Sử dụng hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt

Sử dụng hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ -oOo - VÕ THỊ CẨM LOAN Lớp DH5L KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY Long Xuyên, 5-2008 LỜI CẢM ƠN ******** Trước tiên cho gởi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang, Ban Chủ Nhiệm Khoa sư Phạm, hội Đồng Khoa Học Đào Tạo Khoa sư Phạm Trường Đại Học An Giang, tạo điều kiện để tơi làm khố luận, quan tâm đơn đốc tơi q trình làm khố luận Xin cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Tổ Bộ Môn Vật Lý Đặt biệt giáo viên hướng dẫn Thạc Sĩ Hồ Xuân Huy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khố luận MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU .Trang 1 Lý chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Nhiệm vụ nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu .Trang Giả thuyết khoa học Trang Phạm vi nghiên cứu .Trang Đóng góp khóa luận Trang Cấu trúc khóa luận Trang PHẦN II: NỘI DUNG Trang CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .Trang 1.1 Lý luận tập vật lý Trang 1.2 Bài toán biên .Trang 1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng .Trang 1.4 Phương pháp tách biến Trang 11 1.5 Phương pháp biến thiên tham số .Trang 15 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN Trang 17 2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng hàm Green .Trang 17 2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green Trang 20 2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green Trang 21 2.4 Hàm điều hòa Biễu diễn Green Trang 23 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .Trang 27 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Trang 27 3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian .Trang 30 3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho toán truyền nhiệt .Trang 30 3.2.2 Phương pháp hàm Green cho toán truyền nhiệt .Trang 33 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt miền tròn Trang 35 3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng Trang 38 PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 45 PHỤ LỤC Trang 46 PHỤ LỤC Trang 48 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp toán lý học phần quan trọng chương trình đào tạo giáo viên THPT Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học đại vật lý, hiểu rõ chất q trình truyền sóng trình truyền nhiệt vật chất Học phần có liên quan đến nhiều mơn học khác: điện từ, điện động lực, nhiệt động lực, vật lý thống kê, học lượng tử,… Việc nghiên cứu học phần sở nghiên cứu môn học khác Vì việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn Bên cạnh học phần có nhiều dạng tập, dạng lại có nhiều phương pháp giải địi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với dạng Cụ thể tập phần truyền nhiệt có phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng Đối với số dạng tập nhiều chiều, giải phương pháp biến đổi Fourier, phương trình Laplace, việc tìm nghiệm gặp khó khăn giải phức tạp, dùng phương pháp hàm Green việc tìm nghiệm tốn đơn giản nhiều, phương pháp hàm Green phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thơng qua việc giải phương trình khác để tìm hàm Green Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thơng qua hàm Green Phương pháp hàm Green phương pháp khó, nhiên lại áp dụng hiệu vào việc giải toán biên nhiều chiều Nhưng sách lý thuyết thường không đề cặp đến phương pháp này, đề cặp ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn việc áp dụng phương pháp vào tập Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu cho toán truyền nhiệt cần thiết Với lý chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green để giải số tốn truyền nhiệt” Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu tốn truyền nhiệt • Cơ sở tốn học cho phương pháp hàm Green • Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm tốn truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu • • Cơ sở tốn học cho phương pháp hàm Green • Cơ sở lý luận tập vật lý Các tập truyền nhiệt Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sở toán học cho việc xây dựng hàm Green • Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm tốn truyền nhiệt • Giải số toán truyền nhiệt phương pháp hàm Green - 1- Phương pháp nghiên cứu • • Phương pháp tốn học • Phương pháp phân tích • Đọc sách tham khảo tài liệu Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Giả thuyết khoa học Nếu dùng phương pháp hàm Green tìm nghiệm tốn truyền nhiệt Phạm vi nghiên cứu • Các tốn truyền nhiệt ứng với điều kiện biên Đóng góp khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên • Góp phần nâng cao kết học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên Cấu trúc khoá luận: gồm Phần I: Mở đầu Phần II : Nội dung nghiên cứu Chương I: Cơ sở lý luận đề tài Chương II: Xây dựng phương pháp hàm Green Chương III: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải số toán truyền nhiệt Phần III: Kết luận - 2- PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm tập vật lý Bài tập vật lý yêu cầu đặt cho người học, người học giải dựa sở lập luận logic, nhờ phép tính tốn, thí nghiệm, dựa kiến thức khái niệm, định luật thuyết vật lý 1.1.2 Vai trò tác dụng tập vật lý Xét mặt phát triển tính tự lực người học rèn luyện kỷ vận dụng kiến thức lĩnh hội vai trị tập vật lý q trình học tập có giá trị lớn Bài tập vật lý sử dụng nhiều khâu trình dạy học - Bài tập phương tiện nghiên cứu tượng vật lý Trong trình dạy học vật lý người học làm quen với chất tượng vật lý nhiều cách khác như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm thí nghiệm, tiến hành tham quan Ở tính tích cực người học chiều sâu độ vững kiến thức lớn “tình có vấn đề” tạo ra, nhiều trường hợp nhờ tình làm xuất kiểu tập mà trình giải người học phát lại quy luật vật lý tiếp thu quy luật hình thức có sẵn - Bài tập phương tiện hình thành khái niệm Bằng cách dựa vào kiến thức có người học, q trình làm tập, ta cho người học phân tích tượng vật lý nghiên cứu, hình thành khái niệm tượng vật lý đại lượng vật lý - Bài tập phương tiện phát triển tư vật lý cho người học việc giải tập làm phát triển tư logic, nhanh trí Trong q trình tư có phân tích