Bài giảng số 2
QUAN HE VUONG GOC TRONG KHONG GIAN
Cac bai toan vẻ quan hệ vng góc luôn luôn là một chủ đẻ quen thuộc và không thê thiếu trong mọi bài toán hình học khơng gian có mặt trong các kì thi nói chung và thi vào Đại học Cao đăng nói riêng
Các nội dung chính trong các bài thi tuyển sinh thuộc dạng toán này thường được đề cập đến là:
- Chứng minh tính vng góc (bao gồm đường thẳng vuông góc mặt phăng, hai đường thắng vng góc với nhau, hai mặt phăng vng góc với nhau)
- Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau
- Các bài toán xác định góc: Góc giữa hai đường thăng chéo nhau, góc giữa hai mặt phang, góc giữa đường thang va mat phang
, Bai giang nay dé cap đến các nội dung đó và những vẫn đề liên quan trực tiếp dén no
§1 CAC BAI TOAN CHUNG MINH TINH VUONG GOC
z ek z * À 7k
1 Các kiên thức cơ bản cần biết
a Tiéu chudn vudng géc
+ Đường thăng (d) vng góc với mặt phăng (P) khi (đ) vuông góc với hai đường thăng giao nhau của (P)
/ + Hat mat phẳng (P) va (Q) vng cóc với
nhau khi góc tạo bởi hai mặt phang ay bang 90° b Các định lí về tính vng góc
+ Định lí ba đường vng góc:
A⁄ Giả sử d 1 (P) cho Ae(P), đường thẳng
+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phăng vng góc
với nhau, (P)(Q)=A Nếu a e (P), aL Athi
a+L(Q)
Trang 2
+ Giả sử (P) và (Q) cùng vng góc với (R), trong đó (P)¬(Q)= A + Nếu a L (P), thì mặt phăng (Q) chứa a đều vng góc với (P)
|
Z⁄⁄
2 Các đạng toán thường gặp:
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thắng
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về "quan hệ vng góc” (và có tần suất khá cao trong các bài toán gặp phải ở câu số 3, về hình khơng gian trong các để thi tuyển sinh vào các trường Đại học,
Cao đẳng các năm gần đây từ 2002 — 2009)
Đề giải các bài tốn này phương pháp chính được sư dụng là:
A Dé chứng minh đường thắng d vng
| ⁄ D góc với đường thăng A ta thường chứng | ⁄ Ị minh d vng góc với mặt phăng (Q),
Bị vt C trong đó đường thang A nam trong (Q)
⁄ | Dĩ nhiên để làm được điều này người
ye | ta phải sử dụng điều kiện để một đường
‡ thăng vng góc với một mặt phẳng trình
@œ——+—k-—-— bày ở trên
xZ Nói cách khác hơi sự kiện chinh rat
⁄ don gian va co ban sau day chính là "lĩnh B C hồn” để giải các bài toán thuộc loại này:
+ Nếu a L (P)thìa vng góc với mọi đường của (P)
+ Để a L (P) chỉ cần a vng góc với hai đường thăng giao nhau của (P)
Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2002)
Cho hình lập phuong ABCD.A,B,C,D, Goi M, N, P lần lượt là các trung điểm của BB), CD, A;D Chứng minh MP L CN
Gọi E là trung điểm của CC Ta có: ME//BC = ME// A¡Di
Gọi (Q) là mặt phẳng MED,A¡ MP e(Q) (1)
Dé thay hai tam giác vuông C,CN và D¡C;E bằng nhau
=> CNG, =C,ED, =CC,N +C,NC = 90° = C,N L ED, (2) Do ME//BC => ME 1 (CDD,C,) MEL C\N (3)
Tir (2) va (3) suy ra: CN L(Q) => C\N L MP
Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A ¬ 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM + BP
Trang 3Giải
Gọi H là trung điểm của AD, do SAD là tam giác đều, nên SH L AD Vì (SAD) ! (ABCD) SH (ABCD) = SH | BP (1)
A B ‘ H N i D P c
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC va CHD là bằng nhau, nên ta có
= Bị =Ci = Bị +C¿ =C¡ + Ca =90° > BP LCH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BP L (SHC) @)
Do HC// AN, MN//SC = (SHC)//(MAN) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: BP L (MAN) > AM BP (dpcm)
Thi du 3: Dé thi tuyển sinh Đại học khỗi B-2007
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AE, BC Chứng minh MN L BD
Ta có SEAD là hình bình thành > SE/DA va SE = DA => SEBC ciing Ia hinh bình hành
=> SC/EB
Gọi P là trung điểm của AB Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP//EB, PN//AC
Từ đó suy ra: (MNP)/(SAC) (1)
Tacó DB L AC và BD L SH(viSH 1 (ABCD)) => DB + (SAC) (2)
