để đòn cân ( F1 , F2 , F3 Fn , RO ) ∼ uu r uu r uu r uu r ur ( F1 , F2 , F3 Fn ) ∼ R u r uuu r ( R, RO ) ∼ uur uuur ⇒ mo ( R ) = − mo ( RO ) = (vì Ro qua O) ⇒ uur ur mo ( R ) = ∑ mO ( F i ) (theo định lý Varinhông) ur ∑ mO ( F i ) = “Điều kiện cần đủ để đòn cân tổng đại số mô men lực tác dụng lên đòn điểm O ( giao điểm trục quay với mặt phẳng chứa lực đó) phải 0.” 3.2 Bài toán vật lật • 3.2.1 Khái niệm “Vật lật vật chịu tác dụng hệ lực có khả bị lật đổ quanh điểm trục đó.” F1 F4 Fn F2 P F3 B A F1 3.2.2.Bài toán cân vật lật F4 Để vật lật cân bằng: ( r r r r r F1 , F2 , , Fn , P, N ~ ) F2 Các lực chủ động không làm vật lật quanh A B P F3 •Để vật không lật quanh điểm A lực tác dụng Fn B r M l = ∑ mA ( Fi ) lực gây lật N A (mômen lật) lực có tác dụng làm vật lật quanh A lực giữ r M g = ∑ mA ( Fk ) (mômen giữ) lực có tác dụng giữ cho vật không bị lật quanh A Hay: k= Mg Ml M g ≥ Ml ≥1 (k gọi hệ số ổn định) k= 1: vật trạng thái ổn định giới hạn Ví dụ Một ụ đất tựa vào tường đá thẳng đứng AB Giả thiết áp lực đất lên tường hướng nằm ngang đặt 1/3 chiều cao 60 kN/m (trên mét chiều dài tường) Trọng lượng riêng tường đá 20 kN/m3 Tìm bề dày cần thiết tường • • • • • • Giải Xét cân tường (Vẽ tiết diện tường) Gọi áp lực đất lên tường: P =60.l Gọi Q trọng lượng tường đá: Q=20.a.h.l r Khi tường bị lật quay quanh A thì: N = Mô men lật M = 1/ 3.h.P = 20.h.l l a Mô men giữ • • Để vật không lật M g ≥ Ml Thay gía trị tính ta được: M g = Q = 10.a h.l a≥ Ví dụ 2: • • Tìm giá trị nhỏ trọng lượng Q đối trọng B Tìm giá trị lớn x cho cẩu tháp ổn định với vị trí A cẩu A không làm việc B G Q c x l P • a) • I Cầu tháp bị lật quanh I quanh H Tìm điều kiện để cẩu không bị lật đổ quanh ray I, a vật A vị trí xa cần với, ta M g = Q ( a + x) ; M l = Pl + Gc Điều kiện để vật không lật quanh I: M ≥ M g l Pl + Gc − Qa x≥ Q H b) Tìm điều kiện để cẩu không lật quanh ray H, trường hợp không cẩu vật nặng A M g = G (c + a ); M l = Qx Điều kiện để cẩu không lật quanh H suy G( x + a) x≤ Q B G c x • Vậy khoảng cách x phải thỏa mãn bất đẳng thức : Pl + Gc − Qa G (c + a ) ≤x≤ Q Q • Để bất đẳng thức có nghĩa, tham số phải thỏa a Pl − Ga mãn điều kiện:  Pl + Gc – Qa ≤ G ( c + a ) ⇒ Q ≤ • I a Vậy giá trị nhỏ trọng lượng đối trọng B Qmin Pl − Ga = a • Và khoảng cách x lớn nhất: xmax G (c + a ) G (c + a ) = = Qmin Pl − Ga H Q 3.3 Bài toán cân hệ vật • Là toán xét cân hệ gồm nhiều vật nối với liên kết • Ví dụ: Hệ khung khớp (hình 3-1), hệ dầm (hình 3-2), hệ dàn (hình 3-3) 3.3.1 Liên kết liên kết • Liên kết liên kết vật hệ tác dụng lên vật thuộc hệ (ngoại lực) • Liên kết liên kết vật thuộc hệ khảo sát gây (nội lực) • Nội lực hai vật liên kết với phương, ngược chiều, trị số (theo tiên đề 4) 3.3.2 Phương pháp giải Phương pháp hóa rắn - Hóa rắn hệ (xem toàn hệ vật), giải phóng liên kết phản lực liên kết tương ứng - Viết phương trình cân cho vật - Giải phương trình