tổng hợp mối liên hệ tượng, đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng - Bài tập phương tiện rèn luyện kỷ vận dụng kiến thức người học vào thực tiễn Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp tập vật lý có ý nghĩa lớn Những tập phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống Nội dung tập phải đảm bảo yêu cầu sau: + Nội dung tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình học + Hiện tượng nghiên cứu phải áp dụng phổ biến thực tiển + Bài tập đưa phải vấn đề gần với thực tế + Không nội dung mà cịn hình thức tập phải gắn với điều kiện thường gặp sống Trong tập khơng có sẵn kiện mà phải tìm kiện cần thiết sơ đồ, vẽ kỷ thuật, sách báo tra cứu từ thí nghiệm - 3- - Bài tập tượng vật lý sinh hoạt ngày có ý nghĩa to lớn Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả quan sát Với tập này, trình giải, người học có kỷ năng, kỷ xảo vận dụng kiến thức để phân tích tượng vật lý khác tự nhiên, kỷ thuật đời sống, đặc biệt có tập giải đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm lao động, sinh hoạt sử dụng kết quan sát thực tế ngày - Bài tập vật lý phương tiện để giáo dục người học, nhờ tập vật lý ta giới thiệu cho người học biết xuất tư tưởng, quan điểm tiên tiến, đại, phát minh, thành tựu khoa học nước Tác dụng giáo dục tập vật lý thể chổ: chúng phương tiện hiệu để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó, ý chí nhân cách người học Việc giải tập vật lý mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm u thích mơn, tăng cường hứng thú học tập - Bài tập vật lý phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức kỷ năng, kỷ xảo người học Đồng thời công cụ giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức 1.1.3 Cơ sở định hướng giải tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải tập vật lý − Mục tiêu cần đạt tới giải tốn vật lý tìm câu trả lời đắn, giải đáp vấn đề đặt cách có khoa học chặt chẽ Q trình giải tốn thực chất tìm hiểu điều kiện toán, xem xét tượng vật lý đề cập dựa kiến thức vật lý tốn để nghĩ tới mối liên hệ có cho cần tìm cho thấy phải tìm có mối liên hệ trực tiếp gián tiếp với cho, từ đến rõ mối liên hệ tường minh trực tiếp phải tìm với biết nghĩa tìm lời giải đáp cho toán đặt − Hoạt động giải tốn vật lý có hai phần việc quan trọng là: Việc xác lập mối liên hệ cụ thể dựa vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể toán cho Sự tiếp tục luận giải, tính tốn từ mối liên hệ xác lập đến kết luận cuối việc giải đáp vấn đề đặt toán cho − Sự nắm vững lời giải toán vật lý phải thể khả trả lời câu hỏi: việc giải toán cần xác lập mối liên hệ nào? Sự xác lập mối liên hệ dựa vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể toán? − Đối với tập định tính, ta khơng phải tính tốn phức tạp cần có suy luận logic bước để đến kết luận cuối - 4- 1.1.3.2 Phương pháp giải tập vật lý Xét tính chất thao tác tư giải tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp điểm xuất phát đại lượng cần tìm Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết có liên quan tới đại lượng vật lý khác, biết liên hệ biểu diễn thành cơng