Kết hợp (1) (2) đi đến: DB L (MNP)
= BD 1 MN => dpcm
Thi du 4: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D- 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang, trong đó ABC = BAD =90°; BA = BC
=a, AD =2a Giả sử SA =av2 và SA vng góc voi day ABCD Chitng minh SC L CD
_ Giải
Gọi M là trung diém của AD ta có:
MA=MD=a
Do MA = BC = a; MA//BC = MABC là hình -
Trang 4Từ đó ta có: MC = a Vì MA =MD = MC =a
=> ACD là tam giác vuông tại C, tức làCA L CD Do đó SC L CD (định lí ba đường vng góc)
Chú ý: Xét một bài toán tương tự (đề thi
tuyển sinh Cao đăng khối 'A - 2008) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang, với ABC = BAD = 90°, BA =
BC = a, AD = 2a; SA 1 (ABCD) Gọi M,
N là trung điểm của SA, SD tương ứng
Chứng minh BCNM là hình chữ nhật D - Giải That vay, vi MN // AD vi MN//BC; va MN = BC =a> BCNM là hình bình hành Do AB 1 BC = MB L BC (dinh li ba đường vng góc) = BCNM là hình chữ nhật
Giả thiết SA = a2 không dùng trong câu này (nó dùng trong câu hỏi thứ hai
của bài thị - xem ở §3
Thí dụ 5: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng khối A, B, D — 2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a Cạnh bên bằng a2
Goi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, DC Chứng minh rằng MN 1 SP
Giai
Ss Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN//AD => MN // BC
Do S.ABCD là chóp đều nên SB = SC
Vi PB=PC = SP 1 BC>MN 1 SP = đpcm
Loại 2: Các bài tốn về tính vng góc của hai
c mặt phẳng
Mặc dù các bài toán này trong các để thí tuyển sinh
P vảo Đại học, Cao đăng những năm 2002 - 2009 là
s ít hơn nhiều so với các bài toán xét trong loai 1,
A nhưng nó vân là một bài toán cơ bản và không
được xem nhẹ
Phương pháp chính đê giải các bài toán này là dựa vào định lí quan trọng sau đây: Cho hai mặt phăng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyển A Khi đó một đường thăng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với A thì vng góc với mặt phẳng
con lai
Ngoài ra, người ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phăng vng góc để
chứng minh tính vng góc của hai mặt phẳng
Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a2, SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD) Gọi M, N là trung điểm
của AD và SC Chứng minh mặt phăng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB)
23
Trang 5Giải
äsử AC¬MB=I
` MA = MD, và do AD//BC, nên theo định lí let suy ra: AI =H4IC
/ AC? = AD? + DC? =(aV2) +a? =3a°
Cc 2
Ar = ac? =2
p 9 3
2
B 2 2
A -i mp? =! av2 gat fae,
2 91, 2 6
2 2 5\
Tir dé suy ra: AP +MP =2-42 =! BN" | = AM?
3 6 2
Vậy AIM là tam giác vudng tail > MB L AC (1)
Mat khac SA 1 (ABCD) => SA 1 MB (2)
Từ (1), (2) suy ra: MB 1 (SAC) = (SMB) L (SAC) => dpem
Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2003) Ộ
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A"B'C"D' day là hình vng ABCD canh bang a; AA’ = b Goi M là trung điểm của CC" Xác định tỉ số 5 dé hai mat phẳng A'BD
và MBD vuông góc với nhau ‘
: Giai
y Tacó A'B=A'D = A'O I BD
AN Lại có MB =MD = MO BD
5 „ Đề + ở đây O là tâm của đáy ABCD
/ Ì \ VI Từ đó AOM là góc giữa hai mặt phẳng
/ | \ \ ` (A'BD) và (MBD)
\ —
ì 7 shee ——=2° Vì vậy: (A'BD) L (MBD) © AOM =90°
/„ ⁄“ _3<⁄T1— <> A‘O’ + OM? =A’M? (1)
ké=—= a ` Ta có: A’O” = A‘B’- BO”
-\2 + > ,2 {| av2 > a = a’ +b - ~— | 5 | =b 4 5 = bồ“ 13_—— (2) 5 , > „ b` a | OM? = MC” + CO" =— + — (3) 4 2 AM? = A'C!+C'M? = 2a 42 (4) >
Trang 6Vậy với bt! thi (A'BD) L (MBD)
Thi du 3: (Đề thi tuyển sinh Dai hoc Hai Phong — 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy là tam giác đều
S
cạnh a, còn SA = 2a và SA vng góc với mặt phăng đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC “Chứng minh mat phăng (SAI) vng góc với mặt phang (SBC)
A ‘ Do AB=AC => AI 1 BC (1)
5 Vi AB=AC => SB=SC => SI L BC (2)
