Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập SBT (hh nâng cao).. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sai cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai ta[r]
(1)QUAN HỆ VNG GĨC
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Định lý Các định lý khác
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SBT/ hhcb 11
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A cạnh SB, SC SD
a Chứng minh: BC (SAB); CD (SAD) BD (SAC)
b Chứng minh: SC (AHK) điểm I thuộc (AHK)
c Chứng minh: HK (SAC), từ suy HK AI
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD a Chứng minh: SO (ABCD)
b Gọi I, K trung điểm cạnh BA, BC Chứng minh rằng: IK (SBD) IK SD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện vuông góc với đơi Bài 4: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Kẻ OH vng góc với mặt phẳng (ABC) H Chứng minh:
a OABC; OBCA VÀ OCAB
b H trực tâm tam giác ABC
c 1 2 12 12 12
(2)Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Chứng minh mặt bên hình chóp cho tam giác vng
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H vng góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a AA’BC AA’B’C’
b Gọi MM’ giao tuyến mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, M BC M’B’C’
Chứng minh tứ giác BCC’B’
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Cách 1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt chứa
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Cách 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng
Cách 2: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc học hình học phẳng
Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; SA vng góc với mặt phẳn (ABCD) Gọi H, I, K ần lượt hình chiếu vng góc điểm A SB; SC; SD
a Chứng minh rằng: BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vng góc với mặt phẳng (SAD); BD vng góc với mặt phẳng (SAC)
b Chứng minh rằng: AH; AK vng góc với SC Từ suy ba đường AH; AI; AK chứa mặt phẳng
c Chứng minh rằng: HK vng góc với mặt phẳng (SAC) Từ suy HK vng góc với AI Bài 2: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng B, SA(ABC)
a Chứng minh: BC (SAB)
b Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: AH SC
(3)a Chứng minh: SO(ABCD)
b Gọi I J, trung điểm cạnh BA BC, Chứng minh rằng: IJ(SBD) Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác đều; gọi I trung điểm cạnh BC a Chứng minh: BC (AID)
b Vẽ đường cao AH tam giác AID Chứng minh: AH (BCD)
Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a BC(OAH)
b H trực tâm tam giác ABC
c 1 2 12 12 12
OH OA OB OC
d Các góc tam giác ABC nhọn
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD
a Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh SI (SCD) SJ (SAB) b Gọi H hình chiếu vng góc S IJ Chứng minh rằng: SH AC
c Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM SA Tính AM theo a
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác
2
SC a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a Chứng minh rằng: SH (ABCD)
b Chứng minh rằng: SC SK CK SD
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a ; BC a 3, mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD a 5
(4)b Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giáo điểm K, L SB, SD với mặt phẳng (HIJ) Chứng minh rằng: AK (SBC) AL(SCD)
c Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài 8: Gọi I điểm đường trịn (O), tâm O, bán kính R CD dây cung đường tròn (O) qua I Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I, ta lấy điểm S với OS R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng:
a Tam giác SDE vuông S b SD CE
c Tam giác SCD vuông
Bài 9: Cho tam giác MAB vuông M mặt phẳng Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng A ta lấy hai điểm C, D hai bên điểm A Gọi C’ hình chiếu vng góc C MD, H giao điểm AM CC’
a Chứng minh: CC' ( MBD)
b Gọi K hình chiếu vng góc H AB Chứng minh K trực tâm tam giác BCD Bài 10: Cho đường trịn (O) đường kính AB 2R; (O) mặt phẳng Dựng AS 2R vng góc với mặt phẳng Gọi T điểm di động tiếp tuyến đường tròn (O) A Đặt
ABT
(0 90o) Đường thẳng BT gặp đường tròn (O) M Gọi N hình chiếu vng góc A SM
a Chứng minh T di động, đường thẳng TN qua điểm cố định H b Tính để tam giác AHN cân
Bài 11: Cho tứ diện ABCD
a Chứng minh rằng: AB CD AC2 AD2 BC2 BD2
b Từ suy tứ diện có hai cặp cạnh đối vng góc với cặp cạnh đối cịn lại vng góc với
(5)1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA = SC; SB = SD Gọi O giao điểm AC BD
a Chứng minh SO mp(ABCD)
b Gọi d giao tuyến mp(SAB) mp(SCD); d1 giao tuyến mp(SBC) mp(SAD) Chứng
minh SO mp(d; d1)