thức tương ứng, làm biểu diễn hoàn toàn đại lượng cần tìm đại lượng biết tốn giải xong Như vậy, phương pháp thực chất phân tích toán phức tạp thành tập đơn giản hơn, dựa vào quy tắc tìm lời giải mà giải tập đơn giản này, từ đến lời giải cho tốn phức tạp − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp suy luận khơng đại lượng cần tìm mà đại lượng biết, nêu đề Dùng công thức liên hệ đại lượng với đại lượng chưa biết, ta dần đến cơng thức cuối cùng, có đại lượng chưa biết đại lượng cần tìm Nhìn chung, việc giải tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích tổng hợp Phép giải bắt đầu phân tích điều kiện tốn để hiểu đề phải có tổng hợp kèm theo để kiểm tra lại mức độ đắn phân tích Muốn lập kế hoạch giải phải sâu phân tích nội dung vật lý tập, tổng hợp kiện cho với quy luật vật lý biết ta xây dựng lời giải kết cuối 1.1.3.3 Các bước chung giải tốn vật lý Từ phân tích thực chất hoạt động giải tốn, ta có đưa cách khái quát bước chung tiến trình giải tốn vật lý hoạt động bước, là: Bước 1: − Tìm hiểu đề − Đọc ghi ngắn gọn liệu xuất phát phải tìm − Mơ tả lại tình nêu đề bài, vẽ hình minh họa − Nếu đề yêu cầu phải dùng đồ thị làm thí nghiệm để thu liệu cần thiết Bước 2: Xác lập mối liên hệ liệu xuất phát phải tìm − Đối chiếu với liệu xuất phát phải tìm, xem xét chất vật lý tình cho để nghĩ đến kiến thức, định luật, công thức có liên quan − Xác lập mối liên hệ bản, cụ thể liệu xuất phát phải tìm - 5- − Tìm kiếm lựa chọn mối liên hệ tối thiểu cần thiết cho thấy mối liên hệ phải tìm với liệu xuất phát, từ rút cần tìm Bước 3: Rút kết cần tìm Từ mối liên hệ cần thiết xác lập, tiếp tục luận giải, tính tốn để rút kết cần tìm Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để xác nhận kết cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo cách sau: − Kiểm tra xem có tính tốn chưa − Kiểm tra xem thứ ngun có phù hợp khơng − Giải tốn theo cách khác xem có kết không Tuy nhiên, nhiều tập không thiết phải tách bạch cách cứng nhắc bước bước Tùy tốn mà ta kết hợp hai bước thành tiến trình luận giải 1.1.3.4 Lựa chọn tập vật lý Vấn đề lựa chọn tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý người học việc lựa chọn tập phải thỏa mãn yêu cầu sau: − Các tập phải từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm phương pháp giải tập điển hình − Hệ thống tập cần bao gồm nhiều thể loại tập − Lựa chọn tập nhằm kích thích hứng thú học tập phát triển tư người học − Các tập nhằm cố, bổ sung hoàn thiện tri thức cụ thể học, cung cấp cho người học hiểu biết thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết − Lựa chọn tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức học để giải loại tập bản, hình thành phương pháp chung để giải loại tập − Lựa chọn tập cho kiểm tra mức độ nắm vững tri thức người học 1.2 Bài tốn biên Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng L( y ) = a ( x) dny d n −1 y dy + a1 ( x) n −1 + + a n −1 ( x) + a n ( x) y = F ( x) (1.2.1) n dx dx dx Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) hàm liên tục khoảng a ≤ x ≤ b a ( x) ≠ khoảng a ≤ x ≤ b Cách chung để giải phương trình (1.2.1) là: trước hết giải phương trình cấp n L(y)=0, thu tập nghiệm {y1(x), y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc phương trình tổ hợp tuyến tính tập nghiệm bản: - 6- ∞ ∞ n + ∑ ρ cos nt =∑ ρ n cos nt − n =1 n=0 Xét chuổi n ∞ ∞ ∑ ( ρe ) = ∑ ρ it n=0 n n=0 ∞ cos nt + i∑ ρ n sin nt n=0 Chuổi hội tụkhi ρ < tổng 1 − ρe it = 1 − ρ cos t + i ρ sin t = − ρ cos t − i ρ sin t − ρ cos t + ρ Do n 1 − ρ cos t 1− ρ2 ∑ ρ cos nt − = − ρ cos t + ρ − = 2(1 − ρ cos t + ρ ) n=0 ∞ Hay trở ký hiệu cũ ta được: u(r ,θ ) = 2π π ∫ −π R2 − r f (τ ) dτ R − Rr cos(τ − θ ) + r Ta tìm nghiệm u(r ,θ ) phân bố nhiệt độ miền tròn thoả mãn điều kiện toán Cách 2: Dùng phương pháp hàm Green: Ta cần tìm hàm u thoả mãn phương trình ∆u = miền D có biên Γ O, R tâm, bán kính Γ Hàm u thỗ mãn điều kiện biên u ( Γ ) = f ( x , y ) ∆u = g( x , y ) = 0, nên áp dụng công thức Green cho u điểm M0, ta được: u( M ) = − ∫ f ( x , y ) (Γ ) Ta chọn v = − ∂G ds ∂n 1 ln / ∆v = 2π r 1 ln / ( Γ ) 2π r ∂G ∂ 1 = (ln − ln / ) ∂n 2π ∂n r r v (Γ) = − 1 r r ⎧∂ ⎪ ∂n (ln r ) = − r cos(r , n ) ⎪ Ta tính ⎨ r r ⎪ ∂ (ln ) = − cos(r , n ) / / ⎪ ∂n r r ⎩ ρ o M0 R (Γ ) - 37- Mặt khác: r r R2 + r − ρ cos(r , n ) = , với ρ = OM0 Rr r r ρ + r − R2 cos(r / , n ) = 2ρr Vậy ∂G (ρ − R2 ) = ∂n ( Γ ) 2π Rr Để xác định u điểm M0 miền trịn, ta có cơng thức u( M0 ) = ⎛ R2 − ρ ) ⎞ ⎜ ⎟ f ( x , y )ds 2π R (∫) ⎝ r ⎠ Γ Với toạ độ cực, ta có: M ( ρ ,ϕ ), M ( R,θ ) r = R + ρ − R ρ cos(θ − ϕ ) ds = Rdθ Do toạ độ cực, ta có u( ρ ,ϕ ) = 2π 2π ∫ R2 − ρ f (θ )dθ R − R ρ cos(θ − ϕ ) + ρ Cả hai phương pháp đến kết quả, tìm phân bố nhiệt độ miền tròn Nhưng ta nhận thấy toán truyền nhiệt miền trịn giải phương pháp hàm Green đơn giản, tìm nghiệm hiệu hơn, nhanh 3.3 Bài tốn biên truyền nhiệt dừng Bài tốn: Tìm phân bố nhiệt độ trạng thái dừng hữu hạn đoạn [0,L].Thanh có nguồn nhiệt Q(x,t) = Q(x) Các điều kiện biên có dạng: u(0) = 0,u(L) = Giải: Ở trạng thái dừng, ta có Q( x , t ) = Q( x ); ∂u =0 ∂t ∂u ∂ u =a + Q( x ) Và ∂t ∂x ∂2u + Q( x ); ∂x Q( x ) d 2u f (x) = − ⇒ = f (x) a dx ⇔ = a2 - 38- u (0) = 0; u( L ) = d 2u = f ( x ) Ta sử dụng phương pháp biến thiên tham số cho phương trình dx cách xét tốn không tổng quát L (u) = f ( x ) Trong tốn tử L có dạng: d ⎛ du ⎞ ⎜ p ⎟ + q ta xét toán truyền nhiệt dừng nên p =1, q = 0, ta có hai dx ⎝ dx ⎠ nghiệm phương trình tương ứng x Nếu chọn: u1 = x; u2 = L − x , L= p = 1, c = − L nên thu được: x v1 ( x ) = ∫ f (ξ )( L − ξ )dξ + c1 , L0 x v2 ( x ) = − ∫ f (ξ )ξ dξ + c2 L0 Đây hai công thức cần thiết phương pháp biến thiên số (u = u1v1 + u2 v2 ) Từ điều kiện biên suy ra: (u = u1v1 + u2 v2 ); u(0) = → = c2 L; L u( L ) = → = ∫ f (ξ )(L − ξ )dξ + c1L Nghiệm tốn biên khơng L L x L−x u( x ) = − ∫ f (ξ )(L − ξ )dξ − f (ξ )ξ dξ , Lx L ∫ o Hay u( x ) = L ∫ f (ξ )G( x,ξ )dξ , o ⎧ x(L − ξ ) ⎪− ⎪ L Trong G( x , ξ ) = ⎨ ⎪− ξ ( L − x ) ⎪ L ⎩ x ξ Ta nhận thấy tính đối xứng hàm Green G( x , ξ ) = G(ξ , x ) - 39- Bài toán: Xét phân bố dừng nhiệt độ cầu đồng bán kính q với điều kiện giữ nhiệt độ không, nhiệt độ Giải: Bài tốn ta phải giải phương trình Laplaxơ với điều kiện biên: π ⎧ ⎪0 < θ < ⎪ f (θ ,ϕ ) = ⎨ ⎪1 π < θ < π ⎪ ⎩ Trước hết ta cần đưa hàm Green Ta xét vùng V cầu bán kính q, tâm góc toạ độ, P0 điểm Bao quanh V mặt cầu S0 Kí hiệu V0 phần vùng V nằm ngồi S0 Do V0 giới hạn hai mặt S S0 Công thức Green vùng v0 là: ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∫ v∆u − u∆v)dV = ∫ ⎜ v ∂n − u ∂n ⎟dS + ∫ ⎜ v ∂n − u ∂n ⎟dS ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V0 S (3.3.1) S0 Trong công thức ta xem u nghiệm tồn Đirichlet, cịn v chọn hàm Green G(P) xác định sau: G( P ) = rP0 P + H ( p) Trong rP0 P khoảng cách P0 điểm biến thiên P(x, y, z), H(P) hàm thỗ mãn phương trình Laplaxơ điểm vùng V nhận giá trị − rP0 M M mặt S H (M ) = − P0 O M rP0 M Do G( M ) = rP0 M + H (M ) = Bây ta lấy điểm P0* nằm tia từ góc toạ độ, qua điểm P0, * cho r0r0 = q r0 = 2 x0 + y0 + z0 , r0* khoảng cách từ P0* đến tâm cầu ⎛ q2 q2 q2 ⎞ Vậy ta có P ⎜ x0 , y0 , z0 ⎟ r0 r0 ⎠ ⎝ r0 * - 40- q2 > q ) Các điểm P0 P0* đối P nằm ngồi cầu( r0 < q, nên r = r0 * * xứng mặt cầu S, giới hạn cầu V M điểm mặt S, ta chứng minh tỉ số khoảng cách từ M đến P0 P0* đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào M Nếu kí hiệu P0M rP* M P0* M qua rP0 M , ta có q r0* = r0 q Từ ta rút rP* M rP0 M = q = const r0 (3.3.2) Ta chọn hàm Green cho cầu V hàm q r0 rP*P z Ta cần kiểm nghiệm lại P0 G( P ) = rP0 P H (P ) = − − θ0 γ q r0 rP*P P Thoả mãn phương trình Laplaxơ cầu V HS =− θ O rP0 M Vì P0* nằm ngồi cầu V, nghĩa H(P) xác định tất điểm bên ⎛ ∆⎜ V ⎜ rP*P ⎝ ⎞ ⎟=0 ⎟ ⎠ Mặt khác: H S = H ( M ) = − q 1 =− r0 rP*M rP0 M ∂G mặt cầu S Bởi đạo hàm theo pháp ∂n tuyến điểm M mặt cầu S trùng với đạo hàm theo phương bán kính; Đạo hàm theo pháp tuyến - 41- ∂G ∂G = ∂n S ∂r r = q r = x + y + z2 Nên ta chuyển sang toạ độ cầu Giả sử toạ độ cầu điểm P r ,θ ,ϕ ; điểm q2 ,θ , ϕ P0 r0 ,θ ,ϕ ; P có toạ độ cầu r0 * r r Các vectơ đơn vị theo phương OP OP0 là: r r r sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k r r r Và sin θ cos ϕ0 i + sin θ sin ϕ0 j + cosθ k nên ta tìm góc γ r r OP va OP0 qua tích vơ hướng hai vectơ đơn vị cos γ = sin θ sin θ cos ϕ cos ϕ + sin θ sin θ sin ϕ sin ϕ + cosθ cosθ = sin θ sin θ (cos ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ ) + cosθ cosθ (3.3.3) = cosθ cosθ + sin θ sin θ cos(ϕ − ϕ 0) 2 Từ công thức rP0 P = r + r0 − 2rr0 cos γ ta rút ∂ ⎛ ⎜ ∂r ⎜ rP0 P ⎝ ⎞ r − r0 cos γ ⎟=− ⎟ rP0 P ⎠ ∂ ⎛ ⎜ Và ∂r ⎜ rP0 P ⎝ ⎞ q − r0 cos γ q − r0 cos γ =− ⎟ =− ⎟ rP0 P (q2 + r02 − 2qr0 cos γ )3 ⎠ r =q Nếu thay r0 cho ∂ ⎛ ⎜ ∂r ⎜ rP*P ⎝ r02 =− q q2 r0 , ta tìm q− q2 cos γ r0 ⎞ ⎟ =− = ⎟ q4 q2 ⎠ r =q (q + − 2q cos γ ) r0 r0 r0 − q cos γ (q + r02 − 2qr0 cos γ )3 Từ công thức Green v vùng V0, ta tìm u( P0 ) = − 4π ∂G ∫ f (M ) ∂n ds S Đối với cầu có tâm góc toạ độ, ta có - 42- u( P0 ) = 4π q ∫ S q − r02 (q + r02 − 2qr0 cos γ )3 f1 ( M )dS Hay q u( P0 ) = 4π 2π π ∫∫ 0 q2 − r02 (q2 + r02 − 2qr0 cos γ )3 f (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ Trong hàm f1 ( M ) hàm toạ độ cầu θ (3.3.4) va ϕ mặt S giới hạn cầu V kí hiệu f (θ ,ϕ ), dS = q sin θ dθ dϕ , cịn cos γ tính (3.3.3) π ⎧ < θ < ⎪ ⎪ Sử dụng điều kiện biên f (θ ,ϕ ) = ⎨ π ⎪1