Chỉnh hóa một số bài toán ngược trong các quá trình khuếch tán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======0O0======= LƯU VŨ CẨM HỒN CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TRONG CÁC Q TRÌNH KHUẾCH TÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======0O0======= LƯU VŨ CẨM HỒN CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TRONG CÁC Q TRÌNH KHUẾCH TÁN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: TS Trần Thanh Bình Phản biện 3: TS Trần Minh Phương Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh Phản biện độc lập 2: TS Trần Minh Phương NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN TP Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Tôi xin cam đoan kết số liệu luận án trung thực chưa công bố trước Các báo đồng tác giả đồng tác giả cho phép sử dụng viết luận án Tác giả luận án Lưu Vũ Cẩm Hoàn LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Trong thời gian qua, thầy hướng dẫn, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Luận án khơng thể hồn thành khơng có lịng nhiệt huyết kiên nhẫn mà thầy dành cho thời gian qua Tôi xin cảm ơn Giáo sư, nhà Khoa học Hội đồng chấm luận án cấp đơn vị chuyên môn cấp sở đào tạo chuyên gia phản biện đọc tỉ mỉ thảo luận án cho nhận xét, góp ý quý báu giúp cho luận án hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng đào tạo sau đại học, Khoa Tốn-Tin học, Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành Luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình - người chia sẻ, hỗ trợ, động viên theo đuổi việc học tập nghiên cứu khoa học MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Đạo hàm cấp không nguyên Caputo, hàm nguyên 13 1.2 Các hàm Mittag-Leffer 13 1.3 Phép biến đổi Fourier 15 BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HÀM NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN 18 2.1 Giới thiệu toán 18 2.2 Kết chỉnh hóa thứ 19 2.3 Kết chỉnh hóa thứ hai 28 2.4 Kết luận chương 38 BÀI TỐN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN 39 3.1 Dạng nghiệm toán phi tuyến 40 3.2 Tính khơng chỉnh tốn phi tuyến 41 3.3 Kết chỉnh hóa thứ 43 3.4 Kết chỉnh hóa thứ hai 53 3.5 Kết luận chương 59 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên R : Tập hợp số thực u : Biến đổi Fourier hàm u L (0, 1) : Tập hợp tất hàm f cho f khả tích [0, 1] L (R) : Tập hợp tất hàm f cho f khả tích R C ([0, 1]) : Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị R C ([0, 1], L (R)) : Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị L (R) C ([0, 1], L (R)) : Tập hợp hàm khả vi liên tục [0, 1] nhận giá trị không gian L (R) · C ([0,1]) : Chuẩn không gian C ([0, 1]; R) · X : Chuẩn không gian Banach X L p 0, 1; L (R) : Không gian Banach gồm lớp tương đương chứa hàm đo u : [0, 1] → L (R) chuẩn u L p 0,1;L (R) =      u(x) 1/p p d x L (R)    ess sup0≤x≤1 u(x) < ∞, L (R) , ≤ p < ∞, p = ∞ LỜI NÓI ĐẦU Trong nhiều chun ngành Tốn lĩnh vực phương trình vi phân, đạo hàm riêng (PDEs) hướng nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học đóng vai trị cốt lõi mơ hình vật lý, học, hóa học, sinh học Một chủ đề “nóng” có tính thời PDEs phương trình đạo hàm riêng với đạo hàm cấp không nguyên Lý đời phương trình xuất phát từ nhu cầu thực tiễn Trong năm gần đây, nhiều tốn khơng thể mơ hình hố phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên phương trình elliptic, parabolic hay hyperbolic Việc mơ hình hoá toán dẫn đến khái niệm đạo hàm cấp không nguyên (fractional derivatives) Vài thập kỷ vừa qua giai đoạn toán với đạo hàm cấp không nguyên phát triển mạnh mẽ ứng dụng sâu rộng vào nhiều lĩnh vực khoa học với số lượng lớn báo, sách chuyên khảo nhiều nhà toán học giới S.G Samko [7], K S Miller, B Ross [8], I Podlubny [9], F Mainardi [10], v.v Thể loại loại phương trình nhiều dồi dào, nên luận án, đề cập đến loại phương trình khuyếch tán (diffusion equation) Phương trình khuyếch tán với đạo hàm cấp khơng ngun (cịn gọi fractional diffusion equation, FDE) lơi nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Theo chúng tơi tìm kiếm Mathscinet, có khoảng 2000 cơng trình chủ đề Số lượng tạp chí cơng bố chủ đề lớn, số có nhiều tạp chí