Chỉnh hóa dữ kiện cho bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian

1 MC LC Trang MC LC LI NểI U Chng Mt s kin thc b tr .4 1.1 Hm Gamma 1.2 Hm Mittag-Leffler 1.3 o hm bc phõn Caputo 14 Chng Chnh hoỏ d kin cho bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian 16 2.1 Gii thiu bi toỏn 16 2.2 Chnh húa bi toỏn 18 2.3 Tc hi t ca phng phỏp chnh húa 22 KT LUN 28 TI LIU THAM KHO 29 LI NểI U Nghiờn cu v cỏc bi toỏn ngc cho quỏ trỡnh khuch tỏn l mt lnh vc sụi ng sut 30 nm qua Mc ớch ca hng nghiờn cu ny l t c thụng tin v tỡnh trng ban u (trong qỳa kh) ca mt trng vt cht t d kin o c ca nú ti thi im hin ti Mụ hỡnh khuch tỏn i lu kinh in l phng trỡnh parabolic u + v.u = Du, x Rm , t > (1) t Bi toỏn cho phng trỡnh (1) ó c nghiờn cu rng rói Tuy nhiờn cú mt s qỳa trỡnh khuch tỏn chm mt s lnh vc ng dng khụng th mụ hỡnh húa bi phng trỡnh (1), m thay vo ú l phng trỡnh o hm riờng bc phõn (0, 1) u + v.u = Du, x Rm , t > (2) t Bi toỏn ngc cho phng trỡnh (2) thng t khụng chnh theo ngha Hadamard Mt sai s nh o c cng cú th dn n mt sai lch ln v nghim Chớnh vỡ vy gii quyt bi toỏn ta cn xut cỏc phng phỏp chnh húa Cho n ó cú nhiu phng phỏp chnh húa dnh cho bi toỏn ngc ca phng trỡnh (1) Tuy nhiờn cỏc kt qa chnh húa bi toỏn ngc i vi phng trỡnh (2) cũn hn ch dt nghiờn cu cng nh lm phong phỳ thờm cỏc ti liu v vic chnh húa bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian, trờn c s bi bỏo "Data regularization for a backward time-fractional diffusion problem" ca cỏc tỏc gi Liyan Wang, Jijun Liu ng trờn Computers and Mathematics with Applications nm 2012, chỳng tụi la chn ti cho Lun ca mỡnh l : "Chnh húa d kin cho bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian" Lun c thc hin ti Trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo, TS Nguyn Vn c Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh n Thy Nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim phũng Sau i hc, Ban ch nhim khoa Toỏn hc v cm n cỏc thy, cụ giỏo b mụn Gii tớch, khoa Toỏn hc ó nhit tỡnh ging dy v giỳp tỏc gi sut thi gian hc v hon thnh cng, lun ny Cui cựng, tỏc gi cỏm n gia ỡnh, ng nghip, bn bố, c bit l cỏc bn lp Cao hc 21 Gii tớch ó cng tỏc, giỳp v ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Mc dự ó cú nhiu c gng, nhng lun khụng trỏnh nhng hn ch, thiu sút Chỳng tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn bố lun c hon thin hn Ngh An,thỏng nm 2015 Tỏc gi CHNG MT S KIN THC B TR Chng ny nhm mc ớch trỡnh by mt s kin thc liờn quan n ni dung chng 2, ch yu c chỳng tụi tham kho ti liu [11] 1.1 Hm Gamma 1.1.1 nh ngha Hm gamma hay tớch phõn Euler loi l tớch phõn (z) = et tz1 dt (1.1) vi z thuc na mt phng bờn phi ca mt phng phc Rez > 1.1.2 Nhn xột Tớch phõn (1.1) hi t vi mi z C tha Rez > Tht vy, vi z C tha Rez > 0, ta cú th biu din z = x + iy vi x, y R v x > Khi ú ta cú (z) = (x + iy) = et tx1+iy dt = et tx1 eiy ln t dt = et tx1 (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) dt (1.2) Vỡ i lng (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) b chn nờn d nhn thy rng tớch phõn (1.2) hi t vi mi x > v mi y R 1.1.3 nh lý Hm gamma cú cỏc tớnh cht sau 1) (z + 1) = z(z), z C, Rez > 0, 2) (1) = 1, 3) (n ( +)1) = n!, n N , 4) = , (2 ) (2n)! 