21 Tir (1) (2) suy ra: BC L (SAL) = (SBC) L (SAI)
B => dpem
Thi du 4: Cho hinh chép S.ABC, trong do day ABC la tam giac vudng tai C, hai mặt bên SAC và SAB cùng vuông góc với day ABC Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB Chứng minh (SAB) L (ADE)
Giải
Vi (SAB) L (ABC); (SAC) L (ABC), mà (SAB) M(SAC) = SA, nén SA L (ABC)
Vì BC L CA (gia thiét) > BC 1 (SAC)
=> (SBC) L (SAC) Do AD 1 SC, ma
SC = (SBC)A(SAC) > AD L (SBC) = AD LSB (1)
B Từ (1) kết hợp với AE L SB (giả thiết) suy ra:
SB 1 (ADE) = (SAB) 1 (ADE) => dpem Thí dự 5: Trong mặt phang (P) cho hinh vuông
ABCD cạnh bằng a Đoạn SA có định vng góc với (P) tai A: M va N là hai điểm tương ứng di động trên
các cạnh BC và CD
Dat BM = u, DN = v Chứng minh rang a(utv) = a’+ ur là điều kiện cần và đủ dé hai mat phang (SAM) va (SMN) vuông góc với nhau
Giai
Gia str (SAM) 1 (SMN) (1)
S ViSA 1 (P) => (SAM) 1 (P)(2)
Do (SMN) - (P)= MN, nên tir (1) va (2) suy ra
MN 1 (SAM) => MN L MA
Dao lai gia su MN L MA (3)
Tacé.MN | SA (do SA 1 (P))
=> MN 1 (SAM) => (SMN) L (SAM) Vay MN L MA là điều kiện can va du dé (SAM) | (SMN)
Ta có MN.LMA < AN”=MA”+ MN
atv =aitÂul+(a-uy +(a-v) â a(utv)=a tu’ => dpem
Trang 7
Thí dụ 6:
Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh bằng a Hai nửa đường
thắng Bx và Dy vng góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) M va N là hai
điểm di động tương ứng trên Bx, Dy Đặt BM = u, DN = v
1) Tìm mi liên hệ giữa u, v để (MAC) L (NAC)
2) Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh (AMN) 1 (CMNY
Giải
1) Do BA = BC => MA =MC Tương tự có NA=NG
Giả sử AC BD = O, thi tir trén suy ra MO 1 AC, NO L-AC
Vì (MAC) n (NAC) = AC nên MON là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MAC)
va (NAC)
Ta cd (MAC) 1 (NAC) < MON = 90° <> MN* = MO? + NO?
e>(av2) +(v-u} aw Sv ee <> 2uv =a’ (1)
Vay (1) là điều kién can va di dé hai mat phang (MAC) va (NAC) vng góc với nhau
2) Giả sử ta có (1)
Vị Bx, Dy cùng vng góc voi (P), nén (BDMN) 1 (P)
Do AC 1 DB => AC L (DBMN)
‘ Ke OK L với MN Theo định lí ba đường vng góc suy ra AK L MN; CK L MN => AKC là góc tạo bởi hai mặt phẳng
\ (AMN) va (CMN)
Do cé (1) nén trong tam giác vuông
NOM tai O, ta co
OK* OM* ON? MO? ON?
B 3 2
5 fue ee)
: -5 OK? = MOLON® Ll 2) 2
OM? + ON’ u+v +a"
uvŸ +2? + v)+—-
¬ (2)
uy +V > +a
Thay (1) vao (2) ta có:
E(w ev)+% a av2 -
OK? = 24 2 28 ox = 88? | (3)
u+v+a 2 2
Nhu vay ttr (3) c6 OK = OA = OC AKC là tam giác vuông tại K
Trang 8§2 CÁC BÀI TỐN TÌM KHOẢNG CÁCH
Hai loại toán quan trọng nhất của mục này, cũng là hai dạng toán thường xuyên có mặt trong các kì thị tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây là:
1/ Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phăng (hoặc một đường thẳng)
2/ Tìm khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau và bài tốn về đường thắng vng góc chung
Loai 1:
Bài tốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thăng):
Trong mục này chúng tơi trình bày phương pháp trực tiếp để tính các khoản cách này, mà không dựa vào phương pháp sử dụng thé tích khối đa diện như đã đề cập đến trong bài giảng 1
Phương pháp giải được tiễn hành theo lược đồ chung:
- Xác định chân đường vng góc trên mặt phẳng (hoặc đường thắng) mà cần tính khoảng cách từ một điểm cho trước đến nó Bước này quan trọng ở chỗ: Nhờ có việc xác định này mà cho phép ta có đủ dữ liệu để chuyên sang bước tiếp theo
- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (bao hàm cả định lí Pitago), hoặc lượng giác dé tính các khoảng cách cân tìm
Các bài tốn này trong khá nhiều trường hợp dựa vào bài toán cơ bản sau đây:
A Thi du 1 (Bai todn co ban)
Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau Kẻ OH 1 (ABC)
1) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC 2) Chứng minh hệ thức: -:
] I I |
OH? OA? OB? OC?”