có uy tín nhà xuất lớn như: Springer, Elsevier, Taylor Francis, Trong mô hình phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp khơng ngun (FDE), xuất hai loại: toán thuận (Direct problem) toán ngược (Inverse Problems) Bài toán thuận cho FDEs nghiên cứu nhiều cơng trình Giáo sư R Gorenflo, Các nhà toán học tập trung khảo sát công bố số dạng lôi cuốn, chẳng hạn sau: Sự tồn tính nghiệm Các tính chất nghiệm như: tính bùng nổ, tính tắt dần Xấp xỉ nghiệm FDEs phương pháp số Bài toán ngược cho FDEs nghiên cứu sau toán thuận thời gian, số tượng thực tế mơ hình hóa tốn ngược Mục tiêu chúng tơi nghiên cứu tốn ngược cho FDE khảo sát tính khơng chỉnh xây dựng nghiệm xấp xỉ Trong thực tế, ta đo đạc liệu ln có sai số Vì vậy, tính ổn định nghiệm tốn khơng thỏa mãn, tức sai số nhỏ liệu đo đạc dẫn đến sai số lớn nghiệm, gây khó khăn việc tính tốn số Vì thế, ta cần phải có phương pháp “chỉnh hóa” để giải vấn đề Bài toán gọi không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa trường hợp sau xảy ra: Bài tốn khơng có nghiệm Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng ổn định Để chỉnh hóa tốn ngược, cần thực bước sau: • Xây dựng thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho phương trình khuếch tán chứng minh tốn chỉnh • Đánh giá tốc độ hội tụ sai số nghiệm chỉnh hóa với nghiệm xác • Đưa ví dụ số để minh họa phương pháp mà chúng tơi thiết lập có hiệu cao Trong luận án này, chúng tơi khảo sát chủ đề Chủ đề 1: Bài toán xác định hàm nguồn (Inverse source problem for fractional diffusion equation) Chúng liệt kê số toán xác định hàm nguồn phương pháp nghiên cứu, ví dụ Z Ruan cộng (EECT, 2018) [36] dùng phương pháp điều chỉnh tựa biên để nghiên cứu toán xác định hàm nguồn; S.A Malik cộng [16] khảo sát toán xác định hàm nguồn đưa cơng thức tường minh cho nghiệm Ngồi ra, số cơng trình có liên quan tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuyếch tán với đạo hàm cấp không nguyên quan tâm, chẳng hạn A.Deiveegan cộng [23] Chủ đề trình bày chương Luận án Trong chương 2, chúng tơi xét tốn sau    c α  D t u − ∆u = F (x, t ),         u x (0, t ) = u x (1, t ) = 0, (x, t ) ∈ (0, 1) × (0, 1), t ∈ (0, 1),    u(1, t ) = 0,         u(x, 0) = u (x), u(x, 1) = u (x) (1) t ∈ (0, 1), x ∈ (0, 1), c D αt u đạo hàm theo nghĩa Caputo (với < α < 1)     c α   D t u(x, t ) = Γ(1 − α)    ∂u(x, t )  c D α , t u(x, t ) = ∂t t ∂u(x, s) d s , ∂s (t − s)α với α = với < α < 1, (2) [24] J A T Machado, V Kiryakova, F Mainardi; A poster about the recent history of fractional calculus, Fract Calc Appl Anal., Vol 13, no 13 (2010), 329-334 [25] F Mainardi; Fractional calculus and wave in linear viscoelasticity, Imperial College Press, London, 2010 [26] R Nigmatulin, The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Phys Status Solidi B 133 (1986) 425-430 [27] K S Miller, B Ross; An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Jon Wiley and Sons, New York (1993) [28] D A Murio; Implicit finite difference approximation for time fractional diffusion equations, Comput Math Appl., 56 (4) (2008), 1138 - 1145 [29] D.A Murio, Stable numerical solution of a fractional-diffusion inverse heat conduction problem, Comput Math Appl 53 (10) (2007) 1492 - 1501 [30] D A Murio; Time fractional IHCP with Caputo fractional derivatives, Comput Math with Appl., 56 (9) (2008), 2371- 2381 [31] D A Murio; Stable numerical solution of a fractional-diffusion inverse heat conduction problem, Comput Math Appl., 53 (10) (2007), 1492–1501 [32] K B Oldham, J Spanier; A general solution of the diffusion equation for semifinite geometries, J Math Anal Appl., 39 (3) (1972), 655–669 [33] I Podlubny; Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Math Sci Eng., vol 198, Academic Press Inc., San Diego, CA, 1999 66 [34] I Podlubny, M Kacenak, Mittag-Leffler function, The MATLAB routine, 2006 http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchance [35] W.H Press et al; Numerical recipes in Fortran 90, 2nd ed, Cambridge University, Press New York, 1996 [36] Z Ruan, S Zhang, S Xiong, Solving an inverse source problem for a time fractional diffusion equation by a modified quasi-boundary value