Chương này trình bày một số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số.. Luận văn này cố gắng tr[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-TRẦN THỊ CHIÊN
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
BÀI TỐN QUAN HỆ BIẾN PHÂN
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG
(2)Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức sở
1.1 Kiến thức tơpơ giải tích hàm
1.1.1 Không gian metric
1.1.2 Không gian véctơ tôpô
1.2 Ánh xạ đa trị 10
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 10
1.2.2 Một số định lí tương giao điểm bất động ánh xạ đa trị 14
1.2.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 14
2 Bài toán quan hệ biến phân 24 2.1 Phát biểu toán số ví dụ 24
2.2 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 28
2.2.1 Định lí 28
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao 30
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa điểm bất động 35
3 Tính chất tơpơ tập nghiệm tốn quan hệ biến phân 39 3.1 Tính lồi tập nghiệm 40
3.2 Tính bị chặn tập nghiệm 42
3.3 Tính đóng tập nghiệm 43
3.4 Tính ổn định tập nghiệm 45
3.5 Các trường hợp đặc biệt 52
3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 53
3.5.2 Bài toán tựa cân 55
KẾT LUẬN 58
(3)Mở đầu
Lý thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth từ năm 1881 Pareto từ năm 1886 Cho tới năm cuối kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành ngành toán học quan trọng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học, kĩ thuật kinh tế thực tế
Trong xu phát triển chung lý thuyết tối ưu áp dụng lý thuyết cân vào giải lĩnh vực khác sống, lớp toán mới, toán "Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 GS Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu toán tổng quát theo nghĩa số lớp toán quen thuộc suy từ tốn tốn tối ưu tuyến tính, tốn tối ưu phi tuyến, toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, toán bất đẳng thức biến phân,
Bài toán quan hệ biến phân phát biểu sau: Tìm ¯a∈A cho (1) ¯a điểm bất động ánh xạ S1, tức làa¯∈S1(¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) với b ∈S2(¯a) y∈T(¯a, b),
trong A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T :A×B ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a∈A, b∈B, y∈Y
Các vấn đề nghiên cứu toán quan hệ biến phân tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm tốn (tính đóng, tính lồi, tính ổn định, tính liên thơng, )
Luận văn có mục đích trình bày tốn quan hệ biến phân tính ổn định tập nghiệm toán quan hệ biến phân Luận văn chia thành ba chương
(4)Chương Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chương trình bày tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lí điểm bất động
Chương Tính chất tơpơ tập nghiệm Chương trình bày số tính chất tơpơ tập nghiệm tính lồi, tính bị chặn, tính đóng tính ổn định nghiệm tốn quan hệ biến phân có tham số
(5)Lời cảm ơn
Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy
Qua đây, xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình học tập Trường
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
(6)Chương 1
Kiến thức sở
Trong chương này, ta trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tơpơ, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau
1.1
Kiến thức tơpơ giải tích hàm
1.1.1 Khơng gian metricĐịnh nghĩa 1.1.1 Cho tập X 6=∅, ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập hợp số thực R gọi metric X tiên đề sau thỏa mãn:
1) (∀x, y ∈X)d(x, y)≥0, d(x, y) = 0⇔x=y, (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈X)d(x, y) =d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈X)d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y), (tiên đề tam giác)
Tập X với metric d trang bị X gọi khơng gian metric, kí hiệu
(X, d) hay thường viết làX Số d(x, y)gọi khoảng cách hai phần tử
x y Các phần tử X gọi điểm Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric
Định nghĩa 1.1.2 Cho X hai không gian metric, điểm x ∈ X A tập X Khoảng cách từ điểm x đến tập A xác định
d(x, A) = inf
a∈Ad(x, a)
(7)cách Hausdorff từ tập A đến tập B xác định
dH(A, B) = max
sup
a∈A
inf
b∈Bd(a, b),supb∈Ba∈Ainf d(a, b)
,
hay
dH(A, B) = max
sup
a∈A
d(a, B),sup
b∈B
d(b, A)
Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X Một dãy {xn} gọi dãy
cơ
(∀ε >0) (∃N) (∀n≥N) (∀m≥N) thìd(xn, xm)< ε
Nhận xét 1.1.1 Một dãy hội tụ dãy bản, xn →x theo bất đẳng thức tam giác ta có
d(xn, xm)≤d(xn, x) +d(x, xm)→0 (n, m→ ∞)
Nhưng ngược lại dãy không gian không thiết hội tụ Chẳng hạn xét khoảng (0,1) không gian metric với
d(x, y) =|x−y| với x, y ∈(0,1) dãy n1
n
o
, dãy bản, không hội tụ không gian
Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X dãy hội tụ (tới phần tử X ) gọi không gian đủ
Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ P :X →X gọi ánh xạ Lipschitz
∃k > :d(P(x), P(y))≤kd(x, y) • k= 1: f gọi ánh xạ khơng giãn
• 0< k <1: f gọi ánh xạ co
Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa tồn x¯∈X thỏa mãn hệ thức Px¯= ¯x
1.1.2 Không gian véctơ tôpô
Định nghĩa 1.1.7 (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅ Một họ τ tập X gọi tơpơ X thỏa mãn tính chất sau:
(8)(ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ; (iii) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ
Khi cặp (X, τ) gọi khơng gian tôpô
Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh
hơn τ1) τ1 ⊂τ2, nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2
Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, τ) không gian tơpơ
• Tập G gọi tập mở X nếuG∈τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈τ
Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ), tập A tập X Tập
U gọi lân cận tập A U có tập mở chứa A Khi
A={x} U lân cận điểm x
Định nghĩa 1.1.11 Một họ V = V :V lân cận điểmx∈X gọi sở lân cận điểm x với lân cận U điểm x, tồn lân cận
V ∈ V cho x∈V ⊂U
Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tơpơ (X, τ), A tập
X Đối với phần tử x∈X ta gọi:
(i) x điểm A tồn lân cận x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm
X\A
(iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm khơng điểm ngồi củaA Hay nói cách khác xlà điểm biên A lân cận x giao khác rỗng với A X\A
Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, tập mở lớn Kí hiệu Ao intA
Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ Kí hiệu A¯ clA
Định nghĩa 1.1.15 ChoX, Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từX vào
(9)Định nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ) gọi làkhông gian Hausdorff
(hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩V =∅
Định nghĩa 1.1.17 Giả sử F trường R C Các phần tử F
được gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V không rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn:
1 Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với u, v, w∈V :u+ (v+w) = (u+v) +w;
2 Phép cộng véctơ có tính chất giao hốn: Với v, w∈V :v +w=w+v;
3 Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa:
Với v ∈V, có phần tử 0∈V, gọi véctơ khơng: v+ =v;
4 Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với v ∈V, tồn w∈V: v+w= 0;
5 Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α∈F;v, w∈V :α(v +w) = αv+αw;
6 Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈F;v ∈V: (α+β)v =αv+βv;
7 Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈F;v ∈V: α.(β.v) = (α.β)v;
8 Phần tử đơn vị trường F có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với v ∈V : 1.v =v.1
Định nghĩa 1.1.18 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈C với λ∈[0,1] (1−λ)x+λy ∈C (hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó)
Định nghĩa 1.1.19 Cho X không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ X số
λ1, λ2, , λk thỏa mãnλj ≥0, j = 1,2 , kvà k P j=1
λj = 1.Khi đó, x= k P j=1
(10)Định nghĩa 1.1.20 Giả sử S ⊂X Bao lồi S, kí hiệu convS tập hợp tổ hợp lồi điểm S
Định nghĩa 1.1.21 Cho X không gian véctơ
1 Một tập C ⊆X gọi nón với λ≥0, x∈C λx ∈C
2 Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C
là nón lồi có tính chất sau: (i) λC ∈C với λ≥0,
(ii) C+C ⊆C
Định nghĩa 1.1.22 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tơpơ đó, tức nếu:
1 x+y hàm liên tục hai biến x, y; cụ thể với lân cận V điểm x+y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x0∈Ux, y0 ∈Uy x0+y0∈V
2 αx hàm liên tục hai biến α, x; cụ thể với lân cận V αx
đều có số ε >0 lân cậnU x cho |α−α0|< ε, x0 ∈U
α0x0 ∈V
Một khơng gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính)
Định nghĩa 1.1.23 Một khơng gian véctơ tôpôX gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương trongX có sở lân cận (của gốc) gồm tập lồi
Định nghĩa 1.1.24 Cho X không gian tôpô lồi địa phương tập C ⊆ X
Ta nói véctơ d phương lùi xa C x+λd ∈C với x∈C, λ >0
Tập tất phương lùi xa C gọi nón lùi xa củaC kí hiệu o+(C) Vậy, o+(C) ={λ ∈X:x+λd∈C} với x∈C, λ >0
Định nghĩa 1.1.25 Cho tập I khác rỗng gọi định hướng xác định quan hệ ”≥” thỏa mãn tính chất sau:
(11)Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt[1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội
[2] Nguyễn Đông n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York
[4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035
[5] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76