CHƯƠNG 2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

Chương HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC - Bài toán thu gọn hệ lực - Bài toán cân hệ lực 2.1 Bài toán thu gọn hệ lực 2.1.1 Định lý dời lực song song Định lý: Tác dụng một lực lên vật rắn không thay đổi ta dời song song từ điểm đến điểm khác vật ta thêm vào ngẫu lực phụ có mô men mô men lực đặt điểm cũ điểm dời đến Chứng minh: B ∼ a A m F F'' F' B a A F ∼ B F' a A uuur uu r uuur uuur uur uuur F ~ ( F , F " , F ' ,) ~ ( m , Fđpcm ') ( ) 2.1.2 Thu gọn hệ lực không gian tâm Véc tơ uu r uu rvà mô uu r men hệ lực Cần thu gọn ( F1 , F2 , , Fn ) ta dời song song lực uu r uur uur uuu r uuu r O, O: z F ~ [ F ' m = m ( F )] z m2 F1 m1 F2 O x uu r1 uu1u r uur1 uuu rO uu1u r F2 ~ [ F2 ' m2 = mO ( F2 )] y F'1 F'2 O x F'n uur uur y uur uuur uur uuur uuur Fn ~ [ Fn ' mn = mO ( Fn )] mn uur uur uur uu r Funu r uu r uur ( F1 , F2 , , Fn ) ~ ( F1 ', F2 ', , Fn ') Đồng quy O ( m1 , m2 , , mn ) uur uur uur uu r z Mo ( F1 ', F2 ', , Fn ') ~ R ' : Véc tơ không phụ R' thuộc tâm thu gọn uur uur uur uuu r (m1 , m2 , , mn ) ~ M o: Mô men O phụ thuộc tâm thu gọn uu r uu r uu r uuu r uuur ⇒ ( F1 , F2 , , Fn ) ~ ( R ' , M O ) x y * Xác định véc tơ mô men hệ lực 2.1.2.1 Xác định véc tơ mô men phương pháp giải tích ’ R = x uu r uur - Véc tơ chính: R ' = ∑ Fk ∑Xk Độ lớn ⇒ R’y = Rx' cosα = R' Rz = Ry' 2 ⇒ R ' = Rx'2 + Ry'2 + Rz' = (∑ ∑Y X k k) + (∑ Y ) + ( Z ) ∑ k k ’ - Mô men chính:  M ox  M O  M oy  M Độ lớn  oz ' Hướng (α, β, γ ) = ( ;Ox, Oy, Oz) R ∑Zk uuur uur uur '   = ∑ mo ( Fk ) = ∑ mx ( Fk )  x uuur uur uur '   = ∑ mo ( Fk ) = ∑ my ( Fk )  y uuur uur uur '   = ∑ mo ( Fk ) = ∑ mz ( Fk )  z uu r uuu r2 uu r M O = [∑ mx ( Fk )] + [∑ m y ( Fk )] + [∑ mz ( Fk )] Hướng (α1, β1, γ ) = (M O ;Ox, Oy, Oz) cosβ = cosγ = R' Rz' R' M ox cosα1 = Mo cosβ1 = M oy Mo M oz cosγ = Mo 2.1.2.2 Xác định véc tơ phương p háp hình học - Từ điểm O, ta vẽ véc tơ véc tơ biểu thị lực hệ, véc tơ trùng với gốc véc tơ - Véc tơ có gốc O có ngọn véc tơ cuối cùng, véc tơ R’ - Đa giác nhận gọi đa giác lực Véc tơ hệ lực biểu thị véc tơ khép kín đa giác lực tạo hệ lực F1 F2 F2 F1 B F3 A C O F3 F4 R D F4 2.1.3 Các trường hợp tối giản thu gọn uu r uuur + Trường hợp 1: R ' = 0, M = : hệ lực cân uuuOr uu r + Trường hợp 2: R ' = 0, M O ≠ : hệ lực thu ngẫu uur uuu r uuu r M O = ∑ mO ( Fk ) lực có véc tơ môuuu men r Trường u ur uhợp uur nàyM O không đổi ∀ tâm thu gọn + Trường hợp 3: R ' ≠ 0, M O = : hệ lực tương uu rđương với R ' đặt O uur uu rmộtulực uuur uur + Trường hợp 4: R ' ≠ 0, M O ≠ R '⊥ M O hệ có hợp lực R MO O R' R'' π d O1 d O R R π O1 2.1.3 Các trường hợp tối giản thu uur gọnuuur uu r uuur + Trường hợp 5: R ' ≠ 0, M O ≠ R ' // M O Hệ lực tương đương với lực ngẫu, R' mặt phẳng tác dụng ngẫu vuông góc với lực R ' M Hệ lực hợp lực, gọi hệ lực xoắn O Đường tác dụng lực R ' qua điểm O, gọi trục trung tâm (trục xoắn) uur uu r uuur uuur d + Trường hợp 6: R ' ≠ 0, M O ≠ 0; R ' không // không ⊥ M O O π M2 R'' π MO O R' M1 d O1 O R d π O1 Hệ lực tương đương với hệ lực xoắn, trục