method, Evolution Equations & Control Theory 2018, 7(4): 669-682 [37] S G Samko, A A Kilbas, O I Marichev; Fractional integrals and derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Nauka Tekhnika, Minsk (1987) [38] K Sakamoto, M Yamamoto, Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J Math Anal Appl 382 (1) (2011) 426-447 [39] S Saitoh, V.K Tuan, M Yamamoto, Convolution inequalities and applications, JI-PAM.J.Inequal.Pure Appl.Math.4 (3) (2003), Article 50, http://jipam.vu.edu.au/ [40] D D Trong, P H Quan, T V Khanh, N H Tuan; A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: regularization and error estimate, Z Anal Anwend 26 (2007), no 2, 231–245 [41] N.H Tuan, M Kirane, L.V.C Hoan, L.D Long, Identification and regularization for unknown source for a time-fractional diffusion equation, Computers and Mathematics with http://dx.doi.org/10.1016/j.camwa.2016.10.002 67 Applications (2016), [42] N.H Tuan, M Kirane, V.C.H Luu, B.B Mohsin, A regularization method for time-fractional linear inverse diffusion problems, Electron J Differential Equations, 2016 (290), 1-18 [43] J.G Wang, Y.B Zhuo, T Wei, Two regularization methods to identify a spacedependent source for the time-fractional diffusion equation, Appl Numer Math 68 (2013) 39-57 [44] T Wei, J Wang, A modified quasi-boundary value method for an inverse source problem of the time-fractional diffusion equation, Appl Numer Math 78 (2014) 95-111 [45] X Xiong, H Guo, X Liu, An inverse problem for fractional diffusion equation in 2-dimensional case: Stability analysis and regularization J of Math Anal and Appl., 2012 (393), 185–199 [46] X Xiong, H Guo, X Liu; An inverse problem for a fractional diffusion equation, J Comput Appl Math 236 (2012), 4474 - 4484 [47] X Xiong, Q Zhou, Y C Hon; An inverse problem for fractional diffusion equation in 2-dimensional case: Stability analysis and regularization, J Math Anal Appl 393 (2012), 185–199 [48] Z.Q Zhang, T Wei, Identifying an unknown source in time-fractional diffusion equation by a truncation method, Appl Math Comput 219 (11) (2013) 5972-5983 [49] G H Zheng, T Wei; Spectral regularization method for a Cauchy problem of the time fractional advection-dispersion equation, J Comput Appl Math 233 (2010), 2631–2640 68 [50] G H Zheng, T Wei; Spectral regularization method for the time fractional inverse advection-dispersion equation, Math Comput Simul 81 (2010) 37– 51 [51] G H Zheng, T Wei; A new regularization method for solving a timefractional inverse diffusion problem, J Comput Appl Math 378 (2011), 418– 431 [52] G H Zheng, T Wei; A new regularization method for the time fractional inverse advection-dispersion problem, SIAM J Numer Anal 49 (2011), no 5, 1972–1990 [53] G H Zheng, T Wei; Spectral regularization method for solving a timefractional inverse diffusion problem, Appl Math Comput., 218 (2011) 1972– 1990 [54] G.H Zheng, T Wei, Spectral regularization method for a Cauchy problem of the time fractional advection-dispersion equation, J Comput Appl Math 233 (2010) 2631 - 2640 [55] G.H Zheng, T Wei, Spectral regularization method for the time fractional inverse advection-dispersion equation, Math Comput Simul 81 (2010) 37 51 [56] G.H Zheng, T Wei, A new regularization method for the time fractional inverse advection-dispersion problem, SIAM J Numer Anal 49 (2011), no 5, 1972–1990 [57] G.H Zheng, T Wei, A new regularization method for solving a time-fractional inverse diffusion problem, J Math Anal Appl 378 (2011), 418–431 69 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======0O0======= LƯU VŨ CẨM HỒN CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TRONG CÁC Q TRÌNH KHUẾCH TÁN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy... có nghiệm Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng ổn định Để chỉnh hóa tốn ngược, cần thực bước sau: • Xây dựng thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho phương trình khuếch tán chứng... nghiệm Các tính chất nghiệm như: tính bùng nổ, tính tắt dần Xấp xỉ nghiệm FDEs phương pháp số Bài toán ngược cho FDEs nghiên cứu sau toán thuận thời gian, số tượng thực tế mơ hình hóa tốn ngược