5) n + = 2n 2 n! Chng minh 1) Vi mi z C, Rez > ta cú (z + 1) = et tz dt t= t z = e t +z et tx1+iy dt t=0 = z(z) 2) Ta cú (1) = et t0 dt = et t= = t=0 3) S dng cỏc tớnh cht 1) v 2), ta cú th chng minh tớnh cht 3) bng phng phỏp quy np 4) Trc ht ta tớnh tớch phõn I = ex dx t x = ut, u > 0, ta cú 2 I=u (1.3) eu t dt Nhõn hai v ca (1.3) vi eu v ly tớch phõn t n ta c ) ( u2 u2 t2 I = e u e dt du ) ( u2 (1+t2 ) = e udu dt 0 dt = = 2 1+t x2 Bõy gi cụng thc (1.1), bng cỏch thc Do ú I = e dx = hin phộp i bin t = u2 ta s thu c (z) = eu u2z1 du (1.4) vo (1.4) ta c ( ) =2 eu du = 2I = Bng cỏch thay z = 5) T tớnh cht 1) v tớnh cht 4) ta cú ( ) ( ) ( ) 1 n+ = n n 2 )( ) ( ) ( 3 n n = n 2 ( )( ) ( ) 3 1 = n n ã ã ã 2 2 (2n)! = 2n n! 1.1.4 nh lý Vi mi z C tha Rez > ta cú n!nz n z(z + 1) ã ã ã (z + n) (z) = lim (1.5) Chng minh chng minh cụng thc (1.5), trc ht chỳng ta xột hm ) n( t n z1 fn (z) = (1.6) t dt n t n Bng cỏch i bin = t c sau ú s dng tớch phõn tng phn chỳng ta fn (z) = n z (1 )n z1 d z n = n z = ããã (1 )n1 z d n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n 1) n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n) z+n1 d (1.7) Chỳ ý rng ( lim n t n )n = et Do ú mc ớch tip theo ca chỳng ta l chng minh ng thc ) n( t n z1 lim fn (z) = lim t dt n n n ) ( t n z1 t dt = et tz1 dt = (z) (1.8) = lim n n 0 t c mc ớch ny, chỳng ta hóy ỏnh giỏ i lng = (z) fn (z) = et tz1 dt fn (z) ) ] ( n[ t n z1 t t dt + et tz1 dt = e n n (1.9) Ly > tựy ý T s hi t ca tớch phõn (1.1) vi mi z C tha Rez > ta suy tn ti s t nhiờn n0 cho vi mi n N m n n0 ta cú t z1 e t dt n n et tx1 dt < , (x = Rez) (1.10) Vi mi n N m n > n0 , ta vit thnh tng ca ba tớch phõn sau ) ] ( N[ t n z1 t t dt = e n ( )n ] n[ t t z1 + e t dt + et tz1 dt (1.11) n N n Ta cú ( )n ] n[ t et tz1 dt n N n[ )n ] t et tx1 dt n N < et tx1 dt < , (x = Rez) (1.12) n ( ỏnh giỏ tớch phõn th nht (1.11), ta cn bt ng thc b tr sau ( t < et n )n t2 < , < t < n 2n (1.13) Tht vy, bt ng thc (1.13) c suy t mi quan h ( )n t ( t )n t e = d e n n n v bt ng thc t 0< e ( )n d < n n t t2 e d = et n 2n S dng bt ng thc (1.13) ta cú ỏnh giỏ sau vi n ln ( )n ] N[ N t t z1 e t dt < tx+1 dt < , (x = Rez) (1.14) n 2n ng thc (1.8) bõy gi c suy t (1.10), (1.11), (1.12) v (1.14) nh lý c chng minh 1.1.5 Nhn xột Nh tớnh cht 1) nh lý 1.1.3, ngi ta cú th nh ngha hm gamma (z) cho mi z C m z = 0, 1, 2, ã ã ã C th, nu z C m m < Rez m + vi m l mt s nguyờn dng no ú thỡ ta xỏc nh (z) theo cụng thc (z) = (z + m) z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) (1.15) 1.1.6 Nhn xột Cụng thc (1.5) khụng ch ỳng vi mi z C tha Rez > m cũn ỳng vi mi z C m z = 0, 1, 2, ã ã ã Tht vy, t cụng thc (1.15) v nh lý 1.1.4 ta cú (z + m) z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) nz+m n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m) ã ã ã (z + m + n) nz n! lim = z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nm ì lim n (z + n)(z + n + 1) ã ã ã (z + n + m) (z) = nz n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nz n! = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) n!nz = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + n) 1.2 Hm Mittag-Leffler 1.2.1 nh ngha Hm Mittag-Leffler mt tham s l hm cú dng E (z) = k=0 zk , > 0, z C (k + 1) (1.16) Hm Mittag-Leffler hai tham s l hm cú dng E, (z) = k=0 zk , > 0, > 0, z C (k + ) (1.17) 1.2.2 Nhn xột Vi mi z C m z = ta cú 1) E,1 (z) = 2) E1,1 (z) = 3) E1,2 (z) = k=0 k=0 zk = E (z), > 0, (k + 1) zk zk = = ez , (k + 1) k=0 k! zk zk z (k+1) ez = = = , (k + 2) k=0 (k + 1)! z k=0 (k + 1)! z k=0 4) E2,1 (z ) = k=0 z 2k z 2k = = cosh(z), (2k + 1) k=0 (2k)! z 2k+1 sinh(z) z 2k = = , 5) E2,2 (z ) = (2k + 2) z (2k + 1) z k=0 k=0 zk z t2 z2 6) E1/2,1 (z) = e = e dt = e erfc(z) k ( + 1) z k=0 Chỳng ta kớ hiu (, ) ( > 0, < phn sau õy ) l ng gm ba thnh 10 1) arg = nu | | 2) arg ; nu | | = ; 3) arg = nu | | ng (, ) ( > 0, < ) chia mt phng phc thnh hai v ta kớ hiu G (, ) v G+ (, ) ln lt l bờn trỏi v bờn phi ca ng (, ) Nu < < thỡ c hai G (, ) v G+ (, ) u l khụng b chn Nu = thỡ G (, ) tr thnh hỡnh trũn | | < 1.2.3 nh lý Nu < < 2, l s phc tựy ý v l s thc tha < < min{, } Khi ú vi > tựy ý ta cú exp( 1/ ) (1)/ E, (z) = d, z G (, à) 2i (,à) z ) ( E, (z) = z (1)/ exp z 1/ exp( 1/ ) (1)/ + d, z G+ (, à) 2i (,à) z (1.18) (1.19) (1.20) Chng minh Nu |z| < thỡ z < 1, (, à) (1.21) Do ú vi < < v |z| < ta cú { } 1/ (1)/k1 E, (z) = exp( ) d z k 2i (,à) k=0 { ( )} z = exp( 1/ ) (1)/1 d 2i (,à) k=0 exp( 1/ ) (1)/ d (1.22) = 2i (,à) z CHNG CHNH HểA D KIN CHO BI TON KHUCH TN BC PHN NGC THI GIAN Chng ny chỳng tụi trỡnh by phng phỏp chnh húa bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian bi bỏo [9] cng nh xut v chng minh mt vi kt qa mi 2.1 Gii thiu bi toỏn Xột bi toỏn khuch tỏn bc phõn u = .(a(x)u), (x, t) ì (0, T ], t u(x, t) = 0, x , t [0, T ], u(x, 0) = u0 (x), x , (2.1) ú (0, 1), < a0 a(x) C (), u0 (x) l d kin ban u v u R l mt b chn v l o hm bc phõn Caputo c t xỏc nh da trờn cụng thc (1.37), c th l t d f f (s) () = C0 Dt f (t) = ds, t T, < < dt (1 ) (t s) Phng trỡnh (2.1) mụ t quỏ trỡnh khuch tỏn mụi trng xp (porous media), h s bin thiờn a(x) biu th mụi trng khuch tỏn khụng ng hng Trong chng ny, chỳng tụi quan tõm ti bi toỏn ngc ca bi toỏn trờn C th, bi toỏn xp x u(x, t) vi t [0, T ) t d kin o c g (x) ti thi im T , d kin ny cha ng sai s so vi nhit chớnh xỏc 16 17 g(x) = u(x, T ) tha g (ã) g(ã)L2 () , (2.2) ú mc sai s > ó c bit Trong [6], Liu v Yamamoto ó xem xột mt bi toỏn ngc mt chiu u cho phng trỡnh = uxx Bng cỏch thờm vo phng trỡnh ny s t hng uxxxx , hai tỏc gi trờn ó xõy dng c mt h chnh húa ph thuc tham s phc hi tỡnh trng ban u u(x, 0) v nhn thy rng d kin ban u cho phng trỡnh khuch tỏn bc phõn ny cú th c phc hi cỏch hu hiu hn nu so sỏnh vi bi toỏn ngc truyn thng cho phng trỡnh dn nhit (xem [5]) trng hp mt chiu S thun li ca h chnh húa c xõy dng va cp trờn l nghim chnh húa cú th biu din dng "hin" nh khai trin hm riờng Tuy nhiờn, mụ hỡnh (2.1) l mụ hỡnh hai chiu nờn vic a cỏc o hm riờng bc cao vo phng trỡnh lm s hng chnh húa tr nờn khú khn hn nhiu vỡ tớnh bt i xng ca toỏn t .