Giải một số bài toán truyền nhiệt bậc phân ngược thời gian bằng chỉnh hóa điều kiện biên

ệ ệ r ệ ệ ữỡ ởt số tự trủ ttr ởt số ổ ữỡ ởt t tr t ữủ tớ õ ợ t t õ t ố ở tử ữỡ õ ổ ữ t t t tr ổ tr q ổ trữớ ữợ t ỷ ỵ t ợ ữ t ữủ ữỡ tr r ởt tr ỳ ữợ ự tr ỹ ữỡ tr r ữủ tớ Pữỡ tr r ữủ tớ t tr ỵ tt tr t t t t ởt tớ õ tr q ự q t ữủ t tớ t t ụ tữớ t tr t ỵ t từ t ữủ tr tữớ t ổ t r ởt t ữủ t õ tọ õ õ t tở tử t ởt tổổ õ t ỳ t ữ t t ởt tr ổ tọ t t õ r t t ổ r r t t ổ ổ õ ỵ t ỵ ữ õ tr t tỹ t ổ t t ổ ỳ ỵ tứ t t trữợ ổ tr ự tợ t t ổ t rt P ỳ ữớ t tr ỹ õ rt ổ tr t ữỡ tr r ữủ tớ t ổ tr õ ữỡ tr r t qừ ữỡ tr r ỏ ữỡ tr r ữủ tớ ữủ t tr ữợ q t ự ổ ố ởt số t qừ tr t õ t tr tớ t ữủt ự ụ ữ ú t t õ t tr t ữủ tớ tr ỡ s rt s r r t rrt t tr t r tts ú tổ ỹ t ởt t tr t ữủ tớ õ t t tr t ữủ tớ u = u, (x, t) ì (0, T ], t u(x, t) = 0, x , t [0, T ], u(x, T ) = uT (x), x , tr õ (0, 1) ú t tt r t õ ởt t u(x, t) r ú tổ q t tợ u(x, t) ợ t [0, T ) tứ ỳ uT (x) tr ố uT (x) tọ uT (ã) uT (ã) L2 () , tr õ ự s số > ữủ t ợ ữ t t ỗ õ ữỡ ỹ tr t ố s ữỡ ởt số tự trủ ữỡ tr ởt số tự q ữỡ ữủ ú tổ t tr t tr t t ỡ ttr tr t t ỡ tt r ởt số ổ tr ởt số ổ q ữỡ ữ ổ H () H () H01 () C([0, T ], L2 ()) ữỡ ởt t tr t ữủ tớ õ ữỡ ú tổ tr ữỡ õ t t ữủ tớ tr ụ ữ t ự ởt t qừ ợ ợ t t ợ t t tr t ữủ tớ õ t tr ữỡ õ t tr t ữủ tớ tr ố ở tử ữỡ õ tr t qừ tố ở tử ữỡ tr ụ ữ t ởt t qừ ợ ữủ tỹ t rữớ ữợ sỹ ữợ t ự tọ ỏ t ỡ s s t t ỡ ỏ ỡ t ổ tr ổ t t t ú ù t tr sốt tớ t t ữỡ ố ũ t ỡ ỗ t tr ợ t t ú ù t tr sốt q tr t ự ũ õ ố ữ ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ t ì ẹ ữỡ tr ởt số tự q ữỡ ữủ ú tổ t tr t t r t (z) = et tz1 dt ợ z tở ỷ t t ự z > t tử ợ z C tọ z > t ợ z C tọ z > t õ t z = x + iy ợ x, y R x > õ t õ (z) = (x + iy) = = = et tx1+iy dt et tx1 eiy ln t dt et tx1 (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) dt ữủ (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) t r t tử ợ x > y R ỵ õ t t s (z + 1) = z(z), z C, z > (1) = (n + 1) = n!, n N = (2n)! = 2n n + 2 n! ự 1) ợ z C, z > t õ (z + 1) = et tz dt t z = e t t= +z t=0 et tx1+iy dt = z(z) 2) õ t t e t dt = e (1) = t= = t=0 3) ỷ t t 1) 2) t õ t ự t t 3) ữỡ q x2 dx e 4) rữợ t t t t I = I=u t x = ut, u > t õ 2 eu t dt ợ eu t tứ t ữủ I = e u2 u 2 eu t dt du = = eu (1+t2 ) dt = + t2 udu dt ổ tự tỹ t = u2 