MỤC LỤC
A^ được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân ψ với. Vì các hàm ψ và ϕ ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là những toán tử tuyến tính.
Hay nói cách khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm ψ ψ1, 2 thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số (hay toán tử ) không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính.
Ta giải cỏc phương trỡnh này để tỡm cỏc hàm chưa biết w,v và hằng số à. Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình môi trường tổ ong. Đõy là một phương trỡnh khuếch tỏn phi tuyến, với tốc độ khuếch tỏn của mật độ à phụ thuộc vào chớnh à.
Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng w = xα với hằng số α sẽ được xác định sau. Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi tuyến tương thớch với hàm à cú dạng tớch (1.4.12). Ở trường hợp khỏc, ta sẽ tỡm nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số.
Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó L là toán tử Sturm –Liouville có dạng. Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất u x1( ) và. Phương trình vi phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là du/dx.
Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green.
Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên ở hai điểm như sau. Trong phương trình (2.1.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy tích phân và vì thế các toán tử Lξ và L*ξlà toán tử đạo hàm đối với ξ. Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất thức Green.
Bước 1: Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng. Nghiệm của bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân không thuần nhất là ξ. Phương trình Laplaxơ có một nghiệm đối xứng xuyên tâm r2−n đối với n>2 và lnr đối vớii n=2, ở đây r là khoảng cách đến một điểm cố định.
Trong trường hợp khi x y= không thể thay thế hàm Green trong công thức (2.4.5) bằng hàm Γ được. Tuy nhiên việc khó khăn này có thể khắc phục được nhờ việc thay thế Ω bằng Ω\B Bρ, ρ =B yρ( ) là quả cầu tâm y bán kính ρ đủ nhỏ. Do đó chúng được xác định đơn trị nhờ các giá trị của mình trên một tập con mở bất kỳ của miền xác định.
Tính chất đáng chú ý này của hàm điều hoà cũng đúng cho lớp các phương trình elliptic với các hệ số giải tích. Trong trường hợp n = 2 tương tự ta cũng có các định nghĩa thế vị Newton hay logarit và các thế vị lớp đơn, thế vị lớp kép. Về ý nghĩa vật lý, gradien của thế vị Newton (2.4.9) xác định cường độ của trường tĩnh điện trong R3\∂Ω được tạo thành bởi điện tích phân bố trong Ω với mật độ a x0( ).
Như vậy việc tồn tại được một hàm Green kéo theo khả năng biểu diễn được một hàm điều hoà bất kỳ thuộc C2( )Ω ∩C1( )Ω qua các giá trị biên của nó. Ở chương này đã xây dựng xong phương pháp hàm Green làm cơ sở cho việc áp dụng nó để giải bài toán truyền nhiệt ở chương sau. Phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác.
Viết định luật bảo toàn năng lượng cho một miền tùy ý V với bề mặt kín S bao quanh. HC là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong thời gian (cρu), nói cách khác là thông lượng đi qua bề mặt S là. Kết quả trên cho một thể tích V tùy ý và thời gian tùy ý ∆t, như vậy số hạng trong dấu ngoặc {} phải bằng không.
Thay biểu thức của vectơ qr vào phương trình (3.1.2) biểu thị định luật Fourier của quá trình truyền nhiệt ta thu được phương trình truyền nhiệt trong vật dẫn. Khi các hệ số đều là hằng số, có thể viết phương trình truyền nhiệt dưới dạng. Nếu không có nguồn nhiệt, tức là Q=0, phương trình truyền nhiệt trở thành phương trình thuần nhất.
Ta có thể lập bảng sau cho phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các dạng khác nhau của phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Điều kiện biên Dirichlet hay bài toán biên loại I đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được.
Điều kiện biên Neumann hay bài toán biên loại II đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xỏc định rừ trờn biờn của miền, mà tại đú phương trỡnh truyền nhiệt giải được. Điều kiện biên Robin hay bài toán biên loại III đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệ độ trao đổi với mụi trường xung quanh được xỏc định rừ trờn biờn của miền, mà tại đó phương ttrình truyền nhiệt giải được. Điều kiện biên hổn hợp là kết quả của các điều kiện biên loại I và II.
Nghiệm tổng quát là tổng của tất cả các nghiệm riêng ứng với các giá trị khả dĩ của n. Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, l] nằm dọc theo trục x. Như vậy chúng ta đã tìm được sự phân bố nhiệt trên thanh, nghiệm này được biễu diễn thông qua hàm Green.
Ta nhận thấy phương pháp này có phần đơn giản vì không trực tiếp giải phương trình vi phân không thuần nhất.
Ở đây chúng tôi sẽ giải bài toán này bằng hai phương pháp: tách biến Fourier và phương pháp hàm Green. Giả sử hình tròn bán kính R với tâm tại cực O của hệ toạ độ cực. Cho mỗi vế của đẳng thức nhận được bằng hằng số −k2, ta có hai phương trình vi phân thường.
Vậy ta nhận được vô số nghiệm riêng của phương trình (3.2.11), liên tục trong hình tròn. Do tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình Laplaxơ, hàm này cũng là nghiệm của nó. Ta tìm được nghiệm u r( , )θ là sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn thoả mãn điều kiện bài toán.
Cả hai phương pháp trên chúng ta đều đi đến cùng một kết quả, tìm được sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn là như nhau. Nhưng ta nhận thấy đối với bài toán truyền nhiệt trên miền tròn thì giải bằng phương pháp hàm Green là đơn giản, tìm được nghiệm hiệu quả hơn, nhanh hơn.
Bài toán: Xét phân bố dừng của nhiệt độ trong quả cầu đồng nhất bán kính q với điều kiện nữa trên được giữ ở nhiệt độ không, nữa dưới ở nhiệt độ 1. Ta xét vùng V là quả cầu bán kính q, tâm ở góc toạ độ, P0 là một điểm bất kỳ trong đó. Trong đó rP P0 là khoảng cách giữa P0 và một điểm biến thiên P(x, y, z), H(P) là một hàm thoã mãn phương trình Laplaxơ trong vùng V và nhận giá trị.
M là một điểm bất kỳ trên mặt S, ta chứng minh tỉ số các khoảng cách từ M đến P0 và P0* là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào M. Vì P0* nằm ngoài quả cầu V, nghĩa là H(P) được xác định ở tất cả các điểm bên trong V và do đó. Bởi vì đạo hàm theo pháp tuyến ngoài ở điểm M của mặt cầu S trùng với đạo hàm theo phương bán kính;.
Ở chương này chúng tôi đã áp dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Qua đó cho thấy khi sử dụng phương pháp hàm Green thì việc giải các bài toán này là đơn giản và tìm được nghiệm nhanh hơn.