(a(x)u) Trong nhng nm gn õy, vic xõy dng mt h thng chnh húa cho nghim chnh húa cú th c biu din dng "hin" ó nhn c nhiu s quan tõm S thun li ca ý tng mi ny l ch tớnh t chnh ca bi toỏn chnh húa c m bo mt cỏch t ng, cũn li ch l tc hi t ca nghim chnh húa Hn na, vic gii s cho nghim chnh húa vi mi t [0, T ) cng d hn nhiu Cho vớ d, xem [3] cho phng lm nhuyn, ni m d kin o c thi im cui c chnh húa bng cỏch s dng nhõn Dirichlet Ta gi h chnh húa kiu nh vy l k thut chnh húa d kin Trong chng ny, chỳng ta s s dng k thut chnh húa d kin x lý bi toỏn ngc vi bi toỏn (2.1), ngha l, vi d kin b nhiu g (x) ca u(x, T ), chỳng ta c gng xỏc nh u(x, t) vi t [0, T ) mt cỏch xp x Bng cỏch s dng khai trin hm riờng, chỳng ta gii bi toỏn t khụng chnh ny bng mt bi toỏn ti u Xột v bn cht, bi 18 toỏn ti u ny chớnh l mt h chnh húa d kin u vo b nhiu vi s cỏc s hng (cht ) ct c xem l tham s chnh húa Tc hi t p kim Hăolder O p+2 c thnh lp u theo t [0, T ) vi mt thụng tin tiờn nghim v tớnh b chn u0 H0p () S thc hin mt h thng chnh húa nh vy cng ó c ng dng cho bi toỏn truyn nhit truyn thng cụng trỡnh [8] 2.2 Chnh húa bi toỏn xõy dng nghim chnh húa, chỳng ta cn kin thc b tr v hm Mittag-Leffler v dỏnh iu tim cn ca nú Hm Mittag-Leffler hai tham s c nh ngha bi cụng thc E, (z) := k=0 zk , z C, > 0, (k + ) (2.3) Kt qu sau õy l h qu trc tip ca nh lý 1.2.4 v nh lý 1.2.5 2.2.1 B ([9]) (i) Gi s rng (0, 1), ú ( ) 1/ 1 E,1 (x) = e +O , +, x(1 ) x2 ( ) 1 E,1 (x) = +O , + x(1 ) x2 (2.4) (2.5) (ii)Gi s rng < < < Khi ú tn ti cỏc hng s C1 , C2 > ch ph thuc vo , cho C1 (1 ) x E,1 (x) C2 , vi mi x (1 ) x (2.6) Cỏc ỏnh giỏ trờn l u theo [0 , ] ỏnh giỏ cn trờn cho E,1 (x) (ii) B 2.2.1 l hin nhiờn t c cn di cho E,1 (x), chỳ ý rng ( ) 1 = +o , x , x 1x 1x (2.7) 19 vỡ vy kt hp vi tớnh cht (i) ta cú ( ) 1 +o E,1 (x) = (1 ) x 1x 1 , x (, L) 2(1 ) x vi s dng L no ú Vi mi x [L, 0] ta cú E,1 (x) E,1 (x) x[L,0] C1 (1 ) (1 x) (2.8) vi C1 > nh, chỳ ý rng E,1 (x) > vi mi x [L, 0] ỏnh giỏ cn di cho E,1 (x) (ii) B 2.2.1 ó rừ rng Ký hiu bi {(n , n (x)) : n N} l h thng giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t .(a(x)), hot ng trờn khụng gian H () H01 () Ngha l n (x) tha { .(a(x)n (x)) + n n (x) = 0, x , n (x) = 0, x (2.9) Khi ú {n (x)} n=1 lp thnh mt c s ca L () v < n , n + Gi s rng {n (x)} n=1 l mt c s trc chun Khi ú ta cú u0 (x) = cn n (x), cn = u0 (x)n (x)dx, n N (2.10) n=1 D dng chng t rng cú th biu din n di dng n = an 2L2 () , 2n = .(an ) 2L2 () v .(an ).(am )dx = , an m dx = , n = m nh ngha hm n (x, t) theo cụng thc n (x, t) := E,1 (n t )n (x) (2.11) 20 Khi ú n (x, t) tha n (x, t) = .