cân Phương pháp tách vật - Tách riêng vật hệ cách thay liên kết phản lực liên kết tương ứng - Viết phương trình cân cho vật - Giải phương trình cân để tìm yếu tố chưa biết Phương pháp hỗn hợp: kết hợp vừa hoá rắn, vừa tách vật 3.4.5 Điều kiện cân có ma sát trượt • Vật rắn muốn cân hệ lực tác dụng lên nó, kể lực ma sát trượt phải thỏa mãn điều kiện cân tĩnh học • Ngoài ra, lực ms phải thoã mãn điều kiện không ≤ Fms ≤ Fmax = f N trượt • Nếu xét phản lực toàn phần phải nằm mặt nón masát • Chú ý: KhiF = F = f N vật trạng thái cân ms max giới hạn   Ví dụ Vật có trọng lượng P=100N nằm mặt phẳng ngang Tìm lực Q nghiêng góc α =30 với phương ngang tác dụng lên vật làm vật chuyển động Hệ số ma sát trượt tĩnh f = 0,6 • Phương trình cân bằng: Q.cos α − Fms =  Fms = Q.cos α ∑ X = ⇔ ⇔   N + Q sin α − P =  N = −Q sin α + P ∑ Y = (3) Điều kiện không trượt: Fms ≤ Fmax = f N Thay (1) (2) vào (3) ta có: Q cos α ≤ f ( P − Q sin α ) f P ⇒Q≤ = 52( N ) cos α + f sin α : Với Q ≤ 52 N vật cân Q > 52 N vật chuyển động (1) (2) • Ví dụ 2: Thanh đồng chất AB có trọng lượng Q, đầu B tựa vào tường không nhẵn, đầu A tựa vào sàn nhẵn nằm ngang buộc dây vắt qua ròng rọc D Đầu dây treo vật E có trọng lượng P • Hệ số ma sát với tường f Tìm giá trị trọng lượng P để cân vị trí nghiêng góc α với phương nằm ngang B l C Q α D A E P • Xét cân củaurthanh ur uuu r AB uuu r uuu r • Các lực tác dụng:Q, T , N A , N B , Fms • Khi P ≥ Pmax, đầu A bắt đầu trượt sàn bên phải, đầu B bắt đầu trượt lên trên, đó: l P ≤ Pmax NB Q • Khi P ≤ Pmin, đầu A bắt đầu trượt sàn phía trái, đầu B trượt xuống, A P ≥ Pmin • PTCB khi: Pmax • Giải ta được: B C NA • Để cân bằng: Pmin ≤ P ≤ Pmax F ms α D T=P E NB B  ∑ X = Pmax − N B =  ∑ Y = N A − fN B − Q = Fmax =fNB C  ∑ m B = Pmax l sin α + Q l cos Q α =0 NAα − N A l cos  Pmax Q = 2(tgα − f ) y α A T=Pmax x P Tìm giá trị Pmin: Xét trạng thái CBGH: y • Ta có phương trình cân bằng:  ∑ X = Pmin − N B =  ∑ Y = N A + fN B − Q =  ∑ m B = Pmin l sin α + Q l cos α − N A l cos α = • Giải ta được: Q Pmin = 2(tgα + f ) F max =fN B NB B C Q NA α A T=P x Vậy để cân bằng, trọng lượng P vật E phải thỏa mãn: Q Q ≤P≤ 2(tgα + f ) 2(tgα − f ) với tgα> f Khi tgα < f giá trị P không tồn tại, không cân Khi tgα → f Pmax → ∞ trọng lượng P tăng lên cân 3.5 Ma sát lăn • Định nghĩa: Ma sát lăn cản xuất vật lăn có khuynh hướng lăn tương đối bề mặt vật khác Nguyên nhân chính: bề mặt tiếp xúc không cứng tuyệt đối Q N Q N Q N k Fms P Fms A P Mms B Fms P •Hiện tượng ma sát lăn: - Khi lăn mặt tiếp xúc cứng tuyệt đối: N Q r ur lực ( Q, F ms ) ~ M l = Q.R : làm lăn di chuyển r r ( P, N ) ~ Fms P - Con lăn, mặt tiếp xúc không cứng tuyệt đối r ur lực ( Q, F ms ) ~ M l = Q.R làm cho lăn di chuyển r r ( P, N ) ~ ngẫu lực gây cản trở Q chuyển động, mô men ngẫu : Mms = k.N (mô men ma sát lăn) A P N ~ k Fms Q N B Mms Fms k gọi hệ số ma sát lăn, phụ thuộc vào vật