2 Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm hai mặt phẳng khác sai cho hai đường chéo AC BF vng góc Gọi CH FK hai đường cao hai tam giác BCE ADF Chứng minh rằng: a ACH BFK tam giác vuông
b BF AH AC BK
3 a) Cho tứ diện DABC có cạnh Gọi H hình chiếu DH Chứng minh tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi vng góc
b) Cho tứ diện IABC có IA = IB =IC IA, IB, IC đôi vng góc; H hình chiếu I mp(ABC) Gọi D điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ diện DABC có cạnh Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc với mp(ABC), ABC tam giác vuông A
a Chứng minh ACS tam giác vuông
b Tính SA, SB, SC biết ACB;ACS;BC a
VẤN ĐỀ 2: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện (S) với mặt phẳng , qua điểm M cho trước vng góc với đường thẳng d cho trước
Cách 1: Nếu có hai đường thẳng cắt hay chéo a, b vng góc với d thì:
/ /a
(hay chứa a)
/ /b
(hay chứa b)
(6)Cách 2: Dựng mặt phẳng sau: Dựng hai đường thẳng cắt vng góc với d, có đường thẳng qua M (hình 63a)
Mặt phẳng xác định hai đường thẳng
- Xác định thiết diện theo phương pháp học
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB BC a AD , 2a;
SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA2a Gọi M điểm cạnh AB; mặt phẳng qua M, vng góc với AB Đặt x AM (0x a )
a Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với Thiết diện hình gì? b Tính diện tích thiết diện theo a x
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA2a Gọi mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC với tính diện tích thiết diện
1 Cho hình tứ diện S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B AB a SA ; (ABC)
3
SA a M điểm tuỳ ý cạnh AB Đặt AM x (0x a ) Gọi mặt phẳng qua M vng góc với AB
a Tìm thiết diện tứ diện S.ABC với
b Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm giá trị x để diện tích có giá trị lớn Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a, SA(ABC) SA a Tìm thiết diện tứ diện SABC với mặt phẳng tính diện tích thiết diện trường hợp sau:
a qua S vng góc với BC
b qua A vng góc với trung tuyến SI tam giác SBC c qua trung điểm M SC vng góc với AB
(7)a Chứng minh:
2
2 3 SH
SB
b Gọi mặt phẳng qua A vng góc với SB, cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện
4 Cho hình vng ABCD cạnh a; SA(ABCD) SA a 2 Gọi mặt phẳng qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD M, N, P
a Chứng minh rằng: AM SB AP SD ; SM SB SN SC SP SD SA. . . b Chứng minh: tứ giác AMNP nội tiếp có hai đường chéo vng góc với
c Gọi O giao điểm AC BD; K giao điểm AN MP Chứng minh ba điểm S; K; O thẳng hàng
d Tính diện tích tứ giác AMNP
5 Cho hình thoi ABCD có tâm O với đường chéo AC4 ;a BD2a Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) O lấy điểm S với SO2 3a Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB; SC; SD B’; C’; D’
a Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai đường chéo vng góc với b Tính diện tích tứ giác AB’C’D’
c Chứng minh B’C’D’ tam giác
6 Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a; SA(ABC) SA a Gọi M điểm tuỳ ý cạnh AC, mặt phẳng qua M vng góc với AC
a Tuỳ theo vị trí điểm M cạnh AC, có nhận xét thiết diện tạo với tứ diện S.ABC b Đặt CM x (0x a ) Tính diện tích S thiết diện theo a x Xác địnhx để diện tích có giá trị lớn Tính diện tích lớn
7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a AA' ( ABC) AA'a Có nhận xét thiết diện lăng trụ với mặt phẳng tính diện tích trường hợp sau: a qua A vuông góc với B’C
(8)ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN A TÓM TẮT
1 Phép chiếu vng góc Đoạn vng góc, đoạn xiên
3 So sánh độ dài đoạn vng góc đoạn xiên Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
5 Định lý ba đường vng góc Góc đường xiên mặt phẳng Khoảng cách
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VẤN ĐỀ 1:
- DỰNG ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐIỂM A CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
CHO TRƯỚC
- TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Thực theo bước sau:
- Bước 1: Chọn đường thẳng d, dựng mặt phẳng qua A vng góc vowosi d (nên chọn d cho dễ dựng)
- Bước 2: Xác định đường thẳng c
- Bước 3: Dựng AH c H
- Đương thẳng AH đường thẳng qua A vuông góc với
(9)Chú ý :
1 Trước chọn d dựng β nên xét xem d β có sẳn hình vẽ chưa Phương pháp dựng mặt phẳng β bước trình bày vấn đề
3 Nếu có sẳn đường thẳng vng góc với α, cần dựng Ax// Ax α
4 Nếu AB//α d(A, α) = d(B, α)
5 Nếu AB cắt α I ( , )
( , ) d A IA d B IB
Bài tập
Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vuông VẤN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VNG GĨC