(a(x)n (x, t)), (x, t) ì (0, T ], t n (x, t) = 0, x , t [0, T ], (x, 0) = (x), x n n (2.12) Do ú, nghim chớnh xỏc ca (2.1) cú th biu din di dng u(x, t) = cn n (x, t) (2.13) n=1 c bit, giỏ tr ti thi im cui l g(x) = u(x, T ) = cn n (x, T ) (2.14) n=1 Trong thc hnh, ch d kin b nhiu g (x) ca g(x) c cung cp v chỳng ta ch cú th tớnh c hu hn s hng ca chui (2.14) Do ú, cn c xỏc nh t phng trỡnh xp x ca (2.14), ngha l M cn n (x, T ) = g (x), (2.15) n=1 ú tham s M cha c bit Vỡ vy li gii cho bi toỏn (2.15) l xỏc nh c M v cn , , Ký hiu CM := (C1, , C2, , , CM ) RM l nghim cú chun cc tiu ca (2.15) tha M c, n n (., T ) g (.) , (2.16) n=1 ngha l , CM { RM = inf CM RM : } cn n (., T ) g (.) , (2.17) n=1 ) Di õy ta s chn = S nguyờn dng := (C1 , C2 , , CM vi CM M := M () l tham s chnh húa v s c ch rừ sau 21 nh ngha toỏn t K : RM L2 () bi cụng thc (KCM )(x) := M cn n (x, T ) (2.18) n=1 vi toỏn t liờn hp ca nú c xỏc nh bi cụng thc ( )T K f = f (x)1 (x, T )dx, f (x)2 (x, T )dx, , f (x)M (x, T )dx , Nghim cú chun cc tiu CM cú th c gii bng phng phỏp chnh , húa Tikhonov, c th CM l nghim ca phng trỡnh sau , (()I + K K)CM = K g (x), (2.19) ú tham s chnh húa = () c xỏc nh t cỏc phng trỡnh , (I + K K)M = K g (x), , KM g = (2.20) Tip theo ta t , FM (x, T ) := M c, n n (x, T ) (2.21) n=1 v xem xột bi toỏn u, M (x, t) = .(a(x)u, M (x, t)), (x, t) ì (0, T ], t u, x , t > 0, M (x, t) = 0, , , uM (x, T ) = FM (x, T ), x (2.22) Nghim nht ca bi toỏn ngc ny cú th biu din di dng "hin" u, M (x, t) = M c, n n (x, t), t [0, T ] (2.23) n=1 Hm u, M (x, t) s c ly lm nghim chnh húa cho u(x, t) vi tham s chnh húa M 22 2.3 Tc hi t ca nghim chnh húa Trong phn ny, chỳng ta s thnh lp tc hi t u ca nghim chnh húa u, M (x, t) vi mi t [0, T ] iu ny hon ton khỏc vi cỏc phng phỏp chnh húa truyn thng tc hi t thng ph thuc vo t Hn na, cú tc ti t = thng phi ỏp t cỏc gii thit mnh hn lờn u0 (x) Trc ht, chỳng ta hóy xem xột li xp x 2.3.1 nh lý ([9]) Gi s rng u0 H0p tha u0 H0p Up vi p = hoc p = Khi ú vi > tựy ý v s nguyờn dng M bt k Bt ng thc sau õy ỳng u, M (., t) u(., t)L2 () ( (3 + 2C2 + C1 )C2 C1 (1 + t ) (1 + M T ) + Up ) p/2 M , t [0, T ] Chng minh Bng tớnh toỏn trc tip, ta cú (M )2 |u, (c, n cn )n (x, t) M (x, t) u(x, t)| = ( + + n=1 )2 cn n (x, t) n=M +1 M (c, n n=1 cn )n (x, t) cn n (x, t) n=M +1 Bi tớnh trc giao ca {n (ã, t)} n=1 v B 2.2.1, ta t c u, M (ã, t) u(ã, t) ( 2L2 () = C2 + t M n=1 )2 M (c, n (c, n n=1 cn ) 2 E,1 (n t ) ( cn ) + + c2 + M t c2n E,1 (n t ) n=M +1 )2 n=M +1 c2n 23 Mt khỏc , t s phõn tớch M (c, n M cn )n (x, T ) = n=1 n=1 + c, n n (x, T ) g (x) + g (x) g(x) cn n (x, T ) n=M +1 ta cú ỏnh giỏ sau nh bt ng thc Bunhiacopski (M )2 ( M )2 , (cn cn )n (x, T ) c, n n (x, T ) g (x) n=1 n=1 ( )2 + (g (x) g(x))2 + cn n (x, T ) n=M +1 S dng (2.16), ta cú , (cn cn )2 E,1 (n T ) n=1 M 2 + c2n E,1 (n T ) n=M +1 S dng B 2.2.1, ta kt lun rng ( )2 )2 ( M C1 C2 , 2 (cn cn ) + c2n + M T + M T n=1 n=M +1 Do ú, ta cú 3C22 2 (1 + M T ) + c C12 C1 n=M +1 n M (c, n cn ) n=1 (2.24) T 2n = .(an ) 2L2 () v tớnh trc giao ca .(an ) ta cú 2M n=M +1 c2n c2n 2n n=M +1 n=M +1 = n=1 ngha l 2M n=M +1 ( c2n a n=1 c2n .(an ) 2L2 () ) cn .(an ) , L2 () .