Giải
1) Ké OH L (ABC), AH¬¬BC =M Ta có OH | BC va BC L OA
(do OA (OBC) suy từ OA 1 OB, OA 1 OC) => BC 1 (AOH) => BC L AH
Lập luận tương tự ta có BH L AC
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC => đpcm
2) Theo định lí ba đường vng góc, suy ra MO L BC
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có: ] Ì l
au? oar? OH“ OA* OM 2
Lại theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC, ta có:
_! ¬ = > t——
OM” OB OC
(1)
(2)
Trang 9| l l
OH OA? OB? OC:
Nhận xét: Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các bài toán vẻ "quan hệ vng góc” của hình học khơng gian Các
thí dụ 2, 3 dưới đây sẽ minh hoa cho điều â ây
Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2002)
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngoài - ra AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
D Giải
Vi AB = 3em ÁC = 4cm, BC = 5cm => BÁC là tam giác vuông tại A Vậy AB, ÁC, AD đôi một vuông goc với nhau
Theo thí dụ 1 ta có:
| I | 1 L1
—— 7+ a7 + _=1
AH? AB? AC? AD? 9 16 16
6434 17 ˆ + =AH=—— Thí dụ 3: (Đề thi tuyên sinh Đại học khối D- 2008)
C Cho lăng trụ đứng đáy ABC.A'B'C` đáy là tam giác
vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA' = a2 Gọi M là
trung điểm của BC Tính khoang cách giữa hai đường thang
AM vàB'C
Giải
Gọi E là trung điểm BB' Ta có EM/⁄/B'C = B`C//(AEM)
€ => d(B’C, AM) =d (B’C, (AEM)) = d(C, (AEM))
= d(B, (AEM)) (vi MB = MC)
Do ABC là tam giác vuông tại B, nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đơi một vng góc với nhau Theo thí dụ 1, nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện trên (He (AEM)) thì,
L1 1 —=——— +o to TT Ta T17 ==—=B H=® av7 aM, BC) = # av7
24 Thí dụ 4:
Cho hình chop S.ABCD có SA = 3a, va SA vng góc với mặt phang ABC Giả sử AB = BC = 2a; ABC = 120° tim khoang cach tir A dén mat phang (SBC)
Ké AH 1 BC = SH L BC (định lí ba đường vng) Lại có BC L (SAH) = (SBC) L (SAH)
Do (SBC) ¬ (SAH) = AH,
nén neu ké AK SH(KeSH) thi AK 1 (SBC)
Trang 10Vậy d (A, (SBC)) = AK
Ta có AH = ABsin60” = 208 =a43
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH ta có:
I l 1 1 4 3a
>
^ = ¬ + > TT” > +> = 2 T-
AK- SA ˆ SH 9a 3a ` 9aˆ 2
_Do vậy d(A,(SBC)) =—
Loại 2: Bài tốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau chính là độ dài đường vng góc chung của hai đường thăng đó Vì lẽ đó nếu xác định được đường vng góc chung ay thi việc tính độ dài ây coi như đã được giải quyết Tuy nhiên, việc xác định đường vng góc chung của hai đường thăng chéo nhau không phải là một việc để làm Hơn thể nữa trong rất nhiều bài toán người ta chỉ đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau mà không yêu cầu xác định cụ thể đường vng góc chung của chúng Vì vậy trong thực tế người ta thường chuyển bải toán xác định khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau về các bài toán để giải hơn sau đây:
1/ Nếu như dị song song với mặt phẳng (P), trong đó d; e (P) khi đó khoảng cách giữa dị và d› bằng khoảng cách giữa dị và (P)
2/ Nếu như dị e (P): d;e (Q) mà hai mặt phăng (P) và (Q) song song với nhau thì khoảng cách giữa dị và d; bằng khoảng cách giữa (P) và (Q) Lưu ý rằng nếu d,// (P) thì khoảng cách giữa dị và mặt phăng (P) băng khoảng cách từ một điểm bất kì của dị, đến (P) Tương tự, khoảng cách giữa hai mặt phăng Song song (P) và (Q) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng nảy đến mặt phẳng kia
Như vậy cuối cùng ta lại guy bai tốn tìm khoang cách giữu hai đường thăng chéo nhau về bài toán tìm khoang cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Thi du I: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2008) Đó chính là thí dụ 3, loại Ï vừa xét ở trên
Thi du 2: (Dé thi ny én sinh Dai hoc khối B - 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đôi xứng của D qua trung điểm của SA Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AE và BC Tìm khoảng cách theo a giữa hai đường thắng MN AC