trung tâm (trục xoắn) không qua O M1 R z Ví dụ 1: F1 = F2 = F3 = F; F4 = F5 = 2F Thu gọn hệ lực tâm O Giải : F2 F3 R = ∑ X k = F1  – F2 = ' x F4 Ry' = ∑ Yk = Rz' = ∑ Z k = F5  – F4 − F3  = − F uur M Ox = ∑ mx ( Fk ) = − aF4  + aF5  = uur M Oy = ∑ my ( Fk ) = − aF2  + aF4  = aF uur M Oz = ∑ mz ( Fk ) = Véc tơ F5 O F1 O' R' uur R' = F uuur song song chiều với trục y, M O = aF uuur uur Vì M O ⊥ R ' nên hệ thu hợp lực qua O’ y MO a x R ' song song ngược chiều với trục z, Mô men M O a a 2.1.4 Định lý Varinhông Nếu hệ lực có hợp lực véc tơ mô men hợp lực điểm tổng hình học véc tơ mô men lực hệ điểm uuur uur uuu r uur M O ( R) = ∑ mO ( Fk ) Chiếu đẳng thức lên trục z có sử dụng liên hệ mô men lực điểm trục, ta có : uur uur mz ( R ) = ∑ mz ( Fk ) 2.2 Bài toán cân hệ lực 2.2.1 Điều kiện cân hệ lực tổng quát Các phương trình cân hệ lực 2.2.1.1 Điều kiện cân hệ lực không gian uu r uu r uur uur uuur ' ( F1 , F2 , , Fn ) ∼ ⇔ R = M O =0 Chứng minh: uu r uuur - Điều kiện cần: Giả sử hệ lực cân bằng, mà R ' , M O không đồng thời không theo trường hợp tối giản, hệ lực cân - Điều kiện uu r đủ: uu r uuur ' ' R = 0, M = V i R = nên hệ tương đương với ngẫu lực, Giả sử O uuur mô men ngẫu lực M O = nên hệ ngẫu lực cân Vậy hệ lực phải cân Điều kiện cần đủ để hệ lực không gian cân véc tơ véc tơ mô men hệ lực tâm thu gọn đồng thời phải không 2.2.1.2 Phương trình cân hệ lực không gian hệ lực không gian cân ∑ X k =  ∑ Yk =  ∑ Z k = uur ⇔ ∑ mx ( Fk ) = uur  ∑ my ( Fk ) = uur  ∑ mz ( Fk ) = “Điều kiện cần đủ để hệ lực không gian cân tổng hình chiếu lực lên trục tọa độ tổng mô men lực trục tọa độ không” Ví dụ: Tìm phản lực A, B lực căng dây Biết :P = 10 kN, α = 30 b= d= ur ur uu r u ur 1uu rm,uu r m, a= m Xét cân Các lực tác dụng: P, T , YA , Z A , YB , Z B với chiều giả thiết Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ∑ X =  Y = Y + Y − Tcosα =0 A B ∑  ∑ Z =uZ urA + ZB – P + Tsinα =0  ∑ mx ( Fk ) = −P + Tsinα a = K uur   m y ( Fuku r) = −P + ZB d + Tsinα ( b + d ) = z  m ( F ) = −Y d + Tcosα ( b + d ) = z k B α  I b ∑ ∑ b d/2 B b x A a/2 B TcO s α P T = kN; YA = − kN; ZA =7/12 kN 12 d P YB = kN; ZB =-1/12 kN 12 YB α , ZA d/2 Giải hệ ta được: T ZB YA y a/2 CácAnghiệm ZA, YB dương, chiều thành phần lực ZA, YB b Các nghiệm YA, ZB âm, chiều thành phần lực YA, ZB phải ngược chiều với chiều giả thiết hình vẽ a 2.2.2 Điều kiện cân hệ lực đặc biệt a Hệ lực đồng quy Nếu hệ trục toạ độ có gốc ≡ điểm đồng quy Σmx(F) ≡0 lực trường hợp ta có: Σmy(F) ≡ ΣX = Σmz(F) ≡ 0 -Hệ lực đồng quy ΣY = không gian cân ⇔ ΣZ = cân véc tơ điều kiện cần đủ để hệ lực đồng quy hệ lực phải không, tổng hình chiếu lực thuộc hệ lên ba trục tọa độ phải không -Hệ lực phẳng đồng quy (trong mặt phẳng xOy) phương trình cân là: ΣX = ΣY = z Ví dụ: Giá đỡ gồm ba thanh, AB = 145 cm, AC = 80 cm, D AD = 60 cm, treo vật nặng Q = 420 N Mặt phẳng TAD ACED nằm ngang, đầu B, C, D gắn với TABy tường thẳng đứng Tìm ứng lực Giải: TABxy A TABx TAC Q Xét cân nút A ur uuu r uuur uuur Các lực tác dụng: Q, TAB , TAC , TAD E C TAB TABz B x với chiều giả thiết hình