(au0 ) 2L2 () cn n L2 () CU22 24 Tng t, ta cng cú ỏnh giỏ M n=M +1 c2n c2n n n=M +1 = c2n an 2L2 () n=1 = au0 2L2 () CU12 tớnh trc giao ca an T hp cỏc ỏnh giỏ trờn, ta t c C22 ì C12 (1 + t )2 ( ) ] ( )2 + t U P ì 6(1 + M T )2 + 3C22 + C12 p + M t M u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () [ iu ny kộo theo ỏnh giỏ sau õy ỳng vi mi t [0, T ] [ ] U (3 + 2C + C )C p 2 (1 + M T ) + p/2 u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () C1 (1 + t ) M nh lý ó c chng minh S dng ỏnh giỏ sai s nh lý 2.3.1, chỳng ta cú th thit lp tc hi t Ly M () vi h() l mt hm dng tha T h() h() Khi ú ta cú ỏnh giỏ [ ] C0 (, p, T ) , p/2 uM (ã, t) u(ã, t) L2 () + + h() + t h() vi C0 (, p, T ) l hng s Bng cỏch chn h() := p + , ta cú kt qu sau 2.3.2 nh lý ([9]) Gi s rng u0 H0p tha u0 H0p p = hoc p = Nu M = M () c chn cho M () Up vi thỡ T p+2 ta cú ỏnh giỏ u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () p 3C0 (, p, T ) p + , t [0, T ] + t (2.25) 25 2.3.3 nh lý Gi s rng u0 H0p tha u0 H0p hoc p = Nu M = M () c chn cho M () hng s C* cho ( u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () C pT +2t (p+2)T + Up vi p = 1 thỡ tn ti p+2 ) p p+2 , t [0, T ] + t p+2 Chng minh Ta cú u, M (ã, t) u(ã, t) + 2L2 () = M 2 (c, n cn ) E,1 (n t ) n=1 c2n E,1 (n t ) n=M +1 M 2 (c, n cn ) E,1 (n t ) n=1 ( + C2 + M t )2 c2n n=M +1 T chng minh ca nh lớ 2.3.2 ta cú c2n CUp2 p M n=M +1 Do ú u, M (ã, t) u(ã, t) 2L2 () M 2 = (c, n cn ) E,1 (n t ) n=1 CC22 Up2 + (1 + M t )2 pM (2.26) 26 Mt khỏc M 2 (c, n cn ) E,1 (n t ) n=1 = M (c, n n=1 M C22 , (c C12 n=1 n M C22 , (c C12 n=1 n M C22 , (c C12 n=1 n E,1 (n t ) E,1 (n T ) cn ) E,1 (n T ) + T n )2 E,1 (n T ) cn ) (1 + t n ) (1 t 2t 2(1 T ) (1 + T n ) T 2 (1 + T n ) cn ) E,1 (n T ) (1 + t n ) t (1 + T n )2(1 T ) (1 + t n )2 E,1 (n T ) cn ) (1 + t n ) M C22 2(1 Tt ) 2 (1 + T M ) (c, n cn ) E,1 (n T ) C1 n=1 (2.27) T chng minh ca nh lớ 2.3.2 ta cú M (c, n cn ) 2 E,1 (n T ) + n=1 + + c2n E,1 (n T ) n=M +1 c2n 3C2 (1 + T n )2 n=M +1 3C22 c2n (1 + T M ) n=M +1 3C22 p + CU M p (1 + T M )2 (2.28) T (2.26), (2.27) v (2.28) ta cú u, M (ã, t) CC22 Up2 u(ã, t) (1 + M t )2 pM ( ) t C22 3C p + (1 + T M )2(1 T ) + CUp2 M C1 (1 + T M )2 CC22 Up2 (1 + M t )2 pM CUp2 3C24 C22 2(1 Tt ) + p (2.29) + (1 + T M ) C1 C1 M (1 + T M ) 2tT 2L2 () 27 Vi M () thỡ tn ti hng s C* cho p+2 ( u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () C pT +2t (p+2)T + ) p p+2 + t p+2 , t [0, T ] nh lớ c chng minh 2.3.4 Nhn xột Kt qu nh lớ 2.3.3 ca chỳng tụi l tt hn ca cỏc tỏc gi ([9]) Ti t = chỳng tụi ch tc nh cỏc tỏc gi ([9]), nhng vi t > chỳng tụi ch tc cú dng ) ( pT +2t (p+2)T + t , t (0, T ] u, (ã, t) u(ã, t) C L2 () M (2.30) Tc ny l tt hn rt nhiu so vi tc cỏc tỏc gi ([9])ch nh nh lớ 2.3.2 Tht vy, s m ca ỏnh giỏ (2.25) p +2t l cũn s m ca ỏnh giỏ (2.30) ln lt l pT (p+2)T v p+2 v vi t (0, T ] ta cú ỏnh giỏ sau pT + 2t pT p 1> > = (p + 2)T (p + 2)T p+2 28 KT LUN Kt qu t c Lun ny l Trỡnh by khỏi nim hm gamma v mt s tớnh cht c bn ca nú Trỡnh by khỏi nim hm Mittag-Leffler v mt s tớnh cht ca c bn nú Trỡnh by khỏi nim o hm bc phõn Caputo v mt vi