Gọi P là trung điểm của AB Khi đó MP//EB (1)
Ta có SE/DA và SE = DA => SE//BC và SE= BC = SEBC là hình bình hành => EB//SC (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra MP//SC
Lai cé PN//AC, nén (MPN)//(SAC) (3) Tur (3) suy ra: d(MN, AC) = d((MNP),(SAC))
=d(H(SAC)) (4),
Trang 11
y= -Ho=ep=22,
ớ đây O là giao điểm của AC va BD Tir (4) suy ra: d(MN, AC) = = ĐỘ, Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2006)
Cho hinh lap phuong ABCD.A’B’C’D’ canh bằng 1 Goi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và CD Tìm khoảng cách giữa hai đường thăng A"C và MN
Giải Ta có BC/MN = MN/(A'BC) = d(MN,A'C) =d(MN,(A'BC)) = đ(M,(A'BC)) Ta co: (1) Al 1 A’B(ABNAB=1) Cc Laicé BC 1 (BAA’B’) = BC L AI
Từ đó AI L (A'BC) Vì thế nếu kẻ MH//AI
(He A’B) thi MH L (A'BC) và
d(M,(A'BC)) = MH =gAI _av2 (2)
Tir (1) va (2) suy ra: d(MN, AC) =F V2 € Nhận xéi: Các bạn hãy so sánh bài giải trên với cách
giải thí dụ này bằng phương pháp so sánh thể tích đã trình bảy trong thí dụ 3, §2 (sử dụng phương
pháp thể tích để tìm khoảng cách) của bài giảng l:
Thẻ tích khối đa diện
Thi du 4: (ĐỀ thì tuyến sinh Đại học khối A - 2004)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy là hình thơi
cạnh AB = V5, đường chéo AC = 4, SO = 242 và
SO vuông góc với đáy ABCD, ở đây O là giao điểm
của AC và BD Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tìm khoảng cách giữa hai đường thắng SA và BM
Giải:
Ta có MO//SA => SA/(OMB)
=> d(SA,BM) = d(SA,(MOB)) = d(S,(MOB)) = d(C,(MOB)) q) (do MS =MC)
Ta có BO.L AC; BO L SƠ (do SO L (ABCD)) => BO 1 (SAC)
Trang 12Ta có MO = Se = 22) +2 =3
|
Lại có: MC= SC =-SA = vã
Trong tam giác cân COM dinh M ké MK L OC, ta có:
MK? = MO? - OK? =3~1=2=> MK =V2
Trong tam giác OBC, ta có:
V2.2 26
MK.OC = MO.C H C => CH = —=- CH B = —— 3 (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra d(SA,BM) = d(C,(MOB))
Nhận xét: Bạn hãy so sánh cách giải này, với cách giải cũng của thí dụ này
nhưng dùng phương pháp “so sánh thê tích” đã được trình bày trong thi du 1, §2 của bài giảng số 1: Thể tích khối đa diện
Loại 3: Bài toán xác định đường vng góc chung:
Như đã nói ở mục trước, bài tốn địi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường
thăng chéo nhau nói chung không cần xác định đường vng góc chung
Tuy nhiên, trong một số bài toán lại đòi hỏi xác định đường vng góc chung của hai đường thắng chéo nhau, đó là một yêu cầu cao hơn Mục này để dành đề trình bày cách tìm đường vng góc chung
Ngun tắc chung để giải bài toán như sau: Xác định điểm Mea, N€b sao cho MN L a,MN L b, khi đó MN là đường vng góc của cả a và b Vẫn đề là ở chỗ làm thể nào để xác định được hai điểm M, N?
N b B Phương pháp tổng quát (như đã biết) ta giải như sau:
Dựng mặt phẳng (P) chứa a và song song với B Lấy một điểm B trên b, kẻ BB'e(P)
5 (B’E(P))
a Trong (P) qua B’ dung b’//b
Goi M=anb’
Từ M kẻ MN//BB'(N eb)
Khi đó MN là đường vng góc chung của hai đường thắng chéo nhau a và b Tuy nhiên, nếu như a và b có các cấu trúc đặc biệt (thí dụ như a, b vuông góc với nhau ) thì ta lại có cách xử lý riêng tương ứng và đơn giản hơn
Thi dul:
d Trinh bày cách dựng đường vng góc chung với hai đường thăng chéo nhau và vng góc với nhau Giải
M b Dựng (P) qua b và vng góc với a Giả sử a¬(P) =M
N Trong (P) dựng MN vuông góc với b
Khi đó MN là đường vng góc của a và b Xem một ứng dụng của thí dụ | sau đây:
Trang 13
Thi du minh hoa cho thi dul: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A,B.C,D; cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai
duong thang A,B va B,D
Giai
p, Tacé AB, 1 A,B (vì BAAIB; là hình vng),
A\B 1 AD (vi AD 1 (BAA;B,)) => A,B 1 (B/AD) = A,B L B.,D(I)
Vi DD, A (A,B,C,D)) > DD, +L Ai€t
Do A,B,C,D, la hinh vu6ng nén A,C, | B,D)
D Tu do AC, 1 (B,DD,) > AiC, L B,D (2)
Tu (1) (2) suy ra: B,D L (A,BC,) (3)