t s t ữủ õ I = x2 dx e = (z) = 2 eu u2z1 du t z = t ữủ =2 eu du = 2I = 5) ứ t t 1) t t 4) t õ n+ 1 n 2 3 n n = n 2 3 1 n ã ã ã = n 2 2 (2n)! = 2n n! = n ỵ ợ z C tọ z > t õ n!nz n z(z + 1) ã ã ã (z + n) (z) = lim ự ự ổ tự trữợ t ú t t n fn (z) = = t n t n n tz1 dt s õ sỷ t tứ ú t t ữủ z (1 )n z1 d fn (z) = n nz = z = ããã (1 )n1 z d n n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n 1) n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n) z+n1 d ú ỵ r lim n n t n = et õ t t ú t ự tự n t lim fn (z) = lim n n n t = lim n n n tz1 dt n z1 t dt = et tz1 dt = (z) t ữủ ú t ữủ = (z) fn (z) = n = t e t n et tz1 dt fn (z) n z1 t dt + et tz1 dt n > tũ ỵ ứ sỹ tử t ợ z C tọ z > t s r tỗ t số tỹ n0 s ợ n N n n0 t õ t z1 e t n dt n et tx1 dt < , (x = z) ợ n N n > n0 t t t tờ t s N = e t n tz1 dt n t n t + n t n e N z1 t dt + et tz1 dt n õ n e N t n t n n n t z1 t dt e tx1 dt n N < et tx1 dt < , (x = z) n t t tự t t t tự trủ s t 0 ữủ t õ t sỷ r (0, 1) õ 1 x1/ e +O , x +, x(1 ) x2 1 E, (x) = +O , x x(1 ) x2 E, (x) = sỷ r < < < õ tỗ t số C1 C2 tở s C1 E, (x) (1 ) x C2 , ợ x (1 ) x tr ợ [0 , ] ự P q trỹ t ỵ ỵ tr tr õ 1 = +O x 1x x2 = +o 1x 1x , x õ tỗ t M > s o 1x 1 , x (, M ] 2(1 ) x ợ [0 , ] (0, 1) õ E, (x) = 1 +O (1 ) x 1x 1 , x (, M ] 2(1 ) x ợ x [M, 0] ú ỵ r E,1 (x) > ợ x t t tử tr ởt t õ t số C1 = C1 (0 , ) > ọ s E, (x) (x,)[M,0]ì[0 ,1 ] E, (x) C1 C1 (1 ) (1 ) C1 (1 ) x tr ợ [0 , ] ữủ ự sỷ g L2 () t t w (x, t) ì (0, T ], t = w, w(x, t) = 0, x , t [0, T ], w(x, 0) + w(x, T ) = g(x), x , tr õ > t số õ ỵ ợ > g L2 tỗ t ởt t [g](x, t) C((0, T ]; H01 ()) t ự ữợ t ú t sỷ ữỡ t t ữủ t (x, t) = (x)(t) t t ữủ + (x) = 0, x , (x) = 0, x , d (t) + (t) = 0, dt ợ số ứ ỵ tt t tr r õ tr r n > tữỡ ự ợ r n (x), n = 1, 2, , s n n {n } n=1 ởt ỡ s trỹ L () t tứ t t r n = n L2 () , 2n = n L2 () n m dx = 0, n m dx = 0, n = m sỷ ú t õ t ợ = n ố t ữủ n (t) = Dn E,1 (n t ) ú t t t õ Dn E,1 (n t )n (x) (x, t) = n=1 ứ (x, 0) + (x, T ) = g(x) t õ g(x)n (x)dx + E,1 (n T ) gn := + E,1 (n T ) Dn = t ú t tr r (x, t) ữủ ỹ tr t t t õ d E,1 (n t ) = n E,1 (n t ), dt n = n n (x) õ t ự sỹ tử ộ n=1 E,1 (n t ) n gn n (x) + E,1 (n T ) tr t ý t (tl , tu ) (0, T ) ứ t t r E,1 (n t ) + E,1 (n T ) g L2 () ộ C2 + n t gn2 tử õ n=1 2n gn2 n=1 E,1 (n t ) + E,1 (n T ) gn2 n=1 < C2 tl C2 n (1 + n tl ) 2 gn2 < n=1 ữợ ự t t t w(x, t) t ự ợ g(x) tr w(x, t) = wn (t)n (x), n=1 wn (t) = w(x, t)n (x)d(x), n = 1, 2, t ữỡ tr tự t ữỡ tr tự t õ d wn (t) = n wn (t), dt wn (0) + wn (T ) = ứ ữỡ tr t õ n (t) = n (0)E,1 (n t ) ỷ tự t t ữủ n (0)( + E,1 (n T )) = t n (0) = õ n (t) ợ t [0, T ] t (x, t) ữợ ú t ự t q t t trỹ t t õ (., t) L2 () gn2 = n=1 (., t) L2 () = n=1 E,1 (n t ) + E,1 (n T ) n=1 n gn2 n=1 , E,1 (n t ) n gn + E,1 (n T ) gn2 = E,1 (n t ) + E,1 (n T ) L2 () E,1 (n t ) + E,1 (n T ) n L2 () ó r (ã, t) H01 () ợ > t (0, T ) ố tữỡ tỹ ữ tr t ữủ C((0, T ); H01 () ỵ ữủ ự ố ở tử ữỡ õ r ú t s ự tọ r [g](x, t) ởt õ t ữ r tố ở tử ữỡ số tỹ tọ < < < ỵ sỷ uT (x) ỳ ố t t ợ [0 , ] tữỡ ự ợ ỳ u(x, 0) = u0 (x) H01 () ú t g(x) = uT (x) t w [uT ](x, t) u(x, t) tr C([0, T ]; L2 ()) 0, w [uT ](x, t) u(x, t) tr C([0, T ]; H01 ()) ự u0 H01 () u0 (x) = ộ n=1 gn (x) ) n E ( T ,1 n n=1 gn2 tử tữỡ tỹ ữ ữợ tr ( T ) E,1 n ỵ t t ữủ [uT ] C([0, T ]; L2 ()) ứ gn tr t t r [uT ](x, t) u(x, t) = gn fn,,T (t)n (x) n=1 ợ E,1 (n t ) E,1 (n t ) fn,,T (t) := + E,1 (n T ) E,1 (n T ) E,1 (n t ) = E,1 (n T ) + E,1 (n T ) t õ E,1 (n T ) C2 (1 ) õ t õ gn2 fn,,T (t) n=1 C22 (1 ) C22 2 (1 ) N n=1 n=1 gn2 ( T ) E,1 n gn2 + ( T ) E,1 n n=N +1 + E,1 (n T ) gn2 ( T ) E,1 n t ú t õ u(x, t) = n=1 E,1 (n T ) gn n (x) E,1 (n T ) gn2 tử ợ > tũ ỵ ú t õ ( T ) E,1 n t N ợ s ộ n=1 C22 (1 ) n=N +1 gn2 < E,1 (n T ) ợ N = N t ú t õ t = () > ọ s C22 () (1 ) N n=1 gn2 ( T ) E,1 n ()C22 (1 + N T )2 C12 ()C22 (1 + N T )2 C12 u0 L2 () < L2 () n=1 gn2 ( T ) E,1 n 2 n=1 gn fn,,T (t) t t õ [uT ](ã, t) u(ã, t) N < ợ t [0, T ] t sỹ tử tr H01 () t [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () n gn2 fn,,T (t) = n=1 n gn2 ứ u0 t sỹ tử ộ (2 T ) E,1 n tữỡ tỹ ữ tr ú t t ữủ r n=1 H01 () w [uT ](x, t) u(x, t) tr C([0, T ]; H01 ()) ỵ ữủ ự t t t ỳ uT (x) g(x) = u(x, T ) ỳ tọ uT g L2 () g := uT g ợ gn, số rr õ õ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () [g ](ã, t) L2 () + [g](ã, t) u(ã, t) L2 () số tự t tr số tự t tợ = () t ỵ ỷ t õ [g ](ã, t) L2 () = E,1 (n t ) + E,1 (n T ) gn, n=1 C22 2 (1 ) C22 (1 ) gn, n=1 ủ ỵ t õ t qừ s ỵ sỷ r u0 L2() ợ t ý [0, 1] ỳ uT (x) tọ ú t t số õ = () tọ 0, () () 0, t [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () 0, ợ t [0, T ] ỵ sỷ uT L2() uT L2 () > t t số õ = () õ t ữủ t tứ ữỡ tr [uT ](ã, T ) uT (ã) L2 () = ự () := n=1 + E,1 (n T ) (uT,n )2 = , tr õ uT,n số rr uT (x) ự ợ > t õ n=1 + E,1 (n T ) (uT,n )2 (uT,n )2 = uT n=1 L2 () õ ợ > tỗ t số ữỡ N s n=1 + E,1 (n T ) (uT,n )2 n=1 (uT,n )2 < t ợ số ữỡ N ứ tr t õ t ọ s N n=1 (uT,n )2 + E,1 (n T ) (uT,n )2 E,1 (n T ) n=1 n N õ ú t õ lim () = ú ỵ r lim () = uT + 2 L2 () > () ởt tử t t õ ú t õ sỹ tỗ t t t ỵ sỷ u0 H 2() H01() u0 uT tọ õ U0 H () [uT ](x, t) ỳ ợ = () ữủ tọ t () [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () ( 11 + T )C2 C2 + U0 () (1 ) () C1 ú ợ t [0, T ] [0 , ] ỡ ỳ t õ () [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () 12 ( + T )U0 C22 12 C1 (1 ) 1 C1 ữủ () = ( ( +T )U )2 (1) ự ợ ú ỵ u0 H02 () U0 u0 (x) = gn n=1 E,1 (n T ) n (x) t õ n=1 2n gn2 = ( T ) E,1 n n=1 gn2 n ( T ) E,1 n = u0 L2 () L2 () U02 ứ t õ [g](ã, t) u(ã, t) L2 () gn2 fn,,T (t) = n=1 C22 (1 ) gn2 ( T ) E,1 n n=1 C22 gn2 (1 + n T ) C12 E,1 (n T ) n=1 ( 11 + T )2 C22 2n gn2 C12 E (n T ) n=1 ,1 ( 11 + T )2 C22 U0 C12 ủ t t ữủ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () C2 ( + T )C2 + U0 (1 ) C1 ữủ t tứ ỵ ữủ ự ỵ sỷ r u0 L2() ợ t ý [0, 1] ỳ uT (x) tọ ú t t số õ = t tỗ t số C() s [uT ](ã, t) u(ã, t) tr õ E = u0 (ã) L2 () L2 () t C() + 2T E , t (0, T ], ự õ ú t t = T t ự ú t (0, T ) ứ t õ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () C2 (1 ) + [g](ã, t) u(ã, t) L2 () t t õ [uT ](x, t) u(x, t) = gn fn,,T (t)n (x) n=1 ợ E,1 (n t ) E,1 (n t ) + E,1 (n T ) E,1 (n T ) E,1 (n t ) = E,1 (n T ) + E,1 (n T ) fn,,T (t) := õ L2 () [g](ã, t) u(ã, t) E,1 (n t ) gn E,1 (n T ) + E,1 (n T ) = n=1 E,1 (n t ) un (0) + E,1 (n T ) = n=1 2 ỷ t tự t õ T t T t t T t T t T (E,1 (n T )) T + + E,1 (n T ) T T t T t T (E,1 (n T )) T T t r [g](ã, t) u(ã, t) L2 () un (0) n=1 2t T c2 (1 ) + n t c1 (1 ) + n T t T õ tỗ t số C1 () s [g](ã, t) u(ã, t) L2 () C1 () t (1 + n T ) T un (0) + n t 2t T n=1 C1 () + Tt n T un (0) + n t 2t T n=1 C1 () + Tt n T un (0) + n t 2t T n=1 C1 () 2t T u0 (ã) 2 2 L2 () t sỹ tỗ t số C() s [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () C() t + T E = t õ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () t C() + E 2T , t (0, T ] ỵ ữủ ự t t q ú tổ tr ỵ tốt ỡ tr ỵ t tr ú tổ ữ r ợ tố r ỏ tr ỵ t tr ữ r ữủ sỹ tử ổ r ữủ tố ở tử t q t ữủ tr r ởt số t t ỡ õ r ttr ởt số t t ỡ õ r ởt số ổ ữ W k,p (U ) W0k,p (U ) H0k (U ) Lp (0, T ; X) C ([0, T ] ; X) W 1,p (0, T ; X) H (0, T ; X) ởt t t ỡ õ ợ t t t ữủ tớ r ữỡ õ t t ỗ tố ở tử t ự ỵ ữ r t t qừ tr ỵ tốt ỡ t qừ t tr P ý t t ổ rs rs trt t t tt r rs Prs rr rt s r r t rrt r tts r P rt rt qts Prss r s Prt rt qts r tt t [...]... L2 () g := uT g ợ gn, số rr ừ õ õ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () [g ](ã, t) L2 () + [g](ã, t) u(ã, t) L2 () số tự t tr ừ số tự t tợ = () 0 t ỵ ỷ ử t õ [g ](ã, t) 2 L2 () = 2 E,1 (n t ) + E,1 (n T ) 2 gn, n=1 C22 2 2 (1 ) C22 2 (1 ) 2 gn, n=1 2 ờ ủ ỵ t õ t qừ s ỵ sỷ r u0 L2() ợ t ý [0, 1] ỳ uT (x) tọ ú t ồ t số õ = () tọ 0 0, ()... [0, T ] 0 ỵ sỷ uT L2() uT L2 () > t t số õ = () õ t ữủ t tứ ữỡ tr [uT ](ã, T ) uT (ã) L2 () = ự () := n=1 + E,1 (n T ) 2 (uT,n )2 = 2 , tr õ uT,n số rr ừ uT (x) ự ợ ồ > 0 t õ n=1 + E,1 (n T ) 2 (uT,n )2 (uT,n )2 = uT n=1 2 L2 () õ ợ ồ > 0 tỗ t số ữỡ N s n=1 + E,1 (n T ) 2 (uT,n )2 n=1 (uT,n )2 < 2 t ợ số ữỡ N ứ tr t õ t ồ ừ ọ s N n=1 2 (uT,n )2... exp( 1/ ) (1)/ d, z G (1 , à) z (1 ,à) t < |z| < 1 à < arg(z) < à t t ỵ t õ 1 2i exp( 1/ ) (1)/ 1 d = z (1)/ exp z 1/ z (1 ,à)(,à) ờ ủ t t ữủ ổ tự ỵ 0 < < 2 số ự tũ ỵ à số tỹ tọ < à < min{, } 2 t ợ số ữỡ p tũ ỵ t õ 1 E, (z) = z (1)/ exp z 1/ |z| , | arg(z)| p k=1 z k + O |z|1p ( k) à ự ú t t ự ổ tự ồ tọ < à < < min{, } 2 t ồ = 1 t t 1 = z p k=1 p k1... |Ip (z)| |z|1p 2 sin( à) à t t ữủ exp( 1/ ) (1)+p (1,) ừ ở tử ợ tọ arg() = || 1 t õ exp( 1/ ) = exp ||1/ cos < 0 ờ ủ t t ữủ ổ tự cos ỵ 0 < < 2 số ự tũ ỵ à số tỹ tọ < à < min{, } 2 t ợ số ữỡ p tũ ỵ t õ p E, (z) = k=1 z k + O |z|1p ( k) |z| , à | arg(z)| ự rữợ t ú t tọ < < à < min{, } 2 t ồ = 1 tr ổ tự ừ ỵ sỷ ử ổ tự t t ữủ p E, (z) = k=1 z... , t (0, T ] ỵ ữủ ự t t q ừ ú tổ tr ỵ tốt ỡ tr ỵ ừ t tr ú tổ ữ r ợ tố ở r ỏ tr ỵ ừ t tr ữ r ữủ sỹ ở tử ổ r ữủ tố ở ở tử t q t ữủ tr r ởt số t t ỡ ừ õ r ttr ởt số t t ừ ỡ õ r ởt số ổ ữ W k,p (U ) W0k,p (U ) H0k (U ) Lp (0, T ; X) C ([0, T ] ; X) W 1,p (0, T ; X) H 1 (0, T ; X) ởt t t ỡ ừ õ ợ t t t ữủ tớ r ữỡ õ t t ỗ tố ở ở tử t... t [0, T ], u(x, T ) = uT (x), x , tr õ (0, 1) tứ ỳ uT (x) ừ tr ố uT (x) tọ uT (ã) uT (ã) L2 () , tr õ ự s số > 0 ữủ t õ t ờ sỷ r (0, 1) õ 1 1 x1/ 1 e +O , x +, x(1 ) x2 1 1 E, 1 (x) = +O , x x(1 ) x2 E, 1 (x) = sỷ r 0 < 0 < 1 < 1 õ tỗ t số C1 C2 ử tở 0 1 s C1 1 E, 1 (x) (1 ) 1 x C2 1 , ợ ồ x (1 ) 1 x 0 tr ợ ồ [0 , 1 ] ự P q trỹ t ừ ỵ ... ợ x [M, 0] ú ỵ r E,1 (x) > 0 ợ ồ x 0 t t ừ tử tr ởt t õ t ồ số C1 = C1 (0 , 1 ) > 0 ừ ọ s E, 1 (x) min (x,)[M,0]ì[0 ,1 ] E, 1 (x) C1 C1 (1 1 ) (1 ) C1 1 (1 ) 1 x tr ợ ồ [0 , 1 ] ờ ữủ ự sỷ g L2 () t t w (x, t) ì (0, T ], t = w, w(x, t) = 0, x , t [0, T ], w(x, 0) + w(x, T ) = g(x), x , tr õ > 0 t số õ ỵ ợ ồ > 0 ồ g L2 tỗ t ởt t [g](x, t) C((0, T ]; H01... m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) 1 nz n! = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) n!nz = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + n) = ttr ttr ởt t số õ E (z) = k=0 zk , > 0, z C (k + 1) ttr t số õ E, (z) = k=0 zk , > 0, > 0, z C (k + ) t ợ ồ z C z = 0 t õ zk = E (z), > 0, (k + 1) 1) E,1 (z) = k=0 2) E1,1 (z) = k=0 3) E1,2 (z) = k=0 zk = (k + 1) zk... arg | | = arg = | | ữớ (, ) ( > 0, 0 < ) t ự t t G (, ) G+ (, ) ữủt tr ừ ữớ (, ) 0 < < t G (, ) G+ (, ) ổ = t G (, ) tr t trỏ | | < ỵ 0 < < 2 số ự tũ ỵ à số tỹ tọ < à < min{, } 2 õ ợ > 0 tũ ỵ t õ exp( 1/ ) (1)/ 1 d, z G (, à) 2i (,à) z 1 E, (z) = z (1)/ exp z 1/ 1 exp( 1/ ) (1)/ d, z G+ (, à) + 2i (,à) z E, (z) = ự |z| < t z < 1,... + T )2 2 C22 2 U0 C12 ờ ủ t t ữủ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () 1 C2 ( 1 + T )C2 + U0 (1 ) C1 ữủ t tứ ỵ ữủ ự ỵ sỷ r u0 L2() ợ t ý [0, 1] ỳ uT (x) tọ ú t ồ t số 1 õ = 2 t tỗ t số C() s [uT ](ã, t) u(ã, t) tr õ E = u0 (ã) 1 L2 () L2 () t C() 2 + 2T E , t (0, T ], ự õ ú t t = T ớ t ự ú t (0, T ) ứ t õ [uT ](ã, t) u(ã, t) L2 () C2 (1 ) ... tr õ ự s số > ữủ t ợ ữ t t ỗ õ ữỡ ỹ tr t ố s ữỡ ởt số tự trủ ữỡ tr ởt số tự q ữỡ ữủ ú tổ t tr t tr t t ỡ ttr tr t t ỡ tt r ởt số ổ ... sốt tớ t t ữỡ ố ũ t ỡ ỗ t tr ợ t t ú ù t tr sốt q tr t ự ũ õ ố ữ ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ t ì ẹ ữỡ tr ởt số. .. 1/ ) (1)/ d = z (1)/ exp z 1/ z (1 ,à)(,à) ủ t t ữủ ổ tự ỵ < < số ự tũ ỵ số tỹ tọ < < min{, } t ợ số ữỡ p tũ ỵ t õ E, (z) = z (1)/ exp z 1/ |z| , | arg(z)| p k=1 z k +