tớnh cht c bn ca nú Gii thiu bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian Trỡnh by phng phỏp chnh húa bi toỏn khuch tỏn bc phõn bao gm ỏnh giỏ tc hi t xut v chng minh nh lý 2.3.3 a Nhn xột 2.3.4 khng nh kt qa nh lý 2.3.3 l tt hn kt qa ca cỏc tỏc gi bi bỏo [9] TI LIU THAM KHO [1] Phm K Anh (2007), Bi toỏn t khụng chnh, HQG H Ni [2] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [3] Dinh Nho Ho and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", J Math Anal Appl., No 353, pp 627-641 [4] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [5] Jijun Liu (2001), "Dtermination of temperature field for backward heat transfer", Commun Korean Math Soc., 16(3), 385397 [6] J J Liu, M Yamamoto (2010), "A backward problem for the timefractional diffusion equation", Appl Anal, 89(11), 17691788 [7] Engl H W., Hanke M and Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht [8] Q Chen, J J Liu (2012), "Solving the backward heat conduction problem by data fitting with multiple regularizing parameters", Comput Math., 30(4), 418432 [9] Liyan Wang, Jijun Liu (2012), "Data regularization for a backward time-fractional diffusion problem", Computers and Mathematics with Applications, 64, 3613-3626 29 30 [10] Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York [11] Igor Podlubny (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego [...]... .(a(x)u) Trong nhng nm gn õy, vic xõy dng mt h thng chnh húa sao cho nghim chnh húa cú th c biu din dng "hin" ó nhn c nhiu s quan tõm S thun li ca ý tng mi ny l ch tớnh t chnh ca bi toỏn chnh húa c m bo mt cỏch t ng, vn cũn li ch l tc hi t ca nghim chnh húa Hn na, vic gii s cho nghim chnh húa vi mi t [0, T ) cng d hn nhiu Cho vớ d, xem [3] cho phng lm nhuyn, ni m d kin o c thi im cui c chnh húa bng... [6], Liu v Yamamoto ó xem xột mt bi toỏn ngc mt chiu u cho phng trỡnh = uxx Bng cỏch thờm vo phng trỡnh ny s t hng uxxxx , hai tỏc gi trờn ó xõy dng c mt h chnh húa ph thuc tham s phc hi tỡnh trng ban u u(x, 0) v nhn thy rng d kin ban u cho phng trỡnh khuch tỏn bc phõn ny cú th c phc hi trong cỏch hu hiu hn nu so sỏnh vi bi toỏn ngc truyn thng cho phng trỡnh dn nhit (xem [5]) trong trng hp mt chiu... 1)(t s)+1n k1 t(k1) (n )(k n + 1) = (n ) k=1 (k n + 1)(k + 1) = k=1 (t )k1 = E,1 (t ) = f (t) ((k 1) + 1) CHNG 2 CHNH HểA D KIN CHO BI TON KHUCH TN BC PHN NGC THI GIAN Chng ny chỳng tụi trỡnh by phng phỏp chnh húa bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian trong bi bỏo [9] cng nh xut v chng minh mt vi kt qa mi 2.1 Gii thiu bi toỏn Xột bi toỏn khuch tỏn bc phõn u = .(a(x)u), (x, t) ... , khi + x(1 ) x2 (2.4) (2.5) (ii)Gi s rng 0 < 0 < 1 < 1 Khi ú tn ti cỏc hng s C1 , C2 > 0 ch ph thuc vo 0 , 1 sao cho C1 1 (1 ) 1 x E,1 (x) C2 1 , vi mi x (1 ) 1 x 0 (2.6) Cỏc ỏnh giỏ trờn l u theo [0 , 1 ] ỏnh giỏ cn trờn cho E,1 (x) (ii) trong B 2.2.1 l hin nhiờn t c cn di cho E,1 (x), chỳ ý rng ( ) 1 1 1 = +o , x , x 1x 1x (2.7) 19 vỡ vy kt hp vi tớnh cht (i) ta cú ( ) 1 1 1 +o E,1 (x)... 