Bay giờ ta tìm giao điểm của B,D với (A;B€))
Gọi H là giao điểm của AB; và BAI Trong mặt
chéo (B,A,DA) rd rang
HC, 01B,D=G
Do B,H=HA =sCb= GH =+GC, = G là trọng tâm của tam giác A¡BC:
Vi A, BC, là tam giác đều nên GHL A;B, còn GH 1 B,D vi B,D 1 (A:B,.C))
Như thế GH là đường vuông góc chung của A,B va B,D nén no chinh Ia khoảng cách gitta A,B va B,D
Ta co:
= ave _, d(A,B,B,D) 2⁄6, 6 6
Nhận xét:
Trong thí dụ này ATB L BID nên cách làm trong thí dụ trên chính là sự thực
hành các bước đã nêu trong thí dụ I
Thí địt 2:
Cho hình tứ điện đều ABCD cạnh a = 6 X2 em Hãy xác định và tính độ dài
đoạn vng góc chung của hai đường thăng AB và CD
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và
CD Do ABCD là tứ diện đều, nên ta có CM L AB
va DM | AB = AB 1 (MCD) > AN 1 MN Lí luận tương tự có:
CD L(ANB) CD L MN
Trang 14Thi du 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Xác định và tính độ dài đường vng góc chung của hai đường thăng AB va SC
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và AB Ta có: MA =MB = =>MN.L AB
Dễ thây tam giác vuông SAN bằng tam giác vuong NBC = NS=NC > NM L SC
Vậy MN là đường vng góc chung của AB va SC Ta có:
SC* = SA* + Ac’ = SA’ + AB? + BC”
=4a* +a°+4a°
=> SC =3a = MA = `”
Do dé MN? = MA? - AN? =“ 2a! => MN =aV2_ Thí dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vng góc với mặt phăng (ABCD) Dựng và tính độ dài đường vng góc chung của hai đường thăng SC và AB
Giải Ta có AB 1L AD, AB 1 SA => ABL (SAD)
= DC L (SAD) (do DC / AB)
Vậy SD là hình chiếu vng góc của SC trên
(SAD)
Trong mặt phang SAD, vé AK 1 SD(KeSD),
Trong mat phang (SCD), ké KE//CD (Ee SC)
Trong mặt phẳng xác định bởi EK, AB (chú ý EK//AB) ké EF// AK (Ke AB)
Do AB L (SAD) > AB 1 AK = AB 1 EF (1) Ta cd: DC 1 (SAD) = (SDC) £ (SAD) Vi(SDC) ~ (SAD) =SD va AK 4 SD
4 4 ( => AK 1 (SCD)
=> AK L SC => EF 1 SC (2)
Tir (1) (2) suy ra: EF là đường vng góc chung của SC và AB Dễ thấy: EF = AK mà:
Ị | l | l ah
———> SE to So tO om
AK: SA? SD he a a Va? +h?
Trang 15Vì AB//CD = AB // (SCD)
= d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) =d(A,(SCD)) (do AK L (SCD))
ah “
Va’ +h?
=> AK =
Thi du 5$:
Cho đường tròn đường kinh AB = 2R trong mat phang (P) C la mét diém chạy trên đường tròn Trên đường thắng đi qua A và vng góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a <
2R Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC
và SB,
Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vng góc chung của AC và SB Do AC L BC = SC L BC (định lí ba đường vng góc)
Tu do suy ra FA = FC (1)
Như thé (1) đúng với mọi vị trí của C trên đường tròn
Để EF là đường vng góc chung của AC và SB vì thể chi can EF L SB
Ta có EF L SB ©ES=EB
© ASAE= A BCE © BC =SA =a
Vậy C là đường giao của hai đường trịn: đường trịn đường kính AB = 2R đã cho và đường tròn tâm B bán kính a Vì a<2R nên tồn tại 2 giao điểm C như vậy
§3 BÀI TỐN XÁC ĐỊNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THANG CHEO NHAU, GOC GIỮA HAI MAT PHANG VA
GIUA DUONG THANG VA MAT PHANG
Bài toán xác định góc giữa các yếu tổ đường và mặt phăng trong không gian cũng là một trong những dạng toán hay gặp trong các kì thí tuyên sinh vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây Có hai loại tốn chính sau đây:
1/ Xác định góc ơ (có thê là tìm ơ, hoặc tìm một hàm số lượng giác nào đó của ơ), ở đây œ là góc giữa hai đường thăng chéo nhau, giữa hai mặt phẳng, hoặc giữa đường thắng và mặt phẳng
2/ Tìm điều kiện đề các góc ữ nói trên nhận một giá trị cho trước nào đó (Chú ý néu a = 90° ta có các bài toán vẻ quan hệ vng góc xét trong § Ì)
Đề giải bài tốn loại này chỉ cần năm vững các định nghĩa về các góc trong khơng gian đã được học kĩ trong sách giáo khoa ở nhà trường pho thông
Loại 1: Các bài tốn xác định góc trong hình học khơng gian: Đề giải bài toán loại này ta tiễn hành theo hai bước sau đây:
- Giả sử cần xác định góc ơ (hoặc một hàm số lượng giác của góc ơœ) giữa hai đường thang chéo nhau d và d° Chọn một điểm A thích hợp trên d Qua A vẽ
Trang 16- Trong mặt phăng xác định bởi d và dị, hoàn toàn dựa vào các kiến thức của
hình học phẳng đề xác định độ lớn của góc œ, hoặc tinh ham SỐ lượng giác của góc
a theo yêu câu đẻ bài Ở đây, thường là các bài toán đơn giản về hệ thức lượng giác
trong tam giác, hoặc là các bài toán lượng giác rất cơ bản
Thí dụ 1: (Đề thỉ tuyển sinh Đại học khối A — 2008)
B ,Cho lăng trụ ABC.A°B°C' có độ dài cạnh bên © bang 2a, đáy là tam giác vuông tai A có AB =
Ny a, AC = av3 Hinh chiéu vudng goc ctia dinh
A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thang AA’ va B’C’
B \ Cc Goi M là trung điểm của BC Trong mặt phăng ` s Giải: 3
\ (ABC), qua A kẻ d // BC (ttre 1a d // B’C’ do A K q BC/BC),
Khi do: ao =(AA“B’C’) = (AA‘d) Vi BAC là tam giác vuông tại A, nên ta có AM = MB = MC = Be a
“~
(vi BC? = AB* + AC? =a* +3a’ = 4a*)
Do đó MAB lả tam giác đều cạnh a Kẻ AH L BC, khi đó HM = HB = >"
Ké MK 1 d = A’K _ d (dinh li ba đường vng góc)
Dễ thấy AHMK là hình chữ nhật nén AK = HM = 5
S
Trong tam giác vuông A”AK ta có
a cosa =cosA/AK =ÂK „2 1
AA 2a 4
Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học,
BCao đẳng khối B - 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vng cạnh bằng 2a, SA =a,
SB = aV3 va mat phang (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tìm cosin của góc giữa hai đường thắng SM, DN
Giải
Ta có SA = a; SB = a3 và AB = 2a nên ASB là tam giác vng tại S và có
SAB = 60°
Vì (SAB) vng góc với mặt phang day nén néu ké SH L AB thì SH 1 (ABCD) Vi SAB = 60° nén SAM là tam giác đều => HA = HM =5:
Trang 174 3
Trong mặt phăng (ABCD) kẻ HK LMP = SK L MP (định lí ba đường
A H M B ˆ \ vng góc) ta có: (SM,DN)=SMK = œ (do (MP//DN)) 7 Vi thé cosa =—— tua MK MK — =—— (Ì SM (1) Tacé MK = MH cos HMK
= cos AMP = aMA _a =
2 2MP 2
D C
Tu (1) va (2) suy ra cosa = v5
Thí dụ 3: (bẻ thi tay én sinh dai hoc khối A - 2004)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng V5, AC = 4 và chiều cao của hình chóp là SO = 22, đây O là giao điểm của AC va BD Goi H là trung điểm của SC Tìm
góc giữa hai đường thắng SA và BM
Cc Giải
8
Vi MO//SA nén (SA,BM)=OMB (1)
BO L AC (day là hình thoi) va BO L SO (do SO L (ABCD)) => BO 4 1 (SAC) => BO L OM
Dễ thấy: SA = 2V3 => MO = V3;B0 = (V3) - Do đó : tan OMB = OB | P=] ra = —= = OMB = 30" => (SA,BM) = 30° io ( )
Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A - 2003)
Cho hình lập phương ABCD.A'BCTD
C Tìm số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng
(BA’C) và (Ð`AC) Giải
Ta có (BA'C)m(DA'C)=A'C => ADC la
tam giác vuông tại D Kẻ DH L AC Hai Ctam giác vuông A"DC và A`BC bằng nhau vì có chung cạnh huyện A’°C va A’B = AD, nén suy ra BH L Á'C Vậy BH chính là góc giữa hai mặt phăng (BA”C) và (AC), ag tam giác A“DC ta có: DA".DC = A'C.DH
py = DADC _ av2.a _av2
AC a3 x3`
Trang 18av2
H Xét tam giác cân HBD đỉnh H với HB = HD = TP
⁄ va BD =av2 _ ; _._ a2 B K b Kẻ HK | BD>BK=KD= 5 BK | -aw2 v3 Taco BHK =—~ = BH, av2 ===> BHK =60° => HBC = 120° 8
Vay g6c giita hai mat phang (BA’C) va (DA’C) bang 60°
Chủ ý: -
Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phăng < 90” Thí dụ Š-
Trong mặt (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, CAB = 60” Doan SA =a và vng góc với (P) Tính sin (a), o day a là góc giữa hai mặt phăng (SAB) và (SBC)
Giải Kẻ AH L SC, AK 1 SB (HeSC, Ke SB) Do BCL AC,BC L SA = BC 1 (SAC) = (SBC) 1 (SAC) Do AK L SB nên HK L SB (định lí ba đường vng góc)
Vậy AKH =a la góc giữa hai mặt phẳng
B (SAB) va (SBC) Ta có sina= ^H (1) AK aa _aV2 Ta có AS.AC=AH.SC => AH = = av2 2 5 Lại có AS.AB = AK.SB => AK = == 2a
a
5av2 vo, Thay lại vào (1) ta có: sinœ = 22a-/5 =
Loại 2: Các bài tốn tìm điều kiện để góc cần tìm bằng một đại lượng cho trước:
Phương pháp đề giải loại toán này như sau:
- Xác định góc œ (coi như bài toán cô định — tức là bài toán thuộc loại 1) - Từ điều kiện yêu cầu vẻ a, ta có một phương trình đơn giản để xác định một _ ân số đã chọn từ trước Việc tìm ấn số này cho phép ta tìm được lời giải của bài toán
Chú ý rằng nêu œ = 90° ta có bài tốn: Tìm điều kiện đề hai mặt phẳng vng góc với nhau, hoặc hai đường thăng vuông góc với nhau Với dạng này bài toán đã được xét trong §1, và đã được đề cập đến trong các bài toán thi tuyển sinh vào Đại
học Cao dang (xem đẻ thi Đại học khối A — 2002)
Trang 19Thi du 1:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, CAB = 60°,
đoạn SA = h và SA vng góc với (P) Tìm h sao cho góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) va (SBC) bang 60°
Giải
Kẻ AH 1 SC và AK 1 SB (HeSC: K eSB) Theo thi dy 6 loai 1, thi AKH = œ là góc giữa
hai mat phang (SAB) va (SBC) Tur dé:
a = 60° csing 2 œ AK _ v3 (1) 2 AH 2 AS.AC ah Taco: AH= =————, sc Va? +h? AK = ASAB ah _ SB_ J2a7 +h"
Thay vao (1) suy ra: V4a thẻ _ v3 © 4a? + h?=3a? + 3hˆ<>h= aV2
2\aˆ`+h? 2 2
Thí dụ 2:
Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh bằng a Đoạn SA cố định
vng góc với (P) tại A M, N lần lượt là hai điểm di động trên cạnh BC và CD
Đặt BM = u; DN = v Chứng minh rằng a(u + v) + uv = ä” là điều kiện cần và đủ đẻ
hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 459
Giải
Ta có (SAM) M(SAN)=SA
ViSA 1(ABCD) = AML SA, AN L SA
Do vay MAN = ơ là góc giữa hai mặt
phẳng (SAM) và (SAN) Từ đó:
a= 45°<> NAD+BAM =45°
<© tan (NAD+ BAM) =]
5 tan NAD + tan BAM - 1~ tan NAD tan BAM
|
<>a(u+a)+uv=a? = đpcm
Trang 20BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bail:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a va SA = SB = SC =a
1/ Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phăng (SBD)
2/ Chứng minh SBD là tam giác vuông tại S : Bai 2:
Tứ diện S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H va K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC
1/ Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (BHK) và (SAC) 1 (BHK) 2/ Chứng minh HK L (SBC) và (SBC) L (BHK)
Bài 3:
Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD Qua A dựng nửa đường thăng Ax vng góc với (P) Lay Š là mot diém tùy ý trén Ax (S# A) Qua A dung mat ` phẳng (Q) vuông góc với SC Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B°, C°, D°
Chimg minh AB’ 1 SB; AD’ 1 SD va SB.SB’ = SC’.SC’=SD.SD’
Bai 4:
Cho lang try ding ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC với AB=AC, BAC =ơ
Gọi M là trung điểm của AA’ va gia sir mat phang (C’MB) tao voi day (ABC) một
góc B ,
1/ Chứng mình CBC = B
2/ Chứng mình tan = cosB la điều kiện cần và đủ để BM L MC
Bài 5: :
Cho hình chóp S.ABCD là hình vng cạnh a có SA = h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vng góc chung của
1/SB va CD 2/ SC va BD
Đáp số: 1/ Khoảng cách là BC = a
ahJ/2
2/ Khoang cach la OH = =——== , ở đây O là tâm của đáy avh°+a”
Bài 6:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7a, cạnh SC vng góc với mặt phẳng (ABC) và SC = 7a Tìm khoảng cách giữa hai đường
thắng SA và BC
Dap sé: aV21
Trang 21Bai 7:
Trong mat phang (P) cho hinh thoi ABCD có tâm là O va cạnh a và OB = LỘ, Trên đường thẳng vng góc với mặt phăng (ABCD) tại O, lẫy điểm S sao cho SB =a
Tính khoảng cách giữa hai đường thắng SA và BD
a3
Đáp số: 37 Bài 8:
Cho hình lập phương ABCD.A`B`C'D' có cạnh là a Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB va CC' Gọi ọ là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) Tính coso
Đáp số: vit
Bai 9:
Trong mat phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Dựng đoạn SA vng
góc với (P) tại A Gọi MvàN lần lượt là các điểm trên BC và CD Đặt BM = u,
DN = v Chứng mỉnh rằng a(u + v) + V3 uv =a°V3 1a diéu kiện cần và đủ đề hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30