liệu bề mặt lăn P 3.5.2 Các tính chất ma sát lăn • Định luật momen ngẫu ma sát lăn Khi vật chưa lăn, tùy thuộc vào lực chủ động, mô men ngẫu lực ma sát lăn ngược chiều với khuynh hướng lăn vật có trị số biến đổi từ đến Mmax ≤ Mms ≤ Mmax • Định luật momen ngẫu ma sát lăn lớn hệ số ma sát lăn Giá trị mô men ngẫu ma sát lăn lớn xuất lăn trạng thái cân giới hạn (lúc bắt đầu lăn) tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến : Mmax = k.N k: Hệ số ma sát lăn ; có thứ nguyên độ dài Hệ số ma sát lăn xác định thực nghiệm, phụ thuộc vào tính chất vật liệu bề mặt lăn, không phụ thuộc vào lực N Hệ số ma sát lăn vài vật thường gặp: Vật liệu Gỗ lăn gỗ Thép lăn thép Gỗ lăn thép Con lăn thép mặt thép Hệ số k (cm) 0,05 - 0,08 0,005 0,03 - 0,04 0,001 3.5.3 Điều kiện cân • Khi tác dụng lực lên lăn xuất hiện tượng lăn Ngoài xu hướng lăn vật có xu hướng trượt • Điều kiện để vật cân hệ lực tác dụng lên vật (kể ma sát trượt ma sát lăn) cân bằng, ra : Fms ≤ f.N (để vật không trượt) Mms ≤ k.N (để vật không lăn) Nếu hai điều kiện không thỏa mãn vật vừa lăn, vừa trượt Q • Ví dụ 1: Con lăn đồng chất bán kính r, trọng lượng P đặt mặt phẳng ngang, tác dụng lực vào trục lăn nghiêng góc α với phương nằm ngang Biết hệ số ma sát trượt f hệ số ma sát lăn k Tìm giá trị Q để lăn cân C α r P • Xét cân ur urlăn ur uuu r • Các lực tác dụng: Q, P, N , Fms , M ms y Q • Các phương trình cân bằng  ∑ X =  N = P + Q sin α    Fms - Q cos α =    α x ⇔ N P Q sin α = ⇒ F = Q cos α   Y = C   ms ∑  F r - M =  M = rQ cos αP Mms ms ms ms m =   ∑ C • Để lăn không lăn  Fms kP M ms ≤ k.N ⇒ Q ≤ N r cos α − k sin α • Nếu (rcosα - ksinα ) ≤ lăn không lăn với giá trị Q Để lăn không trượt fP Fms ≤ f N ⇒ Q ≤ cos α − f sin α • Nếu (cosα - fsinα ) ≤ lăn không trượt với giá trị Q • Để lăn cân bằng, giá trị Q phải thỏa mãn điều kiện    kP fP Q ≤  , ÷ r cos α − k sin α cos α − f sin α   • Ví dụ 2 : F Con lăn trọng lượng P, bán kính R đặt mặt phẳng nghiêng góc α với phương ngang Hệ số ma sát lăn lăn mặt nghiêng k Xác định lực F để giữ cho lăn cân Ta xét hai trường hợp : ur • Trường hợp 1: Lực F nhỏ : R P α I Con lăn có xu hướng lăn xuống Tại điểm tiếp xúc I xuất lực ma sát trượt ngẫu lực ma sát lăn hình vẽ F  F + F − P sin α = X =  ĐKCB ∑ ms y   Y = ⇒ ∑  N − P cos α = uur R   ∑ m I ( Fk ) =  P sin α R − R.F − M ms = Giải hệ ta Fms = Psinα − F    N = Pcosα   M = R(Psinα − 2F)  ms Mms x P α Fms I N Để vật không lăn : Mms ≤ k.N P ( R sin α − k cos α ) ⇒F≥ 2R r •Trường hợp 2: Lực F lớn: Con lăn có xu hướng chuyển động lên y Lực tác dụng hình vẽ ∑ X =  ∑ Y = uur  ∑ m I ( Fk ) = F  F − Fms − P sin α =  ⇔  N − P cos α =  P sin α R − R.F + M = ms  Fms = F − Psinα   Giải hệ được:   N = Pcosα   M = 2R.F − R.Psinα  ms R Mms P Fms α •Để vật không lăn: M ≤ k.N ⇒ F ≤ P( R sin α + k cos α ) ms 2R •Kết hợp P ( R sin α − k cos α ) P ( R sin α + k cos α ) ≤F≤ 2R 2R I N x BÀI TẬP