2.3.2 nh lý ([9]) Gi s rng u0 H0p tha món u0 H0p p = 1 hoc p = 2 Nu M = M () c chn sao cho M () Up vi 1 thỡ 2 T p+2 ta cú ỏnh giỏ u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () p 3C0 (, p, T ) p + 2 , t [0, T ] 1 + 1 t (2.25) 25 2.3.3 nh lý Gi s rng u0 H0p tha món u0 H0p hoc p = 2 Nu M = M () c chn sao cho M () hng s C* sao cho ( 2 u, M (ã, t) u(ã, t) L2 () C pT +2t (p+2)T + Up vi p = 1 1 2 thỡ tn ti... [L, 0] ta cú E,1 (x) min E,1 (x) x[L,0] 1 C1 (1 ) (1 x) (2.8) vi C1 > 0 nh, chỳ ý rng E,1 (x) > 0 vi mi x [L, 0] ỏnh giỏ cn di cho E,1 (x) (ii) trong B 2.2.1 ó rừ rng Ký hiu bi {(n , n (x)) : n N} l h thng giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t .(a(x)), hot ng trờn khụng gian H 2 () H01 () Ngha l n (x) tha món { .(a(x)n (x)) + n n (x) = 0, x , n (x) = 0, x (2.9) 2 Khi ú {n (x)} n=1 lp thnh mt c... lý Cho > 0 v R t f (t) = E,1 (t ), t 0 Khi ú C () 0 Dt f (t) = E,1 (t ) Chng minh Nu = n N thỡ C () 0 Dt f (t) dn (tn )k dn = n En,1 (tn ) = dt dtn (kn + 1) k=0 = nk(nk 1) (nk n + 1)k tn(k1) (kn + 1) k=0 Chỳ ý rng (kn + 1) = kn(kn) = kn(kn 1)(kn 1) = = kn(kn 1) (kn n + 1)(kn n + 1) Ta cú C () 0 Dt f (t) = k=1 (tn )k1 = En,1 (tn ) = f (t) (n(k 1) + 1) Vi N, thỡ tn ti n N sao cho. .. bng cỏch chn tha món iu kin < à < < min{, } 2 Tip theo chn = 1 v thay th p k1 p 1 = + p k z z z ( z) k=1 (1.26) (1.27) 12 trong cụng thc (1.20) ca nh lý 1.2.3 chỳng ta cú cụng thc biu din sau õy cho hm Mittag-Leffler E, (z) trong min G+ (1, ) (ngha l min bờn phi ca ng (1, )) ( ) 1 (1)/ 1/ E, (z) = z exp z ) p ( 1 1/ (1)/+k1 exp( ) d z k 2i (1,) k=1 1 + (1.28) exp( 1/ ) (1)/+p p 2iz (1,)... tha món à v à | arg(z)| |Ip (z)| | arg(z)| Do ú vi |z| ln ta t c |z|1p exp( 1/ ) (1)+p 2 sin( à) (1,) T hp (1.35) v (1.36) ta t c cụng thc (1.33) (1.36) 14 1.3 o hm bc phõn Caputo 1.3.1 nh ngha Cho f l mt hm s kh vi liờn tc cp n N trờn [a, T ] (T > a) o hm bc phõn Caputo vi bc > 0 ca mt hm f trờn on [a, T ] c xỏc nh nh sau t f (n) (s) 1 C () ds, a a Dt f (t) = (n ) a (t s)+1n C () a Dt f... g(x) c cung cp v chỳng ta ch cú th tớnh c hu hn s hng ca chui (2.14) Do ú, cn c xỏc nh t phng trỡnh xp x ca (2.14), ngha l M cn n (x, T ) = g (x), (2.15) n=1 trong ú tham s M cha c bit Vỡ vy li gii cho bi toỏn (2.15) l xỏc nh c M v cn , , Ký hiu CM := (C1, , C2, , , CM ) RM l nghim cú chun cc tiu ca (2.15) tha món M c, n n (., T ) g (.) , (2.16) n=1 ngha l , CM { RM = inf CM RM : } cn n (., ... Mathematics with Applications nm 2012, chỳng tụi la chn ti cho Lun ca mỡnh l : "Chnh húa d kin cho bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian" Lun c thc hin ti Trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo,... (t) ((k 1) + 1) CHNG CHNH HểA D KIN CHO BI TON KHUCH TN BC PHN NGC THI GIAN Chng ny chỳng tụi trỡnh by phng phỏp chnh húa bi toỏn khuch tỏn bc phõn ngc thi gian bi bỏo [9] cng nh xut v chng minh... ng, cũn li ch l tc hi t ca nghim chnh húa Hn na, vic gii s cho nghim chnh húa vi mi t [0, T ) cng d hn nhiu Cho vớ d, xem [3] cho phng lm nhuyn, ni m d kin o c thi im cui c chnh húa bng cỏch