vẽ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Thành lập phương trình cân hệ lực: y H -TABx – TAC = - TABcosβcosα - TAC ΣX = ΣY = ⇔= -TABy – TAD = - TABcosβsinα - TAD ΣZ = -=Q0 - TABZ = - Q - TABsinβ =0 giải ta được:TAB = - 580 N; TAC = - 320 N; TAD = 240 N TAB TAC có chiều ngược với chiều giả thiết hình vẽ b Hệ ngẫu lực “Điều kiện cần đủ để hệ ngẫu lực không gian cân tổng hình học véc tơ mô men ngẫu lực thuộc hệ phải không” uuur ∑ Mk = - Hệ ngẫu lực không gian cân ∑ M kx =   ⇔ ∑ M ky =   ∑ M kz = - Hệ ngẫu lực phẳng cân ⇔ ∑ mk = P = Q = 8kN Ví dụ: ( P 4m A B Biết α chiều dài AB = a a Xác định phản lực gối đỡ Q Giải: ur ur uur uuu r Xét cân dầm AB Các lực tác dụng: Q, P, RA , N B α ur ur P, Q lập thành ngẫu lực có mô men: m1 = - P = - 8.4 = - 32 kN.m ) Để cân phản lực hai gối phải lập thành ngẫu có giá ur urtrị mô men P, Q ) với giá trị mô men của( ngẫu ur ur quay ngược chiều với ngẫu( P, Q ) uur ur Do đó, N B điuu rlên, ur R A xuống Ngẫu lực N B , R A có mô men A m2 = RA.h = RA.a cosα ( h ) Áp dụng điều kiện cân hệ ngẫu: RA m1 ∑ mk = m1 + m2 = ⇒ RA = a cos α NB m1 B α z c Hệ lực song song Giả sử trục z // với phương lực hợp ta có ΣX trương ≡ ΣY ≡ Σmz(F) uu r ≡ ∑ mx ( Fk ) = - Hệ lực không gian  uu r  song song cân ⇔ ∑ m y ( Fk ) =  ( trục z // lực) ∑Z = F2 Fn y O F3 x F1   Vậy “điều kiện cần đủ để hệ lực // không gian cân hình chiếu tất lực lên trục // với lực tổng mô men lực trục ⊥ lực không” - Hệ lực phẳng song song cân ∑ Yk = ⇔ uur ( trục oy // lực) ∑ mO ( Fk ) = Ví dụ: Q = 50 kN, 4m P = 10 kN Hãy xác định phản lực A B Giải: Xét cân cần trục ur ur uuu r uuu r Các lực tác dụng: Q, P, N A , N B y NA A Chọn hệ trục tọa độ Axy hình vẽ Áp dụng phương trình cân ta được: ∑ Y =  uur ⇔  ∑ mA Fk = ( ) P NB B Q 1m 1m N A + N B  – P – Q = −2N A  +1.Q – 3.P = Giải hệ ta được: NA = 10 kN, NB = 50 kN x d Hệ lực phẳng Nếu hệ lực nằm mặt phẳng Oxy, lúc véc tơ mô men lực điểm phương nên ta xét mômen đại số Điều kiện cân tổng quát ur uur  R = ∑ Fk = uur   M O = ∑ mO ( Fk ) = - Dạng 1: ∑ X =  Hệ lực phẳng cân ⇔ ∑ Y =  ∑ mO ( F ) = “Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng hình chiếu lực lên hai trục toạ độ tổng mô men lực điểm 0” - Dạng 2: uur ∑ mA ( F ) =  uur ( trục x không vuông  Hệ lực phẳng cân ⇔ ∑ mB ( F ) = góc với phương AB) ∑ X =   “Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng mô men lực hai điểm A B tổng hình chiếu lực lên trục không vuông góc với phương AB 0” - Dạng 3: ∑ m A ( F ) =  Hệ lực phẳng cân ⇔ ∑ mB ( F ) = (Với A, B, C không thẳng hàng)  ∑ mC ( F ) = “Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng mô men lực điểm không thẳng hàng 0” Ví dụ: F =200N; q=100N/m; α=60 ; m=300Nm Xác định phản lực ngàm A A Bài giải: Xét cân dầm AB ur r uuu r uur Các lực tác dụng: F , q, m, X A , YA , mA Giả định chiều phản lực liên kết ngàm A hình vẽ: Áp dụng điều kiện cân Dạng ta có: ∑ X =  X A − F cos 60 =   ⇔ ⇔ YA − 2q − F sin 60 = ∑ Y = uur   ∑ m ( F ) = m − q − F sin 60 − m =  A  A  X A = 100 N  YA = 273,2 N m = 846,4 Nm  A mA , YA , X A >0 nên chiều thực tế phản lực chiều giả định